小学奥数5-4-2 约数与倍数（二）.学生版

5-4-2.约数与倍数（二） 教学目标 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...  ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构， 而且表达形式唯一” 知识点拨 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以 (231,252) 3 7 21   ； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 (12,18) 2 3 6   ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2 315   ； 600 315 1 285   ； 315 285 1 30   ； 285 30 9 15   ； 30 15 2 0   ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b a 即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以  2 2231,252 2 3 7 11 2772     ； ②短除法求最小公倍数； 例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 18,12 2 3 3 2 36     ； ③[ , ] ( , ) a ba b a b  ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；b a 即 为所求．例如： 3 5 [3,5] 15[ , ]4 12 (4,12) 4   注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：     1,41 4, 42 3 2,3       4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为 A 、B 的最大公约数，且 A ma ，B mb ，那么 a b、 互质，所以 A 、B 的最小公倍数为 mab ， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① A B ma mb m mab     ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ( , ) [ , ]a b a b a b   ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5 6 7 210   ，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如： 6 7 8 336   ，而 6,7,8 的最小公倍数为336 2 168  性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 3 22 5 7  ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： 3 321000 2 3 5 7    ，所以 21000 所有约数的和为 2 3 2 3(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880         此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。 例题精讲 模块一、倍数 【例 1】 N 为自然数，且 1N  ， 2N  、……、 9N  与 690 都有大于 l 的公约数． N 的最小值为多少？ 模块二、公倍数与最小公倍数综合 【例 2】 有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午 12 点整，电子钟响铃又亮灯．问： 下一次既响铃又亮灯是几点钟？ 【例 3】 甲、乙两人同时从 A 点背向出发，沿 400 米的环形跑道行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 50 米，两人至少经过多长时间才能在 A 点相遇？ 【例 4】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群， 则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒．那么平均给三群猴子，每只可得 多少粒？ 【巩固】【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件,第二道工序每名工 人每小时可完成 10 个零件,第三道工序每名工人每小时可完成 15 个零件.要使加工生产均衡,三道工 序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行） 【例 5】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种刻度线把木棍分成 12 等份，第三种刻度线把木棍分成 15 等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【例 6】 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小 明每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下 60 个脚印．求圆形花圃的周长． 【例 7】 一些士兵排成一列横队，第一次从左到右 1 至 4 报数，第二次从右到左 1 至 6 报数。两次都报 3 的恰有 5 名，这列士兵最多有 名。 【例 8】 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 120 米，丙每分钟走 70 米．已知操场跑道周长为 400 米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以 首次相聚？ 【例 9】 如图，A、B、C 是三个顺次咬和的齿轮，当 A 转 4 圈时，B 恰好转 3 圈：当 B 转 4 圈时，C 恰好 转 5 圈，则 A、B、C 的齿数的最小数分别是多少？ C B A 【例 10】有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线（如下图）．主动轮的半径是 105 厘米，从动轮的半径是 90 厘米．开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上．问：主动轮至 少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？ 【例 11】一次考试，参加的学生中有 1 7 得优， 1 3 得良， 1 2 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满 50 人，那么得差的学生有多少人？ 【巩固】【巩固】一次考试，参加的学生中有 1 7 得优， 1 4 得良， 1 3 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满 100 人，那么得差的学生有多少人？ 【例 12】3 条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向 跑步.开始时，3 人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长 1 5 千米，中圈跑道长 1 4 千米，外圈跑道长 3 8 千 米.甲每小时跑 13 2 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米.问他们同时出发，几小时后，3 人 第一次同时回到出发点? 【例 13】两个自然数 a，b 的最小公倍数等于 50，问 a＋b 有多少种可能的数值? 【例 14】已知 a,b,c 是三个自然数，且 a 与 b 的最小公倍数是 60，a 与 c 的最小公倍数是 270。求 b 与 c 的 最小公倍数。 【例 15】甲、乙两数的最小公倍数是 90，乙、丙两数的最小公倍数是 105，甲、丙两数的最小公倍数是 126， 那么甲数是多少? 【例 16】a>b>c 是 3 个整数.a,b,c 的最大公约数是 15；a,b 的最大公约数是 75；a,b 的最小公倍数是 450；b,c 的最小公倍数是 1050.那么 c 是多少? 【例 17】如图，鼹鼠和老鼠分别从长 157 米的小路两端 A、B 开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完 后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖 多少个洞？ 【例 18】如图，在长 500 米、宽 300 米的长方形广场的外围，每隔 2.5 米摆放一盆花，现要改为每隔 2 米摆 放一盆花，并且广场的 4 个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时，共有___ 盆花不用挪动。 【例 19】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔 2 人发一个苹果；从右面第一人开始每隔 4 人发一 个桔子，结果有 10 个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？