任意四边形、梯形与相似模型
例题精讲
板块三 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
① AD AE DE AF
AB AC BC AG
；
② 2 2:ADE ABCS S AF AG△ △： ．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，
与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例 1】 如图，已知在平行四边形 ABCD 中， 16AB ， 10AD ， 4BE ，那么 FC 的长度是多少？
【考点】相似三角形模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平行于 CD ，所以
: : 4:16 1: 4BF FC BE CD ，所以 410 81 4FC
．
【答案】8
【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC ，AB 的长为15 厘米，AC 被分为 60 等份．如果小玻璃管口 DE
正好对着量具上 20 等份处( DE 平行 AB )，那么小玻璃管口径 DE 是多大？
60
50
40
30
20
10
0
E
A
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】有一个金字塔模型，所以 : :DE AB DC AC ， :15 40:60DE ，所以 10DE 厘米．
【答案】10
【例 3】 如图， DE 平行 BC ，若 : 2:3AD DB ，那么 :ADE ECBS S △ △ ________．
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】根据金字塔模型 : : : 2:(2 3) 2:5AD AB AE AC DE BC ， 2 2: 2 :5 4: 25ADE ABCS S △ △ ，
设 4ADES △ 份，则 25ABCS △ 份， 25 5 3 15BECS △ 份，所以 : 4:15ADE ECBS S △ △ ．
【答案】 4:15
【例 4】 如图， ABC△ 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD DF FB ，
则 : :ADE DEGF FGCBS S S △ 四边形 四边形 ．
E
G
F
A
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】设 1ADES △ 份 ， 根 据 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 所 以 2 2: : 1: 4ADE AFGS S AD AF △ △ ，
2 2: : 1:9ADE ABCS S AD AB △ △ ， 因 此 4AFGS △ 份 ， 9ABCS △ 份 ， 进 而 有 3DEGFS 四边形 份 ，
5FGCBS 四边形 份，所以 : : 1:3:5ADE DEGF FGCBS S S △ 四边形 四边形
【答案】1:3:5
【巩固】如图， DE 平行 BC ，且 2AD ， 5AB ， 4AE ，求 AC 的长．
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由金字塔模型得 : : : 2:5AD AB AE AC DE BC ，所以 4 2 5 10AC
【答案】10
【巩固】如图， ABC△ 中， DE ， FG ， MN ， PQ ， BC 互相平行， AD DF FM MP PB ，
则 : : : :ADE DEGF FGNM MNQP PQCBS S S S S △ 四边形 四边形 四边形 四边形 ．
Q
E
G
N
M
F
P
A
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】设 1ADES △ 份， 2 2: : 1: 4ADE AFGS S AD AF △ △ ，因此 4AFGS △ 份，进而有 3DEGFS 四边形 份，同理有
5FGNMS 四边形 份， 7MNQPS 四边形 份， 9PQCBS 四边形 份．
所以有 : : : : 1:3:5:7 :9ADE DEGF FGNM MNQP PQCBS S S S S △ 四边形 四边形 四边形 四边形
【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．
【答案】1:3:5:7 :9
【例 5】 已知 ABC△ 中， DE 平行 BC ，若 : 2:3AD DB ，且 DBCES梯形 比 ADES△ 大 28.5 cm ，求 ABCS△ ．
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据金字塔模型 : : 2:(2 3) 2:5AD AB DE BC ， 2 2: 2 :5 4: 25ADE ABCS S △ △ ，设 4ADES △ 份，
则 25ABCS △ 份 ， 25 4 21DBCES 梯形 份 ， DBCES梯形 比 ADES△ 大 17 份 ， 恰 好 是 28.5 cm ， 所 以
212.5 cmABCS △
【答案】12.5
【例 6】 如图： MN 平行 BC ， : 4:9MPN BCPS S △ △ ， 4 cmAM ，求 BM 的长度
