行程综合问题
教学目标
1. 运用各种方法解决行程内综合问题。
2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。
知识精讲
行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们
大致可以分为两类：
一、 行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合
题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。
二、 学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合
在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。
本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是
很受“偏爱”的。所以很重要。
模块一、行程内综合
【例 1】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千米下坡路。
他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返
回，邮递员什么时候可以回到邮局?
【考点】变速问题与走停问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：
12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③
邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的。
法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共
用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮局的。
【答案】5 时
【例 2】 小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是
上山速度的1.5 倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用了多少时间？
【考点】变速问题与走停问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】上山用了 3 小时 50 分，即 60 3 50 230 (分)，由 230 30 10 5 30 （ ） ，得到上山休息了 5 次，
走了 230 10 5 180 (分)．因为下山的速度是上山的 1.5 倍，所以下山走了 180 1.5 120
(分)．由120 30 4 知，下山途中休息了 3 次，所以下山共用120 5 3 135 (分) 2 小时 15 分．
【答案】 2 小时 15 分
【例 3】 已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同．而猫跑
3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着
周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？
【考点】环形跑道与猎狗追兔 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】方法一：由题意，猫与狗的速度之比为 9: 25，猫与兔的速度之比为 25: 49 ．
设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑 25
9
米，兔跑 49
25
米．
狗追上猫一圈需 25 675300 19 4
单位时间，
兔追上猫一圈需 49 625300 125 2
单位时间．
猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 675
4
的整数倍，又是 625
2
的整数倍．
675
4
与 625
2
的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即
675,625675 625 16875, 8437.54 2 4,2 2
．
上式表明，经过8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．
此时，猫跑了8437.5 米，狗跑了 258437.5 23437.59
米，兔跑了 498437.5 16537.525
米．
方法二：根据题意，猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等；而猫跑 15 步
的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同．
所以猫、狗、兔的速度比为 15 25 21: :35 21 25
，它们的最大公约数为
15,25,2115 25 21 1, ,35 21 25 35,21,25 3 5 5 7
，
即设猫的速度为 15 1 22535 3 5 5 7
，那么狗的速度为 25 1 62521 3 5 5 7
，则兔的速度为
21 1 44125 3 5 5 7
．
于是狗每跑 3300 (625 225) 4
单位时追上猫；
兔每跑 25300 (441 225) 18
单位时追上猫．
而
3,253 25 75,4 18 4,18 2
，所以猫、狗、兔跑了 75
2
单位时，三者相遇．
猫跑了 75 225 8437.52
米，狗跑了 75 625 23437.52
米，兔跑了 75 441 16537.52
米．
【答案】16537.5 米
【例 4】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后
甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑
一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的
路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 17 3
米/秒
【答案】 17 3
米/秒
【例 5】 环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分
跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】55 分。解：甲比乙多跑 500 米，应比乙多休息 2 次，即 2 分。在甲多休息的 2 分内，乙又跑了
200 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑 500＋200＝700（米），甲跑步的时间为 700÷
（120－100）＝35（分）。共跑了 120×35＝4200（米），中间休息了 4200÷200－1＝ 20（次），即
20 分。所以甲第一次追上乙需 35＋20＝55（分）。
【答案】55 分
【例 6】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步．如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙
第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25% ，而乙的速度立即减少 20% ，并且乙第一次追上甲的
地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米．
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为 2，则乙速为 5．假设甲、乙从 A 点同时出发，按逆时针方
向跑．由于出发时两者的速度比为 2 :5 ，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了
21 (5 2) 2 3
，乙跑了 5
3
；此时双方速度发生变化，甲的速度变为 2 (1 25%) 2.5 ，乙的速
度变为 5 (1 20%) 4 ，此时两者的速度比为 2.5: 4 5:8 ；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1
圈，则此次甲跑了 51 (8 5) 5 3
，这个 5
3
就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程．从
环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 5 213 3
个周长，又可
能是 5 12 3 3
个周长．
那么，这条环形跑道的周长可能为 2100 1503
米或 1100 3003
米．
【答案】 300 米
【例 7】 如图所示，甲、乙两人从长为 400 米的圆形跑道的 A 点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）
道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒 8 米，而在泥
泞道路上两人的速度均为每秒 4 米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距 A 点
还有 米。
A
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕
着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间
也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到 A 点，即两人在 A 点迎面相遇，然后再从 A
点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．
在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人
第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相
遇，再回到出发点是第四次相遇……可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是
A 点．本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与 A 点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与 A 点
的距离．
对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到
跑完正常道路时，乙才跑了 200 8 4 100 米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此
时两人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇．所以第一次相遇时乙跑了100 50 150 米，这就
是第一次相遇点与 A 点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与 A 点的距离．
【答案】150 米
【例 8】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每
人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲
跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5．已知沿跑道看从甲、乙两
人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的速
度为 12
5 .如下图：
第一次相遇地点逆时针方向距出发点 3
5
的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了 2
3
的跑道长度.
