循环小数的计算
教学目标
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律
进行简算的问题．
知识点拨
1. 1
7
的“秘密”
1 0.1428577
， 2 0.2857147
， 3 0.4285717
,…, 6 0.8571427
2.推导以下算式
⑴ 10.1 9
； 12 40.12 99 33
； 123 410.123 999 333
； 12340.1234 9999
；
⑵ 12 1 110.12 90 90
； 123 12 370.123 900 300
； 1234 123 11110.1234 9000 9000
；
⑶ 1234 12 6110.1234 9900 4950
； 1234 1 1370.1234 9990 1110
以 0.1234 为例，推导 1234 12 6110.1234 9900 4950
．
设 0.1234 A ，将等式两边都乘以 100，得：100 12.34A ；
再将原等式两边都乘以 10000，得：10000 1234.34A ，
两式相减得：10000 100 1234 12A A ，所以 1234 12 611
9900 4950A ．
3.循环小数化分数结论
纯循环小数 混循环小数
分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
分母 n 个 9，其中 n 等于循环节所
含的数字个数
按循环位数添 9，不循环位数添 0，组成分
母，其中 9 在 0 的左侧
·
0. 9
aa ；
· ·
0. 99
abab ；
· · 10.0 99 10 990
ab abab ； · ·
0. 990
abc aabc ，……
例题精讲
模块一、循环小数的认识
【例 1】 在小数 l.80524102007 上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元 2007 年
10 月 24 日北京时间 18 时 05 分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火
箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，1 试
【解析】【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为 0，再看 0 后面一位上的数字，有 05、
02、00、07，00 最小，所以得到的最小循环小数为 l.80524102007
【答案】 l.80524102007
【巩固】【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字 1 的小数，因
此一定是 0.1998
，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是 0.1998
．其后添加
的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循
环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998
，而次大数为 0.1998
，于是得到不等式：
0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【例 2】 真分数
7
a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是 1992，那么 a 是
多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 1 =0.1428577
， 2
7 =0.285714 ， 3
7 =0.428571 ， 4
7 =0.571428 ， 5
7 =0.714285 ， 6
7 =0.857142 ．因
此，真分数
7
a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 1+4+2+8+5+7=27，又
因为 1992÷27=73……21,27-21=6，而 6=2+4，所以 .
=0.8571427
a ，即 6a ．
【答案】 6a
【巩固】【巩固】真分数
7
a 化成循环小数之后，从小数点后第 1 位起若干位数字之和是9039 ，则 a 是多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】我们知道形如
7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 1、2、4、5、7、8 这 6 个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么 9039 就应该由若干个完整的1 4 2 8 5 7 和一个不
完整1 4 2 8 5 7 组成。 9039 1 2 4 5 7 8 334 21 ，而 21 27 6 ，所以最后一
个循环节中所缺的数字之和为 6，经检验只有最后两位为 4，2 时才符合要求，显然，这种情况下
完整的循环节为“857142 ”，因此这个分数应该为 6
7
，所以 6a 。
【答案】 6a
【巩固】【巩固】真分数
7
a 化成循环小数之后，小数点后第 2009 位数字为 7，则 a 是多少？
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】我们知道形如
7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由 6 位数字组成，2009 6 334 5 ，
因此只需判断当 a 为几时满足循环节第 5 位数是 7，经逐一检验得 3a 。
【答案】 3a
【巩固】【巩固】（2009 年学而思杯 4 年级第 6 题） 6 7 所得的小数，小数点后的第 2009 位数字是 ．
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】 6 0.8571428571427
…… 6 个数一循环， 2009 6 334 ……5，是 4
【答案】4
【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】小希望杯，4 年级
【解析】0.6+0.06+0.006+……= 0.6 = 6 2
9 3
=2002÷3003
【答案】 3003
【例 4】 下面有四个算式：
①0.6+0.
. . . .
133 0.733;
②0.625= 5
8
；
③ 5
14 + 3
2 = 3 5
14 2
= 8
16 = 1
2
；
④3 3
7 ×4 1
5 =14 2
5
；
其中正确的算式是（ ）.
（A）①和② (B) ②和④ (C) ②和③ (D) ①和④
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】对题中的四个算式依次进行检验：
1 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以①不正确；
2 0.625= 5
8
是正确的；
3 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过 3
2
﹥ 1
2
即可判断出其不正确；
4 337 × 14 5 = 24
7 × 21
5 = 72
5 = 214 5
，所以④不正确。
那么其中正确的算式是②和④，正确答案为 B。
【答案】 B
【例 5】 在混合循环小数 2.718281 的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能
大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】小数点后第 7 位应尽可能大，因此应将圈点点在 8 上，新的循环小数是 2.718281 。
【答案】 2.718281
【例 6】 将 1
2
化成小数等于 0.5，是个有限小数；将 1
11
化成小数等于 0.090…，简记为 0.09 ，是纯循环小
数；将 1
6
化成小数等于 0.1666……，简记为 0.16 ，是混循环小数。现在将 2004 个分数 1
2
， 1
3
，
1
4
，…， 1
2005
化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
【考点】循环小数的认识 【难度】3 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】凡是分母的质因数仅含 2 和 5 的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因数不含 2 和 5 的，化
成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从 2 到 2005 的 2004 个数中，不含质
因数 2 或 5 的共有多少个.这 2004 个数中，含质因数 2 的有 2004÷2＝1002 个，含质因数 5 的有
2005÷5＝401 个，既含 2 又含 5 的有 2000÷10＝200 个，所以可以化成纯循环小数的有 2004－
1002－401＋200＝801 个.