N
M
P
A
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】在沙漏模型中，因为 : 4:9MPN BCPS S △ △ ，所以 : 2:3MN BC ，在金字塔模型中有：
: : 2:3AM AB MN BC ，因为 4 cmAM ， 4 2 3 6AB cm ，所以 6 4 2 cmBM
【答案】2
【巩固】如图，已知 DE 平行 BC ， : 3: 2BO EO ，那么 :AD AB ________．
O
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】由沙漏模型得 : : 3: 2BO EO BC DE ，再由金字塔模型得 : : 2:3AD AB DE BC ．
【答案】 2 :3
【例 7】 如图， ABC 中， 1
4AE AB ， 1
4AD AC ，ED 与 BC 平行， EOD 的面积是 1 平方厘米．那么 AED
的面积是 平方厘米．
A
B
C
D
E
O
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】因为 1
4AE AB ， 1
4AD AC ， ED 与 BC 平行，
根据相似模型可知 : 1: 4ED BC ， : 1: 4EO OC ， 4 4COD EODS S 平方厘米，
则 4 1 5CDES 平方厘米，
又因为 : : 1:3AED CDES S AD DC ，所以 1 55 3 3AEDS (平方厘米)．
【答案】 5
3
【例 8】 如下图，正方形 ABCD 边长为 l0 厘米，BO 长 8 厘米。AE=____厘米。
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 4 题，10 分
【解析】△AOB 与△EDA 相似，对应边成比例。AB：BO AE：AD，AE AB×AD÷BO 10×10÷8 12.5(厘
米)。
【答案】12.5
【例 9】 如图，已知正方形 ABCD 的边长是 12 厘米，E 是 CD 边上的中点，连接对角线 AC，交 BE 于点 O，
则三角形 AOB 的面积是（ ）平方厘米。
A、24 B、36 C、48 D、60
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，五年级，初赛
【解析】 C
【答案】 C
【例 10】在图中的正方形中， A ， B ， C 分别是所在边的中点， CDO 的面积是 ABO 面积的几倍？
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BC ，易知 OA∥ EF ，根据相似三角形性质，可知 : :OB OD AE AD ，且 : : 1: 2OA BE DA DE ，
所 以 CDOV 的 面 积 等 于 CBOV 的 面 积 ； 由 1 1
2 4OA BE AC 可 得 3CO OA ， 所 以
3CDO CBO ABOS S S V V V ，即 CDOV 的面积是 ABOV 面积的 3 倍．
【答案】3
【例 11】图 30-10 是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接 BG．
设△AEG 的面积为 x，显然△EBG、△BFG、△FCG 的面积均为 x，则△ABF 的面积为 3x，
1 20 10 1002ABFS 即 100
3x ，那么正方形内空白部分的面积为 4004 3x .
所以原题中阴影部分面积为 400 80020 20 3 3
(平方厘米)．
【答案】 800
3
【例 12】 如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 4AD EC ， 6BD BE ，那么图中阴影部分面积是多少？
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看．
作辅助线 BO ，则图形关于 BO 对称，有 ADO CEOS S ， DBO EBOS S ，且 : 4:6 2:3ADO DBOS S ．
设 ADO 的面积为 2 份，则 DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份．
因为 6 10 2 30ABES ，而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为 30 8 4 15 ．
解法二：连接 DE 、AC ．由于 4AD EC ， 6BD BE ，所以 DE ∥ AC ，根据相似三角形性质，
可知 : : 6:10 3:5DE AC BD BA ，
根据梯形蝴蝶定理， 2 2: : : 3 : 3 5 : 3 5 :5 9:15:15: 25DOE DOA COE COAS S S S ，
所以 : 15 15 : 9 15 15 25 15:32ADECS S 阴影 梯形 ，即 15
32 ADECS S阴影 梯形 ；
又 1 110 10 6 6=322 2ADECS 梯形 ，所以 15 1532 ADECS S 阴影 梯形 ．
【答案】15
【例 13】如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是16 ， : 3:1BG GC ，则四
