长方体与正方体（一）
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具
体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
例题精讲
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积： 2( )S ab bc ca 长方体 ；
长方体的体积：V abc长方体 ．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为 a ，那么： 26S a正方体 ， 3V a正方体 ．
板块一 长方体与正方体的表面积
【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？
【考点】长方体与正方体 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有 1 个面，左
面看有 1 个面，右面看有 2 个面，上面看有 2 个面，下面看有 1 个面．所以共有1 1 1 2 2 1 8 (个)
面．前后方向的棱有 6 条，左右方向的棱有 6 条，上下方向的棱也有 6 条，所以共有棱
6 6 6 18 (条)．
【答案】8 个面，18 条棱
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？
【考点】长方体与正方体 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】9 个面，21 条棱．
【答案】9 个面，21 条棱
【例 2】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，高为 2 的小长方体，那么新的几何
体的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10 10 6 600．
【答案】600
【巩固】在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下
的立体图形的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 个方向考虑．变化前后的表面积
不变：50 50 6 15000(平方厘米)．
【答案】15000
【例 3】 如右图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它
的表面积减少了多少?
【考点】长方体与正方体 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】原来正方体的表面积为 5 5 6 150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们
的面积为(3 2) 2 12，所以减少的面积就是 12．
【答案】12
【例 4】 如图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它
的表面积减少了百分之几?
【考点】长方体与正方体 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】奥林匹克，初赛，10 题
【解析】原来正方体的表面积为 5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积
为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．
【答案】百分之八
【例 5】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米
的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的
正方体）
【考点】长方体与正方体 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】原正方体的表面积是 4 4 6 96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，同时又
增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了 4
个边长是 1 厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96 4 6 120 平方厘米．
【答案】120
【例 6】 如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小
立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】大立方体的表面积是 20 20 6 2400 平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3 个面，但
里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面，但里面多出 4 个面；在面上挖
掉一个小正方体后，外面少了 1 个面，但里面多出 5 个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方
体，反而多出了 6 个面，可以计算出每个面的面积：(2454 2400) 6 9 平方厘米，说明小正方体
的棱长是 3 厘米．
【答案】3
【例 7】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为 1 厘米的正方体小
洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为 1
2
厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和
前两个相同为 1
4
厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】我们仍然从 3 个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2 2 2 8(平方厘米)；左右方向、前
后方向：2 2 4 16(平方厘米)，1 1 4 4(平方厘米)， 1
2
1
2
4 1(平方厘米)，
1
4
1
4
4 1
4
(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：8 16 4 1 1
4
129 4
(平方厘米).
【答案】 129 4
【例 8】 从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下
部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】小学生数学报
【解析】按图 1 所示沿一条棱挖，为 592 平方厘米；
按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘米；
按图 3 所示在某面上斜着挖，为 648 平方厘米；
按图 4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米．
图 1 图 2 图 3 图 4
【答案】按图 1 所示沿一条棱挖，为 592 平方厘米；
按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘米；
按图 3 所示在某面上斜着挖，为 648 平方厘米；
按图 4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米．
图 1 图 2 图 3 图 4
【例 9】 一个正方体木块，棱长是 15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 的小
正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要
使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长 7 与 8 的小正方体(如图所
示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是：
15 15 6 7 7 2 1252．想想为什么不是 15 15 6 7 7 8 8 ？
【答案】1252
【例 10】从一个长 8 厘米、宽 7 厘米、高 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表
面积之和是 平方厘米．
6
8
7
6
6
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：
8 7 6 6 2 6 1 6 6 6 1 7 8 7 292 （ ） （ ） (平方厘米)．
也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了 3 个 6 6 的正方形，而新图形凹进去的部分恰
好是 3 个 6 6 的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为
8 7 8 6 7 6 2 292 (平方厘米)．
【答案】292
【巩固】一个长、宽、高分别为 21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正
方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切
下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于 21:15:12 7 :5: 4 ，为了方便起见.我们先考虑长、
宽、高分别为 7 厘米、5 厘米、4 厘米的长方体.因为 7 5 4 ,容易知道第一次切下的正方体棱长应
该是 4 厘米（如图），第二次切时，切下棱长为 3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为 2
厘米的正方体符合要求.
剩下的体积应是 3 3 321 15 12 12 9 6 1107 （平方厘米）.
【答案】1107
【例 11】一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成 2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4
小块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数 2 增加的面数．
原正方体表面积：1 1 6 6(平方米)，一共锯了(2 1) (3 1) (4 1) 6 次，
6 1 1 2 6 18(平方米)．
【答案】18
【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 长条，每条
又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块．那么，这 60 块长方体表面积的和是多少平方米?
