小学奥数1-3-4 比较与估算.教师版

比较与估算 教学目标 本讲是在分数计算方面技巧的基础上，进一步认识小数、分数，只是从比较大小方面认识它们，这一 讲主要介绍一些比较较为复杂的小数、分数大小的方法，主要有通分子、通分母、倒数法、放缩法等。 知识点拨 一、小数的大小比较常用方法 为方便比较，往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变成小数位 数相同的小数.(如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式) 二、分数的大小比较常用方法 ⑴通分母：分子小的分数小. ⑵通分子：分母小的分数大. ⑶比倒数：倒数大的分数小. ⑷与 1 相减比较法：分别与 1 相减，差大的分数小．(适用于真分数) ⑸重要结论： ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大； ②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大． ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路！同学们要根据具体情况展开思维！ 三、数的估算时常用方法 （1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之间，从而估算结果． （2）变换结构：将原来算式或问题变形为便于估算的形式． 例题精讲 模块一、两个数的大小比较 【例 1】 如果 a  2005 2006 ，b  2006 2007 ，那么 a，b 中较大的数是 【考点】两个数的大小比较 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试 【解析】【解析】方法一： 1  2005 2006  1 2006 ；1  2006 2007  1 2007 ．因为 1 2006  1 2007 ，所以 b 较大； 方法二：因为 1 1 2005 2006  ，所以 2006 2007 2005 2006  ，进而 2005 2006 2006 2007  ，即 a b ； 方法三：两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，分子和分母都大的分数比较大，所以 b 大 【答案】 b 【巩固】【巩固】试比较1995 1998 和 1946 1949 的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】【解析】 1995 1998 >1946 1949 【答案】 1995 1998 > 1946 1949 【巩固】【巩固】比较 444443 444445 和 555554 555556 的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】【解析】因为 444443 21 444445 444445   ， 555554 21 555556 555556   ，显然 2 2 444445 555556  ，根据被减数一定，减数 越大差越小的道理， 有： 444443 555554 444445 555556  【答案】 444443 555554 444445 555556  【例 2】 如果 A  111111110 222222221 ，B  444444443 888888887 ,A 与 B 中哪个数较大？ 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，决赛 【解析】【解析】方法一：观察可以发现 A、B 都很接近 1 2 ，且比它小．我们不防与 1 2 比较． 1 2  A 1 2 222222221   , 1 2  B  1 2 888888887 , 1 2  B  1 2  A，即 B 比 A 更接近 1 2 ，换句话说 B  A . 方法二： 111111110 111111110 4 444444440 444444443 222222221 222222221 4 888888884 888888887A B     ，即 A B . 方法三： 1 12111111110A  ， 1 12 444444443B  显然 1 1 A B  ，则 A B 【答案】 B 【巩固】【巩固】如果 222221 333331,222223 333334A B  ，那么 A 和 B 中较大的数是 . 【考点】两个数的大小比较 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】【解析】 222221 666663 666662 333331 222223 666669 666668 333334A B     ，即 A 大 【答案】 A 【巩固】【巩固】试比较 111 1111 和 1111 11111 的大小 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】方法一：观察可知，这两个分数的分母都比分子的 10 倍多 1．对于这样的分数，可以利用它们的 倒数比较大小． 111 1111 的倒数是 1  111 1111  110111 ， 1111 11111 的倒数是１  1111 11111 10 1 1111 ， 我们很容易看出 10 1 111  10 1 1111 ，所以 111 1111  1111 11111 ； 方法二： 111 111 10 1110 1111 1111 10 11110   ，两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母 都大的分数比较大，所以 1110 1111 ,11110 11111  即 111 1111 .1111 11111  【答案】 111 1111 .1111 11111  【例 3】 在 a=20032003×2002 和 b=20022003×2003 中，较大的数是______ ，比较小的数大______ 。 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】b-a=20022003×2003-20032003×2002=20020000×2003+2003×2003-20030000×2002-2003×2002=200 3×(2003-2002)=2003 所以 a 比 b 大 2003 【答案】a 比 b 大 2003 【例 4】 设 a= 1 1 3 4  ，b= 1 1 1 5 6 7   , 则在 a 与 b 中，较大的数是______。 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】可采用放缩法。因为 1 3 = 1 6 + 1 6 ＞ 1 6 + 1 7 ， 1 4 ＞ 1 5 。