边形 EFGH 的面积 ________．
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，精英邀请赛
【解析】因为 FGHE 为平行四边形，所以 / /EC AG ，所以 AGCE 为平行四边形．
: 3:1BG GC ，那么 : 1: 4GC BC ，所以 1 1 16 44 4AGCE ABCDS S ．
又 AE GC ，所以 : : 1:3AE BG GC BG ，根据沙漏模型，
: : 3:1FG AF BG AE ，所以 3 3 4 34 4FGHE AGCES S ．
【答案】3
【例 14】已知三角形 ABC 的面积为 a ， : 2:1AF FC ， E 是 BD 的中点，且 EF ∥ BC ，交 CD 于 G ，求阴
影部分的面积．
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】已知 : 2:1AF FC ，且 EF ∥ BC ，利用相似三角形性质可知 : : 2:3EF BC AF AC ，所以
2
3EF BC ，且 : 4:9AEF ABCS S ．
又因为 E 是 BD 的中点，所以 EG 是三角形 DBC 的中位线，那么 1
2EG BC ， 1 2: : 3: 42 3EG EF ，
所以 : 1: 4GF EF ，可得 : 1:8CFG AFES S ，所以 : 1:18CFG ABCS S ，那么
18CFG
aS ．
【答案】
18
a
【例 15】已知正方形 ABCD ，过 C 的直线分别交 AB 、AD 的延长线于点 E 、F ，且 10 cmAE ， 15 cmAF
，求正方形 ABCD 的边长．
F
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有 : :BC AF CE EF ， : :DC AE CF EF ，设正
方形的边长为 cmx ，所以有 1BC DC CE CF
AF AE EF EF
，即 115 10
x x ，解得 6x ，所以正方形的边
长为 6 cm ．
方法二：或根据一个金字塔列方程即 15
10 15
x x ，解得 6x
【答案】6
【例 16】如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边 120BC 毫米，高 80AD 毫米，要把它加工成正
方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长
是多少？
H
G
N
P
A
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】观察图中有金字塔模型5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有 PN AP
BC AB
， PH BP
AD AB
，
设正方形的边长为 x 毫米， PN PH
BC AD
1AP BP
AB AB
，即 1120 80
x x ，解得 48x ，即正方形的边
长为 48 毫米．
【答案】48
【巩固】如图，在 ABC△ 中，有长方形 DEFG ，G 、F 在 BC 上，D 、E 分别在 AB 、AC 上，AH 是 ABC△
边 BC 的高，交 DE 于 M ， : 1: 2DG DE ， 12BC 厘米， 8AH 厘米，求长方形的长和宽．
E
H
G
M
F
A
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以 DE AD
BC AB
， DG BD
AH AB
，
所以有 1DE DG AD BD
BC AH AB AB
，设 DG x ，则 2DE x ，所以有 2 112 8
x x ，解得 24
7x ， 482 7x ，
因此长方形的长和宽分别是 48
7
厘米， 24
7
厘米．
【答案】长 48
7
，宽 24
7
【例 17】图中 ABCD 是边长为12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形
在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm ，那么三角形 GDC 的面积是多少？
A
B
C
D
E
F
G
N
M
A
B
C
D
E
F
G
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】根据题中条件，可以直接判断出 EF 与 DC 平行，从而三角形GEF 与三角形GDC 相似，这样，就可
以采用相似三角形性质来解决问题．
做 GM 垂直 DC 于 M ，交 AB 于 N ．
因为 EF ∥ DC ，所以三角形 GEF 与三角形 GDC 相似，且相似比为 : 4:12 1:3EF DC ，
所以 : 1:3GN GM ，又因为 12MN GM GN ，所以 18GM cm ，
所以三角形 GDC 的面积为 21 12 18 1082 cm ．
【答案】108
【例 18】如图，将一个边长为 2 的正方形两边长分别延长1和 3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积
是多少？
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据相似三角形的对应边成比例有： 3
1 2 2 3
NF
； 1
