4-2-5.平移、旋转、割补
例题精讲
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．
【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是 10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平
行四边形，它们的宽都是 2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？
【考点】平移、旋转、割补 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】如图所示，将道路平移后的 16 2 10 2 112 。
【答案】112
【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是 1 厘米，空白部分是等边三角形，一共有 12 个．请算出阴影
部分的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和 12 个小三角形，再把正六边形分割成 6 个正三角形，由于
正 十 二 边 形 的 每 个 内 角 为 180 12 2 12 150 ， 所 以 阴 影 小 三 角 形 的 顶 角 等 于
150 60 2 30 ，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是 30 60 90 ，所
以通过如右上图所示的平移可以组成 6 个边长为 1 厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为 21 6 6
平方厘米．
【答案】 6
【例 3】 如图所示，梯形 ABCD 中，AB 平行于 CD ，又 4BD ， 3AC ， 5AB CD ．试求梯形 ABCD 的
面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如 右 图 ， 将 AB 沿 AC 平 移 至 CE , 连 接 BE , 在 三 角 形 BDE 中 ， 有 4BD ， 3BE AC ，
5DE AB CD ，有 2 2 2BD BE DE ，所以三角形 BDE 为直角三角形．
由于 ABD ABC BCES S S ，所以梯形 ABCD 的面积与三角形 BDE 的面积相等，为 1 3 4 62
．
【答案】 6
【例 4】 如下图，六边形 ABCDEF 中， AB ED ， AF CD ，BC EF ，且有 AB 平行于 ED ， AF 平行于
CD ， BC 平行于 EF ，对角线 FD 垂直于 BD ，已知 24FD 厘米， 18BD 厘米，请问六边形
ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】如图，我们将 BCD 平移使得 CD 与 AF 重合，将 DEF 平移使得 ED 与 AB 重合，这样 EF 、 BC 都
重合到图中的 AG 了．这样就组成了一个长方形 BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长
方形 BGFD 的面积为 24 18 432 平方厘米，所以六边形 ABCDEF 的面积为 432 平方厘米．
【答案】 432
【例 5】 如图 2，六边形 ABCDEF 为正六边形， P 为对角线 CF 上一点，若 PBC 、 PEF 的面积为 3与 4 ，
则正六边形 ABCDEF 的面积是 ．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7 题
【解析】【解析】这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，
每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的
面积是正三角形面积的 6 倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结 BF ，
三角形 ABF 的面积是平行四边形 ABFO 面积的一半．六边形 ABCDEF 的面积是平行四边形 ABFO
的 3 倍，故六边形 ABCDEF 的面积是三角形 ABF 的面积的 6 倍． 如图（3），连结 BF ，CE ，三角
形 BCP 的面积与三角形 EFP 的面积和是平行四边形 BFEC 面积的一半．而六边形 ABCDEF 的面积
是平行四边形 BFEC 的 1.5 倍，故六边形 ABCDEF 的面积是三角形 BCP 的面积与三角形 EFP 的面
积和的 3 倍．
所以，由 PBC△ 、 PEF△ 的面积分别为 3 与 4，
可知正六边形 ABCDEF 的面积是 (3 4) 3 21 ．
【答案】 21
【例 6】 正六边形 A1A2A3A4A5A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点；
那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14 题
【解析】【解析】如图，设 6 2B A 与 1 3B A 的交点为 O ，则图中空白部分由 6 个与 2 3A OA△ 一样大小的三角形组成，只要
求出了 2 3A OA△ 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.
连接 6 3A A 、 6 1B B 、 6 3B A
设 1 1 6A B B△ 的面积为“1”，则 1 2 6B A B△ 面积为“1”， 1 2 6A A B△ 面积为“ 2 ”，那么 6 3 6A A B△ 面积为
1 2 6A A B△ 的 2 倍，为“ 4 ”，梯形 1 2 3 6A A A A 的面积为 2 2 4 2 12 ， 2 6 3A B A△ 的面积为“ 6 ”， 1 2 3B A A△
的面积为 2
根据蝴蝶定理，
1 2 6 3 2 61 3 1 6B A B A A BB O A O S S △ △∶ ∶ ，故
2 1 2 33
6 12
1 6 7A OA B A AS S △ △ ，
所以
2 3 1 2 3 6A A A A
12 12 77A OAS S △ 梯形∶ ∶ ∶1∶ ，即 2 3A OA△ 的面积为梯形 1 2 3 6A A A A 面积的 1
7
，故为六边形
1 2 3 4 5 6A A A A A A 面积的 1
14
，那么空白部分的面积为正六边形面积的 1 3614 7
，所以阴影部分面积为
32009 1 11487
(平方厘米).
