小学奥数4-3-2 三角形等高模型与鸟头模型（二）.教师版

例题精讲 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积  底 高 2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时 也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图 1 2: :S S a b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCDS S△ △ ； 反之，如果 ACD BCDS S△ △ ，则可知直线 AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在 ABC△ 中， ,D E 分别是 ,AB AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， 则 : ( ) :( )ABC ADES S AB AC AD AE  △ △ 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在 ABC△ 中， ,D E 分别是 ,AB AC 上的点，且 : 2:5AD AB  ， : 4:7AE AC  ， 16ADES △ 平 4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型 方厘米，求 ABC△ 的面积． E D C B A E D C B A 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 BE ， : : 2:5 (2 4) :(5 4)ADE ABES S AD AB    △ △ ， : : 4:7 (4 5) :(7 5)ABE ABCS S AE AC    △ △ ，所以 : (2 4) :(7 5)ADE ABCS S   △ △ ，设 8ADES △ 份， 则 35ABCS △ 份， 16ADES △ 平方厘米，所以1份是 2 平方厘米， 35 份就是 70 平方厘米， ABC△ 的 面积是 70 平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相 等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【答案】70 【巩固】如图，三角形 ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形 ADE 的面积等于 1，那 么三角形 ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 BE ． ∵ 3EC AE ∴ 3ABC ABES S  又∵ 5AB AD ∴ 5 15ADE ABE ABCS S S      ，∴ 15 15ABC ADES S   ． 【答案】15 【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， 4BD DC  ， 3BE  ， 6AE  ，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 AD ． ∵ 3BE  ， 6AE  ∴ 3AB BE ， 3ABD BDES S  又∵ 4BD DC  ， ∴ 2ABC ABDS S  ，∴ 6ABC BDES S  ， 5S S乙 甲 ． 【答案】5 【例 2】 如图在 ABC△ 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 : 5: 2AB AD  ， : 3: 2AE EC  ， 12ADES △ 平方厘米，求 ABC△ 的面积． E D C B A E D C B A 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】连接 BE ， : : 2:5 (2 3) :(5 3)ADE ABES S AD AB    △ △  : : 3:(3 2) (3 5) : (3 2) 5ABE ABCS S AE AC      △ △ ， 所以  : (3 2) : 5 (3 2) 6: 25ADE ABCS S     △ △ ，设 6ADES △ 份，则 25ABCS △ 份， 12ADES △ 平方厘 米，所以1份是 2 平方厘米， 25 份就是 50 平方厘米， ABC△ 的面积是 50 平方厘米．由此我们得到 一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【答案】50 【例 3】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 的中点， 2AF CF ，三角形 AFE(图中阴影部分)的 面积为 8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】连接 FB．三角形 AFB 面积是三角形 CFB 面积的 2 倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的 2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积 的 2 倍，所以平行四边形的面积是三角形 AFE 面积的 3 2 6 （ ） 倍．因此，平行四边形的面积为 8 6 48  (平方厘米)． 【答案】48 【例 4】 已知 DEF△ 的面积为 7 平方厘米， , 2 , 3BE CE AD BD CF AF   ，求 ABC△ 的面积． F E D C B A 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 : ( ) :( ) (1 1) :(2 3) 1:6BDE ABCS S BD BE BA BC      △ △ ， : ( ) :( ) (1 3) :(2 4) 3:8CEF ABCS S CE CF CB CA      △ △ : ( ) :( ) (2 1) :(3 4) 1:6ADF ABCS S AD AF AB AC      △ △ 设 24ABCS △ 份，则 4BDES △ 份， 4ADFS △ 份， 9CEFS △ 份， 24 4 4 9 7DEFS     △ 份，恰好是 7 平方厘米，所以 24ABCS △ 平方厘米 【答案】24 【例 5】 如图 16-4，已知．AE= 1 5 AC，CD= 1 4 BC，BF= 1 6 AB，那么 DEF ABC 三角形 的面积 三角形 的面积 等于多少? 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9 题 【解析】如下图，连接 AD，BE，CF. 有△ABE，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有 ABE ABC S S   = AE AC ，所以 ABES = AE AC × ABCS = 1 5 ABCS 同理有 AEFS = AF AB ABES ,即= AEFS = 1 5 × 5 6 ABCS = 1 6 ABCS . 