任意四边形、梯形与相似模型
例题精讲
板块二 梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
A
B
C
D
O
b
a
S
3
S
2
S
1
S
4
① 2 2
1 3: :S S a b
② 2 2
1 3 2 4: : : : : :S S S S a b ab ab ；
③ S 的对应份数为 2a b ．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结
论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例 1】 如图， 2 2S ， 3 4S ，求梯形的面积．
【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】设 1S 为 2a 份， 3S 为 2b 份，根据梯形蝴蝶定理， 2
3 4S b ，所以 2b ；又因为 2 2S a b ，所以
1a ；那么 2
1 1S a ， 4 2S a b ，所以梯形面积 1 2 3 4 1 2 4 2 9S S S S S ，或者根
据梯形蝴蝶定理， 2 21 2 9S a b ．
【答案】9
【巩固】如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ，对角线 AC ， BD 交于 O ，已知 AOB△ 与 BOC△ 的面积分
别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是________平方厘米．
35
25
O
A
B
C
D
【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】填空
【解析】根据梯形蝴蝶定理， 2: : 25:35AOB BOCS S a ab ，可得 : 5:7a b ，再根据梯形蝴蝶定理，
2 2 2 2: : 5 :7 25: 49AOB DOCS S a b ，所 以 49DOCS (平方 厘米)．那 么梯形 ABCD 的面 积为
25 35 35 49 144 (平方厘米)．
【答案】144
【巩固】如图所示，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC，BD 相交于点 O。已知 AB=5，CD=3，且梯形
ABCD 的面积为 4，求三角形 OAB 的面积。
【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛，15 分，第 3 大题第，1 题
【解析】根据题意，AB=5，CD=3，CD:AB=3:5，
则根据蝴蝶模型 2 2: : : : : : 9:15: 25:15DOC AOD AOB COBS S S S a ab b ab ，令 AOBS =25 份，
则梯形 ABCD 共有：9+15+25+15=64 份。所以 1 份为：4÷64= 1
16
，则三角形 OAB 的面积为 1
16
×25= 25
16
。
【答案】 25
16
【例 2】 梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等于三角形
BOC 面积的 2
3
，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比．
O
A
B
C
D
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理， 2: : 2:3AOB BOCS S ab b ，可以求出 : 2:3a b ，
再根据梯形蝴蝶定理， 2 2 2 2: : 2 :3 4:9AOD BOCS S a b ．
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千
辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．
【答案】 4 :9
【例 3】 如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 1AO ，并且 3
5
ABD
CBD
三角形 的面积
三角形 的面积
，
那么 OC 的长是多少？
A
B
C
D
O
【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】根据蝴蝶定理， ABD AO
CBD CO
三角形 的面积
三角形 的面积
，所以 3
5
AO
CO
，又 1AO ，所以 5
3CO ．
【答案】 5
3
【例 4】 梯形的下底是上底的1.5 倍，三角形 OBC 的面积是 29cm ，问三角形 AOD 的面积是多少？
A
B
C
D
O
【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理， : 1:1.5 2:3a b ， 2 2 2 2: : 2 :3 4:9AOD BOCS S a b ，
所以 24 cmAODS ．
【答案】4
【巩固】如图，梯形 ABCD 中， AOB 、 COD 的面积分别为1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积．
O
D
C
B
A
【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理， 2 2: : 4:9AOB ACODS S a b ，所以 : 2:3a b ，
2: : : 3: 2AOD AOBS S ab a b a ， 31.2 1.82AOD COBS S ，
1.2 1.8 1.8 2.7 7.5ABCDS 梯形 ．
【答案】7.5
【例 5】 在梯形 ABCD 中，上底长 5 厘米，下底长 10 厘米， 20BOCS 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是
平方厘米。
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛，第 4 题，10 分
【解析】因为 AD∥BC，故
BO
DO
CO
AO
BC
AD 又
2
1
10
5
BC
AD ，故
2
1
BO
DO
CO
AO
在 BOC 与 DOC 中，因其高相等，且 BO:DO=2:1， 故 BOCS : DOCS =2:1
而 220cmS BOC ，故 210cmS DOC 。同理，在 COD 与 AOD 中，
因 CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故 CODS : AODS =2:1 即 25102
1 cmS AOD .
