5-2-1.数的整除之四大判断法
综合运用（一）
教学目标
1. 了解整除的性质；
2. 运用整除的性质解题；
3. 整除性质的综合运用.
知识点拨
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除；
一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；
一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；
2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除；
一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11
或 13 整除.
5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个
数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定
是 99 的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a，
c︱b，那么 c︱(a±b)．
性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a，
c∣b，那么 c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那
么 b∣a，c∣a．
性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b
与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a．
例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）；
性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那
么 bd｜ac；
例题精讲
模块一、2、5 系列
【例 1】 975 935 972 □，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】【解析】积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少有 4 个因数 2 和 4 个因数 5．975 5 5 39 ，935 5 187 ，
972 2 2 243 ，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是 2 2 5 20 ．
【答案】 2 2 5 20
【例 2】 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0．其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产
生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0，50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生 1 个 0，所以一共有
7 4 2 1 14 个 0．
【答案】14 个连续的 0
【例 3】 把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最
后出现的自然数最小应该是多少？
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 和 5 的个数决定的，有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零．由
于相邻两个自然数中必定有一个是 2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观
察因数 5 的个数就可以了．5 5 1 ，10 5 2 ，15 5 3 ，20 5 4 ，25 5 5 ，30 5 6 ，……，
发现只有 25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 55 时共出现11 2 13 个因
数 5，所以至少应当写到 55。
【答案】55
【例 4】 11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的平均数是多少？
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】因为 3343 7 ，由于在 11 个连续的两位数中，至多只能有 2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必须
是 49 的倍数，那就只能是 49 或 98．又因为乘积的末 4 位都是 0，所以这连续的 11 个自然数至少应
该含有 4 个因数 5．连续的 11 个自然数中至多只能有 3 个是 5 的倍数，至多只能有 1 个是 25 的倍
数，所以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、50 或 75．所以这 11 个数中应同时有 49
和 50，且除 50 外还有两个是 5 的倍数，只能是 40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，
它们的平均数即为它们的中间项 45．
【答案】45
【例 5】 201 202 203 300 的结果除以10 ，所得到的商再除以10 ……重复这样的操作，在第____
次除以10 时，首次出现余数.
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5 年级，第 7 题
【解析】本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的 0 .0 由 5 和 2 相乘得到，最关键在于有多少个 5.
能整除 1 次 5 的数有 205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285，
290，295 共 16 个，会乘出 16 个连续的 0；
能整除 2 次 5 的数有 225，275，300 共三个，会乘出 6 个连续的 0；
能整除 3 次 5 的数有 250，会乘出 3 个连续的 0。
所以共有16 6 3 25 个连续的 0，则能整除 25 次 10，第 26 次首次出现余数。
【答案】 26 次
【例 6】 用 1～9 这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是 4 的倍数。这三个三位数中最
小的一个最大是 。
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 8 题，10 分
【解析】三个数都是 4 的倍数，个位必然都是偶数。当个位是 2 或 6 时，十位是奇数，当个位是 4 或 8 时，
十位是偶数。因为 1～9 中只有 4 个偶数，所以三个数中有两个的个位分别是 2 和 6，另一个的后两
位是 84 或 48。因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是 5，(另两个分别是 9
和 7)。9 已被百位占用，十位最大的是 8，所以三个三位数中最小的一个最大是 584。
注：另两个三位数可以是 912，736 或 932，716 或 916，732 或 936，712。
【答案】 584
【例 7】 若 4 2 32 b c d ，试问 abcd 能否被 8 整除?请说明理由．
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可. 100 10 bcd b c d ，有
(4 2 ) 96 8 8(12 ) bcd b c d b c b c 能被 8 整除，而 4 2 32 b c d 也能被 8 整除，所以 abcd 能
被 8 整除.
模块二、3、9、99 系列
【例 8】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□32□是 9 的倍数. 请随便填出一种，并检查
自己填的是否正确。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空
【解析】【解析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □ 3 2 □是 9 的倍数，而 4 3 2 9,
所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为 4 3 3 2 6 18 是 9 的倍数，
所以 43326 是 9 的倍数。
【答案】43326（答案不唯一）
【巩固】【巩固】若 9 位数 2008□2008 能够被 3 整除，则□里的数是__________
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，2 题
【解析】根据题目知:20+□ 是 3 的倍数,所以□ 里填 1 或 4 或 7.
【答案】1或 4 或 7
【例 9】 一个六位数 2 727口口 被 3 除余 l，被 9 除余 4，这个数最小是 。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 2 题，8 分
【解析】被 9 除余 4 的数被 3 除必余 1，所以只需考虑被 9 除余 4 这个条件。这个数各个数位上的数字之和
除以 9 应余 4。所以框里面最小是 04，六位数为：204727.