【答案】 801
模块二、循环小数计算
【例 7】 计算： 0.3 0.03 0.003 （结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】原式 1 1 1 89
3 30 300 300
。
【答案】 89
300
【巩固】【巩固】计算：0．3+0． 3 =_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】原式= 3 1 19
10 3 30
【答案】 19
30
【巩固】【巩固】请将算式 0.1 0.01 0.001 的结果写成最简分数．
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】原式 1 1 1 100 10 1 111 37
9 90 900 900 900 300
.
【答案】 37
300
【例 8】 计算: 2.004 2.008 （结果用最简分数表示）
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，一试
【解析】原式＝ 4 8 1804 2006 3618824 904706 56062 2 4900 999 900 999 899100 224775 224775
【答案】 56064 224775
【例 9】 将 4255.425 0.63 5 0.63999
的积写成小数形式是____.
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 5 999 425 0.63425 341465.425 0.63 5 0.63 3.4180999 999 9990
【答案】 3.4180
【例 10】计算： 0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】方法一： 0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89
1 12 1 23 2 34 3 78 7 89 8
90 90 90 90 90 90
1 11 21 31 71 81
90 90 90 90 90 90
= 216 2.490
方法二： 0.01 0.12 0.23 0.34 0.78 0.89
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+ 0.01 0.02 0.03 0.04 0.08 0.09
=2.1+0.01 (1+2+3+4+8+9)
12.1 2790
2.1 0.3 2.4
【答案】 2.4
【巩固】【巩固】计算 （1） 0.291 0.192 0.375 0.526 （2） 0.330 0.186
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】（1）原式 291 192 1 375 526 5
999 990 999 990
291 375 521 191
999 990
666 330 1999 990
（2）原式 330 186 1
999 990
330 185
999 990
5
81
【答案】（1）1 （2） 5
81
【例 11】 ⑴ 0.54 0.36
⑵ 191.2 1.24 27
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】⑴ 法一：原式 54 5 36 49 4 899
90 99 90 11 990
．
法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是 · ·
0.908 ，化为分数即是 908 9 899
990 990
．
⑵ 原式 2 24 19 11 123 19 201 19 99 27 9 99 27 9
【答案】⑴ 899
990
⑵ 20
9
【巩固】【巩固】 ⑴计算： 0.16 0.142857 0.125 0.1
⑵ 191.2 1.24 27
________．
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】香港圣公会，希望杯，六年级，1 试
0.544444
0.363636
0.908080
【解析】【解析】⑴ 原式 16 1 142857 1 1
100 10 999999 8 9
1 1 1 1 275
6 7 8 9 504
；
⑵ 原式 2 24 19 11 123 19 201 19 99 27 9 99 27 9
．
【答案】⑴ 275
504
⑵ 20
9
【巩固】【巩固】⑴ · · · · 110.15 0.218 0.3 111
； ⑵ 2.234 0.98 11 (结果表示成循环小数)
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】⑴原式 15 1 218 2 3 11
90 990 9 111
37 1 11 1 12345679 0.01234567999 3 111 81 999999999
⑵ 234 2 2322.234 2 2990 990
， 980.98 99
，所以 232 98 242 222.234 0.98 2 1 1990 99 990 90
，
22 1 22.234 0.98 11 1 11 0.09 0.02 0.11390 11 90
【答案】⑴ 0.012345679 ⑵ 0.113
【例 12】 0.3 0.03 0.003 2009 （ ）。
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【关键词】中环杯，五年级，决赛
【解析】【解析】 . 10.3 0.03 0.003 0.3 3
，所以括号中填 2009 3 6027
【答案】 6027
【例 13】计算 2009 2009 11
99900 99990 9901
(结果表示为循环小数)
【考点】循环小数计算 【难度】4 星 【题型】计算
【解析】【解析】由于 1 0.0000199900
， 1 0.0000199990
，
所以 1 1 0.00001 0.00001 0.0000000090099199900 99990
，
而 900991 7 13 9901 91 9901 ，
所以， 2009 2009 11 110.00000000900991 200999900 99990 9901 9901
0.00000000000091 11 2009 0.00000000001001 20 09 0.00000002011009
【答案】 0.00000002011009
【例 14】某学生将1.23 乘以一个数 a 时，把1.23 误看成 1.23，使乘积比正确结果减少 0.3.则正确结果该是
多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】由题意得：1.23 1.23 0.3a a
，即： 0.003 0.3a
，所以有： 3 3
900 10a ．解得 90a ，
所以 1111.23 1.23 90 90 11190a
【答案】111
【例 15】计算： 0.1+0.125+0.3+0.16 ，结果保留三位小数．
【考点】循环小数计算 【难度】2 星 【题型】计算
【解析】【解析】方法一： 0.1+0.125+0.3+0.16 0.1111+0.1250+0.3333+0 .1666=0.7359=0.736
方法二： 0.1+0.125+0.3+0.16 1 1 3 15
9 8 9 90
11 1
18 8
53 0.736172
【答案】 0.736
【例 16】将循环小数 0.027 与 0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位
小数是多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 0.027 × 0.179672 27 179672 1 179672 4856 0.004856999 999999 37 999999 999999
循环节有 6 位，100÷6=16……4，因此第 100 位小数是循环节中的第 4 位 8，第 10l 位是 5．这样
四舍五入后第 100 位为 9．
【答案】9
【例 17】有 8 个数，0.51 ，2
3 , 5
9 , 0.51 , 24 13,47 25
是其中 6 个，如果按从小到大的顺序排列时，第 4 个数是 0.51 ，
那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数?
【考点】循环小数计算 【难度】3 星 【题型】计算
【解析】【解析】 2 =0.63
, 5 =0.59
, 24 0.510647
, 13 =0.5225
显然有 0.5106
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