燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 : :ABO ACOS S BD DC ．
O
F
E
D
C
B
A
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO 和 ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这
个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何
一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图， D 是 BC 上任意一点，请你说明： 1 4 2 3: : :S S S S BD DC
S
3
S
1
S
4
S
2
E
D
C
B
A
【解析】三角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底，
所以有 1 4: :S S BD DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高， 1 2: :S S ED EA ；三角形 ACE 与三角形
CED 同高， 4 3: :S S ED EA ，所以 1 4 2 3: :S S S S ；综上可得 1 4 2 3: : :S S S S BD DC .
【例 1】 如右图，三角形 ABC 中， : 4:9BD DC ， : 4:3CE EA ，求 :AF FB ．
O
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据燕尾定理得 : : 4:9 12:27AOB AOCS S BD CD △ △
: : 3:4 12:16AOB BOCS S AE CE △ △
（都有 AOB△ 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 : 27:16 :AOC BOCS S AF FB △ △
【点评】本题关键是把 AOB△ 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】 27 :16
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : 3: 4BD DC ， : 5:6AE CE ，求 :AF FB .
O
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据燕尾定理得 : : 3: 4 15: 20AOB AOCS S BD CD △ △
: : 5:6 15:18AOB BOCS S AE CE △ △
（都有 AOB△ 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 : 20:18 10:9 :AOC BOCS S AF FB △ △
【答案】10:9
【巩固】如图， : 2:3BD DC , : 5:3AE CE ,则 :AF BF
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】根据燕尾定理有 : 2:3 10:15ABG ACGS S △ △ , : 5:3 10:6ABG BCGS S △ △ ,所以
: 15:6 5: 2 :ACG BCGS S AF BF △ △
【答案】 5: 2
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : 2:3BD DC ， : 5: 4EA CE ，求 :AF FB .
O
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据燕尾定理得 : : 2:3 10:15AOB AOCS S BD CD △ △
: : 5: 4 10:8AOB BOCS S AE CE △ △
（都有 AOB△ 的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以 : 15:8 :AOC BOCS S AF FB △ △
【点评】本题关键是把 AOB△ 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【答案】15:8
【例 2】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，已知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少?
35
30
40
84
O
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设 BOFS x△ ，由题意知 : 4:3BD DC 根据燕尾定理,得
: : 4:3ABO ACO BDO CDOS S S S △ △ △ △ ,所以 3 3(84 ) 634 4ACOS x x △ ，
再根据 : :ABO BCO AOE COES S S S△ △ △ △ ，列方程 3(84 ) :(40 30) (63 35) :354x x 解得 56x
:35 (56 84) :(40 30)AOES △ ,所以 70AOES △
所以三角形 ABC 的面积是84 40 30 35 56 70 315
【答案】315
【例 3】 如图，三角形 ABC 的面积是1， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 : 1: 2BD DC ， AD 与 BE 交
于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．
F
E
D
C
B
A
3
3
3
2
1
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛
【解析】方法一：连接 CF ，
根据燕尾定理， 1
2
ABF
ACF
S BD
S DC
△
△
， 1ABF
CBF
S AE
S EC
△
△
,
设 1BDFS △ 份，则 2DCFS △ 份， 3ABFS △ 份， 3AEF EFCS S △ △ 份，如图所标
所以 5 5
12 12DCEF ABCS S △
方法二：连接 DE ，由题目条件可得到 1 1
3 3ABD ABCS S △ △ ，
1 1 2 1
2 2 3 3ADE ADC ABCS S S △ △ △ ，所以 1
1
ABD
ADE
SBF
FE S
△
△
，
1 1 1 1 1 1 1
2 2 3 2 3 2 12DEF DEB BEC ABCS S S S △ △ △ △ ，
而 2 1 1
3 2 3CDE ABCS S △ △ ．所以则四边形 DFEC 的面积等于 5
12
．
【答案】 5
12
【巩固】如图，已知 BD DC ， 2EC AE ，三角形 ABC 的面积是30 ，求阴影部分面积.
