圆与扇形
例题精讲
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位
置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
圆的面积 2πr ；扇形的面积 2π 360
nr ；
圆的周长 2πr ；扇形的弧长 2π 360
nr ．
一、跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说
的 1
2
圆、 1
4
圆、 1
6
圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几
分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是
360
n ．
比如：扇形的面积 所在圆的面积
360
n ；
扇形中的弧长部分 所在圆的周长
360
n
扇形的周长 所在圆的周长
360
n 2 半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积 扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图： 弯角的面积 正方形-扇形
④”谷子”：如图： “谷子”的面积 弓形面积 2
二、常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)
②等积变形(割补、平移、旋转等)
③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
板块二 曲线型面积计算
【例 1】 如图，已知扇形 BAC 的面积是半圆 ADB 面积的
3
4 倍，则角CAB 的度数是________．
D
C
B
A
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】设半圆 ADB 的半径为 1，则半圆面积为 21 ππ 12 2
，扇形 BAC 的面积为 π 4 2π
2 3 3
．因为扇形 BAC
的面积为 2π 360
nr ，所以， 2 2ππ 2 360 3
n ，得到 60n ，即角CAB 的度数是 60 度．
【答案】60 度
【例 2】 如下图，直角三角形 ABC 的两条直角边分别长 6 和 7 ，分别以 ,B C 为圆心， 2 为半径画圆，已知
图中阴影部分的面积是17 ，那么角 A 是多少度( π 3 )
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 1 6 7 212ABCS △ ,
三角形 ABC 内两扇形面积和为 21 17 4 ，
根据扇形面积公式两扇形面积和为 2π 2 4360
B C ° ,
所以 120B C °, 60A °.
【答案】60 度
【例 3】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4
15
，是小圆面积的 3
5
．如果量得小
圆的半径是 5 厘米，那么大圆半径是多少厘米？
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】小 圆 的 面 积 为 2π 5 25π ， 则 大 小 圆 相 交 部 分 面 积 为 325π 15π5
, 那 么 大 圆 的 面 积 为
4 22515π π15 4
，而 225 15 15
4 2 2
，所以大圆半径为 7.5 厘米．
【答案】7.5
【例 4】 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少
厘米？( π 取 3)
C
B
A
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由右图知，绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC 弧长之和．
将图中与 BC 弧相似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，可得到 6 个角的和是 360 ，
所以 BC 弧所对的圆心角是 60，6 个 BC 弧合起来等于直径 5 厘米的圆的周长．
而线段 AB 等于塑料管的直径，
由此知绳长为： 5 6 5π 45 (厘米)．
【答案】45
【例 5】 如图，边长为 12 厘米的正五边形，分别以正五边形的 5 个顶点为圆心，12 厘米为半径作圆弧，请
问：中间阴影部分的周长是多少？( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如图，点 C 是在以 B 为中心的扇形上，所以 AB CB ，同理CB AC ，则 ABC 是正三角形，同理，
有 CDE 是正三角形．有 60ACB ECD ，正五边形的一个内角是180 360 5 108 ，因此
60 2 108 12ECA ，也就是说圆弧 AE 的长度是半径为 12 厘米的圆周的一部分，这样相同
的圆弧有 5 个，所以中间阴影部分的周长是 122 3.14 12 5 12.56 cm360
．
【答案】12.56
【例 6】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色
部分面积．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的 1
4
，则 4 个小圆的面
积之和等于大圆的面积．而 4 个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两
部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．
【答案】相等
【例 7】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为 1S ，空白部分面积为 2S ，那么这两个部
分的面积之比是多少？(圆周率取3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设
大圆半径为 r ，则 2
2 2S r ， 2 2
1 2S r r ，所以 1 2: 3.14 2 : 2 57 :100S S ．
移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．
【答案】57:100
【例 8】 用一块面积为 36 平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了 7 个同样大小的圆铝板．问：所余下的边