类似的还可以得到 CDES = 1 4 × 4 5 ABCS = 1 5 ABCS ， BDFS = 1 6 × 1 3 ABCS = 1 8 ABCS ． 所以有 DEFS = ABCS -( AEFS + CDES + BDFS )=(1- 1 6 - 1 5 - 1 8 ) ABCS = 61 120 ABCS ． 即 DEF ABC 三角形 的面积 三角形 的面积 为 61 120 ． 【答案】 61 120 【例 6】 如图，三角形 ABC 的面积为 3 平方厘米，其中 : 2:5AB BE  ， : 3: 2BC CD  ，三角形 BDE 的面 积是多少？ A B E C D D C E B A 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】由于 180ABC DBE     ，所以可以用共角定理，设 2AB  份， 3BC  份，则 5BE  份， 3 2 5BD    份，由共角定理 : ( ) :( ) (2 3) :(5 5) 6: 25ABC BDES S AB BC BE BD      △ △ ，设 6ABCS △ 份，恰好是 3平方厘米，所以1份是 0.5 平方厘米，25 份就是 25 0.5 12.5  平方厘米，三角 形 BDE 的面积是12.5 平方厘米 【答案】12.5 【例 7】 如图所示，正方形 ABCD 边长为 6 厘米， 1 3AE AC ， 1 3CF BC ．三角形 DEF 的面积为_______ 平方厘米． 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛 【解析】由题意知 1 3AE AC 、 1 3CF BC ，可得 2 3CE AC ．根据”共角定理”可得，  : ( ) :( ) 1 2 :(3 3) 2:9CEF ABCS S CF CE CB AC      △ △ ；而 6 6 2 18ABCS    △ ；所以 4CEFS △ ； 同理得， : 2:3CDE ACDS S △ △ ;， 18 3 2 12CDES    △ ， 6CDFS △ 故 4 12 6 10DEF CEF DEC DFCS S S S      △ △ △ △ (平方厘米)． 【答案】10 【例 8】 如图，已知三角形 ABC 面积为1，延长 AB 至 D ，使 BD AB ；延长 BC 至 E ，使 2CE BC ；延 长 CA 至 F ，使 3AF AC ，求三角形 DEF 的面积． F E D C B A A B C D E F 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用． 连接 AE 、 CD ． ∵ 1 1 ABC DBC S S   ， 1ABCS  ， ∴S 1DBC  ． 同理可得其它，最后三角形 DEF 的面积 18 ． (法 2 )用共角定理∵在 ABC 和 CFE 中， ACB 与 FCE 互补， ∴ 1 1 1 4 2 8 ABC FCE S AC BC S FC CE        ． 又 1ABCS  ，所以 8FCES  ． 同理可得 6ADFS  ， 3BDES  ． 所以 1 8 6 3 18DEF ABC FCE ADF BDES S S S S             ． 【答案】18 【例 9】 如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方 厘米，则 EFGH 的面积是多少平方厘米? 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】方法一：如下图，连接 BD，ED，BG， 有 EAD、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有 2EAD ABD ABD EAS S SAB     ． 同理 3 6EAH EAD EAD ABD AHS S S SAD       ． 类似的，还可得 6FCG BCDS S  ，有  6 6EAH FCG ABD BCD ABCDS S S S S       =30 平方厘米． 连接 AC，AF，HC，还可得 6EFB ABCS S  ， 6DHG ACDS S  ， 有  6 6EFB DHG ABC ACD ABCDS S S S S       =30 平方厘米. 有四边形 EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接 BD，有 EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边 EA、AH，AB、AD 的乘积比， EA AH AB AD   =2×3=6，所以 EAHS =6 ABDS ． 类似的，还可得 FCGS =6 BCDS ，有 EAHS + FCGS =6（ ABDS + BCDS )=6 ABCDS =30 平方厘米． 连接 AC，还可得 EFBS =6 ABCS ， DHGS =6 ACDS ， 有 EFBS + DHGS =6（ ABCS + ACDS ）=6 ABCDS =30 平方厘米． 有四边形 EFGH 的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD 的面积和， 即为 30+30+5=65 平方厘米． 【答案】65 【例 10】如图，平行四边形 ABCD ，BE AB ， 2CF CB ， 3GD DC ， 4HA AD ，平行四边形 ABCD 的 面积是 2 ， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比． H G A B C D E F H G A B C D E F 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】连接 AC 、 BD ．根据共角定理 ∵在 ABC△ 和 BFE△ 中， ABC 与 FBE 互补， ∴ 1 1 1 1 3 3 ABC FBE S AB BC S BE BF      △ △ ． 又 1ABCS △ ，所以 3FBES △ ． 同理可得 8GCFS △ ， 15DHGS △ ， 8AEHS △ ． 所以 8 8 15+3+2 36EFGH AEH CFG DHG BEF ABCDS S S S S S        △ △ △ △ ． 所以 2 1 36 18 ABCD EFGH S S   ． 【答案】 1 18 【例 11】如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ，CB BF ， DC CG ， HD DA ，求四边形 ABCD 的面积． H G F E D C B A A B C D E F G H 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】连接 BD ．