小学奥数4-1-5 奇妙的一笔画.教师版

4-1-5.奇妙的一笔画 知识点拨 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次， 不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？ 下面，我们就来探求解决这个问题的方法． 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏． 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题： (1)能一笔画出的图形必须是连通的图形； (2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题： 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于 任意的连通图来说，如果有 2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用 n 笔画成． 例题精讲 模块一、判断奇偶点 【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些 点是偶点？哪些点是奇点？ 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【例 2】 同学们野营时建了 9 个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜， 要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出 发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务. 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第 10 题 【解析】最少需要 3 种颜色的旗子。因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要 使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。不走重复路线不能完 成插旗的任务，因为本题共有 6 各奇点。 【答案】 3种颜色，不能 【例 3】 判断下列图 a、图 b、图 c 能否一笔画． 图a N M L K F D E C B A 图b O D C B A 图c G F E D C B A 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】图 a 能，因为有 2 个奇点， 图 a 能 b 不能，因为图形不是连通的， 图 c 能，因为因为图中全是奇点 【答案】a能，a能，c能 【例 4】 下面图形能不能一笔画成？若果能，应该怎样画？ 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】图 1 能 因为图中全是偶点； 图 2 能 因为图中全是偶点； 图 3 不能因为有 4 个奇点。 【答案】图1能 因为图中全是偶点； 图 2 能 因为图中全是偶点； 图 3 不能因为有 4 个奇点。 【例 5】 下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？ 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】第 1 个能，2、3 不能 【答案】第 1 个能，2、3 不能 【例 6】 右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个 进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出？ 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】将图形中的 6 个区域看成 6 个点，每个门看成连结他们的线段，显然 6 个点都是偶点，所以有人能 一次不重复的走过所有的门． 【答案】能 【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果 能，应从哪开始走？ E C D B A 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】不能 【答案】不能 【例 7】 下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂 蚁？该怎样爬？ 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出 图形，所以甲蚂蚁能够． 【答案】甲蚂蚁 【例 8】 能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】可以． 【答案】可以 【例 9】 下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里？ 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点 出，即 F 和 I 点． 【答案】出口和入口应该分别放在F和I点 【例 10】邮递员叔叔向 11 个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？ 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有 2 个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线： 4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 【答案】4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3 【例 11】观察下面的图，看各至少用几笔画成？ 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】图(1)有 8 个奇点，所以要 4 笔画出， 图(2)有 12 个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出． 【答案】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出， 图(2)有 12 个奇点，所以要一笔画出， 图(3)能一笔画出． 【例 12】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最 多能走多少米？ 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点， A， B 两 点必须是奇点，现在A， B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为 奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图 【答案】 【例 13】有16 个点排成的 4 4 方阵。如图，请不间断地一笔画出 6 条直线经过每个点，且最后回到起点 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】答案不唯一 只使用横平竖直的线怎么都不够，因此尝试使用斜线进行构造。 【答案】答案不唯一 【例 14】一条小虫沿长 6 分米，宽 4 分米，高 5 分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条 棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米？ 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】8 个定点都是奇点，所以至少需要 4 笔． 多画长和高能保证总路程最长，为 A－B－G－H－A－D－C－F－E－D 总长为 6×4＋5×4 ＋4×1＝48 分米． 【答案】48分米 【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为 5，4，3 厘米(见右图)，有一只甲虫从 A 点出发，沿棱爬行，每条棱 不允许重复，则甲虫回到 A 点时，最多能爬行多少厘米？ 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】最多 34 厘米 【答案】多34厘米 模块二、调整奇偶点变一笔画 【例 15】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成 可一笔画的图形． I H G F E D C B A 图a H G I K L J F E D C B A 图b D C H G E F B A 图c 【考点】一笔画问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，连结 BD，或者去掉 BF 都可以使图形能一笔画出． 图(2)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 KL，或者 BK 都可以使图形能一笔画出． 图(3)不能一笔画出，因为图中有 4 个奇点，去掉 AB 可以使图形能一笔画出． 一个 K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道 K 笔画有 2K 个奇点，如果在 任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的 B，C 两个奇点 在右下图中都变成了偶点．所以只要在 K 笔画的 2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为 2 个，从而变成一笔画． 【答案】 【例 16】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从 入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线， 如果不能，应关闭哪个门就 可以办到？ 【考点】一笔画问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅 与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅平面图就抽象成为一个连通的图形，如下： 求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即②、③、 ④和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根 据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，关闭B门，可行路线如上图。 【答案】关闭B门。 【例 17】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图． 【考点】一笔画问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】不能一笔画出，因为图中有 E H G F 四个奇点，连结 EH 就可以使图形一笔画出． 【答案】连结EH就可以使图形一笔画出 【例 18】如图所示，某小区花园的道路为一个长 480 米，宽 200 米的长方形；一个边长为 260 米的菱形和十 字交叉的两条道路组成．一天，王大爷 A 处进入花园，走遍花园的所有道路并从 A 处离开．如果 他每分钟走 60 米，那么他从进入花园到走出花园最少要用 分． 【考点】一笔画问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】根据一笔画的概念，因为道路图有四个奇点，所以王大爷是没法不重复地走完小区所有的道路回到 A 的，但可以对道路图作一些处理，相当于王大爷通过走重复的道路，完成一笔画，如下图： 道路的总路程为 480 3 200 3 260 6 3600      米，王大爷走完这些路要 60 分钟． 【答案】 60 分钟 【例 19】某城市的交通系统由若干个路口（右图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道 都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线 段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每 条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是 ． 【考点】一笔画问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】根据一笔画的有关概念，道路图中有 6 个奇点，邮递员不可能不重复地走遍所有街道并返回邮局．但 可以对道路图作一些处理，相当于邮递员通过走重复的道路，完成一笔画，如下图： 总路程为 3 10 2 8 46    ． 【答案】 46 【例 20】18 世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两 条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛 A 和一座半岛 D，人们在这里建了一座公园，公园中有 七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图 a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许 走一次，问如何走才能成功？ 【考点】一笔画问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不 关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条 线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图 B 中有 4 个 奇点显然不能一笔画出． 【答案】不能 【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一 次不重复地走遍这七座桥？ 【考点】一笔画问题 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】能 【答案】能 【例 21】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发， 要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 【考点】一笔画问题 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返 回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线， 这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．走法参考右下图(走法 不唯一)． 【答案】 30 千米