2 3 1 2
EM
，
则 5
9NF ， 5
3EM ，
1 9 5 12 22 5 3 30S 阴
【答案】 1
30
【例 19】图中的大小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影部分的面积
是 ．
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】101 中学
【解析】设大、小正方形的边长分别为 m 厘米、 n 厘米( m n )，则 2 2 52m n ，所以 8m ．若 5m ，则
2 2 25 2 50 52m n ，不合题意，所以 m 只能为 6 或 7．检验可知只有 6m 、 4n 满足题意，
所 以 大 、 小 正 方 形 的 边 长 分 别 为 6 厘 米 和 4 厘 米 ． 根 据 相 似 三 角 形 性 质 ，
: : 6: 4 3: 2BG GF AB FE ，而 6BG GF ，得 3.6BG (厘米)，所以阴影部分的面积为：
1 6 3.6 10.82
(平方厘米)．
【答案】10.8
【例 20】如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3和 4 ，那么阴影部分的一
块直角三角形的面积是多少？
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】连接 OB ,面积为 4 的三角形占了矩形面积的 1
4
，所以 4 3 1OEBS △ ,所以 : 1:3OE EA ,所以
: 5:8CE CA ,由三角形相似可得阴影部分面积为 25 258 ( )8 8
．
【答案】 25
8
【例 21】已知长方形 ABCD 的面积为 70 厘米， E 是 AD 的中点， F 、 G 是 BC 边上的三等分点，求阴影
EHO△ 的面积是多少厘米？
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 E 是 AD 的中点， F 、 G 是 BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成 6 份的
话，那么 3ED AD 份、 2BF FG GC 份，大家能在图形中找到沙漏 EOD△ 和 BOG△ ：有
3 4ED BG∶ = ∶ ，所以 3 4OD BO ∶ ∶ ，相当于把 BD 分成(3 4 ) 7 份，同理也可以在图中在次找到沙
漏： EHD△ 和 BHF△ 也是沙漏， 3 2ED BF ∶ ∶ ，由此可以推出： 3 2HD BH ∶ ∶ , 相当于把 BD 分
成(3 2 )5 份，那么我们就可以把 BD 分成35 份( 5 和 7 的最小公倍数)其中OD 占15 份，BH 占14 份，
HO 占 6 份，连接 EB 则可知 BED△ 的面积为 3570 4 2
，在 BD 为底的三角形中 HO 占 6 份，则面
积为： 35 6 32 35
(平方厘米).
【答案】3
【例 22】 ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米， E 、 F 分别为 AB 、 BC 的中点，则图中阴影部分的
面积为 平方厘米．
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．
设G 、 H 分别为 AD 、 DC 的中点，连接 GH 、 EF 、 BD ．
可得 1= 4AED ABCDS S 平行四边形 ，
对角线 BD 被 EF 、 AC 、 GH 平均分成四段，又 OM ∥ EF ，所以 2 3: : 2:34 4DO ED BD BD ，
: : 3 2 :3 1:3OE ED ED OD ED ，
所以 1 1 1 1 72 63 4 3 4AEO ABCDS S 平行四边形 (平方厘米)， 2 12ADO AEOS S (平方厘米)．
同理可得 6CFMS 平方厘米， 12CDMS 平方厘米．
所以 36 6 6 24ABC AEO CFMS S S (平方厘米)，
于是，阴影部分的面积为 24 12 12 48 (平方厘米)．
方法二：寻找图中的沙漏， : : 1: 2AE CD AO OC ， : : 1: 2FC AD CM AM ，因此 ,O M 为 AC 的
三等分点， 1 1 72 126 6ODM ABCDS S △ 平行四边形 (平方厘米)， 1 1 12 2 64 4AEO OCDS S △ △ (平方厘米)，
同理 6FMCS △ (平方厘米)，所以 72 12 6 6 48S 阴影 (平方厘米)．
【答案】48
【例 23】如图，三角形 PDM 的面积是 8 平方厘米，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，M 是 BC 的
中点，则三角形 APD 的面积是 平方厘米．
A
B
C
D
P
M
K
N
A
B
C
D
P
M
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一
点做垂线．
取 AD 的中点 N ，连接 MN ，设 MN 交 PD 于 K ．
则三角形 PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边 MK ，可知三角形 PDM 的面积
等于 1 82 MK BC (平方厘米)，所以 8MK= 3 (厘米)，那么 8 44 3 3NK (厘米)．
