小学奥数5-4-1 约数与倍数（一）.学生版

5-4-1.约数与倍数（一） 教学目标 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...  ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构， 而且表达形式唯一” 知识点拨 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以 (231,252) 3 7 21   ； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 (12,18) 2 3 6   ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2 315   ； 600 315 1 285   ； 315 285 1 30   ； 285 30 9 15   ； 30 15 2 0   ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b a 即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以  2 2231,252 2 3 7 11 2772     ； ②短除法求最小公倍数； 例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 18,12 2 3 3 2 36     ； ③[ , ] ( , ) a ba b a b  ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；b a 即 为所求．例如： 3 5 [3,5] 15[ , ]4 12 (4,12) 4   注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：     1,41 4, 42 3 2,3       4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为 A 、B 的最大公约数，且 A ma ，B mb ，那么 a b、 互质，所以 A 、B 的最小公倍数为 mab ， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① A B ma mb m mab     ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ( , ) [ , ]a b a b a b   ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5 6 7 210   ，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如： 6 7 8 336   ，而 6,7,8 的最小公倍数为336 2 168  性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 3 22 5 7  ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： 3 321000 2 3 5 7    ，所以 21000 所有约数的和为 2 3 2 3(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880         此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。 例题精讲 模块一、求最大公约数 【例 1】 把一张长 1 米 3 分米 5 厘米、宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能 裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 【巩固】【巩固】一个房间长 450 厘米，宽 330 厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少 块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 【例 2】 将一个长和宽分别是是 1833 厘米和 423 厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是 （ ）个。 （A）78 （B）7 （C）5 （D）6 【例 3】 如图，某公园有两段路，AB＝175 米，BC＝125 米，在这两段路上安装路灯，要求 A、B、C 三点 各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个. 【例 4】 把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共最多有多少个 小朋友？ 【例 5】 有 336 个苹果，252 个桔子，210 个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物 中，三样水果各多少？ 【巩固】【巩固】教师节那天，某校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这 些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼 此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？ 模块二、约数 【例 6】 2004 的约数中，比 100 大且比 200 小的约数是 。 【例 7】 过冬了，小白兔只储存了 180 只胡萝卜，小灰兔只储存了 120 棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃， 小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜 可以换__________只胡萝卜。 【例 8】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是 111，这个自然数是________. 【例 9】 一个两位数有 6 个约数，且这个数最小的 3 个约数之和为 10，那么此数为几？ 【例 10】如果你写出 12 的所有约数，1 和 12 除外，你会发现最大的约数是最小约数的 3 倍．现有一个整数 n，除掉它的约数 1 和 n 外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的 15 倍，那么满足条件的整数 n 有哪些？ 模块三、公约数与最大公约数综合 【例 11】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积 473；李虎把甲 数的十位数字看错了，得乘积 407，那么甲、乙两数的乘积应是______. 【例 12】用 2、3、4、5、6、7 这六个数码组成两个三位数 A 和 B，那么 A、B、540 这三个数的最大公约数 最大可能是___________． 【例 13】现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？ 【例 14】10 个非零不同自然数的和是 1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 【巩固】【巩固】100 个非 0 自然数的和等于 2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（ ）。 【例 15】三个两两不同的正整数，和为 126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 ． 【例 16】用1 9 这九个数码可以组成 362880 个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数． 【例 17】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每 2 个人合做一 个泥“猪娃娃”；然后每 3 个人合做一个布“猪娃娃”；最后每 4 个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下 来，一共做了 100 个“猪娃娃”，由此可知手工组共有 个小朋友。 【例 18】一根长为 L 的木棍，用红色刻度线将它分成 m 等份，用黑色刻度将它分成 n 等份（m>n）。(1)设 x 是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1 是 m 和 n 的公约数；(2)如果按刻度线将该木棍锯 成小段，一共可以得到 170 根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有 100 根。试确定 m 和 n 的值。