小学奥数4-3-3 任意四边形、梯形与相似模型（一）.教师版

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块一 任意四边形模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① 1 2 4 3: :S S S S 或者 1 3 2 4S S S S   ②    1 2 4 3: :AO OC S S S S   蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 【例 1】 图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形，其中 2 个小三角形 的面积分别是 6 公顷和 7 公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ 【考点】任意四边形模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】在 ABE ， CDE 中有 AEB CED   ，所以 ABE ， CDE 的面积比为 ( )AE EB :( )CE DE ．同 理有 ADE ， BCE 的面积比为 ( ) :( )AE DE BE EC  ．所以有 ABES × CDES = ADES × BCES ，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到 2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即 6ABES  = 7ADES  ，所以有 ABE 与 ADE 的面积 比为 7 : 6 ， ABES = 7 39 216 7   公顷， ADES = 6 39 186 7   公顷． 显然，最大的三角形的面积为 21 公顷． 【答案】21 【例 2】 如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为 1 平方 千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积是 6．92 平方千 米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【考点】任意四边形模型 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】小数报 【解析】根据蝴蝶定理求得 3 1 2 1.5AODS    △ 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是1 2 3 1.5 7.5    平 方千米，所以人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58  平方千米 【答案】0.58 【例 3】 一个矩形分成 4 个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的 15％，黄色三角形的面 积是 21 平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？ 【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 7 题 【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 50％，而绿色三角形面积占矩形面积的 15％，所以 黄色三角形面积占矩形面积的 50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是 21 平方厘米，所以矩形面 积等于 21÷35％＝60(平方厘米) 【答案】60 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形 BGC 的面 积；⑵ :AG GC  ？ 【考点】任意四边形模型 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】⑴根据蝴蝶定理， 1 2 3BGCS    ，那么 6BGCS  ； ⑵根据蝴蝶定理，    : 1 2 : 3 6 1:3AG GC     ． 【答案】1:3 【例 4】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O (如图所示)．如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 的 面积的 1 3 ，且 2AO  ， 3DO  ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的_________倍． 【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条 件 : 1:3ABD BCDS S   ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改 造这个”不良四边形”，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ，CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比．再 应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵ : : 1:3ABD BDCAO OC S S   ，∴ 2 3 6OC    ，∴ : 6:3 2:1OC OD   ． 解法二：作 AH BD 于 H ， CG BD 于G ． ∵ 1 3ABD BCDS S  ，∴ 1 3AH CG ，∴ 1 3AOD DOCS S  ，∴ 1 3AO CO ，∴ 2 3 6OC    ， ∴ : 6:3 2:1OC OD   ． 【答案】2 倍 【例 5】 如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， CEF△ 、 OEF△ 、 ODF△ 、 BOE△ 的面积依次是 2、4、4 和 6．