5-1-2-4.最值中的数字谜（一）
教学目标
1. 掌握最值中的数字谜的技巧
2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题
知识点拨
数字谜中的最值问题常用分析方法
1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以
转化为竖式数字谜；
2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．
3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、
分解质因数法、奇偶分析法等．
4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的
最值的可能值，再验证能否取到这个最值．
5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、
方程、估算、找规律等题型。
例题精讲
【例【例 11】】 有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是 11469，那么
其中最小的四位数是多少？
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】设 这 四 个 数 字 是 a b c d ， 如 果 0d ， 用 它 们 组 成 的 最 大 数 与 最 小 数 的 和 式 是
1 1 4 6 9
a b c d
d c b a ，由个位知 9a d ，由于百位最多向千位进 1，所以此时千位的和最多为 10，
与题意不符．所以 0d ，最大数与最小数的和式为
0
0
1 1 4 6 9
a b c
c b a ，由此可得 9a ，百位没有
向千位进位，所以 11a c ， 2c ； 6 4b c ．所以最小的四位数 cdba 是 2049．
【答案】2049
【例【例 22】】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大 7902，那么所有符
合这样条件的四位数中原数最大的是 ．
7 9 0 2
D C B A
A B C D
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】用 A 、 B 、C 、 D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式．从首
位来看 A 只能是 1 或 2，D 是 8 或 9；从末位来看，10 2A D ，得 8D A ，所以只能是 1A ，
9D ．被减数的十位数 B ，要被个位借去 1，就有 1B C ． B 最大能取 9，此时C 为 8，因此，
符合条件的原数中，最大的是 1989．
【答案】1989
【例【例 33】】 在下面的算式中， A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 、 G 分别代表 1～9 中的数字，不同的字母代表不同
的数字，恰使得加法算式成立．则三位数 EFG 的最大可能值是 ．
2 0 0 6
A B C D
E F G
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】可以看出， 1A ， 6D G 或 16．若 6D G ，则 D 、 G 分别为 2 和 4，此时 10C F ，只能
是 C 、F 分别为 3 或 7，此时 9B E ，B 、E 只能分别取 1,8 、 2,7 、 3,6 、 4,5 ，但此时 1、
2、3、4 均已取过，不能再取，所以 D G 不能为 6， 16D G ．这时 D 、G 分别为 9 和 7；且 9C F ，
9B E ，所以它们可以取 3,6 、 4,5 两组．要使 EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，
因此 EFG 的最大可能值为 659．事实上1347 659 2006 ，所以 EFG 最大为 659．
【答案】659
【巩固】【巩固】如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么四位数“奥林匹克”最大是
奥 林 匹 克
+ 奥 数 网
2 0 0 8
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 2 题
【解析】显然“ 2奥 ”，所以“ 1奥 或 2 ”，如果“ 2奥 ”，则四位数与三位数的和超过 2200 ，显然不符合条
件，所以“ 1奥 ”，所以“ 9林 ”，如果“ 9林 ”那么“ 2008 1900 100 8 匹克 数网 ”，“ 0匹=数 ”，
不符合条件，所以“林 ”最大只能是8，所以“ 2008 1800 100 108 匹克 数网 ”，为了保证不同的
汉字代表不同的数字，“匹克 ”最大是 76 ，所以“奥林匹克”最大是1876 。
【答案】1876
【例【例 44】】 下面是一个 n 进制中的加法算式，其中不同的字母表示不同的数，求 n 和 ABCDE 的值．
A B C D
C B E B
C E A B E
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空
【解析】【解析】由于算式中出现 5 个不同的数字，所以 n 至少为 5．在 n 进制中，就像在 10 进制中一样，两个四位
数相加得到一个五位数，那么这个五位数的首位只能为 1(因为这两个四位数都小于 10000，它们的
和小于 20000，故首位为 1)，即 1C ．由于 A 最大为 1n－ ，则 1 1 1 1 1A C n n ，
1 1A C n n ，即两个四位数的首位向上位进1后最多还剩下1，即 E 最大为1，又因为不同的
字母表示不同的数，E 不能C 与相同，所以 E 只能为 0 ．则 D B n ，末位向上进 1 位； 1 2C E ，
即 2B ； 4B B ，不向上进位，所以 4A ；A C E n ，得 5n ，则 3D n B ．所以 n 为
5， ABCDE 为 42130．
【答案】 n 为 5， ABCDE 为 42130
【例【例 55】】 右式中的 a ，b ，c ，d 分别代表 0～9 中的一个数码，并且满足 2a b c d ，被加数最大是多
少？
5
a b
c d
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】若 5b ，则由竖式知 a c ，b d ，不满足 2a b c d ；若 5b ，则由竖式知 1a c ， 5b d ，
代入 2a b c d ，得 4c d ．由此推知 cd 最大为 40， ab 最大为 40 5 35 ．
【答案】35
【巩固】【巩固】下式中的 a ， b ， c ， d 分别代表 0～9 中的一个数码，并且满足 2 a b c d ，被减数最小是多
少？
3
a b
c d
【考点】加减法的进位与借位 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】【解析】若 3b ，则由竖式知 a c ， b d ，不满足 2 a b c d ；若 2b ，则由竖式知 1a c ，
10 3b d ，即 7b d ，代入 2 a b c d ，得 6a b ．由 2b 知 4a ，所以 ab 最小为 42．
【答案】42
【例【例 66】】 从 1—9 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立．其中的四位数最大
可能是 ．
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 9 题
【解析】【解析】由题目可知，四位数的千位数字肯定是 1，此时还剩下 2～9 这 8 个数字，再看三个数的个位数字之
和的尾数为 0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5，
6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为 1759.