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它
进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一)连接 CF ，因为 BD DC ， 2EC AE ，三角形 ABC 的面积是 30，
所以 1 103ABE ABCS S △ △ ， 1 152ABD ABCS S △ △ ．
根据燕尾定理， 1
2
ABF
CBF
S AE
S EC
△
△
， 1ABF
ACF
S BD
S CD
△
△
,
所以 1 7.54ABF ABCS S △ △ ， 15 7.5 7.5BFDS △ ，
所以阴影部分面积是30 10 7.5 12.5 ．
(法二)连接 DE ，由题目条件可得到 1 103ABE ABCS S △ △ ，
1 1 2 102 2 3BDE BEC ABCS S S △ △ △ ，所以 1
1
ABE
BDE
SAF
FD S
△
△
，
1 1 1 1 1 1 2.52 2 3 2 3 2DEF DEA ADC ABCS S S S △ △ △ △ ，
而 2 1 103 2CDE ABCS S △ △ ．所以阴影部分的面积为12.5 ．
【答案】12.5
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 2200 cm ，E 在 AC 上，点 D 在 BC 上，且 : 3:5AE EC , : 2:3BD DC ，
AD 与 BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】连接 CF ，
根据燕尾定理， 2 6
3 9
ABF
ACF
S BD
S DC
△
△
， 3 6
5 10
ABF
CBF
S AE
S EC
△
△
,
设 6ABFS △ 份，则 9ACFS △ 份, 10BCFS △ 份， 5 459 3 5 8EFCS △ 份， 310 62 3CDFS △ 份，
所以 245 45200 (6 9 10) ( 6) 8 ( 6) 93 (cm )8 8DCFES
【答案】93
【巩固】如图，已知 3BD DC ， 2EC AE ，BE 与 CD 相交于点 O ,则 ABC△ 被分成的 4 部分面积各占 ABC△
面积的几分之几？
O
E
D
C
B
A
13.5
4.5
9
2
1
1
2
1
3
O
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 CO ,设 1AEOS △ 份，则其他部分的面积如图所示，所以 1 2 9 18 30ABCS △ 份，所以四部
分按从小到大各占 ABC△ 面积的 1 2 4.5 13 9 3 13.5 9, , ,30 30 60 30 10 30 20
【答案】 9
20
【巩固】如图所示，在 ABC△ 中， 1
2CP CB ， 1
3CQ CA ， BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC△ 的面积为 6 ，
则 ABX△ 的面积等于 ．
X
Q
P
A
B
C
X
Q
P
A
B
C
4
4
1
1
X
Q
P
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】香港圣公会数学竞赛
【解析】方法一：连接 PQ ．
由于 1
2CP CB ， 1
3CQ CA ，所以 2
3ABQ ABCS S ， 1 1
2 6BPQ BCQ ABCS S S ．
由蝴蝶定理知， 2 1: : : 4:13 6ABQ BPQ ABC ABCAX XP S S S S ，
所以 4 4 1 2 2 6 2.45 5 2 5 5ABX ABP ABC ABCS S S S ．
方法二：连接 CX 设 1CPXS △ 份，根据燕尾定理标出其他部分面积，
所以 6 (1 1 4 4) 4 2.4ABXS △
【答案】2.4
【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是 3，7 ，7 ，
则阴影四边形的面积是多少？
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为 ABC ， BE 和 CD 交于 F ，则 BF FE ，再连结 DE ．
所以三角形 DEF 的面积为 3.设三角形 ADE 的面积为 x ，
则 : 3 3 : 10 :10x AD DB x ，所以 15x ，四边形的面积为18 ．
方法二：设 ADFS x△ ，根据燕尾定理 : :ABF BFC AFE EFCS S S S△ △ △ △ ,得到 3AEFS x △ ，再根据向右下
飞的燕子，有 ( 3 7) :7 :3x x ，解得 7.5x 四边形的面积为 7.5 7.5 3 18
【答案】18
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是1， 2BD DC ， 2CE AE ， AD 与 BE 相交于点 F ，请写出这 4 部分
的面积各是多少?
