圆与扇形
例题精讲
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位
置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
圆的面积 2πr ；扇形的面积 2π 360
nr ；
圆的周长 2πr ；扇形的弧长 2π 360
nr ．
一、跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说
的 1
2
圆、 1
4
圆、 1
6
圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几
分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是
360
n ．
比如：扇形的面积 所在圆的面积
360
n ；
扇形中的弧长部分 所在圆的周长
360
n
扇形的周长 所在圆的周长
360
n 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积 扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图： 弯角的面积 正方形-扇形
④”谷子”：如图： “谷子”的面积 弓形面积 2
二、常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)
②等积变形(割补、平移、旋转等)
③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
板块、曲线型旋转问题
【例 1】 正三角形 ABC 的边长是 6 厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使 A 点再次落在这条直线上，那么 A
点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是 15 平方厘米，那么三角形在滚
动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留 π )
A
B
B
C
A
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示， A 点在翻滚过程中经过的路线为两段120 的圆弧，所以路线的总长度为：
1202π 6 2 8π360
厘米；
三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个120 的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为：
2 120π 6 2 15 24π 15360
平方厘米．
【答案】 24π 15
【巩固】直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长10 厘米．如下图所示，三角形
由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此时 B ，C 点分别到达 1B ， 1C 点；再绕 1B 点转动，到达位置Ⅲ，
此时 A ， 1C 点分别到达 2A ， 2C 点．求 C 点经 1C 到 2C 走过的路径的长．
60
30
B
1
C
1
C
2
A
2
C
B
A
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于 BC 为 AC 的一半，所以 30CAB ，则弧 1CC 为大圆周长的 180 30 5
360 12
，弧 1 2C C 为小圆
周长的 1
4
，而 1 1 2CC C C 即为 C 点经 1C 到 2C 的路径，所以 C 点经 1C 到 2C 走过的路径的长为
5 1 50 652π 20 2π 10 π 5π π12 4 3 3
(厘米)．
【答案】 65 π3
【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是 5cm ．让这
个长方形绕顶点 B 顺时针旋转 90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位
置．求点 A 走过的路程的长．
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
E
D
C
B
A
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为长方形旋转了三次，所以 A 点在整个运动过程中也走了三段路程(如右上图所示)．
这三段路程分别是：
第 1 段是弧 1AA ，它的长度是 12 π 4 4
( cm )；
第 2 段是弧 1 2A A ，它的长度是 12 π 5 4
( cm )；
第 3 段是弧 2A E ，它的长度是 12 π 3 4
( cm )；
所以 A 点走过的路程长为： 1 1 12 π 4 2 π 5 2 π 3 6π4 4 4
( cm )．
【答案】6π
【例 2】 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊(见如
图)．问：这只羊能够活动的范围有多大？(圆周率取 3.14 )
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示，羊活动的范围可以分为 A ，B ，C 三部分，其中 A 是半径30 米的 3
4
个圆，B ，C 分别是
半径为 20 米和10 米的 1
4
个圆．
所以羊活动的范围是 2 2 23 1 1π 30 π 20 π 104 4 4
2 2 23 1 1π 30 20 104 4 4
2512 ．
【答案】2512
【巩固】一只狗被拴在底座为边长 3m 的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 4m ，求狗所能到的地方
的总面积．(圆周率按 3.14 计算)
3
3
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示，羊活动的范围是一个半径 4m ，圆心角 300°的扇形与两个半径1m ，圆心角 120°的扇
形之和．所以答案是 243.96m ．
【答案】43.96
【例 3】 如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60 ，此时 B 点移动到 'B
点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3计算)．
