5-1-2-1.加减法数字谜
教学目标
数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。
横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的
数字谜问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字谜问题
知识点拨
一、数字迷加减法
1.个位数字分析法
2.加减法中的进位与退位
3.奇偶性分析法
二、数字谜问题解题技巧
1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异；
2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算；
3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性；
4.注意结合进位及退位来考虑；
例题精讲
模块一、加法数字谜
【例 1】 “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华
罗庚教授生于 1910 年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知 1910 与“华杯”之和等于 2004，那么“华
杯”代表的两位数是多少？
【考点】加法数字谜 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 1 题
【解析】由 0 +“杯”=4，知“杯”代表 4（不进位加法）；再由 191+“华”=200，知“华”代表 9．因此，“华杯”代
表的两位数是 94．
【答案】 94
【例 2】 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少?
【考点】加法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 5 题
【解析】149 的个位数是 9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9 是两个个位数的和，14 是两个十位数的
和。于是，四个数字的总和是 14＋9＝23。
【答案】 23
【例 3】 在下边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。问：被加数至少是多少？
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】第四届，华杯赛，初赛，第 2 题
【解析】从“被加数的数字和是和的数字和的三倍”这句话，可以推断出两点：①被加数可以被 3 整除。②在
做加法运算时，个位数字相加一定进位，否则和的数字和只会增加。从前一点可以得出被加数在 12，
15，18……中。再从后一点可以得出被加数最小是 18，这时数字和 1＋8＝9，恰好是和 21 的数字和
2＋1＝3 的 3 倍。因此，满足题目的最小的被加数是 18
【答案】18
【例 4】 两个自然数，它们的和加上它们的积恰为 34，这两个数中较大数为（ ）．
【考点】加法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】（4+6）+4×6=34，这两个数中较大数为 6。
【答案】 6
【例 5】 下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这 6 个方框中的数字的总和是多少？
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 11 题
【解析】方法一：每个方框中的数字只能是 0～9，因此任两个方框中数字之和最多是 18．现在先看看被加数
与加数中处于“百位”的两个数字之和，这个和不可能小于 18，因为不管它们后面的两个二位数是什
么，相加后必小于 200，也就是说最多只能进 1．这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是
18，而且后面两位数相加进 1，同样理由，处于“十位”的两个数字之和是 18，而且两个“个位”数字
相加后进 1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是 11，6 个方框中数字之和为 18＋18＋11＝47
方法二：被加数不会大于 999，所以加数不会小于 1991－999＝992。同样，被加数不会小于 992 也
就是说，加数和被加数都是不小于 992，不大于 999 的数这样便确定了加数和被加数的“百位”数字
和“十位”数字都是 9，而两个个位数字之和必是 11。
于是，总和为 9×4＋11＝47
【答案】 47
【例 6】 在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs ______
s t v a
v t s t
t t v t t
【考点】加法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第 5 题
【解析】【解析】两个四位数相加得到一个五位数，显然这个五位数的首位只能为 1，所以可以确定 1t ，那么百位
不可能向千位进位，所以 11s v ，十位向百位进了 1 位，所以 1 3v t t ，可得 11 3 8s ．又
因为 a t t ，所以 0a ，四位数 tavs 为 1038。
【答案】1038
【巩固】【巩固】下面的字母各代表什么数字，算式才能成立？
D
D
D
+
A
C
D
E
E
B
E
C
B
A
【考点】加法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】【解析】由于四位数加上四位数其和为五位数，所以可确定和的首位数字 E＝1.又因为个位上 D＋D＝D，所
以 D=0.此时算式为：
0
0
0
+
A
C
0
1
1
B
1
C
B
A
下面分两种情况进行讨论：
①若百位没有向千位进位，则由千位可确定 A=9，由十位可确定 C=8，由百位可确定 B=4.