A
B
C
D
E
F
4
8
6
2
1
A
B
C
D
E
F
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 CF ，设 1AEFS △ 份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
1
21AEFS △ , 6 2
21 7ABFS △ , 8
21BDFS △ , 2 4 2
21 7FDCES
【答案】 2
7
【巩固】如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 : 2:3AE EC , : 1: 2BD DC ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC
的面积等于 222 cm ，则三角形 ABC 的面积 ．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
2.4
1.6
2
A
B
C
D
E
F
1
2
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】连接 CF ,根据燕尾定理， 1
2
ABF
ACF
S BD
S DC
△
△
， 2
3
ABF
CBF
S AE
S EC
△
△
,
设 1BDFS △ 份 ， 则 2DCFS △ 份 ， 2ABFS △ 份 ， 4AFCS △ 份 ， 24 1.62 3AEFS △
份, 34 2.42 3EFCS △ 份,如图所标,所以 2 2.4 4.4EFDCS 份, 2 3 4 9ABCS △ 份
所以 222 4.4 9 45 (cm )ABCS △
【答案】45
【巩固】三角形 ABC 中， C 是直角，已知 2AC ， 2CD ， 3CB ， AM BM ，那么三角形 AMN (阴影
部分)的面积为多少？
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BN ．
ABC△ 的面积为 3 2 2 3
根据燕尾定理， : : 2:1ACN ABN CD BD △ △ ；
同理 : : 1:1CBN CAN BM AM △ △
设 AMN△ 面积为 1 份，则 MNB△ 的面积也是 1 份，所以 ANB△ 的面积是1 1 2 份，而 ACN△ 的
面积就是 2 2 4 份， CBN△ 也是 4 份，这样 ABC△ 的面积为 4 4 1 1 10 份，所以 AMN△ 的
面积为 3 10 1 0.3 ．
【答案】0.3
【例 4】 如图所示，在 ABC△ 中， : 3:1BE EC ， D 是 AE 的中点，那么 :AF FC ．
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】连接 CD ．
由于 : 1:1ABD BEDS S △ △ ， : 3: 4BED BCDS S △ △ ，所以 : 3: 4ABD BCDS S △ △ ，
根据燕尾定理， : : 3: 4ABD BCDAF FC S S △ △ ．
【答案】 3: 4
【巩固】在 ABC 中， : 3: 2BD DC ， : 3:1AE EC ，求 :OB OE ？
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 OC ．
因为 : 3: 2BD DC ，根据燕尾定理， : : 3: 2AOB AOCS S BD BC ，即 3
2AOB AOCS S ；
又 : 3:1AE EC ，所以 4
3AOC AOES S ．则 3 3 4 22 2 3AOB AOC AOE AOES S S S ，
所以 : : 2:1AOB AOEOB OE S S ．
【答案】 2:1
【巩固】在 ABC 中， : 2:1BD DC ， : 1:3AE EC ，求 :OB OE ？
A
B
C
D
E
O
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积
比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看
就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 OC ．
连接 OC ．
A
B
C
D
E
O
因为 : 2:1BD DC ，根据燕尾定理， : : 2:1AOB AOCS S BD BC ，即 2AOB AOCS S ；
又 : 1:3AE EC ，所以 4AOC AOES S ．则 2 2 4 8AOB AOC AOE AOES S S S ，
所以 : : 8:1AOB AOEOB OE S S ．
【答案】 8:1
【例 5】 如图 9，三角形 BAC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且 BD:DC=1:2，AD 与 BE 交
于点 F，则四边形 DEFC 的面积等于 。
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第二十题，6 分
【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上式比例的关系，由此我们初步可以
判断这道题不应该通过面积公式求面积。又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它
进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
方法一：连接 CF ，因为 AE EC , 2DC BD ，三角形 ABC 的面积是 1，
所以 1 1 1 1,3 3 2 2ABD ABC ABE ABCS S S S 。
根据燕尾定理， 1 , 12
ABF ABF
ACF CBF
S BD S AE
S DC S EC
,
所以 1 1 1 1 1,4 4 2 4 4ABF ABC AFES S S ,
所以阴影部分的面积分面积是 1 1 51 3 4 12
。
方法二：连接 DE ，由题目条件可得到 1 1
3 3ABD ABCS S ，
1 1 2 1 1 1 1
2 2 3 2 3 2 12ADE ADC XXX ABCS S S S ，
而 2 1 1
3 2 3CDE ABCS S 。所以阴影部分的面积为 5
12
。
【答案】 5
12
【例 6】 如 图 1 ， ABC 中 ， 点 E 在 AB 上 ， 点 F 在 AC 上 ， BF 与 CE 相 交 于 点 P ， 如 果
4BEP CFPAEPFS S S 四边形 ，则 BPCS .