角料的总面积是多少平方厘米？
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】大圆直径是小圆的 3 倍，半径也是 3 倍，小圆面积∶大圆面积 2 2π : π 1:9r R ，
小圆面积 136 49
， 7 个小圆总面积 4 7 28 ，
边角料面积 36 28 8 (平方厘米)．
【答案】8
【例 9】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1．求阴影部分的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．
由右图可见，阴影部分面积等于 1
6
大圆面积减去一个小圆面积，再加上120 的小扇形面积(即 1
3
小圆
面积)，所以相当于 1
6
大圆面积减去 2
3
小圆面积．而大圆的半径为小圆的 3 倍，所以其面积为小圆的
23 9 倍，那么阴影部分面积为 21 2 59 π 1 π 2.56 3 6
．
【答案】2.5
【例 10】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10
厘米的小扇形．(圆周率取3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小
扇形面积如何求，有扇形面积公式
2π
360
n RS 扇 ．
可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为 60°，那么 120AOC ，
又 知 四 边 形 ABCO 是 平 行 四 边 形 ， 所 以 120ABC ， 这 样 就 可 求 出 扇 形 的 面 积 和 为
21206 π 10 628360
(平方厘米)，阴影部分的面积 1040 628 412 (平方厘米)．
【答案】412
【例 11】(09 年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB 是半圆的直径，O 是圆心， AC CD DB ，M 是 CD
的中点， H 是弦 CD 的中点．若 N 是 OB 上一点，半圆的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分
的面积是 平方厘米．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】如下图所示，连接 OC 、 OD 、 OH ．
本题中由于C 、 D 是半圆的两个三等分点， M 是 CD 的中点， H 是弦 CD 的中点，可见这个图形是
对称的，由对称性可知CD 与 AB 平行．由此可得 CHN 的面积与 CHO 的面积相等，所以阴影部分
面积等于扇形 COD 面积的一半，而扇形 COD 的面积又等于半圆面积的 1
3
，所以阴影部分面积等于
半圆面积的 1
6
，为 112 26
平方厘米．
【答案】2
【巩固】如图，C 、 D 是以 AB 为直径的半圆的三等分点，O 是圆心，且半径为 6．求图中阴影部分的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，连接OC 、OD 、CD ．
由于 C 、 D 是半圆的三等分点，所以 AOC 和 COD 都是正三角形，那么 CD 与 AO 是平行的．所
以 ACD 的 面 积 与 OCD 的 面 积 相 等 ， 那 么 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 扇 形 OCD 的 面 积 ， 为
2 1π 6 18.846
．
【答案】18.84
【例 12】如图，两个半径为 1 的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部
分的面积之差．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是
这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同
的图形，再求剩余图形的面积．
如右图所示，可知弓形 BC 或 CD 均与弓形 AB 相同，所以不妨割去弓形 BC ．剩下的图形中，容易
看出来 AB 与 CD 是平行的，所以 BCD 与 ACD 的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形 ACD 的
面积相等，而扇形 ACD 的面积为 2 60π 1 0.5360
，所以图中两块阴影部分的面积之差为 0.5 ．
【答案】0.5
【例 13】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为 12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取
3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：设小正方形的边长为 a ，则三角形 ABF 与梯形 ABCD 的面积均为 12 2a a ．阴影部
分为：大正方形 梯形 三角形 ABF 右上角不规则部分 大正方形 右上角不规则部分 1
4
圆．因
此阴影部分面积为：3.14 12 12 4 113.04 ．
方法二：连接 AC 、DF ，设 AF 与 CD 的交点为 M ，由于四边形 ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理
有 ADM CMFS S△ △ ，所以 DCFS S阴影 扇形 3.14 12 12 4 113.04
【答案】113.04
【巩固】如右图，两个正方形边长分别是 10 和 6，求阴影部分的面积．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 (法 1)观察可知阴影部分面积等于三角形 ACD 的面积减去月牙 BCD 的面积，那么求出月牙 BCD 的
面积就成了解题的关键．
月牙 BCD 的面积为正方形 BCDE 的面积减去四分之一圆： 16 6 π 6 6 94
；
则阴影部分的面积为三角形 ACD 的面积减去月牙 BCD 的面积，为：
1 10 6 6 9 392S 阴影 ．
(法 2)观察可知 AF 和 BD 是平行的，于是连接 AF 、 BD 、 DF ．
则 ABD 与 BDF 面积相等，那么阴影部分面积等于 BDF 与小弓形的面积之和，也就等于 DEF 与