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】面积 圆心角为 60 的扇形面积 半圆 空白部分面积(也是半圆) 圆心角为 60 的扇形面积
2 260 3π 3 π 4.5(cm )360 2
．
【答案】4.5
【例 4】 如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米， 60ABC ，此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为
中心，将 ABC 顺时针旋转120 ，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图
中阴影部分的面积．( π 取 3)
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】注意分割、平移、补齐．
如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置，
因为 60EBD ，那么 120ABE ，
则阴影部分为一圆环的 1
3
．
所以阴影部分面积为 2 21 π 753 AB BC (平方厘米)．
【答案】75
【巩固】如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋
转 90 ，问：三角形扫过的面积是多少？( π 取 3)
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之
一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边 OA ．
因此可以求得，三角形扫过的面积为： 124 π 10 10 24 25π 994
(平方厘米)．
【答案】99
【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形 ABC 中， B 为直角，且 2BC 厘米， 4AC 厘米，
则在将 ABC 绕 C 点顺时针旋转120 的过程中， AB 边扫过图形的面积为 ．( π 3.14 )
C
B
A
B'
A'
C
B
A
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如右上图所示，假设 ABC 旋转120 到达 ' 'A B C 的位置．阴影部分为 AB 边扫过的图形．
从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于
扇形 'ACA 的面积与 ABC 的面积之和，空白部分面积等于扇形 'BCB 的面积与 ' 'A B C 的面积，由
于 ABC 的面积与 ' 'A B C 的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形 'ACA 与扇形 'BCB 的面积之
差，为 2 2120 120π 4 π 2 4π 12.56360 360
(平方厘米)．
【答案】12.56
【例 5】 如下图，△ABC 是一个等腰直角三角形，直角边的长度是 1 米。现在以 C 点为圆点，顺时针旋转
90 度，那么，AB 边在旋转时所扫过的面积是平方米 。（ =3.14）
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。
因为 2 2 21r r ，所以 2 1
2r 。
所求面积为 2 2 2 21 1 1 11 1 1 0.67754 2 4 4 2 8r
（平方米）
【答案】0.6775
【例 6】 如图 30-14，将长方形 ABCD 绕顶点 C 顺时针旋转 90 度，若 AB=4，BC=3，AC=5，求 AD 边扫
过部分的面积．( 取 3.14)
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如下图所示，
如下图所示，端点 A 扫过的轨迹为 AA A ，端点 D 扫过轨迹为 DD D ，而 AD 之间的点，扫过的轨迹
在以 A、D 轨迹，AD， A D 所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段 AD 上某点扫过，
所以 AD 边扫过的图形为阴影部分．显然,
有阴影部分面积为 A D C ACA ACDS S S S 直角 扇形 直角 扇形CD D ,而直角三角形 A D C 、ACD 面积相等．
=A D C ACA ACD ACAS S S S S S 直角 扇形 直角 扇形CD D 扇形 扇形CD D
2 2 2 290 90 9= (5 4 ) 7.065( )360 360 4 4AC CD 平方厘米
即 AD 边扫过部分的面积为 7．065 平方厘米．
【答案】7.065
【例 7】 (祖冲之杯竞赛试题)如图， ABCD 是一个长为 4 ，宽为 3，对角线长为 5 的正方形，它绕 C 点按顺
时针方向旋转 90 ，分别求出四边扫过图形的面积．
C
B
D
A
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】容易发现， DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的 1
4
，如图：
B'
A'
D
C
B
A
因此 DC 边扫过图形的面积为 4π ， BC 边扫过图形的面积为 9π
4
．
2、研究 AB 边的情况．
在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部分应该介于
这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：
D
C
B'
B
A'
A
下面来求这部分的面积．
观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：
扇形 'ACA 面积＋三角形 ' 'A B C 面积－三角形 ABC 面积一扇形 'BCB 面积＝扇形 'ACA 面积一扇形
'BCB 面积
2 25 π 3 π
4 4
4π
3、研究 AD 边扫过的图形．
由于在整条线段上距离 C 点最远的点是 A ，最近的点是 D ，所以我们可以画出 AD 边扫过的图形，
如图阴影部分所示：
A
A'
B
B'
C
D
用与前面同样的方法可以求出面积为：
2 25 π 4 π 9 π4 4 4
旋转图形的关键，是先从整体把握一下”变化过程”，即它是通过什么样的基本图形经过怎样的
加减次序得到的．先不去考虑具体数据，一定要把思路捋清楚．最后你会发现，所有数据要么直接
告诉你，要么就”藏”在那儿，一定会有．