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】 连接EF , AP .
根据题意，不难得出EF BC∥ ,那么 : :CF FA BE EA ;
而 : :BPC BPACF FA S S ; : :BPC APCBE EA S S ;
所以， BPA APCS S ;所以， AP 平分四边形 AEPF ，那么 : 2:1BE EA .
: : 2:1BPC APCS S BE EA , 12BPCS
【答案】12
【例 7】 如图 4，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D，张大伯常走这两条小路，他知道 DF＝
DC，且 AD＝2DE。则两块田地 ACF 和 CFB 的面积比是___________。
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，复赛，第十一题，5 分
【解析】方法一、ACF 和 CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边比 AF:FB。
过 F 作 BC 的平行线，交 AE 于 G，则因为 DF=DC，所以三角形 CED 和 FGD 全等，GD=DE。又因
为 AD=2DE，所以 D 和 G 是 AE 的三等分点，所以 AF:FB=AG:GE=1:2。
F
E
D
C
B
A
方法二、连接 BD ，设 1CEDS △ (份)，则 2ACD ADFS S △ △ 。
设 BEDS x△ ， BFDS y△ ，则有 1
2 2
x y
x y
，解得 3
4
x
y
，
所以 : (2 2) : (4 3 1) 1: 2ACF CFBS S △ △ 。
【答案】1: 2
【例 8】 如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， 2EC DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米?
【考点】燕尾定理 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】设 1DEFS △ 份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 5 5
12 12BCDS S △阴影 平方厘米.
【答案】 5
12
【例 9】 如图所示，在四边形 ABCD 中， 3AB BE ， 3AD AF ，四边形 AEOF 的面积是12 ，那么平行四
边形 BODC 的面积为________．
O
F
E
D
C
B
A
6
8
4
6
2
1
O
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】连接 ,AO BD ,根据燕尾定理 : : 1: 2ABO BDOS S AF FD △ △ , : : 2:1AOD BODS S AE BE △ △ ,设 1BEOS △ ,
则其他图形面积，如图所标，所以 2 2 12 24BODC AEOFS S .
【答案】24
【例 10】 ABCD 是边长为12 厘米的正方形， E 、 F 分别是 AB 、 BC 边的中点， AF 与 CE 交于 G ，则四边
形 AGCD 的面积是_________平方厘米．
G
F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】连接 AC 、GB ，设 1AGCS △ 份，根据燕尾定理得 1AGBS △ 份， 1BGCS △ 份，则 1 1 1 2 6S 正方形 （ ）
份， 3 1 4ADCGS 份，所以 2 212 6 4 96 (cm )ADCGS
【答案】96
【例 11】如图，正方形 ABCD 的面积是120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的
面积是_____平方厘米．
【考点】燕尾定理 【难度】4 星 【题型】填空
【解析】连接 BH ,根据沙漏模型得 : 1: 2BG GD ,设 1BHCS △ 份，根据燕尾定理 2CHDS △ 份， 2BHDS △ 份，
因此 1 2 2) 2 10S 正方形 （ 份， 1 2 7
2 3 6BFHGS ，所以 7120 10 146BFHGS (平方厘米).
