变速问题
教学目标
1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。
3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”
知识精讲
变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于
这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；
折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；
方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程
转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括
公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推
知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图
示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析
往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一
些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能
用比例解题；
⑷分段法
在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，
在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知
数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A
处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小
红和小强两人的家相距多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，
小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。（70×4）÷（90-70）=14 分钟 可知小强第二次走了 14
分钟，他第一次走了 14＋4=18 分钟； 两人家的距离：（52+70）×18=2196（米）.
【答案】2196 米
【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后
甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑
一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的
路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 17 3
米/秒
【答案】 17 3
米/秒
【例 3】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相
遇．如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前 10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行
多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度
比为 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的 2/3．乙的速度提高 3 倍
后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了
全程的 3 3
3 2 5
．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分
钟，所以甲的速度为 3 36000 ( ) 9 1505 8
(米/分)．
【答案】150 米/分
【例 4】 甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点．如果甲车速度不变，
乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12
千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米．甲车
原来每小时行多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。甲增加速度后，两车在 E 处相遇。
由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经 T
小时分别到达 D、E。DE＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D
或 E 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T＝28÷5＝ 28
5
小时,甲
用 6－ 28
5
＝ 2
5
（小时），走过 12 千米，所以甲原来每小时行 12÷ 2
5
＝30（千米）
【答案】30 千米
【巩固】 甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙
每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千
米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则
相遇点 E 距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】当乙每小时多行 4 千米时，5 小时可以多行 20 千米，所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时，
甲可以走到 C 点，乙可以走到 C 点前面 20 千米。而相遇点 D 距 C 点 lO 千米，因此两人
各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得，
甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。
(4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时 11 千米。
【答案】11 千米
【例 5】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥
上相遇．如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相
遇．如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇．则 A、 B 两地相距
多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次
走的路程也是一样的．在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提
前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5 小时．甲每小时多走 2 千米，2.5 小时就多
走 2 ×2.5= 5 千米，这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5 小时走的，所以甲的速度是 5 ÷0.5= 10 千
米/时．在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了 0.5 小时，
那么乙到桥上的时间是 3＋ 0.5 =3.5 小时．乙每小时少走 2 千米，3.5 小时就少走 2 ×3.5 =7 千
米，这 7 千米就是甲原来 3.5 －3= 0.5 小时走的，所以乙的速度就是 7 ÷0.5 =14 千米/时．所以
A、 B 两地的距离为 （10 ＋14） ×3 =72 千米．
【答案】72 千米
【例 6】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小
时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到
达目的地仅晚 1 小时，那么整个路程为多少公里？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的 3
4
前进，最终到达目的地晚 1.5 小时，所以后
面以原速的 3
4
前进的时间比原定时间多用1.5 0.5 1 小时，而速度为原来的 3
4
，所用时间为原来
的 4
3
，所以后面的一段路程原定时间为 41 ( 1) 33
小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后
又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3
4
前进，则到达目的地仅晚 1 小时，
类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为 4(1 0.5) ( 1) 1.53
小时．所以原速度行
驶 90 公里需要 1.5 小时，而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 90 1.5 4 240 公里．
【答案】 240 公里
【例 7】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，结果提前一个半小
时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，于是提前 1 小时 40 分
到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了 1/9，即车速为原计划的 10/9，则所用时间为原计划
的 1÷10/9=9/10，即比原计划少用 1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的 1/10，原计划
时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高 1/6，即此后车速为
