圆柱与圆锥
例题精讲
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
立体图形 表面积 体积
圆柱
h
r
22 2π 2πS rh r 圆柱 侧面积 个底面积 2πV r h圆柱
圆锥
h
r
2 2π π360
nS l r 圆锥 侧面积 底面积
注： l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
21 π3V r h圆锥体
板块一 圆柱与圆锥
【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5 米、1米和 0.5 米的 3个圆柱组成一个物体．问这个物体
的表面积是多少平方米？( π 取 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为 22 3.14 1.5 14.13 (立方米)，侧面积为
2 3.14 (0.5 1 1.5) 1 18.84 (立方米)，所以该物体的表面积是14.13 18.84 32.97 (立方米)．
【答案】32.97
【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的
直径是 4 厘米，孔深5 厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂
多少平方厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为
266π 10 π ( ) 2 4π 5 60π 18π 20π 98π 307.722
(平方厘米)．
【答案】307.72
【例 3】 (希望杯 2 试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为 10 厘米和 12 厘米的长方形，那么这个
圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用 π 表示)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】当圆柱的高是 12 厘米时体积为 210 300π ( ) 122π π
(立方厘米)
当圆柱的高是 12 厘米时体积为 212 360π ( ) 102π π
(立方厘米)．所以圆柱体的体积为 300
π
立方厘米
或 360
π
立方厘米．
【答案】 300
π
立方厘米或 360
π
立方厘米
【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求
这个油桶的容积．( π 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆的直径为： 16.56 1 3.14 4 (米)，而油桶的高为 2 个直径长，即为：4 2 8(m) ，故体积为100.48
立方米．
【答案】100.48 立方米
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体
的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( π 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪
下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为： 2 π 10 62.8 (厘米)，
原来的长方形的面积为： 10 4 62.8 10 2 2056 （ ）（ ） (平方厘米)．
【答案】2056
【例 5】 把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表
面积减少12.56 平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的 2 厘
米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56 2 6.28 厘米，底面半径为 6.28 3.14 2 1
厘米，所以原来的圆柱体的体积是 2π 1 8 8π 25.12 (立方厘米)．
【答案】25.12
【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短 4 厘米，表面积就减少 50.24 平方厘米．求这个圆柱体的
表面积是多少？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短 4 厘米，表面积就减少 50.24
平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是 50.24 平方厘米，所以底面周长是
50.24 4 12.56 (厘米)，侧面积是：12.56 12.56 157.7536 (平方厘米)，两个底面积是：
23.14 12.56 3.14 2 2 25.12 (平方厘米)．所以表面积为：157.7536 25.12 182.8736 (平方厘
米)．
【答案】182.8736
【例 6】 (两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成
两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大 22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是
________ 2cm ．( π 取 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．
设圆柱体底面半径为 r ，高为 h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：
22 2 2008(cm )r h ，所以 2502(cm )r h ，所以，圆柱体侧面积为：
22 π 2 3.14 502 3152.56(cm )r h ．
【答案】3152.56
【巩固】已知圆柱体的高是10 厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了 40 平方厘
米，求圆柱体的体积．( π 3 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为 10 厘米，宽为圆柱
底面的直径，设为 2r ，则 2 10 2 40r ， 1r (厘米)．圆柱体积为： 2π 1 10 30 (立方厘米)．
【答案】30
【例 7】 一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是 2 厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再
截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ( π 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积
与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．
(法 1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
可知，圆柱体的高为 250.24 3.14 2 4 (厘米)，所以增加的表面积为 2 4 2 16 (平方厘米)；
(法 2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就
是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24 立方厘米，而拼成的长方体的长
等于圆柱体底面周长的一半，为 3.14 2 6.28 厘米，所以侧面长方形的面积为 50.24 6.28 8 平方
厘米，所以增加的表面积为8 2 16 平方厘米．
【答案】16
【例 8】 右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为 40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件
的表面积和体积．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768 平方
厘米，89120 立方厘米．
【答案】89120
【例 9】 输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升．如图，请你观察第 12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容
积是多少毫升？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】100 毫升的吊瓶在正放时，液体在 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，
变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．
由于每分钟输 2.5 毫升，12 分钟已输液 2.5 12 30 (毫升)，因此开始输液时液面应与 50 毫升的格线
平齐，上面空的部分是 50 毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是100 50 150 (毫升)．
【答案】150
【例 10】(”希望杯”五年级第 2 试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶
子的容积是_______ 立方厘米．( π 取 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水
构成高为 6 厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所
以瓶子的容积为： 24π ( ) (6 2) 3.14 32 100.482
(立方厘米)．
【答案】100.48
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为 26.4π 立方厘米．当瓶子正
放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：瓶内酒精的体积
是多少立方厘米？合多少升？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体
积的 6 2 3 倍．所以酒精的体积为 326.4π 62.1723 1
立方厘米，而 62.172 立方厘米 62.172 毫
升 0.062172 升．
【答案】 0.062172
【巩固】一个酒瓶里面深 30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时
酒深 25cm ．酒瓶的容积是多少？( π 取 3)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．
当酒瓶倒过来时酒深 25cm ，因为酒瓶深 30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高
的酒即为酒瓶的容积．
酒的体积： 10 1015π 375π2 2
瓶中剩余空间的体积 10 10(30 25)π 125π2 2
酒瓶容积： 375π 125π 500π 1500(ml)
【答案】1500
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10 平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明
