小学奥数1-3-2 多位数计算.教师版

多位数计算 教学目标 多位数的运算在奥数计算体系里面一般都扮演难题角色，因为多位数计算不仅能体现普通数字四则运 算的一切考法，还有自身的“独门秘籍”，那就是“数字多的数不出来”，只能依靠观察数字结构发现数字规 律的方式掌握多位数的整体结构，然后再确定方法进行解题。 多位数的主要考查方式有 1.用带省略号的描述方式进行多位数的具体值四则计算 2.计算多位数的各个位数字之和 知识点拨 一、 多位数运算求精确值的常见方法 1. 利用 9 999 9 10 1k k   个 ，进行变形 2. “以退为进”法找规律递推求解 二、 多位数运算求数字之和的常见方法 M× k 9 999...9 个 的数字和为 9×k．(其中 M 为自然数，且 M≤ k 9 999...9 个 )．可以利用上面性质较快的获得结果． 例题精讲 模块一、多位数求精确值运算 【例 1】 计算： 2007 2007 3 55 5 33 3    个5 个 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 2007 3 33 3 个 乘以 3 凑 出一个 2007 3 99 9 个 ，然后在原式乘以 3 的基础上除以 3，所以 原式 2007 5 2007 9 55 5 99 9 3      个 个 2007 5 2007 0 55 5 00 0 3      个 个 （1 -1） 2007 5 2007 0 2007 5 55 500 0 55 5 3       个 个 个 （ - ） 2007 42006 5 55 544 45 3    个个 668 185 668 148 185 1851848148 14815    个 个 【答案】 668 185 668 148 185 1851848148 14815   个 个 【巩固】【巩固】计算： 2007 8 2007 3 88 8 33 3    个 个 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从找规律这个思想里走出来，将 2007 3 33 3 个 乘以 3 凑 出一个 2007 9 99 9 个 ，然后在原式乘以 3 的基础上除以 3，所以 原式 2007 8 2007 9 88 8 99 9 3      个 个 2007 8 2007 0 88 8 00 0 3      个 个 （1 -1） 2007 8 2007 0 2007 8 88 800 0 88 8 3       个 个 个 （ - ）  2006 12006 8 88 8711 12 3    个个 668 296 668 037 296 2962957037 03704    个 个 【答案】 668 296 668 037 296 2962957037 03704   个 个 【巩固】【巩固】计算 2004 3 333 3 59049 个 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以把 2004 3 333 3 个 转化为 2004 999 9 3 个9 ，进而可以进行下一步变形，具体为： 原式 2004 3 333 3 59049   个 2004 2004 999 9 3 59049 999 9 19683      个9 个9  2004 02004 0 1999 9 (1000 0 1) 19683 1968300...0 19683 1968299...9 980317      个个 个 【答案】 1999 9 1968299...9980317 个 【巩固】【巩固】计算 2004 2008 3 666 6 9 333...3   个6 个 的乘积是多少？ 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以将原题的多位数进行 9 999 9 10 1k k   个 的变形： 原式= 2004 3 333 3 个 2008 2 3 3 333 3     个3 = 2004 3 333 3 个 2008 2 3 999 9    个9 = 2003 1999 98 个9 （ 2008 1000 0 1 个0 ）= 2003 1999 98 个9 × 2008 1000 0 个0 - 2003 1999 98 个9 = 2003 9 2003 0 1999 979998000 02   个 个 . 【答案】 2003 9 2003 0 1999 979998000 02   个 个 【巩固】【巩固】快来自己动手算算  2007 1 2007 9 2007 9 2007 7 11 1 99 9 99 9 77 7         个 个 个 个 （ ） 3 的结果看谁算得准？ 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】本题是提取公因数和凑整的综合。 原式  2007 12007 9 2007 7 99 9 (11 1 77 7)]      个个 个 =[ 3 2007 9 2007 8 99 9 88 8     个 个 = 3 2007 0 2007 8 00 0 1) 88 8      个 个 =(1 3 2007 2007 0 2007 8 88 800 0 88 8)       个8 个 个 =( 3  2006 12006 8 88 8711 12   个个 = 3 668 296 668 037 296 2962957037 03704    个 个 【答案】 668 296 668 037 296 2962957037 03704   个 个 【巩固】【巩固】计算 2008 9 2008 8 2008 6 99 9 88 8 66 6       个 个 个 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】本题着重是给大家一种凑的思想，除数是 2008 6 66 6 个 ，所以需要我们的被除数也能凑出 2008 6 66 6 个 这就需要我们根据乘法的性质来计算了。