【答案】1759
【例【例 77】】 如图，在加法算式中，八个字母“ QHFZLBDX ”分别代表 0 到 9 中的某个数字，不同的字母代表不
同的数字，使得算式成立，那么四位数“ QHFZ ”的最大值是多少？
2 0 0 9
1
Q H F Z
Q H L B
Q H D X
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】，入学测试题
【解析】【解析】原式为 2009 1QHFZ QHLB QHDX ，即 1 2009 7991QHFZ QHDX QHLB DX LB ．为了
使 QHFZ 最大，则前两位QH 先尽量大，由于 DX LB 小于 100，所以QH 最大可能为 80．若 80QH ，
则继续化简为 9FZ DX LB ．现在要使 FZ 尽量大．由于 8 和 0 已经出现，所以此时 9DX LB
最大为97 12 9 76 ，此时出现重复数字，可见 FZ 小于 76．而 96 12 9 75 符合题意，所以此
时 FZ 最大为 75， QHFZ 的最大值为 8075．
【答案】8075
【例【例 88】】 把 0 ，1，2 ，…，8，9 这十个数字填到下列加法算式中四个加数的方格内，要求每个数字各用一
次，那么加数中的三位数的最小值是多少？
2 0 0 7
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】湖北省“创新杯”
【解析】【解析】从式中可以看出，千位上的方框中的数为1，那么百位上两方框中的数再加上低位进位的和为10 ．由
于三位数的百位上不能为1和 0 ，所以要使三位数最小，它的百位应该为 2 ，十位应该为 0 ．那么十
位向百位的进位为1，所以四位数的百位为 7 ，且十位上三个方框中的数之和再加上个位的进位的和
为10 ．又剩下的数字3， 4 ， 5 ， 6 ， 8， 9 中除 3 4 5 6 18 只向十位进1外，其余任选四数字
的和都大于 20 ，由于3 4 5 6 的尾数不为 7 ，所以个位上四个数字不能是 3，4 ，5 ，6 ，所以个
位向十位进位为 2 ，也就是十位上的三个方框中的数的和为8(其中有一个为 0 )，而剩下的3，4 ，5 ，
6 ，8，9 中只有3 5 8 ，所以个位上的四个方框中的数为 4 ，6 ，8，9 ，那么加数中的三位数最
小为 204 ．
【答案】 204
【例【例 99】】 如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．“美妙数学花园”代表的 6 位数最
小为 ．
2 0 0 7
美 妙
数 学
花 园
好 好 好 好
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，决赛，第 9 题，12 分
【解析】 “好”为 2 ，要使算式满足则必有(美 数 花 20）≥ 。要使“美妙数学花园”代表的 6 位数最小，
则美 数 花 3 8 9 ，妙 学 园 15 4 5 6 ．即“美妙数学花园”代表的 6 位数最小为 348596
【答案】 348596
【例【例 1010】】面算式由 1～9 中的 8 个组成，相同的汉字表示相同的数，不同的汉字表示不同的数.那么“数学解
题”与“能力”的差的最小值是__________.
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复试，11 题
【解析】【解析】为了让“数学解题”与“能力”的差最小，应该让“数学解题”尽量小，也就是让“能力”和“展示”尽量大，
其中较大的应是“能力”，那么“数学解题”最小应该是一千八百多，“能”应该是 9，“展”应该是 7，于
是“解题”+“力”+“示”=2010-1800-90-70=50，所以“解”应该是 4，那么“题”+“力”+“示”=10，那么只能
是 2+3+5，为了“数学解题”与“能力”的差最小，让“题”=2，“力”=5，于是“数学解题”-“能
力”=1842-95=1757.