原来的 7/6，则此后所用时间为原计划的 1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用 1/7 的时间，所以 1 小
时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的 1/7，则按原计划的速度行驶 280 千
米后余下的时间为：5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市
间的路程为：84 ×15= 1260(千米)．
【答案】1260 千米
【例 8】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山
速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当
乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 1×1.5+1/2=2 倍，就是
说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1 小时，这时甲还要走一段下山路，
这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用 1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时）
【答案】1.5 小时
【例 9】 小华以每小时 8/3 千米的速度登山，走到途中 A 点后，他将速度改为每小时 2 千米，在接下来
的 1 小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A 点上方 500 米的地方．如果他下山的速度是
每小时 4 千米，下山比上山少用了 52.5 分钟．那么，他往返共走了多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】11 千米
【答案】11 千米
【例 10】甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差
13 千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点 37 千米后与乙车相遇，
那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 1 小时出发，所以
这次乙车比甲车多走了 1 小时；第三次甲车提前 1 小时出发，所以这次甲车比乙车多走了 1 小
时．那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走
的路程为 2 个全程．由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时．由于第
二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米；第三
次在过中点 37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米；这两次合起来
甲车走了一个全程加上 13 ＋37 =50 千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走
50× 2 =100 千米．而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为 100 ÷10 =10 千米/时
【答案】10 千米/时
【例 11】甲、乙两名运动员在周长 400 米的环形跑道上进行10000 米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起
跑，甲每分钟跑 400 米，乙每分钟跑 360 米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的
速度比原来快 1
4
，甲每分钟比原来多跑18 米，并且都以这样的速度保持到终点．问：甲、乙两
人谁先到达终点？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为 400 400 360 10 (分钟)．甲到达终点还需要跑
7410000 400 10 400 18 14 209
( 分 钟 ) ， 乙 还 需 要 跑
1 210000 360 10 360 1 144 9
(分钟)，由于 2 74
9 209
，所以乙先到达终点．
【答案】乙先到达终点
【例 12】环形场地的周长为1800 米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，12 分钟
后相遇．如果每人每分钟多走 25 米，则相遇点与前次相差 33 米，求原来二人的速度．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】甲、乙原来的速度和为：1800 12 150 (米/分)，如果每人每分钟多走 25 米，现在的速度之和为：
150 25 2 200 (米/分)，现在相遇需要的时间为：1800 200 9 (分钟)．题目中说相遇点与前次
相差33 米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系．由于以原来的
速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程 12 ；提速后走一圈，甲比乙多走的
路程为每分钟甲比乙多走的路程 9 ；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙多走的路
程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即为
两次相遇点的距离 33 米．所以现在问题转化为：甲以原速度走 12 分钟走到某一处，现在甲以比
原速度提高 25 米/分的速度走 9 分钟，走到距离前一处还有 33 米的地方，求甲的速度．所以，甲
原来的速度为： (33 25 9) (12 9) 86 (米/分)，乙原来的速度为：150 86 64 (米/分)．
【答案】 64 米/分
【例 13】王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20 分钟。因途中有 2 千米正在修路，只好推车步行，步
行速度只有骑车速度的 1
3
，结果这天用了 36 分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】途中有 2 千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用36 20 16 分钟，由于在别的路段上还是
骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的 2 千米上．由于步行速度是汽车速度的 1
3
，所以步行 2
千米所用的时间是骑车 2 千米所用时间的 3 倍，多用了 2 倍，这个多出来的时间就是 16 分钟，
所以骑车 2 千米需要16 2 8 分钟．
由于 8 分钟可以骑 2 千米，而王刚平时骑车 20 分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为
2 (20 8) 5 千米．
【答案】 5 千米
【例 14】甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲，乙的速度之比是 5: 4 ，相遇
后甲的速度减少 20% ，乙的速度增加 20% ．这样当甲到达 B 地时，乙离开 A 地还有10 千米．那
么 A 、 B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】出 发 时 ， 两 车 的 速 度 之 比 为 5: 4 ， 所 以 相 遇 以 后 两 辆 车 的 速 度 之 比 为
5 1 20% : 4 1 20% 5:6 ，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为5: 4 ，所以相遇后两辆
车还需要行驶的路程之比为 4 :5 ，所以甲还需要行驶全部路程的 4
9
，当甲行驶这段路程的同时，
乙行驶了全程的 4 85 69 15
，距离 A 地还有 4 8 11 9 15 45
，所以 A 、B 两地相距 110 45045
千米．
【答案】 450 千米
【例 15】甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发，6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距
A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息1分钟后加快速度
向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到 A 地？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于甲比乙早出发 6 分钟，乙在走了 600 米时追上甲，可见乙走 600 米比甲要少用 6 分钟，那么
对于剩下的 400 米，乙比甲要少用 400 6 4600
(分钟)，也就是说乙比甲早 4 分钟到达 B 地．那么
乙从 B 地出发比甲早 4 1 5 (分钟)，走到 C 地被甲追上，相当于甲走 400 米比乙少用 5 分钟，
那么对于剩下的 600 米，甲比乙要少用 600 5 7.5400
(分钟)．所以甲比乙提前 7.5 分钟回到 A 地．
【答案】 7.5 分钟
【例 16】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高
50% 。出发 2 小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、
乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高 50% 所带来的变化，所以可以先假
设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析．如果小轿车返回时速度不提
高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的 1 1(1 50%)2 3