因为 NK 是三角形 APD 的中位线，所以 82 3AP NK (厘米)，所以三角形 APD 的面积为
1 8 6 82 3
(平方厘米)．
【答案】8
【例 24】如图，长方形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， AF 与 BE 、 BD 分别交于 G 、 H ， OE 垂直 AD 于 E ，
交 AF 于 O ，已知 5 cmAH ， 3 cmHF ，求 AG ．
A
B
C
D
E
F
G
H
O
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于 AB ∥ DF ，利用相似三角形性质可以得到 : : 5:3AB DF AH HF ，
又因为 E 为 AD 中点，那么有 : 1: 2OE FD ，
所以 3: 5: 10:32AB OE ，利用相似三角形性质可以得到 : : 10:3AG GO AB OE ，
而 1 1 5 3 4 cm2 2AO AF ，所以 10 404 cm13 13AG ．
【答案】 40
13
【例 25】右图中正方形的面积为 1， E 、 F 分别为 AB 、 BD 的中点， 1
3GC FC ．求阴影部分的面积．
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最
多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作 FH 垂直
BC 于 H ， GI 垂直 BC 于 I ．
根据相似三角形性质， : : 1:3CI CH CG CF ，又因为 CH HB ，所以 : 1:6CI CB ，即
: 6 1 :6 5:6BI BC ，所以 1 1 5 5
2 2 6 24BGES ．
【答案】 5
24
【例 26】梯形 ABCD 的面积为 12， 2AB CD ，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于 F ，四边形 CDFE
的面积是 ．
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】延长 BF 、 CD 相交于G ．
由于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质， 2CG AB CD ， 1 1
2 2GD GC AB ，再根据相似三
角形性质， : : 2:1AF FD AB DG ， : 1:3GF GB ，而 : : 2:1ABD BCDS S AB CD ，
所以 1 1 12 43 3BCD ABCDS S ， 2 8GBC BCDS S ．
又 1 1 1
2 3 6
GDF
GBC
S
S
， 1
2EBC GBCS S ，所以 1 1 1 81 2 6 3 3CDFE GBC GBCS S S
．
【答案】 8
3
【例 27】如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米， D 、 E 、 F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积
是 平方厘米．
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而
从图中来看，既可以转化为 BEF 与 EMN 的面积之差，又可以转化为 BCM 与 CFN 的面积之差．
(法 1)如图，连接 DE ．
由于 D 、 E 、 F 分别为各边的中点，那么 BDEF 为平行四边形，且面积为三角形 ABC 面积的一半，
即 30 平方厘米；那么 BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15 平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线，长度为 BC 的一半，则
: : 1: 2EM BM DE BC ，所以 1
3EM EB ；
: : 1:1EN FN DE FC ，所以 1
2EN EF ．
那么 EMN 的面积占 BEF 面积的 1 1 1
2 3 6
，所以阴影部分面积为 115 1 12.56
(平方厘米)．
(法 2)如图，连接 AM ．
根据燕尾定理， : : 1:1ABM BCMS S AE EC ， : : 1:1ACM BCMS S AD DB ，
所以 1 1 60 203 3BCO ABCS S 平方厘米，
而 1 1 60 302 2BDC ABCS S 平方厘米，所以 1 7.54FCN BDCS S 平方厘米，
那么阴影部分面积为 20 7.5 12.5 (平方厘米)．
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
⑴利用面积公式：底 高 2 ；
⑵利用整体减去部分；
⑶利用比例和模型．
【答案】12.5
【例 28】如图, ABCD 是直角梯形， 4, 5, 3AB AD DE ，那么梯形 ABCD 的面积是多少?
O
E
D
C
B
A
O
E
D
A
F
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】延长 EO 交 AB 于 F 点，分别计算 , , ,AOD AOB DOC BOC△ △ △ △ 的面积，再求和．
3 1DE BF DO OB ∶ ∶ ∶