所以： 原式 2008 22008 3 2008 6 3 33 3 4 22 2 66 6        个个 个  2008 1 2008 6 2008 6 3 4 11 1 66 6 66 6        个 个 个 2008 4 3 44 4   个  2007 133 32  个3 【答案】  2007 133 32 个3 【例 2】 请你计算 2008 9 2008 9 2008 9 99 9 99 9 199 9      个 个 个 结果的末尾有多少个连续的零？ 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】同学们观察会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，可以引导学生按照两种思路给学生展开 方法一：是学生喜欢的从简单情况找规律 9×9=81；99×99=9801 ；999×999=998001；9999×9999=99980001；…… 所以： 2008 9 2008 9 99 9 99 9   个 个 2007 9 2007 99 9800 01    个 个0 原式 2007 9 2007 2008 9 99 9800 01+199 9      个 个0 个 4016 0 100 0  个 方法二：观察一下你会发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 很接近 1 000  ， 于是我们采用添项凑整，简化运算。 原式 2008 0 2008 9 2008 0 2008 9 100 0 1 99 9 100 0 99 9          个 个 个 个 =（ ） 2008 9 2008 0 2008 9 2008 0 2008 9 99 900 0 99 9 100 0 99 9             个 个 个 个 个 2008 9 2008 0 2008 0 99 900 0 100 0       个 个 个 4016 0 100 0  个 所以末尾有 4016 个 0 【答案】4016 个 0 【例 3】 计算 1998 2 1998 2 222 2 222 2   个 个 的积 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们先还是同上例来凑成 k 9 999 9 个 ； 1998 2 1998 2 222 2 222 2   个 个 ＝ 1998 21998 9 2 999 9 222 29         个个 ＝ 1998 21998 0 2 1000 0 1 222 29          个个 ＝ 1998 41998 0 1 1000 0 1 444 49          个个 ＝ 1998 4 1998 41998 0 1 444 4000 0 444 49          个 个个 ＝ 1997 4 1997 5 1 444 43555 569    个 个 、 我们知道 9 4 444 4 个 能被 9 整除，商为：049382716．又知 1997 个 4，9 个数一组，共 221 组，还剩 下 8 个 4，则这样数字和为 8×4=32,加上后面的 3，则数字和为 35，于是再加上 2 个 5，数字和为 45，可以被 9 整除． 8 444 4355 个4 能被 9 整除，商为 04938271595；我们知道 555 5 9个5 能被 9 整除， 商为：061728395；这样 9 个数一组，共 221 组，剩下的 1995 个 5 还剩下 6 个 5，而 6 个 5 和 1 个、6，数字和 36，可以被 9 整除．555 56 6个5 能被 9 整除，商为 0617284．于是，最终的商为： 220 049382716 221 061728395 49382716049382716 04938271604938271595061 728395 0617283950617284   个 个 【答案】 220 049382716 221 061728395 49382716049382716 04938271604938271595061 728395 0617283950617284   个 个 【例 4】 计算： 12345679 12345679012345679 012345679 81 99个0 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式 000000001 12345679 1000000001 000000001 81   99个 000000001 999999999 1000000001 000000001   99个 999999999 999999999 999999999  100个 【答案】 999999999 999999999 999999999 100个 【巩固】【巩固】12345679012345679 81 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】武汉，明心奥数 【解析】原式 (12345679 1000000000 12345679) 81    12345679 1000 000 001 81   999 999 999 1000 000 001  18 9 99 9  个 【答案】 18 9 99 9 个 【例 5】 求  2007 3 3 33 333 ... 33...3    个 的末三位数字. 