，所以，从甲地到
乙地小轿车与大货车的速度比为： 1(1 ) :1 4:33
，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的 3
4
，
还差 1
4
．小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为 4 (1 50%) :3 2:1 ，小轿车从乙地返
回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的 1 1 1
4 1 2 12
，即相遇时大货车共走了全程的
3 1 5
4 12 6
，那么大货车从甲地到乙地需要 5 122 6 5
小时，小轿车从甲地到乙地需要12 3 9
5 4 5
小
时，小轿车往返一次需要 9 9 (1 50%) 35 5
小时．
【答案】 3小时
【例 17】甲、乙两地间平路占 1
5
，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的 2
3
，一辆汽车从甲
地到乙地共行了10 小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 20% ，行下山路的速度比平路快
20% ，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作 25，这样两地间的平路为 5，从甲地去往乙地，上
山路为 220 82 3
，下山路为 320 122 3
；再假设这辆车在平路上的速度为 5，则上山时的
速度为 4，下山时的速度为 6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：8 4 5 5 12 6 5 ；从
乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的
下山路变成了此时的上山路，所以回来时所用的总时间为： 112 4 5 5 8 6 5 3
．由于从甲
地到乙地共行了 10 小时，所以从乙地回来时需要 1 210 5 5 103 3
小时．
【答案】 210 3
小时
【例 18】甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑
完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2
3
．甲跑
第二圈的速度比第一圈提高了 1
3
，乙跑第二圈的速度提高了 1
5
，已知沿跑道看从甲、乙两人第
二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190 米，问这条跑道长多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2
3
，所以第一次相遇的地方在距起点 2
5 (或者 3
5 )
处．由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了 2
3
圈，此时乙距出发
点还有 1
3
圈，根据题意，此时甲要回头加速跑，即此时甲与乙方向相同，速度为乙的 1 21 23 3
倍．所以乙跑完剩下的 1
3
圈时甲又跑了 2
3
圈，此时甲距出发点还有 1
3
圈，而乙又要回头跑，所以
此时两人相向而行，速度比为 1 2 11 : 1 5:33 3 5
，所以两人第二次相遇点距离出发点
1 3 1
3 5 3 8
，两次相遇点间隔 2 1 21
5 8 40
，注意到 21 19 211 40 40 40
，所以最短距离为 19
40
圈，所
以跑道长 19190 40040
米．
【答案】 400 米
【例 19】甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去．相遇后
甲比原来速度增加 4 米／秒，乙比原来速度减少 4 米／秒，结果都用 25 秒同时回到原地．求甲
原来的速度．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用 25 秒，则相遇前两人合跑
一圈也用 25 秒．
(法 1)甲以原速 V甲 跑了 25 秒的路程与以 4V 甲 的速度跑了 25 秒的路程之和等于 400 米，
25 25 4 400V V 甲 甲 ，解得 6V 甲 米/秒．
(法 2)由跑同样一段路程所用的时间一样，得到 4V V 乙甲 ，即二者速度差为 4；而二者速度和为
400 1625V V 乙甲 ，这是个典型的和差问题．可得V甲 为： 16 4 2 6 米/秒．
【答案】 6 米/秒
【巩固】从 A 村到 B 村必须经过 C 村，其中 A 村至 C 村为上坡路， C 村至 B 村为下坡路， A 村至 B 村的
总路程为 20 千米．某人骑自行车从 A 村到 B 村用了 2 小时，再从 B 村返回 A 村又用了1小时 45
分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的 2 倍．求 A 、
C 之间的路程及自行车上坡时的速度．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设 A 、C 之间的路程为 x 千米，自行车上坡速度为每小时 y 千米，则 C 、B 之间的路程为 (20 )x
千米，自行车下坡速度为每小时 2y 千米．依题意得：
20 22
20 312 4
x x
y y
x x
y y
，两式相加，得：
20 20 32 12 4y y
，解得 8y ；代入得 12x ．故 A 、 C 之间的路程为12 千米，自行车上坡时的
速度为每小时8千米．
【答案】 8千米
【例 20】欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校，7 : 46 追
上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度
提高到原来的 2 倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00 赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如
果欢欢在家换校服用去 6 分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是 点
分．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，六年级
【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了 6 分钟，那么她调头后速度提高到原来的 2 倍，回到家所用的时间为
3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20 6 3 6 5 分钟，故她以
原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6 分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分
钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 6 4 21 分钟，也就是说欢欢
追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的．
【答案】7 点 25 分
【例 21】甲、乙两人都要从 A 地到 B 地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟 60 米．乙比甲早出发
20 分钟，甲在距 A 地 1920 米的 C 处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速
度提高到原来的1.5 倍，马上返回 A 地去取，并在距离 C 处 720 米的 D 处遇上乙．甲到达 A 地
后在 A 地停留了 5 分钟，再以停留前的速度骑往 B 地，结果甲、乙两人同时到达 B 地． A 、 B
两地之间的距离是 米．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】乙从 A 地到 C 处所用时间为1920 60 32 分钟，甲用的时间为 32 20 12 分钟，甲的速度为
1920 12 160 米/分钟，速度提高后为160 1.5 240 米/分钟．甲从 D 处回到 A 地并停留 5 分钟，
共 用 时 间 1920 720 240 5 16 分 钟 ， 此 时 乙 又 走 了 60 16 960 米 ， 两 人 的 距 离 为
1920 720 960 3600 米，此时相当于追及问题，追及时间为 3600 240 60 20 分钟，所以 A 、
B 两地之间的距离为 240 20 4800 米．
【答案】 4800 米
【例 22】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上
学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度
的多少倍？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设小芳上学路上所用时间为 2 ，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相
同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是 51 1.6 8
，因此，走上坡路
需要的时间是 5 32 18 8
，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为 31:1 8:118
，
所以，上坡速度是平路速度的 8
11
倍．
【答案】 8
11
倍
【例 23】赵伯伯为锻炼身体，每天步行 3 小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假设赵伯
伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米，下山每小时行 6 千米，在每天锻炼中，他
共行走多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】因为是原路返回，所以上坡的路程和下坡的路程相等.上下坡的平均速度为 2÷（1÷3+1÷6）=4，与
平路速度相等，所以全程的平均速度为 4 千米/小时，3 小时共步行 4×3=12 千米.
