小学奥数5-3-1 质数与合数（一）.学生版

5-3-1.质数与合数（一） 知识框架 1. 掌握质数与合数的定义 2. 能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3. 能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用 知识点拨 一、质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有 别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。常用的 100 以内的质数：2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我 们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大 于且接近 p 的平方数 2K ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为质 数.例如：149 很接近144 12 12  ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数. 例题精讲 模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊 欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请 你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为 1—56 号，再将号码中的质数由小到大找出来， 将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话． 【例 2】 著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于 4 的偶数都可以表示为两个质数的和”。如 6=3+3，12=5+7， 等。那么，自然数 100 可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97 和 100=97+3 算作同一种形式）。 【例 3】 在 19、197、2009 这三个数中，质数的个数是（ ）. （A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【例 4】 大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世 界上第一个把 π 的值精确到 7 位小数的人．现代人利用计算机已经将 π 的值计算到了小数点后 515 亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是 质数，但 314 不是质数，那么在 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927 中，哪些是 质数？． 【例 5】 用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数．如果 L 中的数(1 不算)除 1 及它本身以外，不能被 L 的任 何数整除，称此数为“L—质数”．问：第 8 个“L—质数”是什么？ 【例 6】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组 【例 7】 从 20 以内的质数中选出 6 个，然后把这 6 个数分别写在正方体木块的 6 个面上，并且使得相对两个 面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的 值？ 【例 8】 自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数 有多少个？ 【例 9】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易 记住，因为它的形式为 abba ，其中 a b ，而且 ab 和 ba 都是质数( a 和 b 是两个数字)．具有这种形 式的数共有多少个？ 【例 10】炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励 40 岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、 陶哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明 了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数(素数) 的数组．例如， 3k  时，3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数；5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数： 而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数(由小到大排列，只写一组 3 个质数即可)． 【例 11】图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相 邻二质数之积填在下行方格中． 质数列 乙填“积数” 甲填“和数” 97 89 13 11 7 5 3 2 35 15 6 12 8 5 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么? 【例 12】从 1～9 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字 之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？ 【例 13】九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐 22 个人，就会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那 么有多少个老人？原有多少辆大巴？ 【例 14】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数字和都 仍为质数．满足条件的两位数为 【例 15】三位数 A 满足：它的所有质因数之和是 26 。这样的三位数 A 有 个。 模块二、质数个位性质 【例 16】哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168 是哪两个两位数的 质数之和，并且其中的一个的个位数宇是 1? 【例 17】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。 【例 18】万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数 是几？ 【例 19】从小到大写出 5 个质数，使后面数都比前面的数大 12.这样的数有几组？ 【例 20】若 A 、1A、 2A 都是质数，则 A  __________（1A是指十位数字为 1，个位数字为 A 的两位数) 【例 21】已知 n ， 6n  ， 84n  ， 102n  ， 218n  都是质数，那么 n  。 【例 22】某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【例 23】有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来. 【例 24】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那 么这 9 个数字最多能组成多少个质数. 【巩固】【巩固】用 0-9 这 10 个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是 。 【例 25】用 0～9 这 10 个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是 ________． 【例 26】用数字卡片 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把 6 倒过来当作 9，也不许把 9 倒过来当作 6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________． 【例 27】如果一些不同质数的平均数是 21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【例 28】如果某整数同时具备如下三条性质：① 这个数与 1 的差是质数，②这个数除以 2 所得的商也是质 数，③这个数除以 9 所得的余数是 5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数