可以进一步思考，比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等，此类问题的解决
对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的．
【答案】（1） BC 边扫过图形的面积为 9π
4
（2） AB 边扫过图形的面积为 4π
（3） AD 边扫过图形的面积为 9π
4
（4）DC 边扫过图形的面积为 4π
【例 8】 (华杯赛初赛)半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁
环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】对于这类问题，可以在初始时在小环上取一点 A ，观察半径 OA ，如图⑴，当小环沿大环内壁滚动到
与初始相对的位置，即滚动半个大圆周时，如图⑵，半径 OA也运动到了与初始时相对的位置．这时
OA 沿大环内壁才滚动了半圈．继续进行下半圈，直到 OA 与初始位置重合，这时 OA 自身转了 1 圈，
因此小铁环自身也转了 1 圈．
⑵
⑴
A
O
A
O
【总结】对于转动的圆来说，当圆心转动的距离为一个圆周长时，这个圆也恰好转了一圈．所以本题也可以
考虑小铁环的圆心轨迹，发现是一个半径与小铁环相等的圆，所以小铁环的圆心转过的距离等于自
己的圆周长，那么小铁环转动了 1 圈．
【答案】1 圈
【巩固】如果半径为 25 厘米的小铁环沿着半径为 50 厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁
环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，同样考虑小圆的一条半径 OA，当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大圆的半周时，半径
OA 滚动了540 ，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆自身转了 3 圈．
⑴
O
A
⑵
O
A
也可以考虑小圆圆心转过的距离．小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的 3 倍，所以这个圆的
周长也是小圆的 3 倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题
中小圆自身转了 3 圈．
【答案】3 圈
【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的 n ( 1n )倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又
回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离．
设小圆的半径为“单位 1”，则大圆的半径为“ n ”．
⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为 2π ( 1)n ．
所以小圆绕自己的圆心转动了： 2π ( 1) 12π
n n (圈)．
⑵在外侧滚动时，如图⑵所示．
因为圆心滚动的距离为 2π ( 1)n ．
所以小圆绕自己的圆心转动了： 2π ( 1) 12π
n n (圈)．
【答案】n-1 和 n+1
【例 9】 如图，15 枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位
置．问：这枚硬币自身转动了多少圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形，所以这枚硬
币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转了180 60 60 60 ．而硬币上的每一点都是半径
等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了 120°．
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币 2 倍的圆旋转
了 360 60 60 90 150 ．而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转
了 300º．
长方形的外圈有 12 个硬币，其中有 4 个在角上，其余 8 个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有 8 次是
在长方形的一条边之内滚动，4 次是从长方形的一条边滚动到另一条边．120 8 300 4 2160 ，
所以这枚硬币转动了 2160º，即自身转动了 6 圈．
另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个 2π 即滚动了一周．
【答案】6 圈
【巩固】12 个相同的硬币可以排成下面的 4 种正多边形(圆心的连线)．
用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周．问：在哪个图中这枚硬
币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】对于同样是 12 个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在”角”上的转动，一是在”边”
上的滚动．抓住关键方法：圆心轨迹长度 2π 自身转动圈数．结论：一样多；都是 6 圈．
【答案】一样多；都是 6 圈
【例 10】一枚半径为 1 cm 的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到
原来的位置，那么与原 A 点重合的点是______．硬币自己转动______，硬币圆心的运动轨迹周长
为_______．
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】先计算轨迹的长度：三个半径为 2 的半圆， 1 (2 2π) 3 6π2
，
6π 2π 3 ，即为 3周，所以答案为 A 点， 3周， 6π ．
【答案】 A 点， 3周， 6π
【例 11】先做一个边长为 2cm 的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm 为半径作弧，形成曲边三角形(如
左图)．再准备两个这样的图形，把一个固定住(右图中的阴影)，另一个围绕着它滚动，如右图那