在乙接下来跑了 1
3
跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了 1 22 43 3
圈．所以还剩下 1
3
的跑道长度，
甲以 4 的速度，乙以 12
5
的速度相对而跑，所以乙跑了 1 12 1243 5 5
1
8
圈.也就是第二次相
遇点逆时针方向距出发点 1
8
圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差 3 1 19
5 8 40
圈，所以，这条
椭圆形跑道的长度为 19190 40040
米．
【答案】 400 米
【例 9】 如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路．已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速是
120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米．从 CD 上一点 P,同时反向各
发出一辆汽车,它们将在 AB 中点相遇．如果从 PC 的中点 M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在
AB 上一点 N 相遇．问 A 至 N 的距离除以 N 至 B 的距离所得到的商是多少?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形 ABCD 的边长为单位“1”.
有甲从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为
60 80 90
PD DA AO 1 0.5
60 80 90
PD .
乙从 P 到达 AB 中点 O 所需时间为
60 120 90
PC BC BO 1 0.5
60 120 90
PD .
有甲、乙同时从 P 点出发,则在 AB 的中点 O 相遇,所以有：
1
60 80
PD = 1
60 120
PC
且有 PD=DC-PC=1-PC,代入有 1 1
60 80
PC 1
60 120
PC ,解得 PC= 5
8 .
所以 PM=MC= 5
16 ,DP= 3
8 .
现在甲、乙同时从 PC 的中点出发,相遇在 N 点,设 AN 的距离为 x .
有甲从 M 到达 N 点所需时间为
60 80 90
MD DA AN
3 5
18 16
60 80 90
x
；
乙从 M 到达 N 点所需时间为
60 120 90
MC CB BN
5
1 116
60 120 90
x .
有
3 5
18 16
60 80 90
x
5
1 116
60 120 90
x ，解得 1
32x .即 AN= 1
32 .
所以 AN÷BN 1 31
32 32
1
31
【答案】 1
31
【例 10】一条环形道路，周长为 2 千米．甲、乙、丙 3 人从同一点同时出发，每人环行 2 周．现有自行
车 2 辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已
知甲步行的速度是每小时 5 千米，乙和丙步行的速度是每小时 4 千米，3 人骑车的速度都是每
小时 20 千米．请你设计一种走法，使 3 个人 2 辆车同时到达终点．那么环行 2 周最少要用多少
分钟?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 1
20
；乙、丙情况
类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：
1 1 1 1: 3: 45 20 4 20
而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，
即为 4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为 4:3:3．
因为有 3 人，2 辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．
于是，甲步行的距离为 2× 4
4 3 3 =0.8 千米；则骑车的距离为 2×2-0.8=3.2 千米；
所以甲需要时间为( 0.8 3.2
5 20
)×60=19.2 分钟
环形两周的最短时间为 19.2 分钟．
参考方案如下：甲先步行 0.8 千米，再骑车 3.2 千米；
乙先骑车 2.8 千米，再步行 0.6 千米，再骑车 0.6 千米(丙留下的自行车) ；
丙先骑车 3.4 千米，再步行 0.6 千米．
【答案】19.2 分钟
【例 11】甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速
度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速
度每秒减少 0.5 米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速
度每秒增加 O.5 米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米?