因此得到问题的一个解：
0
0
0
+
9
8
0
1
1
4
1
8
4
9
②若百位向千位进 1，则由千位可确定 A=8，由十位可确定 C＝7，百位上不论 B 为什么样的整数，
B+B 和的个位都不可能为 7，因此此时不成立。
【答案】
0
0
0
+
9
8
0
1
1
4
1
8
4
9
【巩固】【巩固】右面算式中每一个汉字代表一个数字，不同的汉字表示不同的数字.当它们各代表什么数字时算式成
立？
+
啊
好
是
真
好
是
真
好
啊
好
【考点】加法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】【解析】由于是三位数加上三位数，其和为四位数，所以“真”=1.由于十位最多向百位进 1，因而百位上的
“是”=0，“好”=8 或 9。①若“好”=8，个位上因为 8+8＝16，所以“啊”=6，十位上，由于 6＋0＋1=7≠8，
所以“好”≠8。②若“好”=9，个位上因为 9＋9=18，所以“啊”=8，十位上，8＋0＋1=9，百位上，9＋
1=10，因而问题得解。真=1，是=0，好=9，啊=8
+
8
9
0
1
9
0
1
9
8
9
【答案】
+
8
9
0
1
9
0
1
9
8
9
【巩固】【巩固】下面算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“数学真好玩”代表的数是几？
爱 好 真 知
数 学 更 好
数 学 真 好 玩
【考点】加法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 3 题
【解析】【解析】题中竖式为两个四位数相加得到一个五位数，这个五位数的首位只能为 1，所以“数” 1 。再看千位，
由于百位至多进 1 位，而“爱” “数” 1 最大为 9 1 1 11 ，所以“学”不超过 1，而“数”为 1，所以“学”
只能为 0．竖式变为
1 0
1 0
爱 好 真 知
更 好
真 好 玩
。
那么“真”至少为 2，所以百位不可能进位，故“爱” 10 1 9 。由于“好”和“真”不同，所以
“真” “好” 1 ，十位向百位进 1 位。如果个位不向十位进位，则“真” “更” “好” 10 ，得到“更” 9 ，
不合题意，所以个位必定向十位进 1 位，则“真” “更” 1 “好” 10 ，得到“更” 8 。现在，
“真” “好” 1 ，“知” “好” 10 “玩”．“真”、“好”、“知”、“玩”为 2，3，4，5，6，7 中的数。由于
“玩”至少为 2，而“知” “好”最大为 6 7 13 ，所以“玩”为 2 或 3。若“玩”为 3，则“知”与“好”分别为
6 和 7，此时无论“好”为 6 还是 7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为 2，则“知”与“好”
分别为 5 和 7，只能是“知” 7 ，“好” 5 ，“真” 6 。此时“数学真好玩”代表的数是 10652。
【答案】10652
【例 7】 下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已
知 BAD 不是3的倍数，GOOD 不是8的倍数，那么 ABGD 代表的四位数是多少？
B A D
B A D
G O O D
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】首先可以确定 D 的值一定是 0 ，G 的值一定是1，所以 GOO BA BA ，可见 GOO 为偶数，只能是
122 、144 、166 、188 ，由于 BAD 不是3的倍数，GOOD 不是8的倍数，所以GOO 不是 3 的倍数，
也不是 4 的倍数，可以排除 144 和 188，再检验 122 和 166 可知只有166 符合，此时 BAD 为 830，所
以 ABGD 的值为3810 。
【答案】 3810
【例 8】 在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛’，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的
7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛’’
所代表的 7 个数字的和等于 ．
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】【解析】显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第” 1 ，“十”“华” 9 ，如果“届”“赛”
没有出现进位，那么“一” “杯” 10 ，“届” “赛” 6 ，那么“届”和“赛”一个是 2 另一
个是 4，那么“一” “杯”中有一个小于 5 的数必然是 3，另一个是 7，这样的话就不存在不重复
的“十”和“华”使它们的和是 9，所以“届” “赛”必定出现进位．
由于“届” “赛”出现进位，那么“一” “杯” 9 ，“届” “赛” 16 ，所以 7 个汉字代表
的 7 个数字之和等于 1 9 9 16 35 ．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是 3、
6、4、5、7、9 时可满足条件(答案不止一种)．
另解：本题也可采用弃九法．由于 2006 第十一届 华杯赛 ，所以 第 十 一 届 华 杯 赛 除
以 9 的余数等于 2006 除以 9 的余数，为 8．
由于“第、十、一、届、华、杯、赛’，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，且不同的
汉字代表不同的数字，假设 1～9 中的另外两个数为 a 和 b ，那么
45 a b 第 十 一 届 华 杯 赛 ，故 45 a b 除以 9 的余数为 8，则 a b 除以 9 的
余数为 1．
由题意可以看出“第” 1 ，所以 a 、b 不能为 1，则 2 0 2 8 9 17a b ，其中满足除以 9 余
1 的只有 10，所以 10a b ， 45 45 10 35a b 第 十 一 届 华 杯 赛 ．
【答案】 35
【例 9】 在下边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可
以推算出： ☆= _______.