【答案】1148
【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角
边分别为 2cm 和 4cm ，乙三角形两条直角边分别为 3cm 和 6cm ，求图中阴影部分的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之
和．所以阴影部分面积为： 23 4 6 2 3 6 2 4 2 2 11 cm （ ） （ ）
【答案】11
【例 8】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影
部分的面积占整个图形面积的几分之几.
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.
⑴ 割补法
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显
然，阴影部分正好是长方形的 1
3
，所以原题阴影部分占整个图形面积的 1
3 .
⑵ 拼补法
将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的 1
3 .
根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以 2 ，商不变.所以原题阴影部分占整个图形
面积的 1
3 .
⑶ 等分法
将原图等分成 9 个小三角形(见右上图)，阴影部分占 3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的
3 1
9 3
.
注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条
件不变，结论仍然成立.
【答案】 1
3
【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点 P 为中心转动一个正方形．当
5AB 厘米， 13BC 厘米， 12CA 厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积
(注意，图的尺寸不一定准确)．
P
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】右图由左图旋转而得，则右图中的 8 个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于
正方形面积减去 4 个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为 5 13 12 30 厘米，所以
重叠部分的面积为： 230 4 (5 12 2) 780 (平方厘米)．
【答案】 780
【例 10】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知 10BD 厘米， 7DC 厘米，求阴影部分的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】绕 D 点逆时针旋转 CED ，使 E 与 F 重合，则 C 点落在 AB 边上的 'C 点处，且 'C D CD ．则阴影
部分面积转化为直角三角形 'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为10 7 2 35 平方厘米．
【答案】 35
【例 11】四边形 ABCD 中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=900,求四边形 ABCD 的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】如下图,以 BD 的垂直平分线为对称轴 L,做△ABD 关于 L 的对称图形△ ABD.连接 AC．
因为∠ABD+∠BDC=9000 而∠ABD=∠ ADB=900,所以有∠ ADB+∠BDC=900．
那么 ACD 为直角三角形,由勾股定理知 2A C 2 2AB CD =2500,所以 50A C .
而在△ ABC 中,有 AB=AD=48,有 482+142=2500,即 AB2+BC2= AC2,即△ ABC 为直角三角形．
有 A CD A BCS S
130 40 2
114 48 9362
.
而| ABCDS四边形 A CD A BCS S 936 .
评注:Ⅰ.本题以∠ABC+∠BDC=900 突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形
Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作 L 的对称图形.如下：
【答案】 936
【例 12】如图,在三角形 ABD 中,当 AB 和 CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】因为 AB=CD,于是可以将三角形 ABC 的边 BA 边与 CD 对齐,如下图．在下图中有∠BCA=110°,所以
∠ACD=70°于是∠ AC C =∠ ACD +∠ DC C =∠ ACD +∠ ABC =70°+40°=110°；
即∠ AC C =110°=∠CC D ；又因为C A 只是CA 移动的变化,所以C A =CA ；则 ABC A 是一
等腰梯形．于是,∠ ADC =180° 110°=70°；又∠CDC=30°,所以∠ ADC =70° 30°=40°.