【答案】 204727
【例 10】连续写出从 1 开始的自然数，写到 2008 时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008，
请说明：这个多位数除以 3，得到的余数是几？为什么？
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 15 题
【解析】因为连续 3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为 2007 是 3的倍数，所以
1234567891011 2007 是3的倍数，又因为
1234567891011 20072008 1234567891011 200700 00 2007 1 ，所以
1234567891011 20072008 除以 3，得到的余数是1。
【答案】1
【例 11】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差
一定能被 9 整除.
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】设原来的两位数为 ab ，则新的两位数为 ba . ba － ab (10 ) (10 ) 9( ) b a a b b a .因为 9( )b a 能
被 9 整除，所以它们的差能被 9 整除.
【例 12】1234567891011121314…20082009 除以 9，商的个位数字是_________ 。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 5 题
【解析】 首先看这个多位数是否能为 9 整除，如果不能，它除以 9 的余数为多少。由于任意连续的 9 个自
然数的和能被 9 整除，所以它们的各位数字之和能被 9 整除，那么把这 9 个数连起来写，所得到
的数也能被 9 整除。由于 2009 9 223 2 ，所以 1234567891011121314…20082009 这个数除以 9
的余数等于 20082009（或者 12）除以 9 的余数，为 3.那么 1234567891011121314…20082009 除以
9 的商，等于这个数减去 3 后除以 9 的商，即 1234567891011121314…20082006 除以 9 的商，那么
很容易判断商的个位数字为 4。
【答案】 4
【例 13】证明 abcde 能被 6 整除，那么 2( ) a b c d e 也能被 6 整除．
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】∵ 6 2 3
∴2| abcde
∴2|e
∴6|3e
∵3| abcde
∴3|a+b+c+d+e
∴6|2(a+b+c+d+e)
∴6|2(a+b+c+d+e)-3e
∴6|2（a+b+c+d）-e
【例 14】试说明一个 5 位数，原序数与反序数的差一定是 99 的倍数(如：12367 为原序数，那么它对应的反
序数为 76321，它们的差 63954 99 646 是 99 的倍数．
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】略
【答案】设原序数为 abcde ，则反序数为 edcba ，则
abcde － edcba 10000 1000 100 10 10000 1000 100 10 a b c d e e d c b a( ) ( )
9999 990 990 9999 a b d e
99 101 10 10 101 a b d e( )
因为等式的右边能被 99 整除，所以 abcde edcba 能被 99 整除
【例 15】1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和
逆时针次序形成两个九位数(例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是193426857 和 758624391)．如
果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被 396 整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?
9
8
7
6
5
4
3
2
1
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】互为反序的两个九位数的差，一定能被 99 整除．而 396 99 4 ，所以我们只用考察它能否能被 4
整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被 4 整除，显然只有当剪开处两个数的
奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有(3，4)处、（8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，
所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有(9，3)处剪开的末两
位数字之差为 43 19 24 ，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之
差为 62 3 28 ．86 42 44 ， 58 26 32 ，85 17 68 ， 91 57 34 ， 71 39 32 ．所以从(9，
3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是 396 的
倍数．(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为 27，8，12，48，35，
9．
【答案】27，8，12，48，35，9
【例 16】六位数 20 08□□ 能被 99 整除，□□ 是多少？
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】【解析】方法一：200008 被 99 除商 2020 余 28，所以 00 28 能被 99 整除，商 72 时， 99 72 7128 ，末
两位是 28，所以 为 71；
方法二：99 9 11 ，20 08 能被 99 整除，所以各位数字之和为 9 的倍数，所以方框中数字的和只
能为 8 或 17；又根据数被 11 整除的性质，方框中两数字的差为 6 或 5，可得 是 71.
方法三：根据一个数能被 99 整除的特点知道：20 8=28 是 99 倍数，所以 =99 28=71
【答案】71
【巩固】【巩固】六位 2004□ □ 能被 99 整除，这个六位数是 。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 3 题，10 分
【解析】令整个六位数为 2004a b ，则 2 4a b 必然是 99 的倍数，所以 a=5,b=7。则这个六位数为 520047。
【答案】 520047
【巩固】【巩固】六位数 2003□□能被 99 整除，它的最后两位数是 。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 3 题，4 分
【解析】试除法 200399÷99=2024 23，所以最后两位是 99-23=76。
【答案】 76
【巩固】【巩固】已知九位数 2007 12 2□ □ 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那么，这个九位数是多少？
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】2008 年，迎春杯，六年级，初赛，试题
【解析】【解析】方法一：设原数 2007 12 2 a b ，∵ 9 | 2007 12 2a b 4 a b 或者 13 a b ，∵11| 2007 12 2a b
2 0 a 2 2 ( 0 7 1 b ) 0 或者( 0 7 1 b ) (2 2 0 2) a 11 2 a b 或者
9 b a 根据两数和差同奇偶，得： 4
2
a b
a b
3
1
a
b
或者 13
9
a b
b a
2
11
a
b
不成立.所以，
2007 12 2a b 200731212 .