【考点】环形跑道与变速问题 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 对于这道题只能详细的分析逐步推算，以获得解答．
先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问题．
甲、乙速度差为 8-6=2 米／秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈 400 米，即甲跑了 400÷2×8=1600
米，乙跑了 400÷2×6=1200 米．
相遇后，甲的速度变为 8-2=6 米／秒，乙的速度变为 6-0.5=5．5 米／秒·显然，甲的速度大于乙，所以
仍是甲超过乙．
当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米／秒，追上乙时，甲应在原基础上再比乙多跑一圈
400 米，于是甲又跑了 400÷0.5×6=4800 米，乙又跑了 400÷0.5×5.5=4400 米．
甲第二次追上乙后，甲的速度变为 6-2=4 米／秒，乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米／秒．显然，现在乙的
速度大于甲，所以变为乙超过甲．
当乙追上甲时，甲、乙速度差为 5-4=1 米／秒，乙追上甲时，乙应比甲多跑一圈 400 米，于是甲又跑
了 400÷1×4=1600 米，乙又跑了 400÷1×5=2000 米．。
这时甲的速度变为 4+0.5=4.5 米／秒，乙的速度变为 5+0.5=5.5 米／秒并以这样的速度跑完剩下的全程．
在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米．
甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下 10000-7600=2400 米的路程．
显然乙先跑完全程，此时甲还剩下 2400 400 42000 4.5 365.5 11 11
米的路程．
即当领先者到达终点时，另一人距终点 43611
米．
评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.
【答案】 43611
米
【例 12】某人乘坐观光游船沿河流方向从 A 港前行．发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船，每
隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过．已知 A 、B 两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静
水中速度相同，均是水速的 7 倍．那么货船的发出间隔是____________分钟．
【考点】流水行船与发车间隔 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】数学解题能力展示,高年级组,初试
【解析】设水速为 v ，则船速为 7v ，顺水船速为 8v ，逆水船速为 6v ．设货船发出的时间间隔为 t ，则顺
水船距为8vt ，逆水船距为 6vt ．设游船速度为 w ，则有
40 8 8 v w v vt ， 20 6 6 v w v vt ．解得 28t ， 1.4w v
【答案】28
模块二、学科内综合
【例 13】甲、乙两辆车从 A 城开往 B 城，速度是 55 于米／小时，上午 10 点，甲车已行的路程是乙车已
行的路程的 5 倍：中午 12 点，甲车已行的路程是乙车已行的路程的 3 倍．问乙车比甲车晚出发
多少小时？
【考点】行程问题与差倍问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】行程与和差倍问题
路程差不变，画图求解
图中粗线是 10 点到 12 点 2 小时走的路程为 1 份，从图中可以看出甲比乙多走 4 份．则乙车比甲
车晚出发 8 小时．（注，此题所求的是时间差，不需要将速度带入．）
【答案】8 小时
【例 14】张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1
千米，第二小时行 3 千米，第三小时行 5 千米，……（连续奇数）。两人恰好在甲、乙两地的中
点相遇。甲、乙两地相距多少千米?
【考点】行程问题与数列综合 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】因为李军走的路程为：1 3 5 若干个奇数相加，结果为中间数×个数，而张平走的路程为 5×
小时数，所以知道李军走的路程为：1 3 5 7 9 25 ，那么两个人分别走了 25 5 5 （小时），
所以路程为： 25 2 50 （千米）。
【答案】 50 千米
【巩固】 甲、乙两个电动玩具车同时从轨道的两端相对而行，甲车每秒行 5 厘米，乙车第一秒行 1 厘米，
第二秒行 2 厘米，第三秒行 3 厘米，……，这样两车相遇时，走的路程相同。则轨道长_____厘
米。
【考点】行程问题与数列综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】路程相同，时间相同，甲乙的平均速度是一样的，1、2、3、4、5、6、7、8、9，乙走了 9 秒，
距离为 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 厘米，轨道长 90 厘米。
【答案】90 厘米
【巩固】 龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑 3 千米．乌龟不停地跑；但兔
子却边跑边玩，它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后
玩 15 分钟，……．那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟?