【答案】 40 °
【例 13】如图所示的四边形的面积等于多少？
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形
OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12 的正方形，且这个正方形的面积就
是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12 12 144 .(也可以用勾股定理)
【答案】144
【例 14】如图，三角形 ABC 是等腰直角三角形， P 是三角形外的一点，其中 90BPC ， 10cmAP ，求
四边形 ABPC 的面积．
P
D
C
B
A
P'
P
D
C
B
A
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】因为 BAC 和 BPC 都是直角，和为180 ，所以 ABP 和 ACP 的和也为180 ，可以旋转三角形
APC ，使 AC 和 AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形 'AP P ，面积为10 10 2 50 平
方厘米．
【答案】 50
【例 15】如图所示， ABC 中， 90ABC ， 3AB ， 5BC ，以 AC 为一边向 ABC 外作正方形 ACDE ，
中心为 O ，求 OBC 的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】武汉明心奥数
【解析】如图，将 OAB 沿着 O 点顺时针旋转 90 ，到达 OCF 的位置．
由于 90ABC ， 90AOC ，所以 180OAB OCB ．而 OCF OAB ，
所以 180OCF OCB ，那么 B 、C 、 F 三点在一条直线上．
由于 OB OF ， 90BOF AOC ，所以 BOF 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为 5 3 8 ，所
以它的面积为 2 18 164
．根据面积比例模型， OBC 的面积为 516 108
．
【答案】10
【例 16】如图，直角梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， AB BC ， 2AD ， 3BC ，将腰 CD 以 D 为中心逆时针
旋转 90 至 ED ，连接 AE 、 CE ，则 ADE 的面积是 ．
E
D
C
B
A
H
F
E
D
C
B
A
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】武汉明心奥数
【解析】如图所示，将 ADE 以 D 为中心顺时针旋转 90 ，到 FDC 的位置．延长 FD 与 BC 交于 H ．
由于 ABCD 是直角梯形， AD 与 FD 垂直，则四边形 ADHB 是长方形，则 BH AD ．
由于 ADE 与 FDC 面积相等，而 FDC 的底边 2FD AD ，高 3 2 1CH BC BH ，所以
FDC 的面积为 2 1 2 1 ，那么 ADE 的面积也为 1．
【答案】1
【例 17】如图，正方形 ABCD 和 DEFG 有一个公共点 D ，试比较三角形 ADG 和三角形 CDE 的面积．
G
F
E
D
C
B
A
A'
G
F
E
D
C
B
A
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】因为 ADC 和 GDE 是直角，所以 ADG 和 CDE 是互补角，将三角形 ADG 顺时针旋转 90 到达
'A DE 的位置，则 'A 、 D 、 C 在同一条直线上，且 'A D AD CD ，即 D 是 'A C 的中点，所以三
角形 CDE 和三角形 'A DE 面积相等，则三角形 CDE 和三角形 ADG 面积相等．
【答案】相等
【例 18】如图，以正方形的边 AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ， 90AEB ，AC 、BD 交于 O ．已
知 AE 、 BE 的长分别为 3cm 、 5cm ，求三角形 OBE 的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】资优杯
【解析】如图，连接 DE ，以 A 点为中心，将 ADE 顺时针旋转90 到 ABF 的位置．
那么 90EAF EAB BAF EAB DAE ，而 AEB 也是 90 ，所以四边形 AFBE 是直角梯
形，且 3AF AE ，
所以梯形 AFBE 的面积为：
13 5 3 122
( 2cm )．
又因为 ABE 是直角三角形，根据勾股定理， 2 2 2 2 23 5 34AB AE BE ，所以
21 172ABDS AB ( 2cm )．
那么 17 12 5BDE ABD ABE ADE ABD AFBES S S S S S ( 2cm )，
所以 1 2.52OBE BDES S ( 2cm )．
【答案】 2.5
【例 19】如图，已知 4cmAB AE ，BC DC ， 90BAE BCD ， 10cmAC ，则 SABC ACE CDES S
2cm ．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10 题
【解析】将三角形 ABC 绕 A 点和 C 点分别顺时针和逆时针旋转 90 ，构成三角形 'AEC 和 'A DC ，再连接
' 'A C ，显然 'AC AC ， 'AC A C ， ' 'AC A C AC ，所以 ' 'ACA C 是正方形．三角形 'AEC 和三
角形 'A DC 关于正方形的中心 O 中心对称，在中心对称图形 ' 'ACA C 中有如下等量关系：
' 'AEC A DCS S ； ' 'AEC A DCS S ； 'CED C DES S ．
所以 2
' ' '
1 1 10 10 50cm2 2ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA CS S S S S S S ．
【答案】 50
【例 20】如图所示的四边形 ABCD 中， 45A C °， 105ABC °， 15AB CD 厘米，连接对角线 BD ，
30ABD ．求四边形 ABCD 的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】第八届、华杯总决赛
【解析】由 45A °， 30ABD ，可得 180 45 30 105ADB ， 105 30 75DBC ．
将 DBC 剪下来，翻转，再贴在 BD 边上，即将 B 点粘在 D 点上，D 点粘在 B 点上，如右上图所示．则
C 点在 E 点的位置．由于 105 75 180ADB EDB ，所以 A 、D 、E 三点在同一条直线上．由
于 45A E C °，所以 90ABE ，即 ABE 是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形
ABCD 的面积，所以四边形 ABCD 的面积为 15 15 112.52
平方厘米．
【答案】112.5
【例 21】如图，在 ABD 中， AB CD ，求“？”的度数．
40°
30°
?