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】我 们 知 道 每 切 一 刀 ， 多 出 的 表 面 积 恰 好 是 原 正 方 体 的 2 个 面 的 面 积 ． 现 在 一 共 切 了
(3 1) (4 1) (5 1) 9 刀，而原正方体一个面的面积 1 l 1(平方米)，所以表面积增加了
9 2 1 18(平方米)．原来正方体的表面积为 6 1 6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积
之和为 6 18=24(平方米)．
【答案】24
【巩固】一个表面积为 256cm 的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是 2cm ．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，六年级，初赛
【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面
积增加到原来的 3 倍，即表面积的和为 256 3 168(cm ) ．
【答案】168
【例 12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成 8 个正方体，这
些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】10 10 6 600(平方厘米)．
【答案】600
【例 13】有 n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果
这个长方体的表面积是 3096 平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的
表面积比原长方体的表面积减少 144 平方厘米，那么 n 为多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，
从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每
个面的面积是144 4 36 (平方厘米)．
所堆成的长方体的表面积，包含底面的 2 个正方形和侧面的 4n 个正方形，所以
(3096 36 2) 144 21n ．
【答案】21
【例 14】边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】三个正方体两两拼接时，最多重合 3 个正方形面，其中边长为 3 的正方体与其它两个正方体重合的
面积不超过边长为 3 的正方形，边长为 5 和边长为 8 的正方体的重合面面积不超过边长为 5 的正方
形，三个正方形表面积和为 6 3 3 6 5 5 6 8 8 2 2 3 3 2 5 5 502.
【答案】502
【例 15】如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个 3 3 3 的正方体时，表面积最小，现在要去掉 2 块
小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增
加，该几何体表面积为 54.
【答案】54
【例 16】由六个棱长为 1 的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分
【解析】三视图法：表面积为： 4 5 4 2 26
【答案】26
【例 17】将15 个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，面积是（ ）
平方厘米
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 12 题
【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有 10 个：从左向右看有 6 个；从前向后看有 7 个。
因此被染色的面有 10 6 7 2 36 个面
【答案】36
【例 18】用 6 块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的
是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？
1
2
3
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为 5 ，宽为 4 ，高为 3，所以
表面积为 2(3 4 3 3 3 4) 2 66(cm ) ；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18 ，
宽为 2，高为1，所以最大的表面积为 2(18 1 18 2 1 2) 2 112(cm )
(1)
(2)
【答案】112
【巩固】用 10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是
多少?
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证 10 2 个 7 5 的
面成为表面，想要做到这点很容易，只需将 7 5 面做底面，而后将 10 个长方体连排，衔接的面选
用 3 5 的面(衔接的面将不能成为表面积)，这样得到的长方体表面积最大．
同样要想最小，可把 7 5 面做衔接的面，可得到 10 个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出
衔接面，如图：此时增加了 2 个 5 7 的面，减少了 10 个 3 7 的面，总体来讲表面积减少了．表面
积是：2 (7 15 15 10 10 7) 650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．
【答案】650
【例 19】要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该
如何打包？
⑴当 b 2h 时，如何打包？
⑵当 b 2h 时，如何打包？
⑶当 b 2h 时，如何打包？
【考点】长方体与正方体 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】图 2 和图 3 正面的面积相同，侧面面积 正面周长 长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，
图 2 的正面周长是 8h 6b，图 3 的周长是 12h 4b.两者的周长之差为 2（b 2h）.
当 b 2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；当 b 2h 时，按图 2 打包；当 b 2h 时，按图 3
打包.
图3
图2
图1
h
b
a
【答案】当 b 2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；
当 b 2h 时，按图 2 打包；
当 b 2h 时，按图 3 打包.
图3
图2
图1
h
b
a
【巩固】要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】考虑所有的包装方法，因为 6 1 2 3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高 1 1 6 拼接，重叠面有三种选择，共 3 种包装方法.
第二种按长宽高 1 2 3 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向
的重叠面剩下 2 种选择，一共有 6 种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034.