在 BOCAOB与 中，因 AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故 AOBS : BOCS =1:2。
即 210cmS AOB 综上， AODCODBOCAOB SSSSS 梯形 =10+20+10+5=45 2cm
【答案】45
【例 6】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积是11，三角形 BCH 的
面积是 23 ，求四边形 EGFH 的面积．
H
G
F
E
D
C
B
A
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，连结 EF，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形 EFG 的面
积等于三角形 ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形 EFH 的面积，所以四边形 EGFH 的面积
是11 23 34 ．
【答案】34
【巩固】如图，长方形中，若三角形 1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2 的面积为 36，则三角
形 1 的面积为________．
3
2
1
3
2
1
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】人大附中，入学测试题
【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形 2 分成左右两边，其面积正好等于三角形 1 和三角
形 3，所以 1 的面积就是 436 164 5
，3 的面积就是 536 204 5
．
【答案】20
【例 7】 如图，正方形 ABCD 面积为 3平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 M 是 AD 边上的中点，所以 : 1: 2AM BC ，根据梯形蝴蝶定理可以知道
2 2: : : 1 : 1 2 : 1 2 : 2 1: 2: 2: 4AMG ABG MCG BCGS S S S △ △ △ △ （ ）（ ） ，设 1AGMS △ 份，则 1 2 3MCDS △ 份，
所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12 份， 2 2 4S 阴影 份，所以 : 1:3S S 阴影 正方形 ，所以 1S 阴影
平方厘米．
【答案】1
【巩固】在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平
方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米．
A
B
C
D
E
F
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】连接 DE ，根据题意可知 : 1: 2BE AD ，根据蝴蝶定理得 21 2 9S 梯形 （ ） (平方厘米)， 3ECDS △ (平
方厘米)，那么 12ABCDS (平方厘米)．
【答案】12
【例 8】 如图面积为12 平方厘米的正方形 ABCD 中， ,E F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 ,E F 是 DC 边上的三等分点，所以 : 1:3EF AB ，设 1OEFS △ 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道
3AOE OFBS S △ △ 份， 9AOBS △ 份， (1 3)ADE BCFS S △ △ 份，因此正方形的面积为 24 4 (1 3) 24
份， 6S 阴影 ，所以 : 6: 24 1: 4S S 阴影 正方形 ，所以 3S 阴影 平方厘米．
【答案】3
【例 9】 如图，在长方形 ABCD 中， 6AB 厘米， 2AD 厘米， AE EF FB ，求阴影部分的面积．
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：如图，连接 DE ， DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形 AED 的面积为
2 6 3 2 2 平方厘米．
由于 : 1:3EF DC ，根据梯形蝴蝶定理， : 3:1DEO EFOS S ，所以 3
4DEO DEFS S ，而 2DEF ADES S
平方厘米，所以 3 2 1.54DEOS 平方厘米，阴影部分的面积为 2 1.5 3.5 平方厘米．
方法二：如图，连接 DE ，FC ，由于 : 1:3EF DC ，设 1OEFS △ 份，根据梯形蝴蝶定理， 3OEDS △
份， 2(1 3) 16EFCDS 梯形 份， 1 3 4ADE BCFS S △ △ 份，因此 4 16 4 24ABCDS 长方形 份，
4 3 7S 阴影 份，而 6 2 12ABCDS 长方形 平方厘米，所以 3.5S 阴影 平方厘米
【答案】3.5
【例 10】已知 ABCD 是平行四边形， : 3: 2BC CE ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．则阴影部分的面积
是 平方厘米．
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，六年级
【解析】连接 AC ．
由于 ABCD 是平行四边形， : 3: 2BC CE ，所以 : 2:3CE AD ，
根据梯形蝴蝶定理， 2 2: : : 2 : 2 3: 2 3:3 4:6:6:9COE AOC DOE AODS S S S ，所以 6AOCS (平方厘
米)， 9AODS (平方厘米)，又 6 9 15ABC ACDS S (平方厘米)，阴影部分面积为 6 15 21 (平方
厘米)．
【答案】21
【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部
分的面积是 平方厘米．
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】连接 AE ．
由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 OCD OAES S ．
根据蝴蝶定理， 4 9 36OCD OAE OCE OADS S S S ，故 2 36OCDS ，
所以 6OCDS (平方厘米)．