所以 1 1 3 4  ＞ 1 1 1 5 6 7   ，即 a 是较大的数。 当然这道题目我们也可采用通分求结果的一般方法。 【答案】a 【例 5】 比较 2 2 2 2 1 1 1 1 8 9 10 64     与 1 8 的大小． 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】如果直接放缩： 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 64 7 8 8 9 9 10 63 64              1 1 1 1 1 1 7 8 8 9 63 64        1 1 7 64   ， 但是 1 1 1 8 7 64   ，所以不能确定 2 2 2 2 1 1 1 1 8 9 10 64     与 1 8 的大小关系， 同样如果如下进行放缩： 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 64 8 9 9 10 10 11 64 65              1 1 8 65   ，也不能确定． 但是如果保留 2 1 8 ，将 2 2 2 1 1 1 9 10 64    进行放缩，则有： 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 64 8 8 9 9 10 63 64             1 1 1 1 64 8 64 8     ， 可见两者中 1 8 较大． 【答案】 1 8 较大 【巩固】【巩固】 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100      与 1 10 相比，哪个更大，为什么？ 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】记 1 3 5 7 99 2 4 6 8 100a       ，显然有： 2 4 6 8 100 3 5 7 9 101a b       ， 而 1 1 101 100ab   ，有 2 1 100a  ，所以原分式比 1 10 小 . 【答案】 1 10 更大 【例 6】 试比较: 296 2 2 2 2 2    个 与 185 3 3 3 3 3    个 哪一个大? 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】296=37×8，185=37×5，因为 8 2 5 3 2 2 2 2 256 13 3 3 3 243             个 个 所以 296 2 2 2 2 2    个 ＞ 185 3 3 3 3 3    个 【答案】 296 2 2 2 2 2    个 【例 7】 图中有两个黑色的正方形，两个白色的正方形，它们的面积已在图中标出(单位：厘米 2 )．黑色 的两个正方形面积大还是白色的两个正方形面积大?请说明理由． 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，口试 【解析】【解析】此题利用到平方差公式： 2 2 ( ) ( )a b a b a b     1997 2  1996 2  (1997  1996) (1997  1996)  1997  1996  3993 1993 2  1992 2  1993  1992  3985 所以 1997 2  1996 2  1993 2  1992 2 即 1997 2  1992 2  1996 2  1993 2 ，两个白色正方形的面积大． 【答案】两个白色正方形的面积大 【例 8】 在 1 1 1 1 11, , , , , ,2 3 4 99 100 中选出若干个数使它们的和大于 3，最少要选多少个数? 【考点】两个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】 为了使选出的数最少，那么必须尽可能选择较大的数． 有 1 1 1 1 11, , , , , ,2 3 4 99 100 依次减小，所以我们选择时应从左至右的选择． 有 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2.9252 3 4 5 6 7 8 9 10           而 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3.0152 3 4 5 6 7 8 9 10 11            所以最少选择 11 个即可使它们的和大于 3. 【答案】11 个 【例 9】 已知： 2 5 8 998 3 6 9 999A      ，那么 A 与 0.1中 比较大，说明原因； 【考点】两个数的大小比较 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】         2 2 2 2 3 1 1 3 13 2 3 3 1 3 1 3 1 3 n nn n n n n n         3 3 2 5 8 998 1 2 3 997 998 999 1 3 6 9 999 2 3 4 998 999 1000 1000A                  1 10A  ,即 A 比 0.1大 【答案】 A 比较大 模块二、多个数的大小比较 【例 10】⑴比较以下小数，找到最大的数：1.121   ，1.121， 1.12   ，1.12121，1.12 ⑵比较以下 5 个数，排列大小：1 ， 0.42   ， 3 7 ， 51.667 3 ， . 【考点】多个数的大小比较 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数，如下所示： 1.121   → 1.12112112l 1.121 → 1.121000000 1.12   →1.121212121 1.12121→1.121210000 1.12 →1.120000000 于是可以得出结果，1.12   是最大的数．对于循环小数的问题，首先考虑的就是将其展开，从中获 得足够的信息，然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的． ⑵题目中出现了整数、小数、假分数，可以先把数分为两个部分，一部分为小于 1 的数，一部分 为大于等于 1 的数，然后两部分内部比较，无须两部分间重复比较． ①小于 l 的部分为 0.42   和 3 7 ，将小数展开，并把 3 7 化为小数得：0.428571   ，显然 0.428571    0.42   ， 即 3 7  0.42   ； ②大于等于 1 的部分中，有整数、小数、假分数：1，1.667， 5 3 ，先将假分数化为带分数 213 ，比 较三数整数部分，发现都为 1，然后比较其他部分： 213  1.666666…