【答案】12 千米
【例 24】王老师每天早上晨练，他第一天跑步 1000 米，散步 1600 米，共用 25 分钟；第二天跑步 2000
米，散步 800 米，共用 20 分钟。假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变。求：(1)王老
师跑步的速度； (2)王老师散步 800 米所用的时间。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】 (1) 第二天跑步 2000 米，散步 800 米，共用 20 分钟，那么跑步 4000 米，散步 1600 米，共用
40 分钟，又已知跑步 1000 米，散步 1600 米，共用 25 分钟，所以王老师跑步 4000-1000=3000(米)，
用时 40-25=15(分钟)，即王老师跑步的速度为 3000÷15=200(米/分钟)
(2)因为王老师跑步 2000 米，散步 800 米，共用时 20 分钟，所以王老师散步 800 米，用时
200020 20 10 10200
分
【答案】(1) 200 米/分钟 (2)10 分
【例 25】某校在 400 米环形跑道上进行 1 万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持
不变，开始时甲比乙慢，在第 15 分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第 18 分钟时甲
追上乙并且开始超过乙。在第 23 分钟时甲再次追上乙，而在 23 分 50 秒时甲到达终点。那么，
乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】祖冲之杯，小学数学邀请赛
【解析】本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从
甲提速后的情况着手进行考虑．根据题意可知，甲加速后，每过 23 18 5 （分钟）比乙多跑一
圈，即每分钟比乙多跑 400 5 80 （米）．由于第 18 分钟时甲、乙处于同一位置，则在 23 分 50
秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有
50 140080 23 1860 3
（米），即乙在 23 分 50 秒内跑了 140010000 3
米，由于乙的速度始终
保持不变，所以乙每分钟跑
1400 5010000 23 4003 60
（米）．所以，乙跑完全程需要10000 400 25 （分钟）．
【答案】 25 分钟
【例 26】甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙
第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯
【解析】如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5．假设甲、乙从 A 点同时出发，按逆时针方
向跑．由于出发时两者的速度比为 2 :5 ，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了
21 (5 2) 2 3
，乙跑了 5
3
；此时双方速度发生变化，甲的速度变为 2 (1 25%) 2.5 ，乙的速
度变为 5 (1 20%) 4 ，此时两者的速度比为 2.5: 4 5:8 ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1
圈，则此次甲跑了 51 (8 5) 5 3
，这个 5
3
就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从
环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 5 213 3
个周长，又可
能是 5 12 3 3
个周长．
那么，这条环形跑道的周长可能为 2100 1503
米或 1100 3003
米．
【答案】 300 米
【例 27】如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）
道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥
泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 A 点
还有 米。
A
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间
也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到 A 点，即两人在 A 点迎面相遇，然后再从 A
点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．在第一个周期内，两人
同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后
回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第
四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是 A 点．本题要求的是第
99 次迎面相遇的地点与 A 点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与 A 点的距离．对于第一次相
遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路
时，乙才跑了 200 8 4 100 米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此时两人速度相
同，所以再各跑 50 米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了100 50 150 米，这就是第一次相遇
点与 A 点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与 A 点的距离．
【答案】150 米
【例 28】丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在 400 米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑 30 米，乐
乐的玩具甲虫每分钟跑 20 米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原
来速度的10% 倒退 1 分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的 20% 倒退 1 分钟，以此
类推，按第 N 次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的 10%N 倒退 1 分钟，然后再按原来的速
度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按 次遥控器。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美，初赛，六年级
【解析】乐乐的玩具甲虫跑完全程需要 400 20 20 分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要 40400 30 3
分
钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过 40 2020 3 3
分钟．乐
乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的 1 分钟及跑完这 1 分钟倒退路程所花费的时间，
为1 10% 1 1.1 分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1 20% 1 1.2 分钟；……乐
乐 第 n 次 按遥 控器 后， 丁 丁耽 误的 时间 为 1 10% 1 1 0.1n n 分 钟． 所以 相当 于 要使
1.1 1.2 1.3 大 于 20 263 3
， 由 于 21.1 1.2 1.3 1.4 1.5 6.5 6 3
， 而
21.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 8.1 6 3
，所以乐乐要想取胜，至少要按 6 次遥控器．
【答案】6 次
【例 29】唐老鸭和米老鼠进行 5000 米赛跑．米老鼠的速度是每分钟 125 米，唐老鸭的速度是每分钟 100
米．唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态 1
分钟，1 分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要 1 分钟恢复能量才能再使用．米老鼠对“麻痹”
状态也在逐渐适应，第 1 次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第 2 次进入“麻痹”
状态时，就会有原速度5% 的速度，而第 3 次就有原速度10% 的速度……，第 20 次进入“麻痹”
状态时已有原速度 95% 的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了．唐老
鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使
用遥控器?