扇形 BED 的面积之和，为： 21 1(10 6) 6 π 6 392 4
．
【答案】39
【例 14】如图， ABC 是等腰直角三角形， D 是半圆周的中点， BC 是半圆的直径．已知 10AB BC ，那
么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 PD 、 AP 、BD ，如图，PD 平行于 AB ，则在梯形 ABDP 中，对角线交于 M 点，那么 ABD 与
ABP 面积相等，则阴影部分的面积转化为 ABP 与圆内的小弓形的面积和．
ABP 的面积为： 10 10 2 2 25 ；
弓形面积： 3.14 5 5 4 5 5 2 7.125 ；
阴影部分面积为： 25 7.125 32.125 ．
【答案】32.125
【例 15】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，
按图中所给长度阴影部分面积为 ；( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】连接小正方形 AC ,有图可见
ACD ABCS S S S △ △阴影 扇形
∵ 21 1 1 4 42 2 2AC
∴ 2 32AC
同理 2 72CE ，∴ 48AC CE
∴ 1 48 242ACDS △
290 π 4 12.56360S 扇形 ， 1 4 4 82ABCS △
∴ 24 12.56 8 28.56S 阴影
【答案】28.56
【例 16】如图，图形中的曲线是用半径长度的比为 2:1.5:0.5 的 6 条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部分
的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】假设最小圆的半径为 r ，则三种半圆曲线的半径分别为 4r ，3r 和 r ．
阴影部分的面积为： 2 2 2 2 21 1 1π 4 π 3 π π 5π2 2 2r r r r r ，
空白部分的面积为： 2 2 2π 4 5π 11πr r r ，
则阴影部分面积与空白部分面积的比为 5:11．
【答案】5:11
【例 17】(西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米
的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面
积是 77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】⑴每个圆环的面积为： 2 2π 4 π 3 7π 21.98 (平方厘米)；
⑵五个圆环的面积和为： 21.98 5 109.9 (平方厘米)；
⑶八个阴影的面积为：109.9 77.1 32.8 (平方厘米)；
⑷每个阴影的面积为： 32.8 8 4.1 (平方厘米)．
【答案】4.1
【例 18】已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，
再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】 39.25
【答案】39.25
【例 19】如图，ABCD 是边长为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所
围成的阴影部分的面积．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式
求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了
了．
如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得，
4S S S 阴影 半圆 三角形
21 14 2 2 2 2
a aa
21
2 a
【答案】 1
2 a
【巩固】如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，分别以 B、D 为圆心以 4 厘米为半径在正方形内画圆．求阴
影部分面积．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴
影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．
解法一：把两个扇形放在一起得到 1 个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．
则阴影部分的面积为 21 π 4 4 4 82
；
解法二：连接 AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，
所以阴影部分面积 212 π 4 4 4 2 84
（ ） ．
【答案】8
【例 20】(四中考题)已知三角形 ABC 是直角三角形， 4cmAC ， 2cmBC ，求阴影部分的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形 ABC 的面积之差，所以阴影
部分的面积为：
2 21 4 1 2 1π π 4 2 2.5π 4 3.852 2 2 2 2
( 2cm )．
【答案】3.85
【例 21】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置 3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都
是100 平方厘米，盖住桌面的总面积是144 平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是 42 平方厘米.
那么图中 3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】根据容斥原理得100 3 2 42 144S 阴影 ，所以 100 3 144 2 42 72S 阴影 （平方厘米）
【答案】72
【例 22】如图所示， ABCD 是一边长为 4cm 的正方形， E 是 AD 的中点，而 F 是 BC 的中点．以 C 为圆心、
半径为 4cm 的四分之一圆的圆弧交 EF 于 G ，以 F 为圆心、半径为 2cm 的四分之一圆的圆弧交 EF
于 H 点，若图中 1S 和 2S 两块面积之差为 2π (cm )m n (其中 m 、n 为正整数)，请问 m n 之值为何？
第11题
S
2
S
1
G
H
F
E
D
C
B
A