【答案】1757
【例【例 1111】】右边的加法算式中，每个“□”内有一个数字，所有“□”内的数字之和最大可达到 。
【考点】加减法的进位与借位 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 5 题，5 分
【解析】末尾和最大 24，十位和最大 18，百位和最大 18，24+18+18=60
【答案】 60
【例【例 1212】】将数字 1 至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位
数最小是多少？
1
2 0 0 8
【考点】加减法的进位与借位 【难度】6 星 【题型】填空
【关键词】 “迎春杯”，高年级组，复赛
【解析】【解析】9 个方框中的数之和为 45．三个加数的个位数字之和可能是 8，18；十位数字之和可能是 9，10，19，
20；百位数字之和可能是 8，9，10，其中只有18 19 8 45 ．所以三个加数的个位数字之和为 18，
十位数字之和为 19，百位数字之和为 8．要使加数中的四位数最小，尝试在它的百位填 1，十位填 2，
此时另两个加数的百位只能填 3，4；则四位数的加数个位可填 5，另两个加数的十位可填 8，9，个
位可填 6，7，符合条件，所以加数中的四位数最小是 1125．
【答案】最小是 1125
【例【例 1313】】在右边的加法算式中，若每个字母均表示 0 到 9 中的一个数字，任意两个字母表示的数字都不相同，
也不与算式中已有的数字相同，则 A 与 B 乘积的最大值是多少？
9
1 0
E
C F
D G
A B
【考点】加减法的进位与借位 【难度】6 星 【题型】填空
【解析】【解析】本题把数字谜与奇偶性、最值问题巧妙地结合在一起，可以从奇偶性方面来分析.考虑加法算式的个
位，若个位不进位，则四个数字 E F G B 之和为 2B ，是偶数；若个位进位，则四个数字
E F G B 之 和 为 10 2B 或 20 2B ， 还 是 偶 数 ． 所 以 E F G B 为 偶 数 ， 又
2 3 8 35A B C D E F G ，所以 A C D 为奇数．如果加法算式中个位不进位，
那么 10C D A ，这样 10 2A C D A 为偶数，与上面的分析矛盾，所以加法算式中个位向
十 位 进 奇 数 位 ， 只 能 是 1 位 ， 故 10E F G B ， 1 10C D A ， 得
19E F G C D A B ，而 2 3 8 35A B C D E F G ，所以 8A B ，A 、
B 可能为 2、6 或 3、5，乘积为 12 或 15，故 A 与 B 乘积的最大值是 15．
另解：因为 9 10E CF DG AB ，等号两边除以 9 的余数相等，所以等号两边的各个数字的和除以
9 的余数相等，而所有数字的和是 9 的倍数，所以两边都是 9 的倍数，即10AB 是 9 的倍数，由于
7 8 15A B ，所以 8A B ，再根据“和一定，差小积大”，所以 A 、B 的取值为 3、5 时，A 与
B 乘积的最大值是 15．
【答案】15
【例【例 1414】】右式中不同的汉字代表 l 一 9 中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最
大是多少?
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题
【解析】 “新”必为 9，千位才能得 2，所以“中”应为 8.“国”、“京”、“运”之和应为 8 或 18，但当和为 18 时，
（“国”、“京”、“运”分别为 7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为 15（“中”、“北”、“奥”分别为
8，4，3），不能进位 2，所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8，此时，“北”、“奥”只能分别为 7 和 5，
则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字
所代表的两位数最大是 84.
【答案】84
【例【例 1515】】华杯赛网址是 . .www huabeisai cn ，将其中的字母组成如下算式： 2008www hua bei sai cn ，
如果每个字母分别代表 0～9 这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不
同的数字，并且 8w 、 6h 、 9a 、 7c ，则三位数 bei 的最小值是 ．
【考点】 【难度】星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】【解析】根据题意可知，888 6 9 9 7 2008u bei s i n ，有 0 0 351u bei s i n ，此时u ，b ，e ，i ，s ，
n 只能取 0，1，2，3，4，5．
b 的最小值为 1，e 的最小值为 0，i 最小取 2，若 2i ，此时 s 最大只能取 2，矛盾；所以i 至少为 3，
若 3i ，此时 2s ， 4u ， 5n ，符合条件，所以三位数bei 的最小值是 103．
另解：此题也可采用弃九法．等式 2008www hua bei sai cn 两边除以 9 的余数相同，左边除
以 9 的余数与 3 2 2 2 0 1 9 2 45w h u a b e i s c n w a i w a i 除以 9
的余数相同，即与 2w a i 除以 9 的余数相同；右边除以 9 的余数为 1，所以 2w a i 除以 9 的余
数为 1．而 8w ， 9a ，所以 2 25w a i i ，除以 9 的余数为 1，可见i 除以 9 的余数为 3，那
么 i 只能为 3．
由于 b 的最小值为 1，e 的最小值为 0，所以三位数 bei 的最小可能值是 103；又当 2s ， 4u ， 5n
时， 103bei ，所以三位数 bei 的最小值就是 103．
【答案】103
【例【例 1616】】在下面的表 1 中，一条直线穿过其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为15 13 10 5 6 49 。
请你在表 2 中画一条直线，穿过其中若干个方格。穿过的方格中各数之和最大是 。
6
5
12
3
9
10
13
2
18
11
7
15
8
4
17
14
6
5
12
3
9
10
13
2
18
11
7
15
8
4
17
14
表 1 表 2
【考点】加减法的进位与借位 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第 9 题
【解析】【解析】首先应考虑尽可能穿过较多的方格，也就是说可以穿过一条对角线和它旁边的三格：
主对角线 14+7+10+6 和一侧的 17+11+9，总和为 74；
副对角线 8+11+13+3 和一侧的 18+10+12，总和为 75。
再看看能否做优化：观察到前一种方法中可以舍弃 10 和 6 而取 18，总和增加 2，这样总和为 76。
而后一种方法无法再做优化，所以最大值为 76。
【答案】 76
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