【答案】6
【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部
分的面积是 平方厘米．
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】三帆中学
【解析】连接 AE ．
由于 AD 与 BC 是平行的，所以 AECD 也是梯形，那么 OCD OAES S ．
根据蝴蝶定理， 2 8 16OCD OAE OCE OADS S S S ，故 2 16OCDS ，所以 4OCDS (平方厘米)．
另解：在平行四边形 ABED 中， 1 1 16 8 122 2ADE ABEDS S (平方厘米)，
所以 12 8 4AOE ADE AODS S S (平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 4 4 (平方厘米)．
【答案】4
【巩固】E 是平行四边形 ABCD 的 CD 边上的一点，BD、AE 相交于点 F，已知三角形 AFD 的面积是 6，三
角形 DEF 的面积是 4，求四边形 BCEF 的面积为多少？
4
6 F
ED C
BA
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，5 年级，复赛，第 15 题
【解析】如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为 6，而顶上的三角形为 6×6÷4=9，“？”处的三角形面
积为 9+6-6-4=5 从而所求四边形面积为 5=6=11.
【答案】11
【例 11】如图所示， BD 、CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 5 平方厘米， CED 的面积是 10
平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？
F
A
B
C
D
E
10
5
F
A
B
C
D
E
10
5
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BF ，根据梯形模型，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积也是 10 平
方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为10 10 5 20 (平方厘米)，所以长方形的面积为
20 10 2 60 (平方厘米)．四边形 ABEF 的面积为 60 5 10 20 25 (平方厘米)．
【答案】25
【巩固】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块， DEF 的面积是 4 平方厘米， CED 的面积是 6
平方厘米．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方厘米？
6
4
A
B
C
D
E
F
6
4
A
B
C
D
E
F
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 (法 1)连接 BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积
相等，即其面积也是 6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为 6 6 4 9 (平方厘米)，
所以长方形的面积为 9 6 2 30 (平方厘米)．四边形 ABEF 的面积为 30 4 6 9 11 (平方厘米)．
(法 2)由题意可知， 4 2
6 3
EF
EC
，根据相似三角形性质， 2
3
ED EF
EB EC
，所以三角形 BCE 的面积为：
26 93
(平方厘米)．则三角形 CBD 面积为 15 平方厘米，长方形面积为15 2 30 (平方厘米)．四边
形 ABEF 的面积为 30 4 6 9 11 (平方厘米)．
【答案】11
【巩固】如图，长方形 ABCD 被 CE 、DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、5、8 平方厘米，那么余
下的四边形 OFBC 的面积为___________平方厘米．
?
8
5
2
O
A
B
C
D
E
F
?
8
5
2
O
A
B
C
D
E
F
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级组，初赛，4 题
【解析】连 接 DE 、 CF ． 四 边 形 EDCF 为 梯 形 ， 所 以 EOD FOCS S ， 又 根 据 蝴 蝶 定 理 ，
EOD FOC EOF CODS S S S ，所以 2 8 16EOD FOC EOF CODS S S S ，所以 4EODS (平方厘米)，
4 8 12ECDS (平方厘米)．那么长方形 ABCD 的面积为12 2 24 平方厘米，四边形 OFBC 的面积
为 24 5 2 8 9 (平方厘米)．
【答案】9
【巩固】正方形 ABCD 的边长为 6 ， E 是 BC 的中点（如图）。四边形 OECD 的面积为 。
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 4 题，8 分
【解析】连结 DE ， 2ADO DEO ADE
ABO BEO ABE
S S S
S S S
，即 2 2 1 3 6 63 3 2DEO BEDS S ， 1 3 6 92DCES ，所
以 6 9 15OECDS 。
【答案】15
【巩固】如图，长方形 ABCD 中， AOB 是直角三角形且面积为 54，OD 的长是 16，OB 的长是 9．那么四边
形 OECD 的面积是 ．
A
B C
D
E
O
A
B C
D
E
O
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，初赛
【解析】解法一：连接 DE ，依题意 1 1 9 542 2AOBS BO AO AO ，所以 12AO ，
则 1 1 16 12 962 2AODS DO AO ．
又因为 154 162AOB DOES S OE ，所以 36 4OE ，
得 1 1 3 39 6 302 2 4 8BOES BO EO ，
所以 3 554 96 30 1198 8OECD BDC BOE ABD BOES S S S S ．
解法二：由于 : : 16:9AOD AOBS S OD OB ，所以 1654 969AODS ，而 54DOE AOBS S ，根据