S
图1
S
2
S
1
G
H
F
E
D
C
B
A
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】国际小学数学竞赛
【解析】 (法 1) 22 4 8cmFCDES ， 21 π 4 4π4BCDS 扇形
2(cm ) ，
21 π 2 π4BFHS 扇形
2(cm ) ，而
1 2 4π π 8FCDEBCD BFHS S S S S 扇形 扇形 3π 8 2(cm ) ，
所以 3m ， 8n ， 3 8 11m n ．
(法 2 )如右上图， 1S S BFEA BFHS S 扇形 2 4 2 2 π 4 8 π 2(cm ) ，
2 4 4 4 4 π 4 16 4πABCD BCDS S S S 扇形
2(cm ) ，
所以， 1 2 (8 π) (16 4π) 3π 8S S 2(cm ) ，故 3 8 11m n ．
【答案】11
【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是 2 和 4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方
形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇
形减去小扇形，再减去长方形．则为： π π4 4 2 2 4 2 3 3.14 8 1.424 4
．
【答案】1.42
【例 23】如图，矩形 ABCD 中，AB 6 厘米，BC 4 厘米，扇形 ABE 半径 AE 6 厘米，扇形 CBF 的半径
CB 4 厘米，求阴影部分的面积．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则
的空白部分 ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．
我们先确定 ABFD 的面积，因为不规则部分 ABFD 与扇形 BCF 共同构成长方形 ABCD，
所以不规则部分 ABFD 的面积为 216 4 π 4 124
(平方厘米)，
再从扇形 ABE 中考虑，让扇形 ABE 减去 ABFD 的面积，
则有阴影部分面积为 21 π 6 12 154
(平方厘米)．
方法二：利用容斥原理 2 21 1π 6 π 4 4 6 154 4EAB BCF ABCDS S S S 阴影 扇形 扇形 长方形 (平方厘米)
【答案】15
【巩固】求图中阴影部分的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】阴影部分面积 半圆面积 扇形面积 三角形面积 2 2 21 12 1 1π ( ) π 12 12 41.042 2 8 2
．
【答案】41.04
【巩固】如右图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】观察可知阴影部分是被以 AD 为半径的扇形、以 AB 为直径的半圆形和对角线 BD 分割出来的，分头
求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求
出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形 ABD 的面积减去扇
形 ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了．
因为 45ADB ，
所以扇形 ADE 的面积为： 2 245 45π 3.14 5 9.8125360 360AD (平方厘米)，
那么左下边空白的面积为： 1 5 5 9.8125 2.68752
(平方厘米)，
又因为半圆面积为：
21 5π 9.81252 2
(平方厘米)，
所以阴影部分面积为： 9.8125 2.6875 7.125 (平方厘米)．
【答案】7.125
【例 24】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取 3)
B
A
3
3
A
1.5
1.5
1.5
45
45
B
3
3
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】图中 A 、 B 两部分的面积分别等于右边两幅图中的 A 、 B 的面积．
所以 2 2 9 271.5 π 1.5 3 4 3 π 3 3 2 8 4 9 84 16A BS S ．
【答案】 27
16
【巩固】图中阴影部分的面积是 ．( π 取 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面
积．
所分成的弓形的面积为：
2
21 3 1 1 9 9π 3 π2 2 4 2 16 8
；
另一部分的面积为： 2 21 1 9 9π 3 3 π8 4 8 4
；
所以阴影部分面积为： 9 9 9 9 27 27π π π 1.92375 1.9216 8 8 4 16 8
．
【答案】1.92
【例 25】已知右图中正方形的边长为 20 厘米，中间的三段圆弧分别以 1O 、 2O 、 3O 为圆心，求阴影部分的
面积．( π 3 )
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面
积减去一个90 扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：
214 20 20 π 20 20 20 100π 4 754S S S S 圆正方形 正方形扇形 (平方厘米)，所以
阴影部分的面积为 75 2 150 (平方厘米)．
【答案】150
【例 26】一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法
运动到的部分，面积的和是_____．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下
图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相
似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．
阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：
每个角阴影部分面积为 2 90 11 1 π 1 360 4
；
那么圆无法运动到的部分面积为 14 14
方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为 22 2 3 1 1
