小学奥数5-1-2-5 最值的数字谜（二）.教师版

5-1-2-5.最值中的数字谜（二） 教学目标 1. 掌握最值中的数字谜的技巧 2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 知识点拨 数字谜中的最值问题常用分析方法 1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以 转化为竖式数字谜； 2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等． 3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶分析法等． 4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法，通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的 最值的可能值，再验证能否取到这个最值． 5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。 例题精讲 模块一、横式数字谜 【例【例 11】】 在下面的算式□ 中填入四个运算符号  、  、 、  、（每个符号只填一次），则计算结果最大是 _______. 1 2 3 4 5□ □ □ □ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 3 题，6 分 【解析】为 了 得 到 最 大 结 果 必 须 用 “×” 连 接 4 和 5 ， 那 么 4 和 5 前 边 一 定 是 “+” ， 通 过 尝 试 得 到 ： 11 2 3 4 5 20 3      . 【答案】 120 3 【例【例 22】】 将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 □ □ □ □ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题 【解析】题目给出 5 个数，乘、除之后成 3 个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数 与另一个分数相加应尽量大， ， ， ， ； ， ， ， ；而 ， ， ， ； 其中最小的是 ，而 ， ， 所以 最大 【答案】最大 【例【例 33】】 将 1、3、5、7、9 填入等号左边的 5 个方框中，2、4、6、8 填入等号右边的 4 个方框中，使等式 成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为 ．       【考点】混合计算中的数字谜 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为 6 2 84 87   ，又 3 1 5 79 87    满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为 87． 【答案】87 【例【例 44】】 一个电子表用 5 个两位数(包括首位为 0 的两位数)表示时间，如 15:23:45/06/18 表示 6 月 18 日 15 点 23 分 45 秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的 5 个两位数 之和最大是 ． 【考点】 【难度】星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8 题 【解析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为 x ，那么个位数上的数字之和为 45 x ，则五个两位数上的 数字之和为10 45 45 9x x x    ，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大． 显然，五个两位数的十位数字都不超过 5 ，只能是 0 1 2 3 4 5，，，，， 这五个数字中的五个． 如果五个数字是 5 4 3 2 1，，，，，那么 5 4， 只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而 3只能在“日期”的十 位上， 2 只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时” 的个位不能同时满足实际情况． 如果五个数字是 5 4 3 2 0，，，， ，那么5 4， 只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十 位上，2 只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数 字是 5 4 3 1 0，，，， ，那么5 4， 只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而 3只能在“日期”的十位上，则“日 期”的个位无法满足情况．如果五个数字是 5 4 2 1 0，，，， ，那么 5 4， 只能在“分”、“秒”两个两位数的十 位， 2 1 0，， 依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为  45 9 5 4 2 1 0 153       ． 【答案】153 【例【例 55】】 0. 2.008 0. ABC C AB     ，三位数 ABC 的最大值是多少？ 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 4 题 【解析】 2.008 化为分数是 251 125 ，可以约分为 251 125 的分数有 502 250 、 753 375 ，所以 ABC 的最大值为 753. 【答案】 753 模块二、乘除法中的最值问题 【例【例 66】】 已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文数的乘积（即 45abcba deed  ），那么这个五位回文 数最大的可能值是________． 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 7 题 【解析】【解析】根据题意， 45abcba deed ，则 abcba 为４５的倍数，所以 a 应为０或５，又 a 还在首位，所以 a ＝ ５，现在要让 abcba 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令 9b  , 8c  ，则 a b c b a    ＝５＋９＋８＋９＋５＝３６是９的倍数，用５９８９５÷４５＝１３３１符合条 件，所以这个五位回文数最大的可能值是 59895 . 【答案】 59895 【例【例 77】】 在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。那么，乘积的最大值等于 _________。 6 0 0 × 2 （A）6292 （B）6384 （C）6496 （D）6688 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4 星 【题型】选择 【关键词】迎春杯，高年级，复试，第 1 题 【解析】【解析】 D ，提示： 304 22 6688 【答案】D. 6688 【例【例 88】】 满足图中算式的三位数 abc 最小值是________． 