小学奥数5-1-2-3 乘除法数字谜（二）.教师版

5-1-2-3.乘除法数字谜（二） 教学目标 数字谜是杯赛中非常重要的一块，特别是迎春杯，数字谜是必考的，一般学生在做数字谜的时候都采用 尝试的方式，但是这样会在考试中浪费很多时间．本模块主要讲乘除竖式数字谜的解题方法，学会通过找突 破口来解决问题．最后通过例题的学习，总结解数字谜问题的关键是找到合适的解题突破口．在确定各数位 上的数字时，首先要对填写的数字进行估算，这样可以缩小取值范围，然后再逐一检验，去掉不符合题意的 取值，直到取得正确的解答． 知识点拨 1. 数字谜定义:一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式． 2. 数字谜突破口：这种不完整的算式，就像“谜”一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则，数的 性质（和差积商的位数，数的整除性，奇偶性，尾数规律等）来进行正确的推理，判断． 3. 解数字谜：一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口．推理时应注意： ⑴ 数字谜中的文字，字母或其它符号，只取 0 ~ 9 中的某个数字； ⑵ 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件； ⑶ 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字； ⑷ 数字谜解出之后，最好验算一遍． 例题精讲 模块一、与数论结合的数字谜 （1）、特殊数字 【例 1】 如图，不同的汉字代表不同的数字，其中“变”为 1，3，5，7，9，11，13 这七个数的平均数，那么 “学习改变命运”代表的多位数是 ． 1 9 9 9 9 9 8  学习改 变 命 运 变 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，4 年级，第 9 题 【解析】 “变”就是 7，1999998 7 285714  【答案】 285714 【例 2】 右边是一个六位乘以一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数， 其中的六位数是______ 。 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，20 题 【解析】赛×赛的个位是 9，赛=3 或 7，赛=3，小学希望杯赛=333333，不合题意，舍去；故赛=7，小学希望 杯赛=999999÷7=142857 【答案】142857 【例 3】 右面算式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，问 A 和 E 各代表什么数字？ 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】由于被乘数的最高位数字与乘数相同，且乘积为 EEEEEE ,是重复数字根据重复数字的特点拆分， 将其分解质因数后为： = 3 7 11 13 37EEEEEE E      ，所以 3A  或者是 7A  ①若 A＝3，因为 3×3＝9，则 E＝1，而个位上 1×3＝3≠1，因此，A≠3。 ⑤若 A＝7，因为 7×7＝49，49＋6＝55，则 E＝5.个位上，5×7＝35，写 5 进 3.十位上，因为 6×7+3 ＝45，所以 D＝6.百位上，因为 3×7＋4＝25，所以 C＝3.千位上，因为 9×7＋2＝65，所以 B＝9. 万位上，因为 7×7＋6＝55，所以得到该题的一个解。 所以，A＝7，E＝5。 【答案】A＝7，E＝5 【例 4】 下页算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，则符合题意的数“华罗庚学 校赞”是什么？ 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】本题是 =赞华罗庚学校 好 华罗庚学校赞 ，数几个数字的轮换应用和 7 的秘密数字特点相同，所以 本题的好的结果在：2≤好≤6，经过试验得到答案是 则“华罗庚学校赞”=428571 或 857142。 【答案】“华罗庚学校赞”=428571 或 857142 【例 5】 如图相同字母表示相同的数字，不同字母表示不同的数字。两位数 _____EF  【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3 年级，初赛 【解析】 111 3 37FFF F F     ,因此 AB 、CD 中必有一个是 37 的倍数，只能是 37 或 74。经试验，只有 37 18 55  ， 37 18 666  满足要求。 56EF  【答案】 56EF  【例 6】 “迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数 字。那么“迎+春+杯+好”之和等于多少? 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】好好好=好×111=好×3×37，100 以内 37 的倍数只有 37 和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有 1 个是 37 或 74，判断出“杯”是 7 或 4。 若 杯=7，则好=9，999/37=27，所以，迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若 杯=4，则好=6，666/74=9，不是两位数，不符合题意 。迎+春+杯+好=3+2+7+9=21。 【答案】迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 【例 7】 在下面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字，当“开放的中国盼奥运” 代表什么数时，算式成立？盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷□=开放的中国盼奥运 【考点】与数论结合的数字谜之特殊数字 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】这是一道除法算式题.