的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为 7 5 2cm ，从而水与空着的部分的比为 4:2 2:1 ，
由图 1 知水的体积为10 4 ，所以总的容积为 40 2 2 1 60 立方厘米．
【答案】60
【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是 12 厘米．其
内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部 5 厘米，那么这个容器的容积是多少
立方厘米？( π 3 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设圆锥的高为 x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：
2 2 215 π 6 11 π 6 π 63x x ，解得 9x ，
所以容器的容积为： 2 21π 6 12 π 6 9 540π 16203V (立方厘米)．
【答案】1620
【例 11】(希望杯 2 试试题)如图，底面积为 50 平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为
5 厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是 2 厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________
厘米．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】在水中的木块体积为 5 5 3 75 (立方厘米)，拿出后水面下降的高度为 75 50 1.5 (厘米)
【答案】1.5
【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子， A 盒中放入直径为8厘米、高为 8 厘米的圆柱体铁块一个， B
盒中放入直径为 4 厘米、高为 8 厘米的圆柱体铁块 4 个，现在 A 盒注满水，把 A 盒的水倒入 B 盒，
使 B 盒也注满水，问 A 盒余下的水是多少立方厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】将圆柱体分别放入 A 盒、 B 盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的
底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说 A 盒中装的水恰好
可以注满 B 盒而无剩余，所以 A 盒余下的水是 0 立方厘米．
【答案】 A 盒余下的水是 0 立方厘米
【例 13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团
先搓成圆柱形面棍，长1.6 米．然后对折，拉长到1.6 米；再对折，拉长到1.6 米……照此继续进行
下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的 1
64
．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长
有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】最后拉出的面条直径是原先面棍的 1
64
，则截面积是原先面棍的 2
1
64
，细面条的总长为：
21.6 64 6553.6 (米)．注意运用比例思想．
【答案】6553.6
【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3 分钟时水面恰好没过长方
体的顶面．再过 18 分钟水灌满容器．已知容器的高为 50 厘米，长方体的高为 20 厘米，求长方体
底面面积与容器底面面积之比．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 18 分钟水面升高：50 20 30 (厘米)．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高 20 厘米需要
的时间是： 2018 1230
(分钟)，实际上只用了 3 分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分
只占容器底面积的 13:12 4
，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3: 4 ．
【答案】3:4
【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15 厘米，水深 8 厘米．现将一个底面积
是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．
(法 1)：80 8 (80 16) 640 64 10 (厘米)；
(法 2)：设水面上升了 x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：80 16(8 )x x ，
解得： 2x ，8 2 10 (厘米)．
(提问”圆柱高是15 厘米”，和”高为12 厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)
【答案】10
【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15 厘米，水深10 厘米．现将一个底面积
是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 80 10 (80 16) 12.5 ，因为 12.5 12 ，所以此时水已淹没过铁块， 80 10 (80 16) 12 32 ，
32 80 0.4 ，所以现在水深为12 0.4 12.4 厘米
【答案】12.4
【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，高是15 厘米，水深13 厘米．现将一个底面积
是 16 平方厘米，高为12 厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】玻璃杯剩余部分的体积为 80 (15 13) 160 立方厘米，铁块体积为16 12 192 立方厘米，因为
160 192 ，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15 厘米
【总结】铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高
但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯．
【说明】教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．
一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，
可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠
的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小
朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)
阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题．
当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：”我找到方法了……”，就急忙
跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．
他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积
正是头冠的体积．
【答案】15
【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高 2.5 厘米，玻璃杯内侧的底面积是 72 平方厘米．在这个杯中
放进棱长 6 厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是 72—6×6=36(平方厘米)．
水的体积是 72 2.5 180 (立方厘米)．
后来水面的高为 180÷36=5(厘米)．
【答案】5
【例 17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今将一个底面半径为
2 厘米，高为 17 厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积
之和，因而水深为：
2 2
2
5 15 2 17
5 17.72
(厘米)．
它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．
于是所求的水深便是17.72 厘米．
【答案】17.72
【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10 厘米、20 厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没
着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的
水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】两个圆柱直径的比是1: 2 ，所以底面面积的比是1: 4 ．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙
杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 1
4
，即 12 0.54
(厘米)．
【答案】0.5
【巩固】有一只底面半径是 20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是 5 厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从
水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米．这段钢材有多长？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径
的 5
20
，即
4
1 ，钢材底面积就是水桶底面积的
16
1 ．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可
知，钢材的长是水面下降高度的 16 倍．
6÷( 5
20
) 2 =96(厘米)，(法 2)：3．14×20 2 ×6÷(3．14×5 2 )=96(厘米)．
【答案】96
【例 19】一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米．今将一个底面半径为 2
厘米，高为 18 厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积
之和，因而水深为：
2 2
2
5 15 2 18 17.725
（厘米）；
它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下
图的立体图形．底面积为 2 25 2 21 ，水的体积保持不变为 25 15 315 ．所以有水深为
315 61721 7
(厘米)，小于容器的高度 20 厘米，显然水没有溢出于是 617 7
厘米即为所求的水深．
【答案】 617 7
【例 20】如图 11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥
体积与圆柱体积的比是多少?