【答案】14
【例 12】如图，四边形 ABCD 是矩形，E 、F 分别是 AB 、BC 上的点，且 1
3AE AB ， 1
4CF BC ， AF 与
CE 相交于 G ，若矩形 ABCD 的面积为120 ，则 AEG 与 CGF 的面积之和为 ．
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】，入学测试题
【解析】 (法 1)如图，过 F 做 CE 的平行线交 AB 于 H ，则 : : 1:3EH HB CF FB ，
所以 1 22AE EB EH ， : : 2AG GF AE EH ，即 2AG GF ，
所以 1 2 2 3 1 103 3 9 4 2AEG ABF ABCDS S S ．
且 2 2 3 1
3 3 4 2EG HF EC EC ，故 CG GE ，则 11 52CGF AEGS S ．
所以两三角形面积之和为10 5 15 ．
(法 2)如上右图，连接 AC 、 BG ．
根据燕尾定理， : : 3:1ABG ACGS S BF CF ， : : 2:1BCG ACGS S BE AE ，
而 1 602ABC ABCDS S ，
所以 3
3 2 1ABGS
， 1 60 302ABCS ， 2
3 2 1BCGS
， 1 60 203ABCS ，
则 1 103AEG ABGS S ， 1 54CFG BCGS S ，
所以两个三角形的面积之和为 15．
【答案】15
【例 13】正六边形 1A ， 2A ， 3A ， 4A ， 5A ， 6A 的面积是 2009 平方厘米， 1B ， 2B ， 3B ， 4B ， 5B ， 6B 分别是正
六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛
【解析】（方法一）因为空白的面积等于 2 3A A G△ 面积的 6 倍，所以关键求 2 3A A G△ 的面积，根据燕尾定理可
得
2 3 1 2 3
3 3 1 1
7 7 3 2A A G A A AS S S △ △ 正六边形 ，但在 1 2 3A A A△ 用燕尾定理时，需要知道 1 3,A D A D 的长度比，
连接 1 3 6 3,A A A A , 1AG ,过 6B 作 1 2A A 的平行线，交 1 3A A 于 E ，根据沙漏模型得 1A D DE ,再根据金字塔
模型得 1 3A E A E ,因此 1 3: 1:3A D A D ,在 1 2 3A A A△ 中，设
1 2
1A A GS △ 份，则
2 3
3A A GS △ 份, 3 1
3A A GS △
份，所以
2 3 1 2 3
3 3 1 1 1
7 7 3 2 14A A G A A AS S S S △ △ 正六边形 正六边形 ，
因此 1 41 6 2009 114814 7S S 阴影 正六边形（ ） （平方厘米）
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正
六边形分割成14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为 8 2009 114814
（平
方厘米）
【答案】1148
【例 14】已知四边形 ABCD ，CHFG 为正方形， : 1:8S S 乙甲 ， a 与 b 是两个正方形的边长，求 : ?a b
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，
那么我们就用燕尾定理来求解
连接 EO、AF，
根据燕尾定理： : :AOE AOFS S a b△ △ ， : :AOF EOFS S a b△ △
所以 2 2: :AOE EOFS S a b△ △ ，作 OM⊥AE、ON⊥EF，
∵AE EF
∴ 2 2: :OM ON a b
∴ 3 3: : 1:8S S a b 乙甲
∴ : 1: 2a b
【答案】1: 2
【例 15】右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的
字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个
比例关系：
2: 1 3 : 4S 阴影 ，解得 2S 阴影 .
方法二：回顾下燕尾定理，有 2: 4 1:3S 阴影（ ） ，解得 2S 阴影 .