【考点】行程问题之数列综合 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】乌龟到达终点所需时间为 5.2÷3×60=104 分钟．
兔子如果不休息，则需要时间 5.2÷20×60=15.6 分钟．
而兔子休息的规律是跑 1、2、3、…分钟后，休息 15 分钟．
因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了 5×15=75 分钟，即兔子跑到终点所需时间为 15．6+75=90．6
分钟．
显然，兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点．
【答案】兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点
【例 15】科技小组演示自制机器人，若机器人从点 A 向南行走 1.2 米，再向东行走 1 米，接着又向南行
走 1.8 米，再向东行走 2 米，最后又向南行走 1 米到达 B 点，则 B 点与 A 点的距离是（ ）
米。
（A）3 （B）4 （C）5 （D）7
【考点】行程问题与几何综合 【难度】2 星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】 C
【答案】 C
【例 16】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200 米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙
同时出发 10 分后，两人与十字路口的距离相等，出发后 100 分，两人与十字路口的距离再次相
等，此时他们距十字路口多少米？
【考点】行程问题与几何综合 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】5400 米。解：如右图所示，出发后 10 分两人与十字路口距离相等，相当于两人相距 1200 米，10
分后相遇，两人的速度和为 1200÷10=120（米）.出发后 100 分两人再次与十字路口距离相等，相
当于两人相距 1200 米，100 分后甲追上乙。由此推知两人的速度差为 1200÷100＝12（米）。乙每
分行（120－12）÷2=54（米），出发 100 分后距十字路口 5400 米。
【答案】5400 米
【例 17】如图 6，迷宫的两个入口处各有一个正方形（甲）机器人和一个圆形机器人（乙），甲的边长和
乙的直径都等于迷宫入口的宽度。甲和乙的速度相同，同时出发，则首先到达迷宫中心（☆）
处的是 。
【考点】行程问题与几何综合 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】甲、乙两机器人走的路程就是正方形，和圆的中心所走的路程，他们走的直线路程都相等，只是
在拐弯时圆能滚动，如左下图可以由实线位置滚动到虚线位置，这样正方形中心在拐弯时走的是
折线部分，圆的中心在拐弯时走的是弧线部分，如右下图，所以是乙先到达
【答案】乙先到达
【例 18】A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 100 千米处．甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发，
相向而行，甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原来路线返航．水速为 2 米/秒，且两船
在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距 20 千米，那么两船在静水中的速度是
米/秒．
【考点】行程问题与几何综合 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，复赛，高年级组
【解析】本题采用折线图来分析较为简便．
如图，箭头表示水流方向， A C E 表示甲船的路线， B D F 表示乙船的路线，两个交
点 M 、 N 就是两次相遇的地点．
由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船
和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是 BC 和 DE 的长度相同， AD 和 CF 的长度
相同．
那么根据对称性可以知道，M 点距 BC 的距离与 N 点距 DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点
与 A 、 B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距 20 千米，所以第一次相遇时，两船分
别走了 100 20 2 40 千米和 100 40 60 千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为
60: 40 3: 2 ．
而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍，即为 4 米/秒，可得顺水速度为 4 3 2 3 12 米/
秒，那么两船在静水中的速度为12 2 10 米/秒．
【答案】10 米/秒
【例 19】夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同
向行走，小龙每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时
雪地上只留下 60 个脚印。那么这条小路长 。
【考点】行程问题与数论综合 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，5 年级，1 试
【解析】爸爸走 3 步和小龙走 4 步距离一样长，也就是说他们一共走 7 步，但却只会留下 6 个脚印，也就
是说每 216 厘米会有 6 个脚印，那么有 60 个脚印说明总长度是 216 10 2160 厘米，也就是 21.6
米。
【答案】21.6 米
【例 20】甲、乙两地相距 100 千米，张山骑摩托车从甲地出发，1 小时后李强驾驶汽车也从甲地出发，
二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时 50 千米，中途减为每小时 40 千米；汽车
的速度是每小时 80 千米，并在途中停留 10 分钟。那么，张山骑摩托车在出发 分
钟后减速.
【考点】行程问题与鸡兔同笼 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初试
【解析】【解析】汽车行驶了：100 80 60 75 （分）；摩托车行驶了： 75 60 10 145 （分）设摩托车减速前
行驶了 x 分，则减速后行驶了 145 x 分，列方程为：
14550 40 10060 60
x x
5 580 4 600x x
20x
所以张山骑摩托车出发 20 分钟后减速.