☆ ☆
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】比较竖式中百位与十位的加法，如果十位上没有进位，那么百位上两个“□”相加等于一个“□”，得到
“□” 0 ， 这 与 “□” 在 首 位 不 能 为 0 矛 盾 ， 所 以 十 位 上 的 “□ □” 肯 定 进 位 ， 那 么 百 位 上 有
“□ □ 1 10 □” ， 从 而 “□” 9 ， “☆” 8 。 再 由 个 位 的 加 法 ， 推 知 “○ △ 8 ” ． 从 而
“ ☆ 9 8 8 25 ”．
【答案】 ☆ 9 8 8 25
【例 10】下 面 两 个 算 式 中 ， 相 同 的 字 母 代 表 相 同 的 数 字 ， 不 同 的 字 母 代 表 不 同 的 数 字 ， 那 么
A B C D E F G 。
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题
【解析】【解析】突破口是 A=1，所以 E=6，B=3 或 4.若 B=3，F=5，C=4，G=9，D=8，满足题目；若 B=4，F=4，矛
盾，舍.综上，A B C D E F G=1+3+4+8+6+5+9=36.
【答案】 36
【例 11】在下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么四位数 ABCD
为 .
2 0 0 8
A B C D
E F G H
2 4 2 4
A E F G
E F G H
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第 6 题
【解析】如果 8 D H ，那么将有 0 C G ，即 C G ，与题意不符，所以 10 8 D H ，即 2 D H ．类
似分析可知 1 10 0 C G ，即 9 C G ，故 0C ， 9G ．由 9G 知 4 G H ，故 5H ， 3D ．
由 10 2 F G 得 1F ，由 1 0 B F 得 2B ，由 1 4 E F 得 6E ，由 2 A E 得 8A ，
故四位数 ABCD 为 8203．
【例 12】从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中，选出九个数字，组成一个两位数、一个三位数
和一个四位数，使这三个数的和等于 2010. 其中未被选中的数字是
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题
【解析】9、6 根据弃九法，所有加数的各位数字总和与求得总和的各位数字之和应该差 9 的整数倍。由于 2010
的各位数字之和为 3，而 0+1+2+…+9=45，所以应该从中去掉 6。
【答案】 6
【例 13】把 0~9 中的数填到下图的方格中，每个数只能用一次，其中 5 已经填好，位于上方的格子中所填
数总大于它正下方的格子中所填数．
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3 年级，第 2 题
【解析】 3 82 571 9460 10116
【答案】 3 82 571 9460 10116
【例 14】下面的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字.如果巧+解+数+字+谜=30，
那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】观察算式的个位，由于谜+谜+谜+谜+谜和的个位还是“谜”，所以“谜”＝0 或 5。
1 若“谜”=0，则十位上字×4 的个位是字，字=0，出现重复数字，因此“谜”≠0。
②若“谜”=5，则巧+解+数+字=25.观察这个算式的十位，由于字+字+字+字+2 和的个位还是“字”，所
以“字”=6，则巧+解+数=19.再看算式的百位，由于数+数+数+2 和的个位还是“数”，因而“数”=4 或 9，
若“数”=4，则“解”＝9.因而“巧”=19-4-9＝6，“赛”=5，与“谜”=5 重复，因此“数”≠4，所以“数”=9，则
“巧”+“解”＝10.最后看算式的千位，由于“解”+ “解”+2 和的个位还是“解”，所以“解”＝8，则“巧”=2，
因此“赛”＝1.问题得解。
因此，“巧解数字谜”所代表的五位数为 28965。
【答案】28965
【巩固】【巩固】如图所示的算式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．求使算式成立的汉
字所表示的数字.