【关键词】华杯赛，初赛，3 题
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆锥的体积是 21 162 4 ,3 3
，圆柱的体积是 24 8 128 ．所以，圆锥体积与圆柱体积
的比是16 :128 1: 243
.
【答案】1:24
【例 21】一个圆锥形容器高 24 厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，
水面高多少厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设圆锥形容器底面积为 S ，圆柱体内水面的高为 h ，根据题意有： 1 243 S Sh ，可得 8h 厘米．
【答案】8
【例 22】(”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水 50 升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容
器最多能装水 升．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的 4 倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的 2 倍，所以容
器容积是水的体积的 8 倍，即 50 8 400 升．
【答案】400
【例 23】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的 1
3
，乙容器中水的高度是锥高的 2
3
，比较甲、
乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
甲
乙
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设圆锥容器的底面半径为 r ，高为 h ，则甲、乙容器中水面半径均为 2
3 r ，则有 21 π3V r h容器 ，
2 21 2 2 8π π3 3 3 81V r h r h 乙水 （ ） ， 2 2 21 1 2 2 19π π π3 3 3 3 81V r h r h r h 甲水 （ ） ，
2
2
19 π 1981
8 8π81
r hV
V r h
甲水
乙水
，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的 19
8
倍．
【答案】 19
8
倍
【例 24】张大爷去年用长 2 米、宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长 3 米宽 2 米的
长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?
【关键词】华杯赛，决赛，口试，23 题
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】底面周长是 3，半径是 3
2
，
2
23 3( )2 4
所以今年粮囤底面积是
23
4
，高是 2．同理，去年粮囤
底面积是
22
4
，高是 1．
2 23 2( 2) ( 1) 4.5.4 4 因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5 倍．
【答案】4.5
【例 25】 (仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为 20 厘米，中间有一直径为 8 厘
米的卷轴，已知薄膜的厚度为 0.04 厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：
2 220 8π π 100 8400π2 2
(立方厘米)，薄膜展开后为一
个长方体，体积保持不变，而厚度为 0.04 厘米，所以薄膜展开后的面积为
8400π 0.04 659400 平方厘米 65.94 平方米．
另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．
由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为
2 220 8π π 84π2 2
(平方厘米)，展开后为一
个 长 方 形 ， 宽 为 0.04 厘 米 ， 所 以 长 为 84π 0.04 6594 厘 米 ， 所 以 展 开 后 薄 膜 的 面 积 为
6594 100 659400 平方厘米 65.94 平方米．
【答案】65.94
【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴．已知纸的厚度为 0.4
毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就
是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．
因此，纸的长度 ：
2 2 3.14 100 93.14 10 3.14 3 7143.50.04 0.04
纸卷侧面积
纸的厚度 (厘米)
所以，这卷纸展开后大约 71.4 米．
【答案】71.4
【巩固】如图，厚度为 0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是 180
厘米，内直径是 50 厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为
2 2180 50π π 7475π2 2
(平方厘米)，如果将其展开，展
开 后 横 截 面 的 面 积 不 变 ， 形 状 为 一 个 长 方 形 ， 宽 为 0.25 毫 米 ( 即 0.025 厘 米 ) ， 所 以 长 为
7475π 0.025 938860 厘米 9388.6 米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6 米．
本题也可设空心圆柱的高为 h ，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中 h 在计算过程将会
消掉．
【答案】 9388.6 米
【例 26】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下
底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正
方形，上下底面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．
外侧为 6 个边长 10 厘米的正方形挖去 4 个边长 4 厘米的正方形及 2 个直径 4 厘米的圆，所以，外侧