【答案】2
【例 16】如右图，三角形 ABC 中， : : : 3: 2AF FB BD DC CE AE ，且三角形 ABC 的面积是1，则三角
形 ABE 的面积为______，三角形 AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，六年级
【分析】连接 AH 、 BI 、 CG ．
由于 : 3: 2CE AE ，所以 2
5AE AC ，故 2 2
5 5ABE ABCS S ；
根据燕尾定理， : : 2:3ACG ABGS S CD BD ， : : 3: 2BCG ABGS S CE EA ，所以
: : 4:6:9ACG ABG BCGS S S ，则 4
19ACGS ， 9
19BCGS ；
那么 2 2 4 8
5 5 19 95AGE AGCS S ；
同样分析可得 9
19ACHS ，则 : : 4:9ACG ACHEG EH S S ， : : 4:19ACG ACBEG EB S S ，所以
: : 4:5:10EG GH HB ，同样分析可得 : : 10:5: 4AG GI ID ，
所以 5 5 2 1
10 10 5 5BIE BAES S ， 5 5 1 1
19 19 5 19GHI BIES S ．
【答案】 1
19
【巩固】 如右图，三角形 ABC 中， : : : 3: 2AF FB BD DC CE AE ，且三角形 GHI 的面积是1，求三角形
ABC 的面积．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BG， AGCS△ 6 份
根据燕尾定理， : : 3: 2 6: 4AGC BGCS S AF FB △ △ ， : : 3: 2 9:6ABG AGCS S BD DC △ △
得 4BGCS △ (份)， 9ABGS △ (份)，则 19ABCS △ (份)，因此 6
19
AGC
ABC
S
S
△
△
,
同理连接 AI、CH 得 6
19
ABH
ABC
S
S
△
△
, 6
19
BIC
ABC
S
S
△
△
,
所以 19 6 6 6 1
19 19
GHI
ABC
S
S
△
△
三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19
【答案】19
【巩固】如图， ABC 中 2BD DA ， 2CE EB ， 2AF FC ，那么 ABC 的面积是阴影三角形面积的
倍．
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【分析】如图，连接 AI ．
根据燕尾定理， : : 2:1BCI ACIS S BD AD ， : : 1: 2BCI ABIS S CF AF ，
所以， : : 1: 2: 4ACI BCI ABIS S S ，
那么， 2 2
1 2 4 7BCI ABC ABCS S S
．
同理可知 ACG 和 ABH 的面积也都等于 ABC 面积的 2
7
，所以阴影三角形的面积等于 ABC 面积
的 2 11 37 7
，所以 ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍．
【答案】7
【巩固】如图在 ABC△ 中， 1
2
DC EA FB
DB EC FA
,求 GHI
ABC
△ 的面积
△ 的面积 的值．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BG,设 BGCS△ 1 份，根据燕尾定理 : : 2:1AGC BGCS S AF FB △ △ , : : 2:1ABG AGCS S BD DC △ △ ,
得 2AGCS △ (份)， 4ABGS △ (份),则 7ABCS △ (份)，因此 2
7
AGC
ABC
S
S
△
△
,同理连接 AI、CH 得
2
7
ABH
ABC
S
S
△
△
, 2
7
BIC
ABC
S
S
△
△
,
所以 7 2 2 2 1
7 7
GHI
ABC
S
S
△
△
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，
但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们
有对称法作辅助线.
【答案】 1
7
【巩固】如图在 ABC△ 中， 1
3
DC EA FB
DB EC FA
,求 GHI
ABC
△ 的面积
△ 的面积
的值．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BG,设 BGCS△ 1 份，根据燕尾定理 : : 3:1AGC BGCS S AF FB △ △ , : : 3:1ABG AGCS S BD DC △ △ ,
得 3AGCS △ (份)， 9ABGS △ (份),则 13ABCS △ (份)，因此 3
13
AGC
ABC
S
S
△
△
,同理连接 AI、CH 得
13ABH
ABC
S
S
△
△
, 3
13
BIC
ABC
S
S
△
△
,
所以 13 3 3 3 4
13 13
GHI
ABC
S
S
△
△
【答案】 4
13
【巩固】如右图，三角形 ABC 中， : : : 4:3AF FB BD DC CE AE ，且三角形 ABC 的面积是 74 ，求角形 GHI
的面积．
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 BG， AGCS△ 12 份
根据燕尾定理， : : 4:3 12:9AGC BGCS S AF FB △ △ ， : : 4:3 16:12ABG AGCS S BD DC △ △
得 9BGCS △ (份)， 16ABGS △ (份)，则 9 12 16 37ABCS △ (份)，因此 12
37
AGC
ABC
S
S
△
△
,
同理连接 AI、CH 得 12
37
ABH
ABC
S
S
△
△
, 12
37
BIC
ABC
S
S
△
△
,
所以 37 12 12 12 1
37 37
GHI
ABC