【考点】行程问题之变速问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 5000 125 40 (分钟)，5000 100 50 (分钟)，所以米老鼠正常情况下要 40 分钟跑完全程，唐老
鸭要 50 分钟跑完全程．若唐老鸭使米老鼠麻痹 20 次，由于 5% 10% 95% 9.5 ，则在这麻
痹的 20 分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状态下 9.5 分钟跑的路程．这样，米老鼠一共需要
40 9.5 20 50.5 分钟才能到达终点．由于唐老鸭只需要 50 分钟，所以若使唐老鸭保持不败，
并不需要使米老鼠麻痹 20 次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器．根据题意，第 20 次使用可以
使米老鼠多损失 0.05 分钟，第 19 次使用可以使米老鼠多损失 0.1分钟，第 18 次使用可以使米老
鼠 多 损 失 0.15 分 钟 ， 第 17 次 使 用 可 以 使 米 老 鼠 多 损 失 0.2 分 钟 ， 总 计 正 好 是
0.05 0.1 0.15 0.2 0.5 分钟．所以只需要使米老鼠麻痹 16 次，唐老鸭就能保持不败．这样米
老鼠也要 50 分钟．由于还要留出 15 分钟的遥控器恢复能量的时间，所以第一次使用遥控器的时
候后面剩下的时间不能少于16 15 31 分钟，此时米老鼠已经跑出了125 (50 31) 2375 (米)，所
以唐老鸭最晚要在米老鼠跑了 2375 米的时候第一次使用遥控器．
【答案】2375 米
【例 30】小周开车前往某会议中心，出发 20 分钟后，因为交通堵塞，中途延误了 20 分钟，为了按时到
达会议中心，小周将车速提高了 25% ，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】将车速提高 25% 后，前、后两种情况下车速的比为1:(1 25%) 4:5 ，那么所用的时间的比为5: 4 ，
由此省出的时间就是堵车耽误的 20 分钟，所以这段路程原来需要开 20 (5 4) 5 100 分钟，再
加上开始的 20 分钟，可知小周从出发时算起到达会议中心共用了 20 100 120 分钟．
【答案】120 分钟
【例 31】如图，甲、乙分别从 A 、C 两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为 5: 4 ，相遇于 B 地
后，甲继续以原来的速度向 C 地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低 1
5
，
这样当乙回到 C 地时，甲恰好到达离 C 地18 千米的 D 处，那么 A 、 C 两地之间的距离是
__________千米。
D
C
B
A
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】，入学测试
【解析】由于甲、乙的速度之比为 5: 4 ，所以， : 5: 4AB BC ，乙调头后的速度为原来速度的 4
5
，所以乙
调 头 后 两 人 速 度 之 比 为 45:(4 ) 25:165
， 而 乙 回 到 C 地 时 甲 恰 好 到 达 D 处 ， 所 以
: 25:16BD BC ，即 16
9BC CD ，则 9 4 724AC BC CD （千米），即 A 、C 两地之间的距离
为 72 千米．
【答案】 72 千米
【例 32】甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千米
/时，它们到达 B 地和 A 地后，甲车速度提高 1
4
，乙车速度减少 1
6
，它们第一次相遇地点与第二
次相遇地点相距 74 千米，那么 A 、 B 之间的距离是多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】开始时两车速度比为 32: 48 2:3 ，所以第一次相遇是在距 B 地全程的 3
5
处；当乙车到达 A 地时，
甲车离 B 地还有全程的 1
3
，此时乙车速度减少 1
6
，变为原来的 5
6
，两车速度比为 52:(3 ) 4:56
，
那么当甲车走完剩下的 1
3
时，乙车已经往回走了 1 5 5
3 4 12
，此时两车相距全程的 5 71 12 12
．这
时甲车速度提高 1
4
，两车速度比变为 5(4 ) :5 1:14
，所以两车再各走 7 7212 24
即相遇．即第二
次相遇点距离 B 地全程的 7
24
．所以 A 、 B 之间的距离为 3 774 ( ) 2405 24
千米．
【答案】 240 千米
【例 33】上午 8 点整，甲从 A 地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A 地的乙相遇；相遇
后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那
么，乙从 B 地出发时是 8 点 分．
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】日本第 12 届小学算术奥林匹克初赛
【解析】甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根
据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3 30 分钟，
所以前后两段路程的比为 20:30 2:3 ，由于甲走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分
钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点
5 分．
【答案】5
【例 34】甲、乙往返于相距1000 米的 A ， B 两地．甲先从 A 地出发，6 分钟后乙也从 A 地出发，并在距
A 地 600 米的 C 地追上甲．乙到 B 地后立即原速向 A 地返回，甲到 B 地休息1分钟后加快速度
向 A 地返回，并在 C 地追上乙．问：甲比乙提前多少分钟回到 A 地？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于甲比乙早出发 6 分钟，乙在走了 600 米时追上甲，可见乙走 600 米比甲要少用 6 分钟，那么
对于剩下的 400 米，乙比甲要少用 400 6 4600
(分钟)，也就是说乙比甲早 4 分钟到达 B 地．那么
乙从 B 地出发比甲早 4 1 5 (分钟)，走到 C 地被甲追上，相当于甲走 400 米比乙少用 5 分钟，
那么对于剩下的 600 米，甲比乙要少用 600 5 7.5400
(分钟)．所以甲比乙提前 7.5 分钟回到 A 地．
【答案】 7.5 分钟
【例 35】汽车从甲地到乙地，先行上坡，后行下坡，共用 9.4 小时。如果甲、乙两地相距 450 千米，上坡
车速为每小时 45 千米，下坡车速为每小时 50 千米，那么原路返回要 小时。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，6 年级