【答案】1034
【例 20】如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比
是 3：4：5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比： ： ： 。
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 11 题
【解析】体积比为 3:8:13
【答案】 3:8:13
【例 21】如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正
方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这
样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，
大正方体的四个侧面．上下方向： 5 5 2 50 (平方分米)；侧面： 5 5 4 100 (平方分米)，
4 4 4 64 (平方分米)．这个立体图形的表面积为：50 100 64 214 (平方分米)．
【答案】214
【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米，要在表面涂
刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是 2 2 21 2 4 21 平方米，从上面观察到的面积是 24 16
平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是 21 4 16 100 平方米．
【答案】100
【例 22】如图，棱长分别为1厘米、 2 厘米、 3厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体
的表面积是_______平方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7 题，5 分
【解析】 (法 1)四个正方体的表面积之和为： 2 2 2 2(1 2 3 5 ) 6 39 6 234 (平方厘米)，
重叠部分的面积为： 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 (2 2 1 ) (3 2 1 ) (3 2 1 ) 3 9 14 14 40 (平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为： 234 40 194 (平方厘米)．
(法 2)三视图法．从前后面观察到的面积为 2 2 25 3 2 38 平方厘米,从左右两个面观察到的面积为
2 25 3 34 平方厘米，从上下能观察到的面积为 25 25 平方厘米．
表面积为 38 34 25 2 194 (平方厘米)．
【答案】194
【例 23】如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个
顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并
保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的 93.75%，
那么一共用了多少个黑色的小正方体？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 18 题，10 分
【解析】白色正方体的体积占总体积的 93.75%，即占整个的 15
16
，白色正方体与黑色正方体之比为：1：15，
观察可知，每一层黑色正方体有 4 个，则白色正方体有 60 个，所以每一层共有 64 个正方体，则正
方体的边长为 1，则共有 8 层，所以一共用了 4×8=32 个小的黑色的正方体。
【答案】32
【例 24】边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第 5 层时，这个立体图形的表面积
是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的 2 倍. 该立体图形的上下、左右、
前后方向的表面面积都是 15 平方厘米，该图形的总表面积为 90 立方厘米．
【答案】90
【巩固】按照上题的堆法一直堆到 N 层( 3N )，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则 N 的最小值是
多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】每增加一层，每一个“大面”就增加到 ( 1)
2
N N 个小面，总表面积是 6 个“大面”，所以就增加到
3 ( 1)N N 个小面，几何题变成数论题，问题转化为“ 3 ( 1)N N 是一个完全平方数， N 的最小值是
几 ( 3)N ？”因为 N 和 1N 互质，所以 N 和 1N 必须有一个是完全平方数，一个是平方数的 3 倍，
但 1N 不能是平方数的 3 倍，因为如果 1N 是平方数的 3 倍，设 21 3 ,N n 23 1N n 此时 N 被
3 除余 2，不可能是完全平方数，所以 N 是平方数的 3 倍， 1N 是完全平方数，开始试验：
当 23 1 3N ，不符合题意；
当 23 2 12N ， 1 13N ，不是完全平方数；
当 23 3 27N ， 1 28N ，不是完全平方数；
当 23 4 48N ， 1 49N ，是完全平方数，所以 N 的最小值是 48，即堆到第 48 层时，总表面积
是完全平方数，为 23 48 49 84 .
【答案】48
【例 25】把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形
的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2 个
上面 2 个左面 2 个前面．上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为：8 平方厘米，前表面的
面积为：10 平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为： (9 8 10) 2 54 (平方厘米)．
上下面 左右面 前后面
【答案】54
【巩固】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第 12 题
【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成．
该图形的表面积等于 (9 7 7) 2 46 个小正方形的面积，所以该图形表面积为 46 平方厘米．
【答案】46
【例 26】现有一个棱长为 1 厘米的正方体，一个长宽为 1 厘米高为 2 厘米的长方体，三个长宽为 1 厘米高为
3 厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的
图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积．
例：
侧面所看
到的图形
前面所看
到的图形
上面所看
到的图形
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】从前面看到的和从侧面看到的图形都只有 3 层，说明叠成的图形只有 3 层．
从上面看到的图形中可以确定 2 个高为 3 厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再
从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第 1 层；从而可以确定另一个高为 3 厘米的长方体
及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示．
从上面和下面看到的形状面积都为 9 平方厘米，共 18 平方厘米；
从两个侧面看到的形状面积都为 7 平方厘米，共 14 平方厘米；
从前面和后面看到的形状面积都为 6 平方厘米，共 12 平方厘米；
隐藏着的面积有 2 平方厘米．
一共有18 14 12 2 46 (平方厘米)．
【答案】46
【例 27】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为 1 厘米的小正方体，其中一面都没有红色的
小正方形只有 3 个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】，培训题
【解析】长：3 1 1 5 厘米；宽：1 1 1 3 厘米；高：1 1 1 3 厘米；
所以原长方体的表面积是：（3 5 3 5 3 3）3 2 78 平方厘米．
【答案】78
【例 28】有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂
成红色的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 4 4 (1 2 3 4) 4 56 (平方米)．
【答案】56
【例 29】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下
层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积(含最底层正方体
的底面面积)超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是________．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为 2 2 2 2 8 ，
它的每个侧面的面积应该超过 39 8 4 7.75 ．
最底层的正方体的单个侧面面积为 2 2 4 ，往上依次为 2，1， 1
2
， 1
4
，……
前五层正方体的单个侧面面积和为 1 14 2 1 7.752 4
，
所以要想超过 7.75 ，至少应该是 6 个．
【答案】6
【例 30】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂成
红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多
______ 块．
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】三面涂上红色的小正方体有： 4 2 5 4 28 个，两面涂上红色的小正方体有：3 4 1 4 16 个，
所以三面涂红色的比两面涂红色的多 28 16 12 块．
【答案】12
【例 31】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 1 所示，从上面
看如图 2，那么这个几何体至少用了 块木块．
图1
图2
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，9 题
【解析】这道题很多同学认为答案是 26 块．这是受思维定势的影响,认为图 2 中每一格都要至少放一块．其
实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的 3 块不放时，小正方体块数最少，为 23 块．
【答案】23 块
【例 32】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 2 所示，从上面
看如图 3 所示，那么这个几何体至少用了 块木块．
图2
图3
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初赛，7 题
【解析】这道题很多同学认为答案是 31 块．这是受思维定势的影响，认为图 2 中每一格都要至少放一块．其
实，有些格不放，看起来也是这样的．如图 5，带阴影的 5 块不放时，小正方体块数最少，为 26 块．
【答案】26 块
【例 33】右图是 4 5 6 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方
体各有多少块？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】三面涂红色的只有 8 个顶点处的 8 个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共 (4 2) 4 (5 2) 4 (6 2) 4 36 块；
一面涂红的表面中间部分： (4 2) (5 2) 2 (4 2) (6 2) 2 (5 2) (6 2) 2 52 块．
【答案】52
【例 34】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 4 刀，沿着高边等距
离切 n 次后，要使各面上均没有红色的小方块为 24 块，则 n 的取值是________．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】沿着长边等距离切 5 刀，可切为 5 1 6 块；沿着宽边等距离切 4 刀，可切为 4 1 5 块；沿着高边
等距离切 n 刀，可切为 1n 块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有 1 面(或 2 面、或 3 面)
的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共 (6 2) (5 2) ( 1 2) 12( 1)n n 个，因各面均没有
红色的小方块为 24 块，所以，12( 1) 24n ，解得 3n ．
【答案】3
【例 35】棱长是 m 厘米（ m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1 厘米的小正方
体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12 ，此时 m 的最小
值是多少?