∴ 3 1AOD AOBS S △ △∶ ∶ ； 3 1DOC BOCS S △ △ ∶
AOD BOCS S△ △
又∵ 1 4 5 102ABDS △
∴ 3 7.54AOD ABDS S △ △ , 2.5, 7.5, 3 3 7.5 22.5AOB BOC DOC BOCS S S S △ △ △ △
∴ 7.5 2.5 7.5 22.5 40ABCDS 梯形
【答案】40
【例 29】边长为8厘米和12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ABCD ，小正方形为 MNDE ， EB 分别交 ,AC AD
于 ,O H 两点，
12 20 3 5AO OC AB EC ∶ ∶ ∶ ∶ ， 3 5AH BC AO OC ∶ ∶ ∶
∴ 3 8AO AC ∶ ∶ ， 3 5AH AD ∶ ∶ ， 9 40AHO ADCS S △ △∶ ∶
∵ 21 12 722ADCS △
∴ 9 9 72 16.240 40AHO ADCS S △ △
【答案】16.2
【例 30】如右图，长方形 ABCD 中， 16EF ， 9FG ，求 AG 的长．
D
A
B
C
E
F
G
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 DA ∥ BE ，根据相似三角形性质知 DG AG
GB GE
，
又因为 DF ∥ AB ， DG FG
GB GA
，
所以 AG FG
GE GA
，即 2 225 9 225 15AG GE FG ，所以 15AG ．
【答案】15
【例 31】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4 ， F 是 BC 边的中点， E 是 DC 边上的点，且 : 1:3DE EC ，
AF 与 BE 相交于点 G ，求 ABGS△
G
F
A
E
D
C
B
M
G
F
A
E
D
C
B
G
F
A
E
D
C
B
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】方法一：连接 AE ，延长 AF ，DC 两条线交于点 M ，构造出两个沙漏，所以有 : : 1:1AB CM BF FC ，
因 此 4CM ， 根 据 题 意 有 3CE ， 再 根 据 另 一 个 沙 漏 有 : : 4:7GB GE AB EM ， 所 以
4 4 32(4 4 2)4 7 11 11ABG ABES S △ △ ．
方法二：连接 ,AE EF ，分别求 4 2 2 4ABFS △ ， 4 4 4 1 2 3 2 2 4 7AEFS △ ，根据
蝴蝶定理 : : 4:7ABF AEFS S BG GE △ △ ，所以 4 4 32(4 4 2)4 7 11 11ABG ABES S △ △ ．
【答案】 32
11
【例 32】如图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积是 1， E 、 F 是 AB 、 AD 的中点， BF 交 EC 于 M ，求
BMG 的面积．
M
H
G
F
E
D
C
B
A
I
A
B
C
D
E
F
G
H
M
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】解法一：由题意可得， E 、 F 是 AB 、 AD 的中点，得 / /EF BD ，而 : : 1: 2FD BC FH HC ，
: : 1: 2EB CD BG GD 所以 : : 2:3CH CF GH EF ，
并得 G 、 H 是 BD 的三等分点，所以 BG GH ，所以
: : 2:3BG EF BM MF ，
所以 2
5BM BF ， 1 1 1 1
2 2 2 4BFD ABD ABCDS S S ；
又因为 1
3BG BD ，所以 1 2 1 2 1 1
3 5 3 5 4 30BMG BFDS S ．
解法二：延长 CE 交 DA 于 I ，如右图，
可得， : : 1:1AI BC AE EB ，
从而可以确定 M 的点的位置，
: : 2:3BM MF BC IF ，
2
5BM BF ， 1
3BG BD (鸟头定理)，
可得 2 1 2 1 1 1
5 3 5 3 4 30BMG BDF ABCDS S S
【答案】 1
30
【例 33】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是
平方厘米．
H
G
F
E
D
C
B
A
M
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】，入学测试
【解析】欲求四边形 BGHF 的面积须求出 EBG 和 CHF 的面积．
由题意可得到： : : 1: 2EG GC EB CD ，所以可得： 1
3EBG BCES S
将 AB 、 DF 延长交于 M 点，可得：
: : : 1:1BM DC MF FD BF FC ，
而 1: : ( ) : 3: 22EH HC EM CD AB AB CD ，得 2
5CH CE ，
而 1
2CF BC ，所以 1 2 1
2 5 5CHF BCE BCES S S
1 1 1 120 302 2 4BCES AB BC
1 1 7 7 30 143 5 15 15EBC EBC EBC EBCBGHFS S S S S 四边形 ．
