小学奥数5-5-6 中国剩余定理及余数性质拓展.学生版

5-5-4.中国剩余定理 及余数性质拓展 教学目标 1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理 2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用 知识点拨 一、中国剩余定理——中国古代趣题 （1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三， 七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则 兵有多少？ 首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最小 公倍数为这些数的积），然后再加 3，得 9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说 上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国 剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 （2）趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以 3 所得的余数用 70 乘． 五树梅花廿一枝，是说除以 5 所得的余数用 21 乘． 七子团圆正月半，是说除以 7 所得的余数用 15 乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个积加起来，减去 105 的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的 余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于 105，则减去 105，所得的差如果仍比 105 大，则继续减去 105， 最后所得的整数就是所求．也就是 2 70 3 21 2 15 233      ， 233 105 128  ，128 105 23  为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？ 先看 70，21，15，105 的性质：70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说，70 21 15a b c  是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数． 了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答． 二、核心思想和方法 对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》 中的问题为例，分析此方法: 今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？ 题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3，5，7 后，得到三个余数分别为 2，3，2.那么我们首先构 造一个数字，使得这个数字除以 3 余 1，并且还是 5 和 7 的公倍数。 先由 5 7 35  ，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就继续看 5 和 7 的 “下一个”倍数 35 2 70  是否可以，很显然 70 除以 3 余 1 类似的，我们再构造一个除以 5 余 1，同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显然 21 可以符合要求。 最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 2 70 3 21 2 45 [3,5,7] 233 [3,5,7]k k        ，其中 k 是自然数。 也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求 的数。 例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”， 那么我们可以计算 2 70 3 21 2 45 2 [3,5,7] 23        得到所求 如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上[3,5,7]即可，即 23+105=128。 例题精讲 模块一、余数性质综合 【例 1】 一个数除以 3 的余数是 2，除以 5 的余数是 1，则这个数除以 15 的余数是 。 【例 2】 有一群猴子正要分 56 个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时．又窜来 4 只猴子。只好 重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子 ___个。 【巩固】【巩固】一群猴子分桃，桃子共有 56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了 4 只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。 【例 3】 一个小于 200 的数，它除以 11 余 8，除以 13 余 10，这个数是几？ 【巩固】【巩固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人，其他人按 8 人一组围在外圈；另一 种是中间一组 8 人，其他人按 5 人一组围在外圈。问最多有多少名同学? 【例 4】 5 年级 3 班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 排多 5 人， 问上体育课的同学最少____人。 【巩固】【巩固】有一个自然数，除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，则这个数最小 是 。 【巩固】【巩固】 n 除以 2 余1，除以 3余 2 ，除以 4 余 3，除以5 余 4 ， ，除以16 余15 。 n 最小为 。 【巩固】【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若 1 人拿 3 个动物小玩具，则最后余下 2 个动物小玩具； 若 1 人拿 4 个动物小玩具，则最后余下 3 个动物小玩具；若 1 人拿 5 个动物小玩具，则最后余下 4 动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。 【巩固】【巩固】小朋友们做游戏，若 3 人分成一组，则最后余下 2 人；若 4 人分成一组，则最后余下 3 人；若 5 人 分成一组，则最后余下 4 人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。 【例 5】 一个自然数被 7，8，9 除的余数分别是 1，2，3，并且三个商数的和是 570，求这个自然数． 【例 6】 数 119 很奇特：当被 2 除时，余数为 1；当被 3 除时，余数为 2；当被 4 除时，余数为 3；当被 5 除时，余数为 4；当被 6 除时，余数为 5．问：具有这种性质的三位数还有几个？ 【巩固】【巩固】有一批图书总数在 1000 本以内，若按 24 本书包成一捆，则最后一捆差 2 本；若按 28 本书包成一捆， 最后一捆还是差 2 本书；若按 32 本包一捆，则最后一捆是 30 本．那么这批图书共有 本． 【例 7】 某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是 。 【例 8】 一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？ 【巩固】【巩固】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？ 【例 9】 a 是一个三位数.它的百位数字是 4， 9a  能被 7 整除， 7a  能被 9 整除，问 a 是多少？ 【例 10】一个八位数，它被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 11 恰好整除，已知这个八位数的前 6 位是 257633， 那么它的后两位数字是__________。 模块二、中国剩余定理 【例 11】“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将 1500 名将士与楚王大 将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军 骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一排， 结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名．韩信马上向将士们宣布：我军有 1073 名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能 算出韩信有多少将士么？ 【例 12】一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然数____. 【例 13】一个自然数在 1000 和 1200 之间，且被 3 除余 1，被 5 除余 2，被 7 除余 3，求符合条件的数． 【例 14】一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5，求符合条件的最小的数． 【例 15】有连续的三个自然数 a 、 1a  、 2a  ，它们恰好分别是 9、8、7 的倍数，求这三个自然数中最小 的数至少是多少？ 模块三、余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【例 16】有一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，问这个数除以 12 余几？ 【例 17】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向， 每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔．他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔．他 又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔．最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这 个圆圈上共有多少个孔吗? 【例 18】三个连续三位数的和能够被 13 整除，且这三个数中最大的数被 9 除余 4，那么符合条件的三位数 中最小的数最大是 。 【例 19】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出 二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是 ． 【例 20】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队， 结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知 道你们年级原人数应该是（ ）人。 【例 21】三个连续的自然数，从小到大依次是 4、7、9 的倍数，这三个自然数的和最小是 ． 【例 22】在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被 7 整除，最大的 能被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？ 【例 23】有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的能被 19 整除，请写出 一组这样的三个连续自然数．