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】切割成棱长是 1 厘米的小正方体共有 3m 个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的
个数之比为13:12 ，而13 12 25 ，所以小正方体的总数是 25 的倍数，即 3m 是 25 的倍数，那么 m
是 5 的倍数．
当 5m 时，要使得至少有一面的小正方体有 65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此
时至少一面涂红色的小正方体有 5 5 5 4 2 65 个，表面没有红色的小正方体有
125 65 60 个，个数比恰好是13:12 ，符合题意.因此， m 的最小值是 5．
【答案】5
【例 36】有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼
成一个 4 4 4 的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑
色小正方体尽量不露出来．
在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 3(4 2) 8 (个)，用黑色的；在面上但不在边上的小
正方体有 2(4 2) 6 24 (个)，其中30 8 22 个用黑色．
这样，在表面的 4 4 6 96 个1 1 的正方形中，有 22 个是黑色，96 22 74 (个)是白色，所以在大
正方体的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米．
【答案】74
【例 37】一个长方体的长是 12 厘米，宽 10 厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是 1
厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有 448 个．求原来长方体的体积与表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】先求出长方体的高，再求其体积和表面积．设长方体的高为 h 厘米，则按题意截成的一面有色的小
正方体有 12 2 10 2 2 12 2 2 2 2 10 2 2 88 36h h h 个，因为一面有色
的小正方体有 448 个，所以，88 36 448h ，解得 10h ．
所以，长方体的体积为12 10 10 1200 立方厘米，表面积为 12 10 12 10 10 10 2 680 平方
厘米．
【答案】体积 1200，表面积是 680
【例 38】将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1 分米的小正方
体．在这些小正方体中，6 个面都没有涂红色的有 12 块，仅有两个面涂红色的有 28 块，仅有一个
面涂红色的有 块，原来长方体的体积是 立方分米．
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】先考虑 6 个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯”（就是去掉长方体各面最外
面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有 12 块，所以 12 就是这个“芯”的长、宽、高（各比
原来长方形的长、宽、高小 2）的乘积．而 12 分拆成 3 个整数的乘积只有 4 种情况：
1 1 12 1 2 6 1 3 4 2 2 3 ；
再看两面涂红的小正方体．两面涂红的小正方体就是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正
方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的 4 倍．由于这样的小正方体共有 28 块，所以
“芯”的长、宽、高之和为 28 4 7 ；
符合条件的只有 2 2 3 7 ，所以“芯”为 2 2 3 的长方体，原来的长方体是 4 4 5 的长方体．
一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为：
2 2 2 3 2 3 2 32 （个），
原来长方体的体积为： 4 4 5 80 （立方分米）．
【答案】一面涂色的有 32 块，长方体的体积是 80 立方分米
【例 39】右图是由 27 块小正方体构成的 3 3 3 的正方体．如果将其表面涂成红色，则在角上的 8 个小正
方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余 18 块小方块中，有 12 个两面是红
的，6 个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色
的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍．问：由多少块小正方体构成的正方体，表面
涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一
点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】对于由 n3 块小正方体构成的 n n n 正方体，三面涂有红色的有 8 块，两面涂有红色的有 12（n 2）
块，一面涂有红色的有 6 2( 2)n 块，没有涂色的有 3( 2)n 块．由题设条件，一点红色也没有的小
方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即 3( 2)n 8 8，解得 n 6．
【答案】216
【例 40】有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米、4 厘米、5 厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的
长方体只有 1 个面是红色的，有的长方体恰有 2 个面是红色的，有的长方体恰有 3 个面是红色的，
有的长方体恰有 4 个面是红色的，有的长方体恰有 5 个面是红色的，还有一个长方体 6 个面都是红
色的，染色后把所有长方体分割成棱长为 1 厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小
正方体最多有多少个？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛，4 题