【答案】1
【例 27】已知半圆所在的圆的面积为 62.8 平方厘米，求阴影部分的面积．( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影
部分的面积是一个 45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差．
由于半圆的面积为 62.8 平方厘米，所以 2 62.8 3.14 20OA ．
因此： 22 2 10AOBS OA OB OA △ (平方厘米)．
由于 AOB 是等腰直角三角形，所以 2 20 2 40AB ．
因此：扇形 ABC 的面积 2 45 45π π 40 15.7360 360AB (平方厘米)．
所以，阴影部分的面积等于：15.7 10 5.7 (平方厘米)．
【答案】5.7
【例 28】如图，等腰直角三角形 ABC 的腰为 10；以 A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形 AEF；两个阴影部分
的面积相等．求扇形所在的圆面积．
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】题目已经明确告诉我们 ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通
过空白部分联系起来．
等腰直角三角形的角 A 为 45 度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的 8 倍．
而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即 1 10 10 502S 扇形 ，
则圆的面积为 50 8 400
【答案】400
【例 29】如图，直角三角形 ABC 中，AB 是圆的直径，且 20AB ，阴影甲的面积比阴影乙的面积大 7，求
BC 长．( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是
如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成 1 个半圆和 1 个直角三角形，
这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．
因为阴影甲比阴影乙面积大 7，也就是半圆面积比直角三角形面积大 7．
半圆面积为： 21 π 10 1572
，则直角三角形的面积为 157 7 150，可得 BC 2 150 20 15．
【答案】15
【巩固】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 225cm ， 8cmAB ，求 BC 的长度．
II
A
B
C
I
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 225cm ，根据差不变原理，直角三角形 ABC 面积减去半圆面积
为 225cm ，则直角三角形 ABC 面积为
21 8π 25 8π 252 2
( 2cm )，
BC 的长度为 8π 25 2 8 2π 6.25 12.53 ( cm )．
【答案】12.53
【巩固】如图，三角形 ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小 28 平方厘米，AB 长 40 厘米．求
BC 的长度？( π 取 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】图中半圆的直径为 AB ，所以其面积为 21 20 π 200 3.14 6282
．
有空白部分③与①的面积和为 628，又②-① 28 ，所以②、③部分的面积和 628 28 656 ．
有直角三角形 ABC 的面积为 1
2 AB BC 1 40 6562 BC ．所以 32.8BC 厘米．
【答案】32.8
【例 30】图中的长方形的长与宽的比为8:3 ，求阴影部分的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】十三分，入学测试题
【解析】如下图，设半圆的圆心为 O ，连接 OC ．
从图中可以看出， 20OC ， 20 4 16OB ，根据勾股定理可得 12BC ．
阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，
为： 2 1π 20 (16 2) 12 200π 384 2442
．
【答案】244
【例 31】如图，求阴影部分的面积．( π 取 3)
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它
们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙
儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就
找到了解决问题的方法了．
阴影部分面积 1
2
小圆面积 1
2
中圆面积 三角形面积 1
2
大圆面积
2 2 21 1 1 1π 3 π 4 3 4 π 52 2 2 2
6
【答案】6
【例 32】如图，直角三角形的三条边长度为 6,8,10 ，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 S S S 阴影 直角三角形 半圆 ，
设半圆半径为 r ，直角三角形面积用 r 表示为： 6 10 82 2
r r r
又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为 1 6 8 242
，
所以8 24r ， 3r
所以 124 9π=24 4.5π2S 阴影
【答案】 24 4.5π
【例 33】大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，两个同心圆构成一个环形．以圆心 O 为顶点，半径 R 为边长作一个
正方形：再以 O 为顶点，以 r 为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为 50 平方厘米，求环
形面积．(圆周率取3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华校第一学期，期中测试，第 6 题
【解析】环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴
