小学奥数5-4-3 约数与倍数（三）.学生版

5-4-3.约数与倍数（三） 教学目标 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...  ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构， 而且表达形式唯一” 知识点拨 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以 (231,252) 3 7 21   ； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 (12,18) 2 3 6   ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2 315   ； 600 315 1 285   ； 315 285 1 30   ； 285 30 9 15   ； 30 15 2 0   ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b a 即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以  2 2231,252 2 3 7 11 2772     ； ②短除法求最小公倍数； 例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 18,12 2 3 3 2 36     ； ③[ , ] ( , ) a ba b a b  ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；b a 即 为所求．例如： 3 5 [3,5] 15[ , ]4 12 (4,12) 4   注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：     1,41 4, 42 3 2,3       4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为 A 、B 的最大公约数，且 A ma ，B mb ，那么 a b、 互质，所以 A 、B 的最小公倍数为 mab ， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① A B ma mb m mab     ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ( , ) [ , ]a b a b a b   ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5 6 7 210   ，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如： 6 7 8 336   ，而 6,7,8 的最小公倍数为336 2 168  性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 3 22 5 7  ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： 3 321000 2 3 5 7    ，所以 21000 所有约数的和为 2 3 2 3(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880         此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。 例题精讲 模块一、运用大公约和小公倍的模型解题 如果 m 为 A 、 B 的最大公约数，根据模型知道： （1）且 A ma ， B mb （2）那么 a b、 互质 （3）所以 A 、 B 的最大公约数为 m ，最小公倍数为 mab （4）最大公约数与最小公倍数的成绩为 A 与 B 的成绩 【例 1】 甲数是 36，甲、乙两数最大公约数是 4，最小公倍数是 288，那么乙数是多少？ 【巩固】【巩固】已知 A、B 两数的最小公倍数是 180，最大公约数是 30，若 A=90，则 B= 。 【例 2】 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数． 【例 3】 两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，试求这两个数的差． 【巩固】【巩固】两个自然数的和是 125，它们的最大公约数是 25，试求这两个数． 【例 4】 已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？ 【巩固】【巩固】已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数． 【例 5】 甲、乙两个自然数的最大公约数是 7，并且甲数除以乙数所得的商是 118 .乙数是_____. 【例 6】 已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那么 a、b 中较大的数 是多少？ 【例 7】 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114，求这两个自然数． 【例 8】 有两个自然数，它们的和等于 297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693，这两个自然数 的差是 ． 【例 9】 已知自然数 A、B 满足以下 2 个性质：（1）A、B 不互质；（2）A、B 的最大公约数与最小公倍数之 和为 35。那么 A+B 的最小值是多少？ 【例 10】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187， 那么 A+B 等于多少？ 【例 11】若 a , b , c 是三个互不相等的大于 0 的自然数，且 a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大 值 为 ， 最 小 公 倍 数 的 最 小 值 为 ， 最 小 公 倍 数 的 最 大 值 为 ． 模块二、约数的个数与约数的和 【例 12】2008 的约数有（ ）个。 【巩固】【巩固】2008006 共有( )个质因数。 （A）4 （B)5 (C)6 (D)7 【巩固】【巩固】105 的约数共有几个? 【巩固】【巩固】已知 300=2×2×3×5×5，则 300 一共有 个不同的约数。 【例 13】筐中有 60 个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？ 【例 14】数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【例 15】 2008 6a b   , ,a b 均为自然数． a 有____________种不同的取值． 【巩固】【巩固】2010 除以正整数 N，余数是 15，那么 N 的所有可能值的个数是 。 【例 16】自然数 N 有 45 个正约数。N 的最小值为 。 【巩固】【巩固】自然数 N 有 20 个正约数， N 的最小值为 。 【巩固】【巩固】恰有 20 个因数的最小自然数是（ ）。 （A）120 （B）240 （C）360 （D）432 【例 17】设 A 共有 9 个不同的约数，B 共有 6 个不同的约数，C 共有 8 个不同的约数，这三个数中的任何两 个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？ 【例 18】在 1 到 100 中，恰好有 6 个约数的数有多少个？ 【巩固】【巩固】恰有 8 个约数的两位数有________个． 【巩固】【巩固】在三位数中，恰好有 9 个约数的数有多少个？ 【例 19】能被 2145 整除且恰有 2145 个约数的数有 个． 【巩固】【巩固】能被 210 整除且恰有 210 个约数的数有 个． 【巩固】【巩固】1001 的倍数中，共有 个数恰有 1001 个约数． 【巩固】【巩固】如果一个自然数的 2004 倍恰有 2004 个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？ 【例 20】已知偶数 A 不是 4 的整数倍，它的约数的个数为 12，求 4A 的约数的个数. 【例 21】已知 m n、 两个数都是只含质因数 3 和 5，它们的最大公约数是 75，已知 m 有 12 个约数， n 有 10 个约数，求 m 与 n 的和． 【例 22】已知 A 数有 7 个约数，B 数有 12 个约数，且 A、B 的最小公倍数 , 1728A B  ，则 B  ． 【例 23】一个自然数恰好有 18 个约数，那么它最多有 个约数的个位是 3. 【例 24】一个分子是 1 的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么 这种分数共有多少个？ 【例 25】 1 2 3 2002, , , ,8 9 10 2009 中，共有_ __个最简分数。 【例 26】设 a ，b，c 是 0 ~ 9 的数字（允许相同），将循环小数 0.abc  化成最简分数后，分子有 种 不同情况． 【例 27】在循环小数中类似于 1 0.1428577    ， 1 0.07692313    等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分 位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括 7 和13 在内，共有 个正整数，其倒数是循环 节恰好为六位的纯循环小数。