样，从顶点相接的状态下开始滚动．请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？( π 3.14 )
C
B
A
2
2
2
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才
能实施具体的计算．
在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就是
它在所有方向上的宽度都相同．
为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分 2 步来思考：
第 1 步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点 A 的上方滚动到顶点 A 的左边时，这时阴影“莱洛
三角形”滚动的这部分面积是以 A 为圆心、2cm 为半径、圆心角为 60°的扇形．在顶点 A 、B 、C 处
各有这样的一个扇形；
第 2 步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边 AB 上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是
以图⑶中 D 点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C 点为圆心的弧 AB 上滚动，可知此时圆心 D 运动
的轨迹是图⑶中的弧 'DD ，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C 为圆心、 4cm 为
半径、圆心角为 60°的扇形减去半径为 2cm 的 60°的扇形；
综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积．
滚动时经过的面积是： 2 2 2 260 60 603 π 2 3 π 4 π 2 8π 25.12(cm )360 360 360
．
【答案】25.12
【例 12】下图为半径 20 厘米、圆心角为 1440 的扇形图.点 C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的 B、K 弧线
分为 8 等份的点.求阴影部分面积之和．
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如下图,做出辅助线,
△KMA 与△ANG 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG, KMA ANGS S ,
而△LMA 是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等．
所以,GNMK 与扇形 KGA 的面积相等,那么 KGEB 的面积为 2 倍扇形 KGA 的面积．
扇形 KGA 的圆心角为
0144
8 ×3=540,所以扇形面积为 054 20360
60 平方厘米．
那么 KGEB 的面积为 60 2 =120 平方厘米．
如下图,做出另一组辅助线．
△JQA 与△ARH 形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),
有△JQA≌△ARH, JQA ARHS S =5△A,而△PQA 是两个三角形的公共部分,
所以右图中的阴影部分面积相等.
所以,JHRQ 与扇形 JHA 的面积相等,那么 JHDC 的面积为 2 倍扇形 JHA 的面积．
扇形 JHA 的圆心角为
0
0144 1808
,所以扇形面积为 218 20 20360
平方厘米．
那么 JHDC 的面积为 20 2 40 平方厘米．
所以,原题图中阴影部分面积为 KGEB JHDCS S 120 40 80 ≈80×3.14=251.2 平方厘米．
【答案】251.2
【例 13】10 个一样大的圆摆成如图所示的形状．过图中所示两个圆心 A，B 作直线，那么直线右上方圆内
图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】直线 AB 的右上方的有 2 个完整的圆，2 个半圆，1 个 1 个 而 1 个 1 个 正好
组成一个完整的圆，即共有 4 个完整的圆，那么直线 AB 的左下方有 10-4=6 个完整的圆，每个圆的
面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是 4：6=2：3．
【答案】2:3
【例 14】在图中，一个圆的圆心是 0，半径 r=9 厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(
取 3.14)
【考点】 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】奥林匹克，初赛，11 题
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】有 AO=OB，所以△AOB 为等腰三角形，AO=OC，所以△AOC 为等腰三角形.
∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°.
∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°，
所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形 BOC 的面积为 260 9 42.39360
(平方厘米)．
【答案】42.39
【例 15】图是由正方形和半圆形组成的图形．其中 P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知
正方形的边长为 10，那么阴影部分的面积是多少?( 取 3.14)
【考点】曲线型旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】奥林匹克，初赛，11 题
【解析】过 P 做 AD 平行线，交 AB 于 O 点，P 为半圆周的中点，所以 0 为 AB 中点．
有 2
ABCD DPC
10 1S 10 10 100 S 12.52 2
半圆， （ ） .
AOP OPQB
10 1 10 1S 5 10+ 37.5 S 10 5 5 50.2 2 2 2
梯形（ ） ，
阴影部分面积为 ABCD AOPDPC OPQBS S S S 100 12.5 37.5 50 12.5 12.5 51.75. 半圆 梯形-
【答案】51.75
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