【解析】（法1）从甲地到乙地共有 450 千米，共用 9.4 小时，上坡车速为每小时 45 千米，下坡车速为每
小时 50 千米，可得上坡所用的时间为 (50 9.4 450) (50 45) 4 （小时），那么上坡路为
45 4 180 （千米），下坡路为 450 180 270 （千米）原路返回时，原来的上坡路变成下坡路，
原来的下坡路变成上坡路，所用时间为 270 45 180 50 6 3.6 9.6 （小时）。
（法 2 ）本题也可以从整体上进行考虑，由于原路返回时，原来的上坡路变成下坡路，原来的下坡
路变成了上坡路，所以往返一次相当于共走了 450 千米的上坡路和 450 千米的下坡路，那么所用
的总时间为 450 45 450 50 19 （小时），其中从甲地到乙地用了9.4 小时，所以原路返回要用
19 9.4 9.6 （小时）。
【答案】 9.6
【例 36】如图所示，有 A 、B 、C 、D 四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路 AB 、BC 、CD 上，
汽车行驶的最高时速限制分别是 120 千米、40 千米和 60 千米。一辆大巴车从 A 景点出发驶向 D
景点，到达 D 点后立刻返回；一辆中巴同时从 D 点出发，驶向 B 点。两车相遇在 C 景点，而当
中巴到达 B 点时，大巴又回到了 C 点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许
的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于 60 千米，中巴在与大巴相遇后自身所具
有的最高时速比相遇前提高了12.5% ，求大巴客车的最高时速。
D
C
B
A
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】祖冲之杯
【解析】由于 AB 、 BC 、 CD 三段公路等长，不妨设 60AB BC CD 千米，大巴从 C D C→ → 用
60 2 60 2 （小时），此时中巴从C B→ ，速度为 60 2 30 （千米/小时），所以中巴从 D C→
的速度为 8030 (1 12.5%) 3
（千米/小时），用时为 80 960 3 4
（小时），这也是大巴从 A B C→ →
用的时间．大巴在 BC 上最少用 360 40 2
（小时），所以大巴在 AB 上最多用 9 3 3
4 2 4
（小时）．大
巴的最高时速为 360 804
（千米）．
【答案】80 千米
【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段．在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米；在第二段上，
汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米．己知第一段公路的长恰
好是第三段的 2 倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第
二段从甲到乙方向的 1
3
处相遇．那么，甲、乙两市相距多少千米？
E
A
B
C
D
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示， A 、 B 、C 、D 分别为三段路的端点，E 为两车相遇的地点．由于 AB 为CD 的两倍，
而汽车在 AB 上的速度为 40 千米/时，在CD 上的速度为 50 千米/时，所以汽车在 AB 上与在 CD 上
所用的时间之比为 2 1: 5: 240 50
，即在 AB 上比在 CD 上多用了 3
2
的时间；由于 1
3BE BC ，所以
1
2BE EC ，而汽车在整个 BC 段上速度都是相同的，所以汽车在 EC 上所用的时间是汽车在 BE
上所用的时间的 2 倍，即多用了 1 倍的时间．由于两辆汽车同时出发，在 E 处相遇，两车所用的
时间相同，所以在CD 上所用的时间的 3
2
倍等于在 BE 上所用的时间，可以得到在CD 上所用的时
间与在 BE 上所用的时间之比为 2 :3 ，那么可以得到在 AB 、 BE 、 EC 、 CD 四段上所用的时间
之比为 5:3:6: 2 ．汽车在 AB 与 BC 段上所用的时间之比为5:9 ，速度之比为 40:90 4:9 ，所以
AB 与 BC 段的长度之比为 5 4 : 9 9 20:81 ．由于汽车从 A 到 E 用了 1 小时 20 分钟，所以
在 AB 段上所用的时间为 1 5 513 5 3 6
小时， AB 段的长度为 5 10040 6 3
千米，那么从 A 到 D 的
距离为 100 81 11 1853 20 2
千米．
【答案】185 千米
【例 37】现在甲乙两辆车往返于相距 20 千米的 A 、B 两地，甲车先从 A 地出发，9 分钟后乙车也从 A 地
出发，并且在距离 A 地 5 千米的 C 地追上甲车。乙车到 B 地之后立即向 A 地原速驶回，甲车到
B 地休息 12 分钟之后加快速度向 A 地返回，并在 C 地又将乙车追上。那么最后甲车比乙车提前
多少分钟到 A 地？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意可知，按照出发时的速度，乙车走 5 千米比甲车少用 9 分钟，那么乙车走 15 千米比甲
车少用 27 分钟，也就是说乙车比甲车早 27 分钟到达 B 地．到达 B 地后，乙车立即返回，而甲车
则停留 12 分钟，所以甲车比乙车晚 27 12 39 分钟从 B 地返回．返回时甲车提高了速度，所以
在乙车开出 15 千米后追上乙车，说明返回时每走 15 千米甲车比乙车少用 39 分钟，那么走 5 千
米甲车比乙车少用 13 分钟．而剩下的路恰好 5 千米，所以甲车比乙车提前 15 分钟到 A 地．
【答案】15 分钟
【例 38】甲、乙两地相距 100 千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1 小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同
时到达乙地.摩托车开始速度是每小时 50 千米,中途减速后为每小时 40 千米.汽车速度是每小时
80 千米,汽车曾在途中停驶 1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】汽车从甲地到乙地的行驶时问为 100÷80=1.25 小时=1 小时 15 分钟,加上中途停驶的 10 分钟,共
用时 1 小时 25 分钟．
而小张先小李 1 小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了 2 小时 25 分钟，即 2 最小时．
以下给出两种解法：
方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后 x 小时,有 50× x +40× 52 10012 x
,解得 1
3x .