【解析】一面染红的长方体，显然应将 4 5 的长方体染红，这时产生 20 个一面染成红色的小正方体，个数最
多．
二面染红的长方体，显然应将两个 4 5 的长方体染红，这时产生 40 个一面染成红色的小正方体，个
数最多．
三面染红的长方体，显然应将 4 5 ，4 5 ，4 3 的面染红，于是产生 4 (5 5 3 4) 36 个一面染
成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于 36 个．
四面染红的长方体，显然应将 4 5 ，4 5 ，4 3 ，4 3 的面染红，产生 4 (5 5 3 3 2 4) 32
个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于 32 个．
五面染红的长方体，应只留一个 3 5 的面不染，这时就产生
(3 2) (5 2) (4 1) (5 5 3 3 2 4) 27 个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染
成红色的小正方体均少于 27．
六面染红的长方体，产生 2 (3 2) (5 2) (5 2) (4 2) (4 2) (3 2) 22 个一面染成红色的
小正方体．
于是最多得到 22 27 32 36 40 20 177 个一面染成红色的小正方体．
【答案】177
【例 41】三个完全一样的长方体，棱长总和是 288 厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连
续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方
体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】每个长方体的棱长和是 288 3 96 厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是 96 4 24 厘米．因
为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、
高分别是 9 厘米、8 厘米、7 厘米．
要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割
后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个8 7 面，有8 7 56 个；
涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8 7 面，有8 7 2 112 个；若两面相邻，应涂一个8 7
面和一个 9 7 面，此时有 7 8 9 2 105 个，所以涂两面的最少有 105 个；
涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个8 7 面、一个 9 7 面，有 7 8 8 9 4 147 个；
若三面两两相邻，有 7 1 8 1 7 1 9 1 8 1 9 1 146 个，所以涂三面的最少有 146
个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有 56 105 146 307 个．
【答案】307
【例 42】有 l25 个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为 1 平方厘米，其中 63 个表面涂上白色，
还有 62 个表面涂上蓝色。将这 l25 个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为 5 厘米大正方体木块。
这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是 平方厘米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 10 题
【解析】8 个顶点上的正方体木块表面积是 3 平方厘米，棱上的正方体木块表面积是 2 平方厘米，面上的正
方体木块表面积是 1 平方厘米，所以要先在顶点和棱上放蓝色的正方体木块，剩下的放在面上，不
放在内部，蓝色的面积最多是 3×8+2×（5-2）×12+1×（62-8-36）=114 平方厘米.
【答案】114
【例 43】有 l00 个棱长为 l 厘米的正方体木块，表面均为白色，还有 25 个棱长为 l 厘米的正方体木块，表面
均为蓝色。将这 125 个正方体木块粘在一起，形成一个大正方体。大正方体的表面为白色的面积至
少是 平方厘米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，四年级，初赛，8 题
【解析】将蓝色正方体尽量依次往角上、棱上放，因为这三个位置上的正方体的裸露表面有 3、2 块。这二个
位置上的正方体依次有 8、（5-1-1）×12=36 个.所以 25 个正方体在角上放 8 个，棱上放 17 个，那么
所占的表面积有 8×3+17×2=58 块.白色面积为 150-58=92 块，即 92 平方厘米.
【答案】92
【例 44】64 个同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的。现将它们拼成一个 4×4×4 的大
正方体，在大正方体的表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最大为 。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 6 题，10 分
【解析】没有露在表面的小正方体有(4-2) 2 =8(个)，用黑色的。在面上但不在边上的小正方体有(4-2) 2 ×
6=24(个)，其中 22 个用黑色。这样，在表面的 4×4×6=96(个)小正方形中，22 个是黑色，96-22=74(个)
是白色，白色与黑色的面积比为 74:22 37:ll。
【答案】 37 :11
【例 45】将 16 个相同的小正方形拼成一个体积为 16 平方厘米的长方体，将表面涂漆，然后分开，结果，
其中 2 面涂漆的小正方体有 8 个，那么 3 面涂漆的小正方体有__________个，4 面涂漆的小正方体
有__________个。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 12 题，5 分
【解析】16=1×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4，其中只有 2×2×4 的长方体有 8 个小正方体 2 面涂漆，它
的 3 面小正方体有 8 个（8 个角），没有 4 面都涂漆的.