2 0 0 8
学
数 学
爱 数 学
喜 爱 数 学
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】将竖式化为横式就是：1000 200 30 4 喜 爱 数 学=2008 ，从“喜 ”到“学 ”依次考虑，并注意
到“喜”、“爱”、“数”都不能等于 0，可以得到： 1喜 ， 4爱 ， 6数 ， 7学 。
【答案】 1喜 ， 4爱 ， 6数 ， 7学
【巩固】【巩固】如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则数+学+
竞+赛= 或 。
【考点】加法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，1 试
【解析】从个位上看起，个位上的“赛”只能是 5，则由 4 竞 2 W 竞，知“竞”只能取 6，又由 3 学 2 W 学，
则知学可取 4 或 9，当取 4 时，数等于 9；当取 9 时，数等于 8.所以数+学+竞+赛=5+6+4+9=24 或
5+6+8+9=28。
【答案】 28
【例 15】在 3 3 的方格中，各有一个数，由一张或两张数字卡片组成，请你移动一张卡片，使每行每列三
个数的和都相等．用箭头表示将哪一张卡片移动到哪里．
1
1
3
5
7
9
2
9
7
1
1
1
3
1
1
2
【考点】加法数字谜 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】把第三列中的最下边一个“1”放到第一列的 2 后面就可以了。
【答案】把第三列中的最下边一个“1”放到第一列的 2 后面。
模块二、减法数字谜
【例 16】如下图是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字．问：这六个方框中的数字的连乘积等
于多少？
【考点】减法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 6 题
【解析】因为差的首位是 8，所以被减数首位是 9，减数的首位是 1。第二位上两数的差是 9，所以被减数的
第二位是 9，减数的第二位是 0。于是这六个方框中的数字的连乘积等于 0。
答：六个方框中的数字的连乘积等于 0．
【答案】 0
【例 17】在下式的每个空格里填入一个数字，使竖式成立。
【考点】减法数字谜 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】（走美杯 3 年级决赛第 4 题，8 分）
【解析】原式 3005 2006=999 。
【答案】 999
【例 18】把 0 ~ 9 这10 个数字填入下图（已填两个数字），使得等式成立。减数为_____
【考点】减法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3 年级，初赛
【解析】减数的个位必须是 0，从 1 的位置入手尝试可得： 93765 81420 12345
【答案】 93765 81420 12345
【例 19】在下面的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么 D＋G=？
【考点】减法数字谜 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】由于是五位数减去四位数，差为三位数，所以可确定 A=1，B=0，E=9.此时算式为：
分成两种情况进行讨论：
①若个位没有向十位借 1，则由十位可确定 F=9，但这与 E=9 矛盾。
②若个位向十位借 1，则由十位可确定 F=8，百位上可确定 C=7.这时只剩下 2、3、4、5、6 五个数字，
由个位可确定出：
=2
=4
D
G
或 =3
=5
D
G
或 =4
=6
D
G
，因此，问题得解