所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后 1
3
小时.
方法二:如果全程以每小时 50 千米的速度行驶,需 100÷50=2 小时的时间,全程以每小时 40 千米的速
度行驶,需 100÷40=2.5 小时.
依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时 50 千米的速度行驶了
52.5 2 112
2.5 2 6
的路程,即行驶了
100 1 501006 3
千米的路程,距出发 50 1503 3
小时.
所以甲、乙可能相遇的位置在距离 A 点顺时针方向 320 米，240 米，160 米，80 米和 0 米．
【答案】 1
3
小时
【例 39】甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速
度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速
度每秒减少 0.5 米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速
度每秒增加 O.5 米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?
【考点】行程问题之变速问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答．
先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题．
甲、乙速度差为 8-6=2 米／秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈 400 米，即甲跑了 400÷2×8=1600
米，乙跑了 400÷2×6=1200 米．
相遇后，甲的速度变为 8-2=6 米／秒，乙的速度变为 6-0.5=5．5 米／秒·显然，甲的速度大于乙，所以
仍是甲超过乙．
当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米／秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一圈
400 米，于是甲又跑了 400÷0.5×6=4800 米，乙又跑了 400÷0.5×5.5=4400 米．
甲第二次追上乙后，甲的速度变为 6-2=4 米／秒，乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米／秒．显然，现在乙的
速度大于甲，所以变为乙超过甲．
当乙追上甲时，甲、乙速度差为 5-4=1 米／秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈 400 米，于是甲又跑
了 400÷1×4=1600 米，乙又跑了 400÷1×5=2000 米．。
这时甲的速度变为 4+0.5=4.5 米／秒，乙的速度变为 5+0.5=5.5 米／秒并以这样的速度跑完剩下的全程．
在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米．
甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下 10000-7600=2400 米的路程．
显然乙先跑完全程，此时甲还剩下 2400 400 42000 4.5 365.5 11 11
米的路程．
即当领先者到达终点时，另一人距终点 43611
米．
评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.
【答案】 43611
米
【例 40】如图 21-l，A 至 B 是下坡，B 至 C 是平路，C 至 D 是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小
时 4 千米，平路时步行速度是每小时 5 千米，下坡时步行速度是每小时 6 千米．小张和小王分
别从 A 和 D 同时出发，1 小时后两人在 E 点相遇．已知 E 在 BC 上，并且 E 至 C 的距离是 B 至
C 距离的 1
5
．当小王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D．那么 A 至 D 全程长是多少千米?
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 BE 是 BC 的 4
5
，CE 是 BC 的 1
5
，说明 DC 这段下坡，比 AB 这段下坡所用的时间多，也就是 DC
这一段，比 AB 这一段长，因此可以在 DC 上取一段 DF 和 AB 一样长，如下图：
另外，再在图上画出一点 G，使 EG 和 EC 一样长，这样就表示出，小王从 F 到 C.小张从 B 到 G．
小王走完全程比小张走完全程少用 9 分钟，这时因为小张走 C 至 F 是上坡，而小王走 F 至 C 是下坡(他
们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．
因此，小王从 F 至 C，走下坡所用时间是 9÷ 6 14
=18(分钟)．
因此得出小张从 B 至 G 也是用 18 分钟，走 GE 或 CE 都用 6 分钟．走 B 至 C 全程(平路)要 30 分钟．
从 A 至曰下坡所用时间是 60-18-6=36(分钟)；
从 D 至 C 下坡所用时间是 60-6=54(分钟)；
A 至 D 全程长是(36+54)× 6
60 +30× 5
60 =11.5 千米．
【答案】11.5 千米
【例 41】老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右上图），车速是 30 千米／时；从 B 到 C 为上山路，车速是
22.5 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 36 千米／时。已知下山路是上山路的 2 倍，从 A
到 D 全程为 72 千米，老王开车从 A 到 D 共需要多少时间？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】2.4 时。设上山路为 x 千米，下山路为 2x 千米，则上、下山的平均速度是
（x＋2x）÷（x÷22.5＋2x÷36）＝30（千米/时），
正好是平地的速度，所以行 AD 总路程的平均速度就是 30 千米/时，与平地路程的长短无关。
因此共需要 72÷30＝2.4（时）。
【答案】2.4 时
【例 42】张明的家离学校 4 千米，他每天早晨骑自行车上学，以 20 千米／时的速度行进，恰好准时到
校。一天早晨，因为逆风，他提前 0.2 时出发，以 10 千米／时的速度骑行，行至离学校 2.4 千
米处遇到李强，他俩互相鼓励，加快了骑车的速度，结果比平常提前 5 分 24 秒到校。他遇到李
强后每时骑行多少千米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】16 千米。5 分 24 秒是 0.09 时。张明这天到学校用的时间是
4÷20＋0.2-0.09＝0.31（时），
遇到李强时用的时间为
（4-2.4）÷10＝0.16（时），