影部分的面积，也就是 2 2 50R r 平方厘米，那么环形的面积为：
2 2 2 2π π π( ) π 50=157R r R r (平方厘米)．
【答案】157
【巩固】图中阴影部分的面积是 225cm ，求圆环的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设大圆半径为 R ，小圆半径为 r ，依题有
2 2
252 2
R r ，即 2 2 50R r ．
则圆环面积为： 2 2 2 2 2π π π( ) 50π 157(cm )R r R r ．
【答案】157
【例 34】已知图中正方形的面积是 20 平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和是 ．( π 取 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】101 中学，考题
【解析】设图中大圆的半径为 r ，正方形的边长为 a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为
2
a ，
大圆的直径 2r 等于正方形的对角线长，即 2 2 2(2 )r a a ，得
2
2
2
ar ．
所以，大圆的面积与正方形的面积之比为： 2 2π : π : 2r a ，所以大圆面积为：20 2 π 10π ；小圆
的面积与正方形的面积之比为： 2 2π( ) : π : 42
a a ，所以小圆的面积为： 20 4 π 5π ；两个圆的面
积之和为：10π 5π 15π 15 3.14 47.1 (平方厘米)．
【答案】47.1
【巩固】图中小圆的面积是 30 平方厘米，则大圆的面积是 平方厘米．( π 取 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】设图中大圆的半径为 r ，正方形的边长为 a ，则小圆的直径等于正方形的边长，所以小圆的半径为
2
a ，
大圆的直径 2r 等于正方形的对角线长，即 2 2 2(2 )r a a ，得
2
2
2
ar ．
所以，大圆的面积与小圆的面积之比为：
2 2 2
2 2 2π : π( ) : : 2:12 4 2 4
a a a ar r ，
即大圆的面积是小圆面积的 2 倍，大圆的面积为 30 2 60 (平方厘米)．
【答案】60
【巩固】(2008 年四中考题)图中大正方形边长为 a ，小正方形的面积是 ．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】设图中小正方形的边长为 b ，由于圆的直径等于大正方形的边长，所以圆的直径为 a ，而从图中可
以看出，圆的直径等于小正方形的对角线长，所以 2 2 2 22a b b b ，故 2 21
2b a ，即小正方形的面
积为 21
2 a ．
【答案】 21
2 a
【巩固】一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆的半径为1cm ，请问阴影部分的面积为多少
平方厘米？(取 22π 7
)
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】台湾小学数学竞赛选拔，复赛
【解析】我们将阴影部分的面积分为内圈、中圈、外圈三部分来计算．
内圈等于内圆面积减去内部正方形的面积，也就是 2π 1 2 2 2 π 2 ．
内圆的直径为中部正方形的边长，即为 2 ，中部正方形的对角线等于中圆的直径，于是中圈阴影部
分面积是 2 2π (2 2 ) 4 2 2 2π 4 ．
中圆的直径的平方即为外部正方形的面积，即为 2 22 2 8 ，外部正方形的对角线的平方即为外圆的
直径的平方，即为 8 2 16 ，所以外圈阴影部分的面积是 π 16 4 8 4π 8 ．
所以阴影部分的面积是 227π 14 7 14 87
(平方厘米)．
【答案】8
【例 35】图中大正方形边长为 6 ，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形
(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？( π 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆的直径也就是外切正方形的边长，它的长为： 1 1 1 1 1 6 42 3 3 2 3
∴圆的面积为：
24π 12.562
【答案】12.56
【例 36】如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是 9 个圆，右图中阴影部分是 16 个圆．哪个图
中阴影部分的面积大？为什么？
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设正方形的边长为 a ，每一个圆的半径为 r ，则正方形的每一条边上都有
2
a
r
个圆，从而正方形内部
共有
2 2
a a
r r
个圆，于是这些圆的总面积为： 2 21π π2 2 4
a aS r ar r
阴影 ．
可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边长有
关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分的面积就
是一定的．
由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等．
【答案】相等
【例 37】如图，在 3 3 方格表中，分别以 A 、 E 、 F 为圆心，半径为 3、2、1，圆心角都是 90°的三段圆弧
与正方形 ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比 1 2: ?S S
S
2
S
1
F
E
D
C
B
A
【考点】圆与扇形 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】如右图，仔细观察图形不难发现带形 1S 的面积等于曲边三角形 BCD 的面积减去曲边三角形 1 1B CD
的面积，而这两个曲边三角形的面积都可以在各自所在的正方形内求出．
所以， 1S 的面积 2 2 2 21 1 π3 π 3 2 π 2 5 14 4 4
；
同理可求得带形 2S 的面积：
带形 2S 的面积 曲边三角形 1 1B CD 的面积 曲边三角形 2 2B CD 的面积 π3 1 4
；