蝴蝶定理， BOE AOD AOB DOES S S S ，所以 354 54 96 30 8BOES ，
所以 3 554 96 30 1198 8OECD BDC BOE ABD BOES S S S S ．
【答案】 5119 8
【例 12】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70，AB=8,AD=15 四边形 EFGO 的面积为
______．
【考点】梯形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 5 题
【解析】根据容斥关系：
四边形 EFGO 的面积=三角形 AFC+三角形 DBF-白色部分的面积
三角形 AFC+三角形 DBF=长方形面积的一半即 60，
白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即 120-70=50
所以四边形的面积=60-50=10
【答案】10
【巩固】如图 5 所示，矩形 ABCD 的面积是 24 平方厘米，、三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和是 7.8 平
方厘米，则四边形 PMON 的面积是 平方厘米。
【考点】梯形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 9 题
【解析】1.8
【答案】1.8
【例 13】如图， ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形 DEFG
的面积 48， : 1:3AK KB ，则 BKD 的面积是多少？
【考点】梯形模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】由于 DEFG 是正方形，所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形．在梯形 ADBC 中， BDK 和
ACK 的面积是相等的．而 : 1:3AK KB ，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的 1 1
1 3 4
，那么 BDK
的面积也是 ABC 面积的 1
4
．
由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是 BC 的中点，而且
AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以 ABC 的面积与正
方形 DEFG 的面积相等，为 48．
那么 BDK 的面积为 148 124
．
【答案】12
【例 14】如图所示，ABCD 是梯形， ADE 面积是1.8 ， ABF 的面积是9， BCF 的面积是27．那么阴影 AEC
面积是多少？
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到 AFB DFC AFD BFCS S S S ，而 AFB DFCS S (等积变换)，所以可得
9 9 327
AFB CDF
AFD
BFC
S SS S
，
并且 3 1.8 1.2AEF ADF AEDS S S ，而 : : 9: 27 1:3AFB BFCS S AF FC ，
所以阴影 AEC 的面积是： 4 1.2 4 4.8AEC AEFS S ．
【答案】1:3
【例 15】如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少？
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把
六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积 8 8618 3
．
【答案】 8
3
【例 16】如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由①～⑥这 6 部分组成，
其中②比⑤多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？
⑥
⑤
④
③
②
①
B
F
E
D
C
A
【考点】梯形模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 E 是 DC 中点， F 为 AC 中点，有 2AD FE 且平行于 AD ，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形
ADEF 中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤= 2AD ： 2FE =4．又已知②-⑤=6，所以⑤= 6 (4 1) 2 ，
②=⑤ 4 8 ，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形 ADEF 的面积为②、③、④、
⑤四块图形的面积和，为8 4 4 2 18 ．有 CEF 与 ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，
即为 1:4．所以 ADC 面积为梯形 ADEF 面积的 4
4-1 = 4
3
，即为 418 243
．因为 D 是 BC 中点，所以
ABD 与 ADC 的面积相等，而 ABC 的面积为 ABD 、 ADC 的面积和，即为 24 24 48 平方厘
米．三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米．
【答案】48
【例 17】如下图，在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 平行，且 2CD AB ，点 E 、 F 分别是 AD 和 BC 的中点，已
知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是 平方厘米．
【考点】梯形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】连接 EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小
三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 ABCD 面积．
设梯形 ABCD 的上底为 a ，总面积为 S ．则下底为 2a ， 1 322 2EF a a a ．