本题也可以用蝴蝶定理来做，连接 EF ，确定 H 的位置(也就是 :FH HD )，同样也能解出．
【答案】14
【例 34】如 图 ， 已 知 14ABCS △ , 点 , ,D E F 分 别 在 , ,AB BC CA 上 ， 且 2, 5,AD BD AF FC ，
ABEDBEFS S △四边形 则 ABES△ 是多少？
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 ABC△ 的面积已知，若知道 ABE△ 的面积占 ABC△ 的几分之几就可以计算出 ABE△ 的面积．连接
CD ．
∵ ABEDBEFS S △四边形
∴ DEF ADES S△ △
∴ AC 与 DE 平行，
∴ ADE CDES S△ △
∴ ABE CDBS S△ △
∵ 2AD ， 5BD
∴ : 2:5ACD CDBS S
∴ 5 5 14 107 7
ABC
ABB CDB
SS S △
△ △
【答案】10
【例 35】如图，长方形 ABCD 中，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，DE EC ， 2FB AF ，求 : :PM MN NQ ．
P
M
N
Q
F
E
D
C
B
A
G
P
M
N
Q
F
E
D
C
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如图，过 E 作 AD 的平行线交 PQ 于 G ．
由于 E 是 DC 的中点，所以 G 是 PQ 的中点．
由于 DE EC ， 2FB AF ，所以 : 2:3AF DE ， : 4:3BF CE ．
根据相似性， : : : 2:3PM MG AM ME AF DE ， : : : 3: 4GN NQ EN NB EC BF ，
于是 2
5PM PG ， 3 3 36
5 7 35MN PG GQ PG ， 4 4
7 7NQ GQ PG ，
所以 2 36 4: : : : 7 :18:105 35 7PM MN NQ ．
【答案】 7 :18:10
【例 36】如下图， D 、 E 、 F 、 G 均为各边的三等分点，线段 EG 和 DF 把三角形 ABC 分成四部分，如果
四边形 FOGC 的面积是 24 平方厘米，求三角形 ABC 的面积．
E
D
O
G
C
F
B
A
E
D
O
G
C
F
B
A
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设三角形以 AB 为底的高为 h ，
由于 : 2:3FG AB ，所以 : 1: 2ED FG ；
所以三角形 OGF 以GF 为底的高是 1 2 2
3 3 9h h ；
又因为三角形 CFG 以 FG 为底的高是 2
3 h ，
所以三角形 OGF 的面积与三角形CGF 的面积之比 2 2: 1:39 3h h ，
所以三角形 CFG 的面积为 324 183 1
(平方厘米)，
而三角形 CFG 的面积占三角形 ABC 的 2 2 4
3 3 9
，
所以三角形 ABC 的面积是 418 40.59
(平方厘米)．
【答案】40.5
【例 37】如图，ABCD 为正方形， 1cmAM NB DE FC 且 2 cmMN ，请问四边形 PQRS 的面积为多
少？
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】香港保良局小学数学世界邀请赛
【解析】 (法1)由 / /AB CD ，有 MP PC
MN DC
，所以 2PC PM ，又 MQ MB
QC EC
，所以
1
2MQ QC MC ，所以 1 1 1
2 3 6PQ MC MC MC ，所以 SPQRS 占 AMCFS 的 1
6
，
所以 1 21 (1 1 2)6 3SPQRS 2(cm ) ．
( 法 2 ) 如 图 ， 连 结 AE ， 则 1 4 4 82ABES ( 2cm ) ， 而 RB ER
AB EF
， 所 以 2RB AB
EF EF
，
2 2 1683 3 3ABR ABES S ( 2cm )．而 1 13 4 32 2MBQ ANSS S ( 2cm )，因为 MN MP
DC PC
，
所以 1
3MP MC ，则 1 1 42 42 3 3MNPS ( 2cm )，阴影部分面积等于
16 4 23 33 3 3ABR ANS MBQ MNPS S S S ( 2cm )．
【答案】 2
3
【例 38】如图 12-6 所示，在三角形 ABC 中，DC=3BD，DE=EA．若三角形 ABC 的面积是 1．则阴影部分
的面积是多少?
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】奥林匹克，5 题
【解析】 △ABC、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有 3 3 .4 4ADC ABC ABC
DCS S SBC
而 E 为 AD 中点，所以 1 3.2 8DEC ADCS S
连接 FD，△DFE、△FAE 面积相等，设 ,FEAS x 则． FDES 的面积也为 x， 1 1 .4 4ABD ABCS S
1 2 ,4BDF ABD FEA FDES S S S x 而 3.8FDC FDE DECS S S x
1 3: ( 2 );( ) 1:34 8BDF FDCS S x x ，解得 3
56x .