所以遇到李强后的速度为
2.4÷（0.31-0.16）＝16（千米／时）。
【答案】16 千米／时
【例 43】甲、乙二人同时从起点出发沿同一方向行走，甲每时行 5 千米，而乙第 1 时行 1 千米，第 2 时
行 2 千米，以后每时都比前 1 时多行 1 千米。问：经过多长时间乙追上甲？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】9 时。提示：时速 1 千米与时速 9 千米的平均时速为 5 千米。
【答案】9 时
【例 44】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山
速度的 2 倍。甲到山顶时，乙距山顶还有 400 米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山
脚到山顶的距离。
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】2400 米。如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，则题中相应的条件应变为“甲下山路走了 1
2
时，乙下山路走了 1
4 ”。
因为甲到山顶时比乙多走 400 米，所以甲下山路走了 1
2
时，应比乙多走 1400 1 6002
（米）。
从山脚到山顶的距离为 1 1600 24002 4
（米）。
【答案】2400 米
【例 45】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山
速度的 2 倍。开始后 1 时，甲与乙在离山顶 400 米处相遇，当甲回到山脚时，乙刚好下到半山
腰。问：乙比甲晚多少时间回到山脚？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】17 分。如果两人下山的速度与各自上山的速度相同，则题中相应的条件应变为“1 时后，乙离山
顶差 400 米，甲走了下山路 200 米”和“甲下山路走了 1
2
时，乙下山路走了 1
4 ”。
甲的速度是乙的速度的 1 1 61 12 4 5
。同时甲比乙多走 3000＋600＝3600（米），山路
长 3000＋400＝3400（米）。
再回到“两人下山的速度都是各自上山速度的 2 倍”。从上山到下山，甲需 3400 3400 17
3600 3600 2 12
（时），乙需 3400 3400 17
3000 3000 2 10
（时），乙比甲多用17 17 17
10 12 60
（时）=17 （分）
【答案】17 分
【例 46】甲、乙两地相距 6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时
间平均每分钟行 60 米.问他走后一半路程用了多少分钟？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】方法一：由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而
如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应指出，如果前一
半时间平均速度为每分钟 80 米，后一半时间平均速度为每分钟 60 米，则这个人从甲走到乙的平
均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70 米．这是因为一分钟 80 米，一分钟 60 米，两分钟一共 140 米，
平均每分钟 70 米．而每分钟走 80 米的时间与每分钟走 60 米的时间相同，所以平均速度始终是
每分钟 70 米．这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是 6720÷70=96 分钟．由于前一
半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于 6720÷2=3360 米．则前一
个 3360 米用了 3360÷80=42 分钟；后一半路程所需时间为 96-42=54 分钟．
方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80x+60x=6720，解方程得：x=48 分钟，因为 80×48=3840
（米），大于一半路程 3360 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 3360÷80=42（分钟），
后一半路程时间是 48+（48-42）=54（分钟）.
评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总
的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．其
次，后一半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前
一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方
法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．
【答案】54 分钟
【巩固】 甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间
平均每分钟行 70 米．问他走后一半路程用了多少分钟？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：全程的平均速度是每分钟 80 70 2 75 （ ） （米），走完全程的时间是 6000 75 80 （分
钟），走前一半路程速度一定是 80 米，时间是 3000 80 37.5 （分钟），后一半路程时
间是 80 37.5 42.5 （分钟）．
方法二：设走一半路程时间是 x 分钟，则80 70 6 1000x x ，解得 40x （分钟），因为80 40
3200 （米），大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是
3000 80 37.5 （分钟），后一半路程时间是 40 40 37.5 42.5 （ ） （分钟）．
【答案】 42.5 分钟
【例 47】游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行 400 米，下坡每分行 600 米。已知从 A 点到 B 点
需 3.7 分，从 B 点到 A 点只需 2.5 分。问：AC 比 BC 长多少米？
【考点】行程问题之变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】1440 米。取 AD 等于 BC（见下图）。因为从 A 到 B 与从 B 到 A，走 AD 与 BC 两段路所用的时
间和相同，所以 D 到 C 比 C 到 D 多用 3.7－2.5＝1.2（分），即 1.2400 600
DC DC .由此解得
1 1 112 12 1440400 600 1200DC
米
【答案】1440 米
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