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，第 3 题 【解析】为了使得 abc 最小，那么 a1，由于三个积的十位数字为 0、1、0，那么 b0，个位上可以进位、不 进位都必须出现，那么 c2，所以 abc 102；评注：这是有极值要求的残缺数字谜问题，如果没有 abc 最小的限制，那么方法很多，即使在 abc 最小时，也有很多填法。本题可以改编成计数与数字谜的 综合试题，其它条件不变，“在 abc 最小时，共有______种不同填法；”，答案：20； 【答案】 20 【例【例 99】】 若 用 相 同 汉 字 表 示 相 同 的 数 字 ， 不 同 汉 字 表 示 不 同 的 数 字 ， 则 下 列 算 式 中 ， 5= 8 学习好勤动脑 勤动脑学习好 “学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？ 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】设“学习好”为 x ，“勤动脑”为 y ，则有    1000 5 1000 8x y y x     ，化简得 4992 7995x y ，即 128 205x y ，有 205 128 x y    ， 410 256 x y    ， 615 384 x y    ， 820 512 x y    ．所以，“学习好勤动脑”所表示的六位 数可能为 205128，410256，615384，820512，由于不能有重复数字，只有 410256，615384 满足， 其中最小的是 410256． 【答案】410256 【例【例 1010】】在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是 ． 6 4 0  【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】由于被乘数乘以 6 得到的数的个位数字为 4，所以被乘数的个位数字为 4 或 9，如果为 9，那么被乘 数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为 0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为 4， 且乘数的十位数字为 5，所以乘数为 56． 由于被乘数乘以 6 得到的五位数至少为 10004，而10004 6 1667 2   ，所以被乘数大于 1667，而被 乘数的个位数字为 4，所以被乘数至少为 1674，乘积最小为1674 56 93744  【答案】1674 56 93744  【例【例 1111】】在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是 ． 6 8  【考点】乘除法中的最值问题 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】由于被乘数乘以 6 得到一个五位数，而乘以乘数的十位数字得到一个四位数，所以乘数的十位数字 小于 6，乘数可能是 16，26，36，46 和 56．它们能得到的最小乘积分别是 8000 16 128000  ， 4000 26 104000  ， 2778 36 100008  ， 2174 46 100004  ， 1786 56 100016  ．其中最小的为 100004，所以乘积最小为 100004． 【答案】100004 【例【例 1212】】在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小．那么商的最小值是 ． 1 0 6 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】【解析】商的十位大于商的百位，所以商的十位最小为 7，个位最小为 1，所以商的最小可能值是 671．当商 是 671 时，由“除数 6 99  ”和“ 除数 7 110  ” 得 515 7  除数 116 2  ，那么除数 是 16．所以 10736 16 671  满足题意且商最小，所以商的最小值为 671． 【答案】671 【例【例 1313】】在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小．那么商的最小值是 ． 5 3 6 0 3 d c b a 5 3 6 0 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6 星 【题型】填空 【解析】【解析】如右式，用字母表示某些方格内的数．因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数， 所以商的每一位都不小于 2，那么商的最小可能值为 262．由右式知 8d  ，所以 3c  或 8．当 2a  时，由 5bc a  ，推知 3c  ，所以 8c  ，进而得 7b  ，此时题中算式为 20436 78 262  ，满 足题意，所以商的最小值为 262． 【答案】262 【例【例 1414】】在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大．那么，商的最大值是 __________． 0 0 0 7 2 7 r q n m k j i h g f e d c b a 0 0 0 7 2 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，初赛，第 6 题 【解析】【解析】如右式，用字母来表示方格内的数字．易知 0f  ．为了使商最大，首先令 9d  ，则 e 最大为 8(若 e 也为 9，则 0 2km n h ij ，则 0 7km n  的百位数字不能为 0)．再由 8 0abc km n  知 0 8 125abc km n   ， 由 7abc g qr  知 7 800 125 6.4g qr abc     ，所以 6g  ．若 6g  ，由 9d  知 d 是 g 的1.5 倍， 则 2 7 1.5 800 1.5 1200h ij qr     ，矛盾，所以 6g  不合题意； 若 5g  ，由 700 5 140 800 5 160abc      ，而140 8 1120 8 0 160 8 1280abc km n        ， 此时 0km n 只可能为1200 或1208， 150abc  或 151，但150 9 1350  ，151 9 1359  ，均不可能为 2h ij ， 所以 5g  不成立； 若 4g  ，由 700 4 175 800 4 200abc      ，而175 9 1575 9 2 200 9 1800abc h ij        ， 也不成立； 若 3g  ，可得以下两式符合题意： 2450750 250 9803  ， 2460553 251 9803  ， 所以商的最大值为 9803． 【答案】9803 【例【例 1515】】如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小．那么，商的最小 值是____________． 0 0 0 7 2 【考点】乘除法中的最值问题 【难度】6 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，初赛，第 3 题） 【解析】【解析】显然商十位是 0，如果商的千位是 2，则除数 2 2 □ □□，只能是12□□，从而除数 6 □□，乘以 商的个位之后不可能等于 7□□． 如果商的千位是 3，因为除数乘以商的百位后等于 00□ □，商的个位只能是 1 或 2． 如果商的个位是 1，则除数等于 7□□，商的百位最少是 4，此时 750 等数符合条件． 如果商的个位是 2，则除数等于 7□□，此时商的百位必须大于 4． 所以，商的最小值是 3401． 【答案】 3401