【答案】三面涂漆的有 8 个，无四面涂漆的
【例 46】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面
涂上红色的小正方体恰好是 100 块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】设小正方体的棱长为 1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是 1 的情况，
另一种是长方体的长、宽、高都大于 1 的情况．
当长方体的长、宽、高中有一个是 1 时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正
方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，
设100 a b ，那么分成的小正方体个数为
2 2 1 2 4 2 104a b ab a b a b ，为了使小正方体的个数尽量少，应使 a b 最
小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当 10a b 时它们的和最小，此时共有
10 2 10 2 144 个小正方体．
当长方体的长、宽、高都大于 1 时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉 8 个顶点所在的小正方体
后 12 条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是 100 块，所以长方体的长、
宽、高之和是100 4 2 3 31 ．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽
量少，应该令 31 2 2 27 ，此时共有 2 2 27 108 个小正方体．
因为108 144 ，所以至少要把这个大长方体分割成 108 个小正方体．
【答案】108
【例 47】把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要
求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）．因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，
所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格．
红
红
红
红
红
红
红
红
红
红
红
其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4 个红色方格（见上中图）．因
为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 4 个红色方格．最后
剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有
5 2 4 2 2 2 22 （个）．
（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有 5 个红色方格的面，是
否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色
方格数的本质原因入手，可严格说明 22 是红色方格数的最大值．
对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红
色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的
地方：
⑴ ⑵ ⑶
⑴如图，每个角上三个方向的 3 个方格必须染成不同的三种颜色，所以 8 个角上最多只能有 8 个方
格染成红色．
⑵如图，阴影部分是首尾相接由9 个方格组成的环，这 9 个方格中只能有 4 个方格能染成同一种颜色
(如果有 5 个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的
然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最
多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18 个方格中最多能有8个可染成红色．
⑶剩下 6 3 3 8 3 9 2 12 个方格，分布在 6 条棱上，这12 个格子中只能有 6 个能染成红色．
综上所述，能被染成红色的方格最多能有8 8 6 22 个格子能染成红色，第一种解法中已经给出 22
个红方格的染色方法，所以 22 个格子染成红色是最多的情况．
【答案】22
【巩固】把正方体的六个表面都划分成 4 个相等的正方形．用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方
形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】正方体的 6 个面被分割成 24 个正方形，如果只对每个面分别分析，只能得到每个面最多有 2 个方格，
六个面最多应该12 个面染成红色，如果对每一个角进行分析，每一个角上的三个方格都相互相邻，
所以其中最多只有1个方格能染成红色，所以用红色染的正方形最多有8个，如图．
【答案】8 个
【例 48】一个正方体的棱长为 3 厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为 1 厘米的
正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】挖去六个小正方体后，大正方体的中心部分即与其主体脱离，这时得到的新玩具是镂空的.把这个玩
具分成 20 部分，8 个“角”和 12 条“梁”，每个“角”为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面
积为： 21 3 3 (平方厘米)，则 8 个“角”外露部分的面积为： 3 8 24 (平方厘米)．每条“梁”
为棱长 1 厘米的小正方体，它外露部分的面积为： 21 4 4 (平方厘米)，则 12 条“梁”外露部分的
面积为： 4 12 48 (平方厘米)．这个玩具的表面积为： 24 48 72 (平方厘米)．
【答案】72
【例 49】如右图，一个边长为 3a 厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截
口是边长为 a 厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为 2592 平方
厘米，试求正方形截口 a 的边长．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】原来正方体的表面积为：6 3a 3a 6 9a2（平方厘米），
六个边长为 a 的小正方形的面积为（减少部分）：6 a a 6a2（平方厘米）；
挖成的每个长方体空洞增加的侧面积为：a a 4 2 8a2（平方厘米）；
根据题意可得：54a2 6a2 3 8a2 2592，解得 a2 36（平方厘米），故 a 6 厘米．
【答案】6
【例 50】有一个棱长为 5cm 的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这
个立体图形的内、外表面的总面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】将此带孔的正方体看做由八个 32 2 2 8cm 的正方体(8 个顶点)和 12 个 31cm 的正方体(12 条棱)粘
成的．每个正方体有两个面粘接，减少表面积 24cm ，所以总的表面积为：
2(4 6) 8 6 12 4 12 216(cm ) ．
【答案】216
【例 51】左下图是一个正方体，四边形 APQC 表示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四
边形 APQC 的四条边．
H
P
F
Q
G
B
C
D
E
A
F
E
H
G
D
C
B
A
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形 APQC 四个顶点所在的位置这个关键，
再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．
⑴考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，
见左下图．
F
E
H
G
D
C
B
A
A
B
C
D
A
D
D
A
D
C
B
A
A
B
C
D
G
H
E
F
Q
P
⑵根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：A A ，C C ，P 在 EF 边上，Q 在 GF 边上．边 AC 在 ABCD 面上，AP 在 ABFE 面上，QC
在 BCGF 面上， PQ 在 EFGH 面上．
⑶将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线．需要注意的是，立体图上的 A ， C 点在
展开图上有三个， B ， D 点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面．连好
线的图形如右上图．
【答案】如下图
D
A
D
C
B
A
A
B
C
D
G
H
E
F
Q
P
【例 52】如图，用 455 个棱长为 1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下 371
个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积
是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设长方体棱长为分别为 x y z、 、 .，他们只能取正整数，则有：
455
4( 2 2 2) 8 455 371
x y z
x y z
因为 455 5 7 13 方程组的无序正整数解只有(5，7，13)，拆下沿棱的的小正方体后的多面体如图
所示，首先计算突出在外面的 6 个平面，面积是 2 (11 5 11 3 3 5) 206 再计算 24 个宽都是 1
的长条，面积是8 (11 3 5) 152 ，总面积为 358.