求：⑴求 OCF△ 的面积；⑵求 GCE△ 的面积． 【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】⑴根据题意可知， BCD△ 的面积为 2 4 4 6 16    ，那么 BCO△ 和 CDO 的面积都是16 2 8  ， 所以 OCF△ 的面积为8 4 4  ； ⑵由于 BCO△ 的面积为 8， BOE△ 的面积为 6，所以 OCE△ 的面积为8 6 2  ， 根据蝴蝶定理， : : 2: 4 1: 2COE COFEG FG S S    ，所以 : : 1: 2GCE GCFS S EG FG    ， 那么 1 1 221 2 3 3GCE CEFS S     ． 【答案】 2 3 【例 6】 如图相邻两个格点间的距离是 1，则图中阴影三角形的面积为 ． 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】，入学测试题 【解析】连接 AD 、 CD 、 BC ．则可根据格点面积公式，可以得到 ABC 的面积为： 41 1 22    ， ACD 的 面积为： 33 1 3.52    ， ABD 的面积为： 42 1 32    ．所以 : : 2:3.5 4:7ABC ACDBO OD S S    ， 所以 4 4 1234 7 11 11ABO ABDS S      ． 【答案】 12 11 【巩固】如图，每个小方格的边长都是 1，求三角形 ABC 的面积． 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】因为 : 2:5BD CE  ，且 BD ∥CE ，所以 : 2:5DA AC  ， 5 2 5ABCS   5 1027 7DBCS    ． 【答案】 10 7 【例 7】 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， 2BE EC ， CF FD ，求三角形 AEG 的面积． A B C D E F G A B C D E F G 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】人大附中考题 【解析】连接 EF ． 因为 2BE EC ， CF FD ，所以 1 1 1 1( )2 3 2 12DEF ABCD ABCDS S S      ． 因为 1 2AED ABCDS S   ，根据蝴蝶定理， 1 1: : 6:12 12AG GF   ， 所以 6 6 1 36 7 7 4 14AGD GDF ADF ABCD ABCDS S S S S        ． 所以 1 3 2 2 2 14 7 7AGE AED AGD ABCD ABCD ABCDS S S S S S          ， 即三角形 AEG 的面积是 2 7 ． 【答案】 2 7 【例 8】 如图，长方形 ABCD 中， : 2:3BE EC  ， : 1: 2DF FC  ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长 方形 ABCD 的面积． A B C D E F G A B C D E F G 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】连接 AE ， FE ． 因为 : 2:3BE EC  ， : 1: 2DF FC  ，所以 3 1 1 1( )5 3 2 10DEF ABCD ABCDS S S    长方形 长方形 ． 因为 1 2AED ABCDS S 长方形 ， 1 1: : 5:12 10AG GF   ，所以 5 10AGD GDFS S   平方厘米，所以 12AFDS  平 方厘米．因为 1 6AFD ABCDS S 长方形 ，所以长方形 ABCD 的面积是 72 平方厘米． 【答案】72 【例 9】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 中点， F 为 CE 中点， G 为 BF 中点，求三 角形 BDG 的面积． 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】设 BD 与CE 的交点为 O ，连接 BE 、 DF ． 由 蝴 蝶 定 理 可 知 : :BED BCDEO OC S S   ， 而 1 4BED ABCDS S  ， 1 2BCD ABCDS S  ， 所 以 : : 1: 2BED BCDEO OC S S   ，故 1 3EO EC ． 由于 F 为 CE 中点，所以 1 2EF EC ，故 : 2:3EO EF  ， : 1: 2FO EO  ． 由蝴蝶定理可知 : : 1: 2BFD BEDS S FO EO   ，所以 1 1 2 8BFD BED ABCDS S S    ， 那么 1 1 1 10 10 6.252 16 16BGD BFD ABCDS S S        （平方厘米）． 【答案】6.25 【例 10】如图，在 ABC 中，已知 M 、N 分别在边 AC 、BC 上，BM 与 AN 相交于 O ,若 AOM 、 ABO 和 BON 的面积分别是 3、2、1，则 MNC 的面积是 ． 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解． 根据蝴蝶定理得 3 1 3 2 2 AOM BON MON AOB S SS S         设 MONS x  ，根据共边定理我们可以得 ANM ABM MNC MBC S S S S      ， 33 3 22 31 2 x x     ，解得 22.5x  ． 【答案】22.5 【例 11】正六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 的面积是 2009 平方厘米， 1 2 3 4 5 6B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么 图中阴影六边形的面积是 平方厘米． 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，6 年级。