方法二：根据一个数能被 99 整除的特点知道若想 2007 12 2□ □ 能被 99 整除，则 2 0 7 12 2
必能被 99 整除，列竖式分析得 2 0 7 3 12 1 2 才满足，所以答案为 200731212
【答案】 200731212
【例 17】将自然数 1，2，3，4……依次写下去，若最终写到 2000，成为123 19992000 ，那么这个自然数
除以 99 余几？
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于99 9 11 ，可以分别求这个数除以 9 和 11 的余数，进而求出它除以 99 的余数．实际上求得这
个数除以 9 和 11 的余数均为 3，所以这个数减去 3 后是 9 和 11 的倍数，那么也是 99 的倍数，所以
这个数除以 99 的余数为 3．
下面介绍另一种解法．
由于100 99 a a a ，所以100a 除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数．同样，10000a ，1000000a ……
等数除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数．可知，一个自然数 a ，如果在它后面加上偶数个 0，那么
这个数除以 99 的余数等于 a 除以 99 的余数．根据这一点，可以把123 19992000 分成若干个后面带
有偶数个 0 的数之和．由于123 19992000 的位数是奇数，那么对于组成123 19992000 的一位数 1，
2，3，……，9，可以分成100 00 ， 2300 00 ， 4500 00 ， 6700 00 ， 8900 00 ；对于其中的
两位数 10，11，12，……，98，99，可以分成1000 00 ，1100 00 ，1200 00 ，……，9800 00 ，
9900 00 ；对于其中的三位数 100，101，102，103，……，998，999，两两一组，可以分成10010100 00 ，
10210300 00 ，10410500 00 ，……，99899900 00 ；对于其中的四位数 1000，1001，……，1999，
2000，可以分成100000 00 ，100100 00 ，100200 00 ，……，19990000 ，2000．那么上面分成
的所有数中，虽然每个数后面的 0 的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为
123 19992000 ，那么123 19992000 除以 99 的余数就等于分成的这些数除以 99 的余数的和．由于
这些数除以 99 的余数分别为 1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，
104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中 100101，102103，104105，……，
998999 是公差为 2002 的等差数列，共 450 项，可知所有这些余数的和为：
1 23 45 67 89 10 11 12 99 100101 102103 998999 1000 1 001 2000
225 10 99 90 2 100101 998999 450 2 1000 2000 1001 2
225 4905 247297500 1501500
248804130 ，
而 248804130 除以 99 的余数等于 2 48 80 41 30 201 除以 99 的余数，为 3．所以123 19992000
除以 99 的余数为 3．
【答案】3
【例 18】一个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍，则这个五位数是 ．
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第 6 题
【解析】因为 2007 是 9 的倍数，所以，这个五位数一定是 9 的倍数，那么它的各位数字和一定是 9 的倍数．由
于五位数的各位数字之和最大为 45，所以，可以从 9、18、27、36、45 进行试值．
如果数字和为 9，那么这个五位数为9 2007 18063 ，然而 18063 各位数字之和不为 9，所以此时不
成立；
如果数字和为 18，那么这个五位数为18 2007 36126 ，36126 各位数字之和为 18，所以此时成立；
如果数字和为 27，那么这个五位数为 27 2007 54189 ，54189 各位数字之和为 27，所以此时成立；
如果数字和为 36，那么这个五位数为 36 2007 72252 ，然而 72252 各位数字之和不为 36，所以此
时不成立；如果数字和为 45，那么这个五位数为 45 2007 90315 ，然而 90315 各位数字之和不为
45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为 36126 或 54189．
【答案】36126 或 54189
【例 19】 207 ， 2007 ， 20007 ， 等首位是 2 ，个位是 7 ，中间数字全部是 0 的数字中，能被 27 整除而不
被81整除的最小数是 。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 6 题，10 分
【解析】
20
200 07 9 222 23
nn 个个
，也就是要求出
2
222 23
n个
能被3整除但不能被9 整除的最小数是多少，该数
的各位数字之和为 2 3n ，当 6n 时，满足条件，也就是最小数是 20000007 。
【答案】 20000007
【例 20】一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了 153 元，她知道实际收钱不会错，只能是记账
时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 18 题，6 分
【解析】说明账面比现金小数点右移了，若右移 1 位，则增加 9 位，恰好153 9 17 ，若右移了 2 位，则增
加 99 倍，但153 不是 99 的倍数，所以现金 17 元。
【答案】17
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