【答案】358
【例 53】大正方体的棱长是小正方体棱长的 4 倍，那么它的表面积是小正方体表面积的______倍．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛
【解析】 2 26 4 : 6 16:1a a ．
【答案】16 :1
【例 54】一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体
的棱长分别为 5 厘米、2 厘米、1 厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，6 年级，初赛，第 8 题
【解析】采用“压缩”的方法，把上面都压到大正方体的上面，总表面积大正方形的表面积中正方体的侧面
积小正方体的侧面积55622441144230 平方厘米。评注：表面积不计算两个物体的重
叠面积，如何去掉重叠的面积，经常转化为标准物体的表面积。
【答案】230
【例 55】如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的 6 倍．将大正方体的 6
个面都染上红色，将小正方体的 6 个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体
图形表面上红色面积是黄色面积的 倍．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复赛 3 题
【解析】假设小正方体棱长是 1，大正方体棱长就是 6，大正方体露在外面的表面积是 6 6 6 1 215 ，小
正方体露在外面的表面积是 5，所以有 215 5 43 倍．
【答案】43
【例 56】两个棱长分别为 1cm 和 3cm 的立方体如图放置，如果在这个立体图形上切一刀，要求切面与已有
立方体的表面平行，那么得到的两个立体图形的表面积之和最大是_____cm3.
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，初赛，4 题
【解析】32×6+12×4+12×2+32×2=78
【答案】78
【例 57】如图，棱长分别为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体图形的表面
积是 平方厘米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，第 3 题
【解析】把顶面往下补，把最下面的这个正方体补全了，上面两个正方体各剩 4 个侧面，
表面积一共是： 3 3 6 2 2 4 1 1 4 =54+16+4=74
【答案】74
【例 58】如图，有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为 4 厘米的正方
形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长,宽,高分别为 15 厘米,12
厘米,9 厘米，内部有水，水深 3 厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器，铁块在水下部分的体
积为 立方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 11 题
【解析】可以把正方体铁块看作三层：最下面一层为中央穿孔的长方体，高为 3厘米；中间一层为 4 个长方体
立柱，高为 4 厘米；最上面一层也是高为 3厘米的中央穿孔的长方体.由于长方体容器内原有水深 3厘
米，所以正方体铁块放入水中后，铁块最下面一层肯定全部在水中，而水也不可能上升到最上面一
层，即恰在中间一层.设水面上升了 h 厘米，则中间一层在水中的部分恰好为 h 厘米.由于水面上升
是由于铁块放入水中导致，水面上升的体积即等于铁块在水下部分的体积，即
15 12 h ( 2 210 4 ) 23 3 4 h ，解得 7
4h ，
故铁块在水下部分的体积为 715 12 3154
(立方厘米).
【答案】315
【例 59】将一个立体纸盒沿着棱切开，使它展开成下图所示的图形，一共要剪开 条棱。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，六年级，第 11 题
【解析】容易看出这个展开图可以拼成一个封闭的立体图形，展开图外围一共有 12 条边；这个封闭的立体图像要
展开成图中的展开图，每剪开一条棱，就会产生外围的 2 条边；所以需要剪开12 2 6 条棱
【答案】6
【例 60】右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中①是边长为 18 厘米的正方形，②③④⑤是同样大的
等腰直角三角形，⑥⑦⑧⑨是同样大的等边三角形．那么，这个容器的容积是＿＿＿毫升．
⑨
⑧
⑦
⑥
⑤
④
③
②
①
【考点】长方体与正方体 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛
【解析】该容器是一个棱长为 18 的立方体割去八个角后(从每条棱的中点)剩下部分的一半．
即： 1 1 1183 93 8 24302 3 2
(毫升)．
【答案】2430
【例 61】右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的 2 倍，⑺⑻⑼⑽是
同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积
是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．
⑷
⑶
⑵
⑴
⑾
⑽
⑼
⑻
⑺
⑹
⑸
【考点】长方体与正方体 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级组，决赛，14 题
【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：
其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以
⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，
两个斜面是⑸⑹．
对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一
些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．
由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．
对于左图来说，相当于由一个正方体切去 4 个角后得到(如下左图，切去 1ABDA 、 1CBDC 、 1 1 1D AC D 、
1 1 1B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2 个角后得到(如下右图，切去 1BACB 、
1DACD )．
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
假设左图中的立方体的棱长为 a ，右图中的立方体的棱长为 b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图
形的体积为： 3 2 31 1 142 3 3a a a a ，
以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为 3 2 31 1 222 3 3b b b b ．
由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好
是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成 4 个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中
的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的 2 倍，即 2b a ．
那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体
积的比为： 33 3 31 2 1 2: : 2 1:163 3 3 3a b a a ，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形
的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 16 倍．
【答案】16
【例 62】一个表面积为 56 cm2 的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是______cm2．
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 2 题
【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积,
所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的 3 倍，即表面积的和为 168cm2.