初赛 【解析】如图，设 6 2B A 与 1 3B A 的交点为 O ，则图中空白部分由 6 个与 2 3A OA 一样大小的三角形组成，只要求 出了 2 3A OA 的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接 6 3A A 、 6 1B B 、 6 3B A ． 设 1 1 6A B B 的面积为”1“，则 1 2 6B A B 面积为”1“， 1 2 6A A B 面积为” 2 “，那么 6 3 6A A B 面积为 1 2 6A A B 的 2 倍，为” 4 “，梯形 1 2 3 6A A A A 的面积为 2 2 4 2 12    ， 2 6 3A B A 的面积为” 6 “， 1 2 3B A A 的面积为 2 ． 根据蝴蝶定理， 1 2 6 3 2 61 3 : 1:6B A B A A BB O A O S S    ，故 2 3 6 1 6A OAS   1 2 3 12 7B A AS  ， 所以 2 3 1 2 3 6 12: :12:1:77A OA A A A AS S 梯形 ，即 2 3A OA 的面积为梯形 1 2 3 6A A A A 面积的 1 7 ，故为六边形 1 2 3 4 5 6A A A A A A 面积的 1 14 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 1 3614 7   ，所以阴影部分面积为 32009 1 11487       (平方厘米)． 【答案】1148 【例 12】如图，ABCD 是一个四边形，M、N 分别是 AB、CD 的中点．如果△ASM、△MTB 与△DSN 的面 积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 ． 【考点】任意四边形模型 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，12 题 【解析】连接 MN 、 AC 、 BD ． 由于 M 是 AB 的中点，所以 AMN 与 BMN 的面积相等，而 MTB 比 ASM 的面积大 1，所以 MSN 比 MTN 的面积大 1；又由于 N 是CD 的中点，所以 DMN 的面积与 CMN 的面积相等，那么 CTN 的面积比 DSN 的面积大 1，所以 CTN 的面积为 9． 假设 MTN 的面积为 a ，则 MSN 的面积为 1a  ．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知 ASD 的 面积为 48 1a  ， BTC 的面积为 63 a ． 要使这两个三角形的面积为整数， a 可以为 1，3 或 7． 由于 ADM 的面积为 ABD 面积的一半， BCN 的面积为 BCD 面积的一半，所以 ADM 与 BCN 的面积之和为四边形 ABCD 面积的一半，所以 ADM 与 BCN 的面积之和等于四边形 BMDN 的面 积，即： 48 636 9 7 1 81 a aa a         ，得 48 63 2 11 aa a    ． 将 1a  、3、7 分别代入检验，只有 7a  时等式成立，所以 MTN 的面积为 7， MSN 、 ASD 、 BTC 的面积分别为 8、6、9． 四边形 ABCD 的面积为  6 7 8 9 2 60     ． 小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的． 【答案】60 【例 13】已知 ABCD 是平行四边形， : 3: 2BC CE  ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米。则阴影部分的面积 是 平方厘米。 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，第五题 【解析】连接 AC 。由于 ABCD 是平行四边形， : 3: 2BC CE  ，所以 : 2:3CE AD  ，根据梯形蝴蝶定理， 2 2: : : 2 : 2 3: 2 3:3 4:6:6:9COE AOC DOE AODS S S S        ，所以 6AOCS  （平方厘米）， 9AODS  （平 方厘米），又 6 9 15ABC ACDS S     （平方厘米），阴影部分面积为 6 15 21  （平方厘米）。 【答案】21 【例 14】正方形 ABCD 边长为 6 厘米，AE＝ 1 3 AC，CF＝ 1 3 BC。三角形 DEF 的面积为 平方厘米。 【考点】任意四边形模型 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 13 题 【解析】为 1 3AE AC ,所以三角形 ADE 的面积为三角形 ACD 的 1 3 ，即正方形 ABCD 的 1 1 1 2 3 6   。因为 1 3AE AC ， 1CF 3 BC ，所以三角形 CEF 的面积为三角形 ABC 面积的 2 1 2 3 3 9   ，所以四边形 ABFE 的面积是三角形 ABC 面积的 2 71 9 9   ，即正方形面积的 1 7 7 2 9 18   ，因为 1CF 3 BC ，所以三角形 DCF 的面积是正方形面积的 1 1 1 2 3 6   ，所以三角形 DEF 的面积是正方形面积的 1 7 51 26 18 18    ， 即 2 56 1018  （平方厘米）。 【答案】10 【例 15】如图 4，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE、三角形 DCE、三角形 BCD 的面积分别是 89、28、 26，那么三角形 DBE 的面积是 。 【考点】任意四边形模型 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，复赛，第 8 题，5 分 【解析】根据题意可知， 89 28 117ADC ADE DCES S S       ，所以 : : 26:117 2:9BDC ADCBD AD S S    ， 那么 : : 2:9DBE ADES S BD AD    ，故 2 2 2 789 (90 1) 20 199 9 9 9DBES         ． 【答案】 719 9