由共角定理得 : ( ) :( ) 1: 2BCD CGFS S CD CB CG CF   △ △ ，即 2CGF CDBS S△ △ 同理 : 1: 2ABD AHES S △ △ ，即 2AHE ABDS S△ △ 所以 2( ) 2AHE CGF CBD ADB ABCDS S S S S   △ △ △ △ 四边形 连接 AC ，同理可以得到 2DHG BEF ABCDS S S △ △ 四边形 5AHE CGF HDG BEFEFGH ABCD ABCDS S S S S S S     △ △ △ △四边形 四边形 四边形 所以 66 5 13.2ABCDS   四边形 平方米 【答案】13.2 【例 12】如图，将四边形 ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四 边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 EFGH 的面积是 ． A B C D E F G H A B C D E F G H 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】连接 AC 、 BD ． 由于 2BE AB ， 2BF BC ，于是 4BEF ABCS S  ，同理 4HDG ADCS S  ． 于是 4 4 4BEF HDG ABC ADC ABCDS S S S S       ． 再由于 3AE AB ， 3AH AD ，于是 9AEH ABDS S  ，同理 9CFG CBDS S  ． 于是 9 9 9AEH CFG ABD CBD ABCDS S S S S       ． 那么 4 9 12 60EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCDS S S S S S S S S S             ． 【答案】60 【例 13】如图，在 ABC△ 中，延长 AB 至 D ，使 BD AB ，延长 BC 至 E ，使 1 2CE BC ，F 是 AC 的中点， 若 ABC△ 的面积是 2 ，则 DEF△ 的面积是多少？ A B C D E F 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】∵在 ABC△ 和 CFE△ 中， ACB 与 FCE 互补， ∴ 2 2 4 1 1 1 ABC FCE S AC BC S FC CE      △ △ ． 又 2ABCS  ，所以 0.5FCES  ． 同理可得 2ADFS △ ， 3BDES △ ． 所以 2 0.5 3 2 3.5DEF ABC CEF DEB ADFS S S S S        △ △ △ △ △ 【答案】3.5 【例 14】如图， 1ABCS △ ， 5BC BD ， 4AC EC ， DG GS SE  ， AF FG ．求 FGSS ． S G F E D C B A 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一 个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以 看作是找点，最妙的是其中包含了找点的 3种情况． 最后求得 FGSS△ 的面积为 4 3 2 1 1 1 5 4 3 2 2 10FGSS      △ ． 【答案】 1 10 【例 15】如图所示，正方形 ABCD 边长为 8厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三 角形 ABG 的面积是多少平方厘米？ A B C D E F G A B C D E F G 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】连接 AF 、 EG ． 因为 21 8 164BCF CDES S   △ △ ，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积 比等于夹这个角的两边长度的乘积比” 8AEFS  ， 8EFGS  ，再根据”当两个三角形有一个角相等或 互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到 16BFCS  ， 32ABFES  ， 24ABFS  ，所以 12ABGS  平方厘米． 【答案】12 【例 16】四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积． 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形 DEF ，则 AGF 与 CEH 都是正三角形． 假设正六边形的边长为为 a ，则 AGF 与 CEH 的边长都是 4a ，所以大正三角形 DEF 的边长为 4 2 1 7   ，那么它的面积为单位小正三角形面积的 49 倍．而一个正六边形是由 6 个单位小正三角 形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为 1 6 ，三角形 DEF 的面积为 49 6 ． 由于 4FA a ， 3FB a ，所以 AFB 与三角形 DEF 的面积之比为 4 3 12 7 7 49   ． 同理可知 BDC 、 AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为 12 49 ，所以 ABC 的面积占三角形 DEF 面积 的 12 131 349 49    ，所以 ABC 的面积的面积为 49 13 13 6 49 6   ． 【答案】 13 6 【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是 1，则图中虚线围成的五边形 ABCDE 的面积是 ． B D C E A 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】从图中可以看出，虚线 AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六 边形的面积；虚线 BC 和虚线 DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正 六边形的面积；虚线 AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边 形面积的 1 6 ，所以虚线外图形的面积等于 1 11 3 2 36 3     ，所以五边形的面积是 1 210 3 63 3   ． 【答案】 26 3 【例 17】仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形 ABC 和三角形 BCD 的面积比。 【考点】三角形的鸟头模型 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，6 年级，第 10 题 【解析】连接 DA 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，然后测出 EA 和 ED 的长度，由于 EA 与 ED 在一条直线上， 所以测一次就能 EA 和 ED 长度，根据共边定理可知，三角形 ABC 与三角形 BCD 的面积比就等于 EA 比 ED，故最少测量 1 次就可解决问题。 【答案】1 次