【答案】20 分钟
【例 21】甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进．现在甲位于乙的前方，乙距起点 20 米；当
乙游到甲现在的位置时，甲已离起点 98 米．问：甲现在离起点多少米?
【考点】行程问题中的年龄问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】当乙游到甲现在的位置时，甲也游了同样的距离，这距离是(98－20)÷2＝39(米)，所以甲现在离
起点 39＋20＝59(米).
【答案】59 米
【例 22】某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车行 9 小时，恰好到达乙
地，如果他从甲地先骑自行车 21 小时，再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地，问：全程骑
摩托车需要几小时到达乙地？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】对比分析法： 骑摩托车 骑自行车
方案一 12 小时 9 小时
方案二 8 小时 21 小时
方案一比方案二 多 4 少 12
说明 摩托车 4 小时走的路程=骑自行车 12 小时走的路程
推出 摩托车 1 小时走的路程=骑自行车 3 小时走的路程
整理全程骑摩托车需要 12＋9÷3＝15（小时）
【答案】15 小时
【例 23】甲、乙两人同时从两地出发相向而行，相遇后继续前进，当两人相距 2.5 千米时 ，甲走了全程
的 2
3
，乙走了全程的 3
4
。两地相距多少千米？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 6 千米，解： 2 32.5 1 63 4
（千米）
【答案】 6 千米
【例 24】甲、乙二人骑车同时从环形公路的某点出发，背向而行，已知甲骑一圈需 48 分，出发后 30 分
两人相遇。问：乙骑一圈需多长时间？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 80 分，解： 1 11 8030 48
（分）。
【答案】80 分
【例 25】甲、乙两站相距不到 500 千米，A，B 两列火车从甲、乙两站相对开出，A 车行至 210 千米处停
车，B 车行至 270 千米处也停车，这时两车相距正好是甲、乙两站距离的 1
9
。甲乙两站的距离
是多少？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】432 千米。提示：分两车未相遇与已相遇两种情况。
若未相遇，全程为 1210 270 1 5409
（千米），不合题意；
若已相遇，全程为 1210 270 1 4329
（千米），符合题意。
【答案】 432 千米
【例 26】客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需 10 时，货车行完全程需 15 时。两车
在中途相遇后，客车又行了 90 千米，这时客车行完了全程的 80％，求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 450 千米。提示：相遇时客车行了全程的 3
5
。
【答案】 3
5
【例 27】小王和小李同时从两地相向而行，小王走完全程要 60 分，小李走完全程要 40 分。出发后 5 分，
小李因忘带东西而返回出发点，因取东西耽误了 5 分，小李再出发后多长时间两人相遇？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】18 分，解： 15 1 11 1860 60 40
（分）。
【答案】18 分
【例 28】两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需要 8 时，比快车从异地到甲地所需时间
多 1
3
。一直两车同时开出，相遇时快车比慢车多行 48 千米，求甲、乙两地的距离。
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】336 千米。解：快、慢车行一个单程所需时间之比为 3∶4，相遇时两车分别行了全程的 4
7
和 3
7
。
【答案】336 千米
【例 29】甲、乙二人在环形自行车赛场上训练，已知两人骑一圈分别需要 23 秒和 27 秒。如果两人同时
从起点出发，背向而行，那么他们再次相遇需要多长时间？如果是同向行，那么甲超过乙需要
多长时间？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】背向而行 12.24 秒，同向而行 155.25 秒。提示：甲、乙1秒分别骑一圈的 1
23
和 1
27
。
【答案】背向而行 12.24 秒，同向而行 155.25 秒
【例 30】甲、乙两汽车先后从 A 地出发到 B 地去，当甲车到达 A，B 两地中点时，乙车走了全程的 1
5
；
当甲车到达 B 地时，乙车走了全程的 2
3
。求甲、乙两车车速之比。
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】15:14 ，解：由题意，甲车从中点到 B 点行了全程的 1
2
，此期间，乙车行了全程的 2 1 7
3 5 15
，
两车速度之比为 1 7 15
2 15 14
。
【答案】15:14
【例 31】大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶。大货车先走 1.5 时，小轿车出发 4 时后追上
了大货车。如果小轿车每小时多行 5 千米，那么出发后 3 时就可追上大货车。问：小轿车实际