所以， 1 2: 5:3S S ．
【答案】5:3
【例 38】如图中，正方形的边长是 5cm ，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 2 23π 5 5 5 2 2 142.75(cm )4
．
【答案】142.75
【例 39】如图，AB 与 CD 是两条垂直的直径，圆 O 的半径为 15，AEB 是以 C 为圆心，AC 为半径的圆弧． 求
阴影部分面积．
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】阴影部分是个月牙形，不能直接通过面积公式求，那么我们可以把阴影部分看成半圆加上三角形 ABC
再减去扇形 ACB 的结果．
半圆面积为 21 π 152
，
三角形 ABC 面积为 21 15 15 15 152
，又因为三角形面积也等于 21
2 AC ，
所以 2 22 15AC ，
那么扇形 ACB 的面积为 2 290 1π π 2 15360 4AC ．
阴影部分面积 S S S S 阴影 半圆 三角形 扇形
2 2 21 1π 15 15 π 2 152 4
225 (平方厘米)
【答案】225
【例 40】如下图所示，曲线 PRSQ 和 ROS 是两个半圆． RS 平行于 PQ ．如果大半圆的半径是 1 米，那么阴
影部分是多少平方米？( π 取 3.14 )
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如 左 下 图 所 示 ， 弓 形 RS 的 面 积 等 于 扇 形 ORS 的 面 积 与 三 角 形 ORS 的 面 积 之 差 ， 为
21 1 π 1π 1 1 14 2 4 2
(平方米)，
1
1
O
P
R
S
Q
半圆 ROS 的面积为
2 2 21 1π π2 2 2 4
RS OR OS
2 21 1 1 ππ2 4 4
(平方米)，
所以阴影部分的面积为 π 1 π 1 π 1 1.074 2 4 2
(平方米)．
【答案】1.07
【例 41】在右图所示的正方形 ABCD 中，对角线 AC 长 2 厘米．扇形 ADC 是以 D 为圆心，以 AD 为半径的
圆的一部分． 求阴影部分的面积．
3
2
1
A
B
C
D
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如右图所示， 2 2
1
π 1
4 2S AD AD ，
2
2 2 21 1 1 1π π2 2 2 8 2
ACS S AD AC AD 2 3 ．
因为 2 22 4AC AD ，
所以阴影部分的面积为：
2 2 2 2 2 2π 1 1 1 1 1π π π 2 1.144 2 8 2 4 2AD AD AC AD AC AC (平方厘米)．
另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形 ADC 面积之和减去正方形 ABCD 的面积，所以阴
影部分的面积为 2 2 2π 1 π 1.144 8AD AC AD (平方厘米)．
【答案】1.14
【例 42】某仿古钱币直径为 4 厘米，钱币内孔边缘恰好是圆心在钱币外缘均匀分布的等弧(如图)．求钱币在
桌面上能覆盖的面积为多少？
4cm
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】将古钱币分成8个部分，外部的 4 个弓形的面积和等于大圆减去内接正方形，
中间的四个扇形的面积恰好等于内接正方形内的内切圆面积，所以总面积等于：
2 2 24 4 4π 2 2 4 π 6π 8 10.842 2 2
2(cm ) ．
【答案】10.84
【例 43】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米．每当太阳西下，
钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是 平方米．
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】小学生数学报
【解析】等积变形，对应思想将中间的正三角形旋转如右图，图中阴影部分的面积与原图阴影部分的面积相
等．由 A 与 'A ， B 与 'B 面积相等，推知阴影部分占圆面积的一半．10 2 5 (平方米)．
【答案】5
【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？
【考点】圆与扇形 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】根据图形特点，可以把阴影部分甲与乙分别从不同的角度进行分解：
阴影部分甲 120 °的扇形 三角形 小弓形；
阴影部分乙 三角形 小弓形；
由于120°扇形的面积容易求得，所以问题的关键在于确定弓形与三角形的面积：
综上所述：阴影部分甲的面积 圆的面积的 1 1
3 6
圆的面积的 1
6
．所以甲、乙面积之比为1:1 ．
【答案】1:1
【巩固】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有 10 平方米．每当太阳西下，
钟面就会出现奇妙的阴影(如左下图)．那么，阴影部分的面积是多少平方米？
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】在这个题目中，阴影部分和空白部分都是不规则图形，那么我们既无法通过面积公式直接求出阴影
部分面积，也无法通过求出空白部分面积，再用大圆面积减去空白部分面积求解，这个时候，我们
只能利用整体思想，通过转化，寻找阴影部分与整体图形的关系．
将原题图中的等边三角形旋转 30°(注意，只转三角形，圆形不动)，得到右上图．因为 AOD 、 BOD
都是等边三角形，所以四边形 OBDA 是菱形，推知 AOB 与 ADB 面积相等．又因为弦 AD 所对的弓
形与弦 BD 所对的弓形面积相等，所以扇形 AOB 中阴影部分面积占一半．同理，在扇形 AOC 、扇形
BOC 中，阴影部分面积也占一半．所以，阴影部分面积占圆面积的一半，是10 2 5 (平方米)．
【答案】5
【巩固】如图，已知三角形 GHI 是边长为 26 厘米的正三角形，圆O 的半径为15 厘米．
90AOB COD EOF ．求阴影部分的面积．
【考点】圆与扇形 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】直接解决．
总阴影面积 每块阴影面积 3 (大弓形 小弓形) 3 ．
关键在于大弓形中三角形的面积，