所以 3: : 2:32AB EF a a ， 3: : 2 3: 42EF DC a a ．
由于梯形 ABFE 和梯形 EFCD 的高相等，所以
3 3: : : 2 5:72 2ABFE EFCDS S AB EF EF DC a a a a 梯形 梯形 ，
故 5
12ABFES S梯形 ， 7
12EFCDS S梯形 ．
根据梯形蝴蝶定理，梯形 ABFE 内各三角形的面积之比为 2 22 : 2 3: 2 3:3 4:6:6:9 ，所以
9 9 5 3
4 6 6 9 25 12 20EMF ABFES S S S 梯形 ；
同理可得 9 9 7 3
9 12 12 16 49 12 28ENFS S S S 梯形EFCD ，
所以 3 3 9
20 28 35EMFN EMF ENFS S S S S S ，由于 54EMFNS 平方厘米，
所以 954 21035S (平方厘米)．
【答案】210
【例 18】 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行，现在
分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的
面积为 ．
【考点】梯形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定
理来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5 ，
因此空白处的总面积为 6 1.5 2 4 2 2 22 ，阴影部分的面积为 6 6 22 14 ．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都为 6，
上底、下底之比为 2:6 1:3 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之
比为 2 21 :1 3:1 3:3 1:3:3:9 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 9
16
，阴影部分的面
积占该梯形面积的 7
16
，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的 7
16
，那么阴影部分的面积为
2 27 (6 2 ) 1416
．
【答案】14
【例 19】如图，在正方形 ABCD 中，E 、F 分别在 BC 与 CD 上，且 2CE BE ， 2CF DF ，连接 BF 、DE ，
相交于点 G ，过 G 作 MN 、 PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG ，设正方形 MGQA 的面积为 1S ，
正方形 PCNG 的面积为 2S ，则 1 2:S S ___________．
Q
P
N
M
A
B
C
D
E
F
G
Q
P
N
M
A
B
C
D
E
F
G
【考点】梯形模型 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】连接 BD 、EF ．设正方形 ABCD 边长为 3，则 2CE CF ， 1BE DF ，所以， 2 2 22 2 8EF ，
2 2 23 3 18BD ．因为 2 2 28 18 144 12EF BD ，所以 12EF BD ．由梯形蝴蝶定理，得
2 2: : : : : : 8:18:12:12 4:9:6:6GEF GBD DGF nBGES S S S EF BD EF BD EF BD △ △ △ ，
所以， 6 6
4 9 6 6 25BGE BDFE BDFES S S △ 梯形 梯形 ．因为 93 3 2 2BCDS △ ， 2 2 2 2CEFS △ ，
所以 5
2BCD CEFBDFES S S △ △梯形 ，所以， 6 5 3
25 2 5BGES △ ．
由于 BGE△ 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以 3 62 15 5CN ， 6 93 5 5ND ，
所以 : : 3: 2AM CN DN CN ，则 2 2
1 2: : 9: 4S S AM CN ．
【答案】 9 : 4
【例 20】下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的
中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 m
n
，那么， ( )m n 的值等
于 ．
【考点】梯形模型 【难度】5 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级组，决赛
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面
积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连
接 EG ．设 AG 与 DE 的交点为 M ．左图中 AEGD 为长方形，可知 AMD 的面积为长方形 AEGD 面
积的 1
4
，所以三角形 AMD 的面积为 2 1 1 11 2 4 8
．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以
左图中阴影部分的面积为 1 11 48 2
．
如上图所示，在右图中连接 AC 、 EF ．设 AF 、 EC 的交点为 N ．
可知 EF ∥ AC 且 2AC EF ．那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 1
4
，所以三角形 BEF 的
面积为 2 1 1 11 2 4 8
，梯形 AEFC 的面积为 1 1 3
2 8 8
．在梯形 AEFC 中，由于 : 1: 2EF AC ，根据
梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为： 2 21 :1 2:1 2: 2 1: 2: 2: 4 ，所以三角形 EFN 的面积为
3 1 1
8 1 2 2 4 24
，那么四边形 BENF 的面积为 1 1 1
8 24 6
．而右图中四个空白四边形的面积是相
等的，所以右图中阴影部分的面积为 1 11 46 3
．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积
之比为 1 1: 3: 22 3
，即 3
2
m
n
，那么 3 2 5m n ．
【答案】5
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