【考点】多位数计算之求精确值 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有 2007 个 3，2006 个 30，2005 个 300 ， 则 2007 3 2006 30 2005 300 6021 60180 601500 667701         ，原式末三位数字为 701 【答案】 701 模块二、多位数求数字之和 【例 6】 求 3333333 6666666 乘积的各位数字之和. 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】方法一：本题可用找规律方法： 3×6=18 ； 33 × 66 =2178 ；333 × 666 =221778；3333 × 6666 =22217778；…… 所以：   3 6 33....3 66....6 n个 n个   2 7 22...2177...78 (n-1)个 (n-1)个 ，则原式数字之和 2 6 1 7 6 8 63      原式 9999999 2222222  (10000000 1) 2222222   22222220000000 2222222  22222217777778 所以，各位数字之和为 7 9 63  【答案】 63 【巩固】【巩固】求 111 111 × 999 999 乘积的各位数字之和。 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999 999 很接近 1 000 000, 于是我们 采用添项凑整，简化运算。 原式=111111×(1000000-1) =111111×1000000-111111×1 =111111000000-111111 =111110888889 数字之和为 9 6 54  【答案】 54 【例 7】 如果  2010 3 3 33 333 33 3A       个 ，那么 A 的各位数字之和等于 。 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，5 年级 【解析】  2010 3 10 30 330 3330 33 30A       个 ，所以   2010 3 32010 9 33 30 3 3 3 33 327300A        个 2006个次 ，  3 668 370 33 327300 9 370370 370369700A    2006个 个 ， 数字 和为 668 10 25 6705   . 【答案】 6705 【例 8】 若 1004 15 2008 3 1515 15 333 3a     个 个 ，则整数 a 的所有数位上的数字和等于（ ）． （ A ）18063 （ B ）18072 （ C ）18079 （ D ）18054 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】第十三届，华杯赛 【解析】 1004 15 2008 3 1515 15 333 3a     个 个 1004 5 1003 2008 9 505050 5 999 9    个 和 个0 个 1004 5 1003 0 2008 0 505050 5 10000 0 1    个 和 个 个 （ ） 1004 50 2007 0 1004 5 1003 0 505050 500000 0 505050 5      个 个 个 和 个 1003 50 1004 49 505050 50494949 495    个 个 所以整数 a 的所有数位上的数字和 1003 5 1004 (4 9) 5 18072       ． 【答案】（ B ）18072 【巩固】【巩固】计算 666 6 666 67 25    2004个6 2003个6 的乘积数字和是多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】我们还是利用 999 9 1000 0 1    k个9 k个0 ，来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成 999 9 k个9 ， 于是我们就创造条件使用： 666 6 2004个6 666 67 25  2003个6 2004 2[ 999 93    个9 × 2004 2( 999 9 1)] 253    个9 =[ 2 3 ×（1000 0 1 2004个0 ）]×[ 2 3 ×（1000 0 2004个0 ）+1]×25 = 1 3 × 1 3 ×[2×1000 0 2004个0 -2]×[2×（1000 0 2004个0 ）+1]×25= 25 9 ×[4×1000 0 4008个0 -2×1000 0 2004个0 -2] = 100 9 × 999 9 4008个9 - 50 9 × 2004 999 9 个9 =100× 4008 111 1 个1 -50× 2004 111 1 个1 = 4008 1 2004 5 111 100 555 50   个 个 = 1 2004 5 111 10555 50   2004个 个 所以原式的乘积为 1 2004 5 111 10555 50   2004个 个 ，那么原式乘积的数字和为 1×2004+5×2004=12024． 【答案】12024 【例 9】 试求 1993×123×999999 乘积的数字和为多少? 【考点】多位数计算之求数字和 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】我们可以先求出 1993×123 的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是 1993×123 还是有点繁琐． 设 1993×123=M，则(1000×123＝)123000