因为盼盼盼盼盼盼盼盼盼是“□”的倍数，且又为 9 的倍数，所以“□”可能为 3 或 9. ①若“□ ”=3，则盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷3 的商出现循环，且周期为 3，这样就出现重复数字， 因此“□”≠3。 ②若“□ ”=9，因为 盼盼盼盼盼盼盼盼盼÷9=盼×（111111111÷9）=盼×12345679 若“盼”=1，则“开放的中国盼奥运”=12345679×1=12345679，“盼”=6，前后矛盾，所以“盼”≠1。 若“盼”=2，则“开放的中国盼奥运”=12345679×2=24691358，“盼”=3，矛盾，所以“盼”≠2。 若“盼”=3，则“开放的中国盼奥运”=12345679×3=37037037，“盼”=0，矛盾，所以“盼”≠3。 若“盼”=4，则“开放的中国盼奥运”=12345679×4=49382716，“盼”=7，矛盾，所以“盼”≠4。 若“盼”=5，则“开放的中国盼奥运”=12345679×5=61728395，“盼”＝3，矛盾，所以“盼”≠5。 若“盼”=6，则“开放的中国盼奥运”=12345679×6=74074074，则“盼”＝0，矛盾，所以“盼”≠6。 若“盼”=7，则“开放的中国盼奥运”=12345679×7=86419753，“盼”=7， 得到一个解：777777777÷9=86419753 若“盼”＝8，则“开放的中国盼奥运”=12345679×8＝98765432，“盼”=4，矛盾，所以“盼”≠8。 若“盼”＝9 ，则“开放的中国盼奥运”＝12345679×9=111111111，“盼”=1，矛盾，所以“盼”≠9。 解：777777777÷9＝86419753 则“开放的中国盼奥运”＝86419753。 【答案】“开放的中国盼奥运”＝86419753 （2）整除性质 【例 8】 如图是一个等式：等式中的汉字代表数字，不同的汉字代表不同的数字，每个汉字是 1、2、3、4、 5、6、7、8、9 中的一个，问：“学而思五年级”所代表的六位整数是什么？学而思杯×5=五年级试 题×4 【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 8 题 【解析】因为 5 和 4 互质，所以“五年级试题”一定可以被 5 整除，所以“题”应该是 5 或者 0，但是数字只能是 1~9，所以“题”表示的数字是 5，因为“学而思杯”最大是 9876，所以“五年级试题”最大是 12345，但 是可以发现“五年级试题”用 1~9 组成的最小数就是 12345，所以“五年级试题”只能是 12345，“学而 思五年级”所代表的五位整数是 987123。 【答案】 987123 【例 9】 右边算式中，A 表示同一个数字，在各个 中填入适当的数字，使算式完整．那么两个乘数的差(大 数减小数)是 1 1 A A A  【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】由1 1AA 能被11整除及只有1 1 ，3 7 ，9 9 的个位是1，所以 A 可能为 1，3，7 或 9，而且1 1AA 可 分解成 11 与 1 个一位数和一个两位数的乘积．分别检验 1111、1331、1771、1991，只有 1771 满足： 1771 11 7 23   ，可知原式是 77 23 1771  ．所以两个乘数的差是 77 23 54  。 【答案】 77 23 54  【例 10】下面的算式中，同一个汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，团团×圆圆=大熊猫则“大 熊猫”代表的三位数是______. 【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，10 分 【解析】由于团团=团×11，圆圆=圆×11，所以大熊猫=团团×圆圆=团×圆×121，也就是说“大熊猫”这个三位数 是 121 的倍数，那么“团×圆”应当小于 9（ 否则 9×121=1089 为四位数），所以“团×圆”最大为 8.由 于“团×圆”为一位数，“团×圆”再与 121 相乘即得到“大熊猫”，所以“大熊猫”的个位数字“猫”就等于“团 ×圆”，而百位数字与个位数字不相同，所以十位必须要向百位进位，即“团×圆”与 2 相乘至少为 10， 所以“团×圆”至少为 5.另外“团×圆”不能为质数，否则“团”、“圆”中有一个为 1，而“猫”等于“团×圆”， 则“猫”与“团”、“圆”中的另一个相等，不合题意。“团×圆”至少为 5，最大为 8，又不能是质数，且“团”、 “圆”都不为 1，那么“团×圆”可能为 6 或 8.如果为 6，则“团”、“圆”分别为 2 和 3，“大熊猫”为 6×121=726， “熊”与“团”、“圆”中的一个数相同，不合题意；如果为 8，则“团”、“圆”分别为 2 和 4，“大熊猫”为 8×121=968，满足题意。所以“大熊猫”代表的三位数为 968. 【答案】 968 【例 11】在如图所示的乘法算式中，汉字代表 1 至 9 这 9 个数字，不同汉字代表不同的数字．若“祝”字和“贺” 字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛”所代表的整数．  祝贺 华杯赛 第十四届 【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】根据题意可知“祝”、“贺”、“华”、“杯”、“赛”、“第”、“十”、“四”、“届”这 9 个汉字恰好代表 1～9 这 9 个数字，那么它们的和为 45．由于“祝”、“贺”分别代表 4 和 8，那么“祝贺” 48 是 3 的倍数， 则“第十四届”也是 3 的倍数，这样它的各位数字之和之和也是 3 的倍数，可知“祝”、“贺”与“第”、“十”、 “四”、“届”这 6 个数的和也是 3 的倍数，那么“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和也是 3 的倍数，从而“华 杯赛”这个三位数是 3 的倍数．由于“第十四届”等于 48 与“华杯赛”这两个 3 的倍数的乘积，所以它 是 9 的倍数．