表面积为： 210 10 6 4 4 4 π 2 2 536 8π (平方厘米)；
内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前
后左右 4 个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：
24 3 16 2 4 4 π 2 2π 2 3 2 192 32 8π 24π 224 16π (平方厘米)，
所以，总表面积为： 224 16π 536 8π 760 8π 785.12 (平方厘米)．
⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用
原立方体的体积减去这个体积即可．
挖出的几何体体积为： 24 4 3 4 4 4 4 π 2 3 2 192 64 24π 256 24π (立方厘米)；
所求几何体体积为： 10 10 10 256 24π 668.64 (立方厘米)．
【答案】668.64
板块二 旋转问题
【例 27】如图， ABC 是直角三角形， AB 、 AC 的长分别是 3 和 4．将 ABC 绕 AC 旋转一周，求 ABC 扫
出的立体图形的体积．( π 3.14 )
C
B
A
4
3
【考点】旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如右上图所示， ABC 扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为 3，高为 4，
体积为： 21 π 3 4 12π 37.683
．
【答案】37.68
【例 28】已知直角三角形的三条边长分别为 3cm ， 4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立
体图形中，体积最小的是多少立方厘米？( π 取 3.14 )
【考点】旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】以 3 cm 的 边 为 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 是 底 面 半 径 是 4 cm ， 高 是 3 cm 的 圆 锥 体 ， 体 积 为
2 31 3.14 4 3 50.24 (cm )3
以 4 cm 的 边 为 轴 旋 转 一 周 所 得 到 的 是 底 面 半 径 是 3 cm ， 高 是 4 cm 的 圆 锥 体 ， 体 积 为
2 31 3.14 3 4 37.68 (cm )3
以 5 cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高 3 4 5 2.4 cm 的两个圆锥，高之和是
5 cm 的两个圆的组合体，体积为 2 31 3.14 2.4 5 30.144 (cm )3
【答案】30.144
【巩固】如图，直角三角形如果以 BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π ，以 AC 边为轴旋转
一周，那么所形成的圆锥的体积为12π ，那么如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积
是多少？
A
B
C
【考点】旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设 BC a ， AC b ，那么以 BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为
2π
3
ab ，以 AC 边为轴旋转
一周，那么所形成的圆锥的体积为
2 π
3
a b ，由此可得到两条等式：
2
2
48
36
ab
a b
，两条等式相除得到 4
3
b
a
，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到 3
4
a
b
，根据勾
股定理，直角三角形的斜边 AB 的长度为 5 ，那么斜边上的高为 2.4 ．
如果以 AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为
2.4 ，高的和为 5，所以体积是
22.4 π 5 9.6π3
．
【答案】9.6π
【例 29】如图，ABCD 是矩形， 6cmBC ， 10cmAB ，对角线 AC 、BD 相交 O ．E 、F 分别是 AD 与 BC
的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘
米？( π 取 3)
【考点】旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．
两个圆锥的体积之和为 212 π 3 5 30π 903
(立方厘米)；
圆柱的体积为 2π 3 10 270 (立方厘米)，
所以白色部分扫出的体积为 270 90 180 (立方厘米)．
【答案】180
【巩固】(华杯赛决赛试题)如图， ABCD 是矩形， 6cmBC ， 10cmAB ，对角线 AC 、 BD 相交 O ．图中
的阴影部分以 CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
【考点】旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设三角形 BCO 以 CD 为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V ，则V 等于高为 10 厘米，底面半径
是 6 厘米的圆锥，减去 2 个高为 5 厘米，底面半径是 3 厘米的圆锥的体积后得到．
所以， 2 21 1π 6 10 2 π 3 5 90π3 3V (立方厘米)，
那么阴影部分扫出的立体的体积是 2 180π 540V (立方厘米)．
【答案】540
【例 30】(希望杯六年级一试第 15 题，5 分)如图，从正方形 ABCD 上截去长方形 DEFG，其中 AB=1
厘米，DE= 1
2
厘米，DG= 1
3
厘米。将 ABCGFE 以 GC 边为轴旋转一周，所得几何体的表面
积是________平方厘米，体积是________立方厘米。(结果用π表示)
【考点】旋转问题 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】经过旋转之后我们可以得到一个挖去一个半径为 1
2
小圆柱体的柱体，其表面积为 1×2×π+2×π×
12+ 1
3
×π= 143
π，其体积为 1×π×12- 1
3
×π×（ 1
2
）2= 11
12
π。
【答案】 143
π， 11
12
π
微信/支付宝扫码支付