S
S
△
△
三角形 ABC 的面积是 74 ,所以三角形 GHI 的面积是 174 237
【答案】2
【例 17】三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面
积．
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN．
在 ABC△ 中，根据燕尾定理， : : 1:1ABM BCMS S AE CE △ △ , : : 1:1ACM BCMS S AD BD △ △ ,
所以 1
3ABM ACM BCN ABCS S S S △ △ △ △
由于 1 1
2 2AEM AMC ABMS S S △ △ △ S，所以 : 2:1BM ME
在 EBC△ 中，根据燕尾定理， : : 1:1BEN CENS S BF CF △ △ : : 1: 2CEN CBNS S ME MB △ △
设 1CENS △ (份)，则 1BENS △ (份)， 2BCNS △ (份)， 4BCES △ (份)，
所以 1 1
2 4BCN BCE ABCS S S △ △ △ , 1 1
4 8BNE BCE ABCS S S △ △ △ ，因为 : 2:1BM ME ,F 为 BC 中点,
所以 2 2 1 1
3 3 8 12BMN BNE ABC ABCS S S S △ △ △ △ , 1 1 1 1
2 2 4 8BFN BNC ABCS S S △ △ △ ,
所以 1 1 5 5 15 3.12512 8 24 24ABC ABCS S S △ △阴影 (平方厘米)
【答案】3.125
【例 18】如右图， ABC△ 中，G 是 AC 的中点，D 、E 、F 是 BC 边上的四等分点，AD 与 BG 交于 M ，AF
与 BG 交于 N ，已知 ABM△ 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则 ABC△ 的面积是多
少平方厘米？
N
M
G
A
B
C
D
E
F
N
M
G
A
B
C
D
E
F
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 CM 、 CN ．
根据燕尾定理， : : 1:1ABM CBMS S AG GC △ △ ， : : 1:3ABM ACMS S BD CD △ △ ，所以 1
5ABM ABCS S△ △ ；
再根据燕尾定理， : : 1:1ABN CBNS S AG GC △ △ ，所以 : : 4:3ABN FBN CBN FBNS S S S △ △ △ △ ，所以
: 4:3AN NF ，那么 1 4 2
2 4 3 7
ANG
AFC
S
S
△
△
，所以 2 5 1 51 7 7 4 28FCGN AFC ABC ABCS S S S △ △ △ ．
根据题意，有 1 5 7.25 28ABC ABCS S △ △ ，可得 336ABCS △ (平方厘米)
【答案】 336
【巩固】如图， ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，若 ABC 的面积为 1，那么
四边形 CDMF 的面积是_________．
F
A
B
C
D
E
M
N
F
A
B
C
D
E
M
N
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】四中，分班考试
【解析】由于点 D 是边 AC 的中点，点 E 、 F 是边 BC 的三等分点，如果能求出 BN 、 NM 、 MD 三段的比，
那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形 CDMF 的面积．
连接 CM 、 CN ．
根据燕尾定理， : : 2:1ABM ACMS S BF CF ，而 2ACM ADMS S ，所以 2 4ABM ACM ADMS S S ，那
么 4BM DM ，即 4
5BM BD ．
那么 4 2 1 4
5 3 2 15BMF BCD
BM BFS SBD BC ， 1 4 7
2 15 30CDMFS 四边形 ．
另解：得出 2 4ABM ACM ADMS S S 后，可得 1 1 1 1
5 5 2 10ADM ABDS S ，
则 1 1 7
3 10 30ACF ADMCDMFS S S 四边形 ．
【答案】 7
30
【例 19】如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、AF，于是
整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么△ABC 的面积是________．
（36）
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，五年级，初赛，第 11 题
【解析】方法一：如图（1）延长 AD 交 BC 于 G；如图（2）根据燕尾定理，得到 F: 2:3 0.4:0.6 DEG D GS S ；
如图（3）； : 0.4:2.4 1:6 GD GA ，由于 ED∥BA，那么 : 1:6EG GB ，同理 : 1:6FG GC ，那么△ABC
的面积为（123）636。本题使用了燕尾定理、相似三角形等性质，学生不需要进行严格地证明，
知道结论并会使用它解题即可。
方法二：因为三角形 DEF 所给条件最多，先来关注这一三角形。由 4 个同样大小的三角形可以组
成如下图的正方形，面积为 4，所以边长为 2，故 EF=2。要使已知条件与三角形 ABC 产生联系，
则将三角形 AEF 视为一个整体，面积为 EF×h÷2=6，所以三角形 ABC 的高 h=6。再观察下面的正方
形，可以发现，对于等腰直角三角形，从顶点做的高为斜边长度的一半，故 BC=2h=12，所以三角
形 ABC 的面积=BC×h÷2=12×6÷2=36
【答案】36
【例 20】如图，三角形 ABC 的面积是1， BD DE EC ， CF FG GA ，三角形 ABC 被分成 9 部分，请
写出这 9 部分的面积各是多少?