上每时行多少千米？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】55 千米。解：以大货车的时速为单位“1”，则小轿车的实际时速为 4 1.5
4
，小轿车每时多行 5 千
米的时速为 3 1.5
3
，5 千米对应的分率是 3 1.5 4 1.5
3 4
。大货车每时行 3 1.5 4 1.55 403 4
（千米），小轿车每小时行 4 1.540 554
（千米）
【答案】55 千米
【例 32】星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走 5 分，哥哥出发后 25 分追上了弟弟。如果
哥哥每分多走 5 米，那么出发后 20 分就可以追上弟弟。弟弟每分走多少米？
【考点】行程问题中的工程问题 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】100 米，解：各个的速度是弟弟的 25 5 6
25 5
（倍）。如果哥哥每分钟多走 5 米，则哥哥的速度是
弟弟的 20 5 5
20 4
（倍）。弟弟每分钟走 5 6 15 5 1004 5 20
（米）
【答案】100 米
【例 33】四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案.第一个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒
的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以 2 米/秒和 3 米/秒的速度各划行比赛时
间的一半.你认为这两个方案哪个好？
【考点】行程问题与策略综合 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】第二种方案
【答案】第二种方案
【例 34】一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从
A,E 两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E 站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁
路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.
因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多
少分钟?
【考点】行程问题与策略综合 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】两列火车同时从 A,E 两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个
车站停车等待时间最短.从图中可知:
AE 的距离是:225+25+15+230=495(千米),两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时),相遇处距
A 站的距离是:60×4.5=270(千米),而 A,D 两站的距离为:225+25+15=265(千米),由于 270 千米>265 千
米,因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离 D 站距离
为270-265=5(千米),那么,先到达D站的火车至少需要等待: 115 60 5 50 60
(小时) ，11
60
小时=11
分钟
【答案】11 分钟
【例 35】一辆汽车往线路上运送电线杆，从出发地装车，每次拉 4 根，线路上每两根电线杆间距离为 50
米，共运了两次，装卸结束后返回原地共用 3 时。其中装一次车用 30 分，卸一根电线杆用 5 分，
汽车运行时的平均速度是 24 千米／时，求第一根电线杆离出发点的距离。
【考点】行程问题与植树问题综合 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】7.75 千米。解：装两次车卸 8 根电线杆，共用 30×2＋5×8=100（分）。剩下的 60 3 100 80 （分），
即 113
时，是汽车运行时间，共行驶 124 1 323
（千米）。
如上图所示，汽车第一次在 A，C 间运行一个来回，第二次在 A，D 间运行一个来回，其中
B，D 间的一个来回与 B，C 间的一个来回共 1000 米，所以 A，B 间距离为（32－1）÷4=7.75（千
米），即第一根电线杆离出发点 7.75 千米。
【答案】7.75 千米
【例 36】在一个沙漠地带，汽车每天行驶 200 千米，每辆汽车载运可行驶 24 天的汽油．现有甲、乙两辆
汽车同时从某地出发，并在完成任务后，沿原路返回．为了让甲车尽可能开出更远的距离，乙
车在行驶一段路程后，仅留下自己返回出发地的汽油，将其他的油给甲车．求甲车所能开行的
最远距离．
【考点】行程问题与策略综合 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】
甲车尽可能行驶更远，则乙车离开甲车时，应保证甲车还有可行驶 24 天的汽油．
设此时乙车已行驶了 x 天，有甲也行驶了 x 天，乙返程也需要 x 天，有 x+x+x+24=48，所以 x=8，
即乙车行驶 8 天后返程．
留下还可行驶 8 天的汽油，将剩下的 24-8-8=8 天的汽车给甲车．
所以加上开始的 24 天的汽油，甲车共得到 24+8=32 天的汽油．那么甲车单程最多可行驶 32÷2=16
天．
即甲车所能开行的最远距离为 16×200=3200 千米．
【答案】3200 千米
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