从而“第”、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和是 9 的倍数．由于“华”、“杯”、“赛”、“第”、 “十”、“四”、“届”的总和为 45 4 8 33   ，所以“第”、“十”、“四”、“届”这 4 个数的和可能为 27 或 18(它们的和显然大于 9)，对应的“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和是 6 或 15．⑴如果“华”、“杯”、“赛” 这 3 个数和是 6，则“华”、“杯”、“赛”分别为 1、2、3，如果“华”为 2，则“华杯赛”至少为 213，则 48 213 10224  ，不是四位数，所以“华”只能为 1，这样“华杯赛”可能为 123 和 132，分别有 48 123 5904  ， 48 132 6336  ，都不符合；⑵如果“华”、“杯”、“赛”这 3 个数和是 15，根据上面 的分析可知“华”只能为 1，这样“杯”、“赛”之和为 14，可能为 9 5 或8 6 ，由于“贺”为 8，所以“杯”、 “赛”分别为 5 和 9，显然“赛”不能为 5，则“华杯赛”为 159。 【答案】159 【例 12】一个六位数 abcdef ，如果满足 4 abcdef fabcde  ，则称 abcdef 为“迎春数”(如 4 102564 410256  ， 则102564 就是“迎春数”).请你求出所有“迎春数”的总和. 【考点】与数论结合的数字谜之整除性质 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】方法一：显然， f 不小于 4，原等式变形为 4 ( 10 ) 100000abcde f f abcde     化简得 2564abcde f ，当 4f  时， 10256abcde  ，于是 abcdef 为102564 ．同理． 5f  ，6，7， 8，9，可以得到 abcdef 为128205 ，153846 ，179487 ， 205128 ， 230769 . 所有的和是 999999 ． 方法二：显然， f 不小于 4，若 4f  ， e 为 4 f 末尾数字，所以 6e  ； de 为 4 ef 的末 2 位，所以 5d  ； cde 为 4 def 的末 3 位，所以 2c  ； bcde 为 4 cdef 的末 4 位，所以 0b  ； abcdef 为 4 bcdef 的末 5 位，所以 1a  ； 于是 abcdef 为102564 ． 同理． 5f  ，6，7，8，9，可以得到 abcdef 为128205 ，153846 ，179487 ， 205128 ， 230769 . 所有的和是 999999 ． 【答案】 999999 （3）、质数与合数 【例 13】每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？ 【考点】与数论结合的数字谜之质数与合数 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】一位质数只有 2、3、5、7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的只有 3-5 和 5-7，逐 步递推，答案 775 33． 【答案】775 33 模块二、电子数字问题 【例 14】电子数字 0 ~ 9 如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电 子数字恢复，并将它写成横式形式： 【考点】电子数字问题 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，四年级，初赛，第 3 题 【解析】⑴可以看出乘积的百位可能是 2 或 8，由于被乘数的十位和乘数都不能是 9，最大可能为 8，所以它 们的乘积不超过89 8 712  ，故乘积的首位不能为 8，只能为 2 ；⑵被乘数的十位和乘数要与图中相 符，只能是 0 、2 、6 或8，0 首先可以排除，所以可能为 2、6 或 8；⑶如果被乘数的十位是 6 或8， 那么乘数无论是 2 、 6 或8，都不可能乘出百位是 2 的三位数．所以被乘数的十位是 2 ，相应得出乘 数是8；⑷被乘数应大于 200 8 25  ，可能为 27、28 或 29，检验得到符合条件的答案：28 8 224  【答案】 28 8 224  【例 15】电子数字 0～9 如图 1 所示，图 2 是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模糊不清．请将图 2 的电子数字恢复，并将它写成横式： ： 【考点】电子数字问题 【难度】6 星 【题型】填空 【解析】设竖式如 a b c d e f i g h j k l m n o  ，那么各个字母可以代表的数如下表 a 13456789 b 268 c 0268 d 268 e 2356789 f 68 i 01234789 g 08 h 268 j 45689 k 0489 l 23489 m 0235689 n 2345689 o 013456789 ⑴ 6 4 10f j     1l h   2h  或者 8h  ；⑵若 8h  ，那么 9l  ，并且 a d 一定是1 8 、1 6 或 4 2 ，如果是1 8 ，那么由于 2b  ，所以b d 进位，导致 8h  ，产生矛盾；如果是1 6 ，那么 2b  时 hjk 百位小于 8， 6b  时 hjk 百位大于 8，也产生矛盾；所以只有可能 4a  ， 2d  ，并可以 得到 2b  ，考虑到 fig 是三位数，所以 2e  ，再根据 0g  或 8 ，得到 0c  ，所得到的数式为 4 2 0 2 2 8 4 0 8 4 0 9 2 4 0  ．⑶若 2h  ，则可以得到 3l  ， 1a  ， 2d  ， 2b  (因为 10b d  )；⑷由于 6f  或 8，所以 5e  或者 7e  ．当 5e  时，竖式 1 2 2 2 5 6 1 0 2 4 4 3 0 5 0  成立；当 7e  时，竖式 1 2 0 2 7 8 4 0 2 4 0 3 2 4 0  成立。 【答案】122 25=3050 或120 27=3240