所以 D＋G=2＋4=6 或 D＋G=3＋5=8 或 D＋G=4＋6=10
【答案】6 或 8 或 10
【例 20】英文“HALLEY”表示“哈雷”，“COMET”表示“彗星”，“EARTH”表示地球.在下面的算式中，每个
字母均表示 0～9 中的某个数字，且相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字.这些
字母各代表什么数字时，算式成立？
【考点】减法数字谜 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】因为是一个六位数减去一个五位数，其差为五位数，所以可确定被减数的首位数字 H＝1.若个位没
有向十位借 1，则十位上 E-E=0，有 T=0，那么个位上，Y-0＝1，得 Y＝1，与 H=1 矛盾，所以个位
要向十位借 1，于是十位必向百位借 1，则十位上，10＋E-1-E＝9，则 T=9，因此，由个位可确定 Y
＝0.此时算式为：
1 若百位不向千位借位，则有 R＋M＋1=L，这时剩下数字 2、3、4、5、6、7、8，因为 2＋3＋1=6，
所以 L 最小为 6。若 L=6，则（R，M）=（2，3）（表示 R、M 为 2、3 这两个数字，其中 R 可能为 2，
也可能为 3，M 也同样）.这时还剩下 4、5、7、8 这四个数字，由千位上有 O+A=6，而在 4、5、7、
8 这四个数字中，不论哪两个数字相加，和都不可能为 6，因此 L≠6.若 L＝7，则 M＋R=6，于是（M，
R）＝（2，4），还剩下 3、5、6、8 这四个数字.由千位上 O＋A=7，而在 3、5、6、8 这四个数字中，
不论哪两个数字相加，和都不可能为 7，因此 L≠7。若 L=8，则 M＋R＝7，（M，R）=（2，5）或（M，
R）＝（3，4）。若（M，R）=（2，5），则还剩下 3、4、6、7 这四个数字。由千位可确定 O＋A=8，
而在 3、4、6、7 这四个数字中，不论哪两个数字相加，和都不可能为 8，因此（M， R） ≠（2，5）。
若（M，R）＝（3，4），则还剩下 2、5、6、7 这四个数字。由千位可确定 O＋A=8，而 2＋6=8，所
以（O，A）＝（2，6），最后剩下 5 和 7.因为 5＋7＝12，所以可确定 A＝2，O=6，则（C，E）＝（5，
7）.由于 C 与 E 可对换，M 与 R 可对换，所以得到问题的四个解：
②若百位向千位借 1，则 M＋R＝L＋9.还剩下 2、3、4、5、6、7、8。
若 L＝2，则（M，R）＝（3， 8）或（M，R）=（4，7）或（M，R）＝（5，6）.
由千位得 O+A＝11，则必有 C＋E=11，而万位上 C＋E＝9+A，由此可得 A=2，与 L＝2 矛盾.
所以 L≠2。
若 L＝3，则 M＋R＝12，（M，R）=（4，8）或（M，R）＝（5，7）.由千位得 O＋A＝12，
这时还剩下 2、6 这两个数字.由万位得 C+E=9＋A，即 2＋6=9＋A，A 无解.所以 L≠3。
若 L＝4，则 M＋R＝13，（M，R）＝（5，8）或（M，R）＝（6，7）.由千位得 O＋A=13，
这时还剩下 2 和 3 这两个数字.由万位得 C+E＝A+9，即 2＋3＝A＋9，A 无解.所以 L≠4。
若 L=5，则 M＋R＝14，（M，R）=（6，8）.由千位得 O＋A＝14，
而在剩下的 2、3、4、7 这四个数中，任意两个数字的和都不等于 14.所以 L≠5。
若 L=6，则 M＋R=15，（M， R）=（7，8）.由千位得 O＋A＝5，则（O，A）=（2，3）.
这时还剩下 4 和 5 这两个数字，由万位得 C+E＝10+A，即 4＋5=10＋A，A 无解.所以 L≠6。
因为 M＋R 的和最大为 15，所以 L 最大取 6。
共以上四个解。
【答案】
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