【答案】168
【例 63】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个棱长为 1 的小正方体，其中恰有两个面涂
上红色的小正方体恰好是 2005 块。大长方体体积的最小值是 。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 9 题，10 分
【解析】设大长方体的长、宽、高分别为 x，y，z(x≥y≥z≥1)。
当 y=1 或 2，z=1 时，没有两个面涂上红色的小正方体；
当 y>2，z=1 时，两个面涂上红色的小正方体有(x－2)(y－2)个，
得到(x－2)(y－2)=2005=2005×1=401×5.
大长方体的体积 xyz=xy，为(2005+2)×(1+2)=6021 或(401+2)×(5+2)=2821.
当 z≥2 时，两个面涂上红色的小正方体有 [(x－2)+(y－2)+(z－2)]×4(个)，
上式的结果是偶数，此时两个面涂上红色的小正方体的个数不可能是 2005.
所以，大长方体体积的最小值是 2821.
【答案】2821
【例 64】用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图 a，从正面看这个立体，
如下图 b，则这个立体的表面积最多是________.
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第 8 题
【解析】根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下：
可知，上下面积为 8×2＝16（平方厘米），前后面积为 8×2＝16（平方厘米），
左右面积为 8×2＝16（平方厘米），此立体的表面积共 48 平方厘米.
【答案】48
【例 65】图是一个正方体木块。M 是 AB 的中点，N 是 AD 的中点。用一把锋利的锯，过 M、N、G 三个点
将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是______ 边形。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，23 题
【解析】应该是过 M、N、G 三点，那样的话截面是一个五边形，还会过 BF、DH 中点。
【答案】五边形
【例 66】用九个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是 750 立方厘
米，则大长方体的表面积是 平方厘米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，6 分
【解析】由图中可知，假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，那么假设小长方体的高
为 a，那么小长方体的长就是 3a，那么宽就是 3 2 3 2a a ，那么小长方体的体积就应该是
32 3 6a a a a ，说明 a 的三次方是 125，那么 a=5，小长方体的长宽高分别是 15、10、5，那么根
据图形列出算式： 30 15 30 15 15 15 2 2250 平方厘米。
【答案】2250
【例 67】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体（如图 2）。从上体上面看这个立方体，看到的图形是
图①～③中的 。（填序号）
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯， 5 年级，初赛，第 9 题，6 分
【解析】③
【答案】③
【例 68】由 27 个棱长为 1 的小正方体组成一个棱长为 3 的大正方体，若自上而下去掉中间的 3 个小正方体，
如图所示，则剩下的几何体的表面积是 。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 15 题，5 分
【解析】64，没去掉 3 个小正方体之前的表面积为 3×3×6=54，去掉之后增加了 3×1×4-1×1×2=10，所以剩下
的表面积为 54+10=64。
【答案】64
【例 69】一个长方体，如果长减少 2 厘米，宽和高不变，则体积减小 48 平方厘米；如果宽增加 3 厘米，长
和高不变，则体积增加 99 平方厘米；如果高增加 4 厘米，长和宽不变，则体积增加 352 平方厘米，
那么，原长方体的表面积是（ ）平方厘米。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 10 题
【解析】设长宽高分别为 a,b,c，长减少 2，则体积减少部分 2 48 24bc bc ，
宽增加 3，则体积增加部分3 99 33ac ac ，
高增加 4，则体积增加部分 4 352 88ab ab ，
因此表面积为： ( ) 2 (24 33 88) 2 290ab bc ac
【答案】290
【例 70】将 16 个相同的小正方体拼成一个体积为 16 立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则 3 个面
涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，复赛，第 9 题，5 分
【解析】16=24，有下列组合：16×1×1，8×2×1，4×4×1，4×2×2。对于 16×1×1 的情况，两端的小正方体各有
5 个面涂漆，它们之间夹着的 14 个小正方体各有 4 个面涂漆，没有 3 个面涂漆的。对于 8×2×1 的情
况，四个角上的小正方体各有 4 个面涂漆，它们之间夹着的 12 个小正方体各有 3 个面涂漆。对于
4×4×1 的情况，四个角上的小正方体各有 4 个面涂漆，边上的 8 个小正方体各有 3 个面涂漆，中间
的 4 个小正方体各有 2 个面涂漆。对于 4×2×2 的情况，八个角上的小正方体各有 3 个面涂漆，它们
之间夹着的 8 个小正方体各有 2 个面涂漆。所以，最多有 12 个，最少有 0 个。
【答案】最多有 12 个，最少有 0 个
【例 71】数一数下图中有多少个正方体木块？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】从下到上各层分别有 3 个、3 个、1 个，因此共有 3+3+1=7 个方块．
【答案】7
【例 72】有一个 3×4×5 的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成 60 个 1×1×1 的小正方体，
请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？
【考点】长方体与正方体 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】25．
【答案】25
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