设 J 为弧 GI 的中点，则可知GOIJ 是菱形， GOJ 是正三角形，
所以，三角形 GOD 的面积 1 15 262 2
．
所以大弓形的面积： 21 1 15π 15 263 2 2GJIS
235.5 97.5
138 ．
小弓形的面积： 2 21 1π 15 15 176.625 112.5 64.1254 2FJES ．
所以，总阴影面积 138 64.125 3 221.625 (平方厘米)．
【答案】221.625
【例 44】如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径， AB 弦约等于 17 厘米，半径为
10 厘米，求阴影部分的面积．
O
2
O
1
B
A
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】阴影部分由两个相等的弓形组成，所以只需要求出一个弓形的面积就可以了．
由已知条件，若分别连结 1AO ， 2AO ， 1BO ， 2BO ， 1 2O O ，如图所示，就可以得到两个等边三角形(各
边长均等于半径)，则 2 1 2 1 60AO O BO O ，即 2 120AO B ．
这样就可以求出以 2O 为圆心的扇形 1 2AO BO 的面积，然后再减去三角形 2AO B 的面积，就得到弓形的
面积，三角形 2AO B 的面积可采用面积公式直接求出，其中底是弦 AB ，高是 1 2O O 的一半．
所以，阴影部分面积 22
2 AO BAO BS S 扇形
2 120 1 102 3.14 10 17360 2 2
1 1209 85 1243 3
(平方厘米)．
【答案】 1124 3
【例 45】下图中， 3AB ，阴影部分的面积是
【考点】圆与扇形 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】如图可知 EF 3，设大半圆半径为 R ，小圆半径为 r ，如右图 R EH ， r HG EG ，根据勾股定
理得 2 22R r ，故大半圆面积等于小圆面积，由图可知
S S S 阴影 小圆 柳叶
2 )EHFEHFS S S 小圆 扇形（
2 2 EHFEHFS S S 小圆 扇形
2 EHFS S S 小圆 大半圆
2 EHFS
3 3 2 4.5EF GH
【答案】4.5
【例 46】如图， ABCD 是平行四边形， 8cmAD ， 10cmAB ， 30DAB ，高 4cmCH ，弧 BE 、 DF
分别以 AB 、 CD 为半径，弧 DM 、 BN 分别以 AD 、 CB 为半径，则阴影部分的面积为多少？(精
确到 0.01)
【考点】圆与扇形 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】因为四边形 ABCD 是平行四边形， 8cmAD ， 10cmAB ， 30DAB ，所以
2 230 2510 π π cm360 3EAB FCDS S 扇形 扇形 ，
2 230 168 π π cm360 3DAM BCNS S 扇形 扇形 ．
因为平行四边形 ABCD 的高 4CH cm ，所以 210 4 40 cmABCDS ．
由图中可看出，扇形 EAB 与 FCD 的面积之和，减去平行四边形 ABCD 的面积，等于曲边四边形 DFBE
的面积；平行四边形 ABCD 的面积减去扇形 DAM 与扇形 BCN 的面积，等于曲边四边形 DMBN 的面
积．则
DFBE DMBNS S S 阴影 曲边四边形 曲边四边形
2 2ABCD ABCDEAB DAMS S S S 扇形 扇形
2 ABCDEAB DAMS S S 扇形 扇形
225 16 412 π π 40 2 3.14 40 5.83 cm3 3 3
．
【答案】5.83
【例 47】如图所示，两条线段相互垂直，全长为 30 厘米．圆紧贴直线从一端滚动到另一端(没有离开也没
有滑动)．在圆周上设一个定点 P ，点 P 从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动时也接触到
直线，而在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的．那么，圆的半径是多少厘米？(设圆周率为
3．14，除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位．如有多种答案请全部写出)
P
【考点】圆与扇形 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如上图：因为在圆滚动的全部过程中点 P 是不接触直线的，所以这个圆的运动情况有两种可能．一
种是圆滚动了不足一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了 270º．另一种是圆在第一
条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据 P 点的初始位置和终止位置，
可知圆滚动了 270 360 630 ．
因为两条线段共长 30 厘米，所以 270º的弧长或者 630º的弧长再加上两个半径是 30 厘米．
2702π 2 30360r r (厘米)，或者 6302π 2 30360r r (厘米)，所以圆的半径是 4.47 厘米或 2.31厘米．
【答案】2.31
【例 48】将一块边长为12 厘米的有缺损的正方形铁皮(如图)剪成一块无缺损的正方形铁皮，求剪成的正方
形铁皮的面积的最大值.
图 1 图 2 图 3
【考点】圆与扇形 【难度】5 星 【题型】解答
【关键词】希望杯
【解析】如图1所示，使 12 3 9A B BC C D D A (厘米)，则正方形 A BC D 的面积为 9 9 81 (平
方 厘 米 ). 如 图 2 所 示 ， 使 3AA BB CC DD ( 厘 米 ) ， 则 正 方 形 A B C D 的 面 积 为
112 12 4 32
(12 3 ) 90 (平方厘米).
如 图 3 所 示 ， 连 结 AC 交 曲 线 于 点 A ， 使 A B B C CD D A . 观 察 图 3 可 知
12 1.5 10.5A B (厘米).(注： A B 的长度在(10.5 0.2 )厘米之间均可．)于是正方形 A B CD 的
面积为10.5 10.5 110.25 (平方厘米).
因为 81 90 110.25 ，所以剪成的正方形铁皮的面积最大为110.25 平方厘米.
【答案】110.25
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