所以，阴影部分面积为 3 3 3 .8 56 7DEC FEAS S
【答案】 3
7
【例 39】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，①、②、③这三块的面积比依次为1: 4: 41．那么，
④、⑤这两块的面积比是______．
⑤
④
③
②
①
H
K
J
G
I
F
D
C
E
B
A
⑤
④
③
②
①
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛
【解析】如图∵ 1 2: 1: 4S S ，∴ : 1: 2AB BC ，∴ : 1:5ABE BCHES S ，
: 41 5 : 1 5 6:1EHIF AEHCS S ， : 6:1EF AE ，又∵ : 1: 2AE CD ，∴ : 7 : 2AF CD ，
∴ : : 7 :3AF AC AF DH ，∴ 4 5
1: 6 6 : 7 3 7 9:142S S
．
【答案】 9:14
【例 40】下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的重点，
如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m
n
，那么，m＋n 的值等于
__________。
E
F
G
H
C
D
B
A
E
F
G
H
C
D
B
A
（A）5 （B）7 （C）8 （D）12
【考点】相似三角形模型 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复赛，5 题
【解析】 A ，先求原题左图中的阴影部分的面积，连接 ,EG HI ，（见下图）.
D
G
C
F
B
A
H
I
E
I 是矩形 AEGD 对角线的交点，所以 HI AE 1
2 ，
AIDS AD HI 1
2 AD AE AD AB 1 1 1 1
2 2 2 4 ABCDS 1 1
8 8 。
原题左图中有 4 块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于 1 11 4 8 2 ，再求右图中阴影
部分的面积。过 F 作 BG 的平行线交 CD 于 I ，连接 BL （见下图）。
I
M
L
K
J
D
G
C
F
B
A
H
E
∵ ,AE EB ED ∥ BG ，∴ AJ JM 。∵ ,BF FC BG ∥ FI ,∴ GI IC DG 1
2 。
∵ ,GI DG FI 1
2 ∥ BG ∥ ED ,∴ MF JM 1
2 。至此，求出了 AJ JM MF 2 。
∵ , ,ABFS MF AF 1 1
4 5 ∴ S BMF 1 1 1
4 5 20 。由对称性知， ML LK KJ ,
∴ ,ML JM AF AF 1 1 2 2
3 3 5 15 BLM ABFS S 2 2 1 1
15 15 4 30 。
S 四边形 BFLE BLF BLM BMFS S S 2 2
1 1 12 30 20 6 。
原题右图中有 4 块面积相同的空白部分，所以阴影部分的面积等于 1 11 4 6 3 。
,m
n
1
22
1 3
3
m n 3 2 5 。
【答案】5
【例 41】如图所示，三角形 AEF，三角形 BDF,三角形 BCD，都是正三角形，其中 AE:BD=1:3,三角形 AEF
的面积是 1.求阴影部分的面积。
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，5 年级，第十五题
【解析】 2 2: : 1:9S AIF S BCI AF BC V V AEFV 面积是 1，那么 9S BDF S BDC V V ,
所以 AEFV 与 ACEV 的高之比是 1：7，所以 S ACEV =7,
因为 AD 与 BC 平行所以 9S ABC S BCD V V ,所以 : : 9:7S ABC S AEC BI IE V V
假设 BE 为 16 份，那么 BI=9,IE=7,又知道 BF:FE=3:1,:所以 BF=12,FE=4,
所以 IF=3, : : 4:3S AEF S AIF FE FI V V ,所以 S AIFV =0.75
又有 2 2: : 1:9S AIF S BCI AF BC V V ,所以 S BCIV =6.75
于是可求阴影部分面积是 0.75 6.25 2 15 .
【答案】15
【例 42】如图，正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为各边的中点，J 为 GD 的中点，EJ 交 CD 于 I。已知
正方形 ABCD 边长为 10cm，则图中阴影部分的面积是__ ___ cm2.
【考点】相似三角形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】学而思，六年级，第十一题
【解析】方法一、连结 EG、FJ 可得 GI：IF=2:3，所以阴影部分的面积应该是正方形 EFGH 的十分之二，也
就是大正方形的十分之一，为 10 2cm 。
方法二：
根据同底等高的两个三角形面积相等，左图中阴影面积与右图中的阴影面积相等。只要找到底边的
比例关系便可以解答。根据“相似三角形”就是常说的沙漏定理。来找到底边 a、b 的比例关系，但是
需要添加辅助线，如图所示：延长 EA 到 K，使得 EA=AK
因 为 EK ： GJ=4:1 ， 所 以 EI ： IJ=4 ： 1 ， 三 角 形 EGJ 的 面 积 是 正 方 形 面 积 的 八 分 之 一
4 4 110 10 101 4 5 8EGI EGJS S （ 2cm ）
【答案】10
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