小学奥数5-3-4 分解质因数（一）.学生版

5-3-4.分解质因数（一） 教学目标 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...  ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构，而且 表达形式唯一” 知识点拨 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30 2 3 5   .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 212 2 2 3 2 3     ，2、3 都叫做 12 的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如： 212 2 6 3 ，（┖是短除法的符号） 所以12 2 2 3   ； 二、唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： 31 2 1 2 3 ka aa a kn p p p p     其中为质数， 1 2 ka a a   为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7. 三、部分特殊数的分解 111 3 37  ；1001 7 11 13   ；11111 41 271  ；10001 73 137  ；1995 3 5 7 19    ；1998 2 3 3 3 37     ； 2007 3 3 223   ； 2008 2 2 2 251    ；10101 3 7 13 37    . 例题精讲 模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数 20034= 。 【例 2】 三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少？ 【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555 ，这两个奇数之和是多少? 【巩固】【巩固】已知两个自然数的积是 35，差是 2，则这两个自然数的和是_______. 【例 4】 今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。 【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是 126，那么，它们的和是 ． 【例 6】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大 的一个是多少？ 【例 7】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？ 【例 8】 如 果 两 个 自 然 数 的 和 与 差 的 积 是 23， 那 么 这 两 个 自 然 数 的 和 除 以 这 两 个 数 的 差 的 商 是 ___________。 【例 9】 2004 7 20  的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 【例 10】A 是乘积为 2007 的 5 个自然数之和，B 是乘积为 2007 的 4 个自然数之和。那么 A、B 两数之差的 最大值是 。 【例 11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？） 大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大 2 岁，他们四个人年龄的乘积是 48384 。 问他们四个人的年龄各是几岁？ 【例 12】甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数？ 【例 13】四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【例 14】植树节到了，某市举行大型植树活动，共有 1430 人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每 队人数在 100 至 200 之间，则有分法（ ）。 A、3 种 B、7 种 C、11 种 D、13 种 【例 15】a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18， 20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第 2 个数的平方是___________。 A． 1 B. 3 C. 5 D. 10 【例 16】a、b、c、d、e 这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、 2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第 2 个数是_________。 （A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5 【例 17】将 1～9 九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是 48，第二组三个数的乘积是 45， 第三组三个数字之和最大是多少？ 【例 18】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的 最小可能值是多少厘米? 【例 19】一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表 面积是多少平方厘米? 【例 20】如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？ 【例 21】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数. 求这两个整数分别是多少？ 【例 22】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数 1991， 具有如下两个性质：①1991 是一个回文数．②1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质 数回文数的积．在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了 1991 外，具有性质①和②的年份数， 有哪些？ 【例 23】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那 么第三个分数是多少？ 【例 24】纯循环小数 0.abc  写成最简分数时,分子和分母的和是 58 ,则三位数 _________abc  模块二、分解质因式 【例 25】三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数. 【例 26】三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数． 【例 27】如图，长方形周长为 20 ，面积为 24 。另一个长方形，面积为 20 ，周长为 24 。它的长是 ， 宽是 。 【例 28】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这 个长方体的体积是多少? 【例 29】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由 17，19 可得到一个四位数 1719,由 19，17 也可得到一个四位数 1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这 样的四位数。