D
C
B
A
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】如 图 ， 由 于 AB CD ， 可 以 将 ABC 移 动 到 DCE ， 由 于 180 (30 40 ) 110ACB ，
180 110 70ACD ，所以 70 40 110ACE ，又 110CED ，而 AC DE ，所以四
边形 ACED 是等腰梯形，有 180 180 110 70ADE CED ， 70 30 40ADC ．
点评：通过构造全等三角形来转化．
【答案】 40 °
【例 22】下图三角形 ABC 是等腰三角形， AB AC ， 120BAC ．三角形 ADE 是正三角形，点 D 在 BC
边上， : 2:3BD DC ．当三角形 ABC 的面积是 250cm 时，三角形 ADE 的面积是多少？
E
D
C
B
A
G
P
R
Q
F
E
D
C
B
A
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】以点 A 为中心，由三个三角形 ABC 可拼成右图：连结 QE 、 RF 、 GD ，则 DEQFRG 是一个正六边
形．连结 RD 、 DQ 、 RQ ，显然 RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，
所以是三角形 ADE 的面积的 3 倍．
由于 23 150cmPBC ABCS S ，根据“鸟头定理”， 22 3 36cm3 2 2 3DQC PBCS S
，
所以 23 42cmRDQ PBC DQCS S S ，则 23 42 3 14cmADE RDQS S ．
【答案】14
【例 23】如图，正方形 PQRS 有三个顶点分别在 ABC 的三条边上， BQ QC ．求正方形 PQRS 的面积．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】如下图，我们设 ABC 的面积为 1，有 1 6 1 2 7 9 341 ( ) 12 2 13 2 11 13 11 143
ae c d b ，
所以 682 143a e ， 751 143b c d a ， 所以 68
75
a
b c d
．
如下图左，将三角形 c 和三角形 d 分别以 P 、R 为中心按箭头方向旋转 90 ，形成由两个直角三角形
连在一起的一个四边形，如下图右， b 、 c 、 d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：
27 6 2 9 2 2 30cmb c d ，所以 26830 27.2(cm )75a ．
【答案】 27.2
【例 24】如 下 图 ,△ABC 是 边 长 为 1 的 等 边 三 角 形 ,△BCD 是 等 腰 三 角 形 BD=CD ， 顶 角
∠BDC=1200,∠MDN=600,求△AMN 的周长.
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如下图, 延长 AC 至 P,使 CP=MB,连接 DP.
则有∠MBD=600+ 1 1
6 3ADE DQRDEQSRTS S S 正六边形
0 0180 120
2
∠PCD；CP=BM；BD=CD,
所以有△MBD≌△PCD.于是∠MDC=∠PDC；
又因为∠MDB+∠NDC=600,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=600；
MD=PD,在△MDN、△PND 中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,
于是△MND≌△PND.有 MN=PN.因为 NP=NP=NC+CP,而 AM=AB-MB=AB-CP,
所以 AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2.即△AMN 的周长为 2.
【答案】 2
【例 25】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是 3 个五边形．那么要完成这一圈
共需
个正五边形．
【考点】平移、旋转、割补 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5 题
【解析】【解析】如图，设 O 为圆心， A 、 B 、C 、 D 为五边形的顶点，连接 OA 、OB 、 OC .
D
C
B
A
O
从图中可以看出， OAB△ 和 OBC△ 是完全相同的，所以 OBA OBC ，又五边形内角和为 540°，
所以正五边形的每个内角都为 540 5 108 ° °，即 108ABD CBD °，
那么 360 108 2 144ABC ，则 144 2 72OBA ° °，
又 OAB OBA ，所以 180 72 2 36AOB
所以要用 360 36 10 ° ° 个正五边形才能围成一圈.
【答案】10
【例 26】如图，ABCD 是矩形，BC=6cm, AB=10cm,AC 和 BD 是对角线，图中的阴影部分以 C 为轴旋转一
周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取 3.14）
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛、决赛、第 11 题
【解析】①设三角形 BCO 以 CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是 s，S 等于高为 10 厘米，底面半径是 6
厘米的圆锥的体积减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积。
②即： 2 21 16 10 π 2 3 5 π 90π3 3S ，2S＝180π＝565.2（立方厘米）
体积是 565.2 立方厘米。
【答案】 565.2
【例 27】一个半径为 1 厘米的圆盘沿着一个半径为 4 厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕
大圆盘中心转动 90 度后（如图 2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。（ =3.14）
【考点】平移、旋转、割补 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛、决赛、第 4 题、10 分
【解析】18.84
【答案】18.84
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