G
F
E
D
C
B
A
N
M
Q
P
G
F
E
D
C
B
A
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设 BG 与 AD 交于点 P，BG 与 AE 交于点 Q，BF 与 AD 交于点 M，BF 与 AE 交于点 N．连接 CP，
CQ，CM，CN．
根据燕尾定理， : : 1: 2ABP CBPS S AG GC △ △ ， : : 1: 2ABP ACPS S BD CD △ △ ，设 1ABPS △ (份)，则
1 2 2 5ABCS △ (份)，所以 1
5ABPS △
同理可得， 2
7ABQS △ , 1
2ABNS △ ,而 1
3ABGS △ ，所以 2 1 3
7 5 35APQS △ ， 1 2 1
3 7 21AQGS △ ．
同理， 3
35BPMS △
1
21BDMS △ ,所以 1 2 3 9
2 7 35 70PQMNS 四边形 ，
1 3 9 5
3 35 70 42MNEDS 四边形 , 1 1 5 1
3 21 42 6NFCES 四边形 , 1 1 1 5
3 21 6 42GFNQS 四边形
【答案】 5
42
【巩固】如图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么四
边形 JKIH 的面积是多少？
K
J
I
H
A
B
C
D
E
F
G
K
J
I
H
A
B
C
D
E
F
G
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】连接 CK 、 CI 、CJ ．
根据燕尾定理， : : 1: 2ACK ABKS S CD BD ， : : 1: 2ABK CBKS S AG CG ，
所以 : : 1: 2: 4ACK ABK CBKS S S ，那么 1 1
1 2 4 7ACKS
， 1 1
3 21AGK ACKS S ．
类似分析可得 2
15AGIS ．
又 : : 2:1ABJ CBJS S AF CF ， : : 2:1ABJ ACJS S BD CD ，可得 1
4ACJS ．
那么， 1 1 17
4 21 84CGKJS ．
根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 17
84
，那么四边形 JKIH 周围的图形的面积之和为
17 2 1 612 284 15 3 70CGKJ AGI ABES S S ，所以四边形 JKIH 的面积为 61 91 70 70
．
【答案】 9
70
【例 21】如右图，面积为1的 ABC△ 中， : : 1: 2:1BD DE EC ， : : 1: 2:1CF FG GA ， : : 1: 2:1AH HI IB ，
求阴影部分面积．
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设 IG 交 HF 于 M ， IG 交 HD 于 N ， DF 交 EI 于 P ．连接 AM ，
IF ．
∵ : 3: 4AI AB ， : 3: 4AF AC ， 9
16AIF ABCS S △ △
∵ : : 2FIM AMFS S IH HA △ △ ， : : 2FIM AIMS S FG GA △ △ ，
∴ 1 9
4 64AIM AIF ABCS S S △ △ △ ∵ : 1:3AH AI ∴ 3
64AHM ABCS S△ △ ，
∵ : 1: 4AH AB : 3: 4AF AC ∴ 3
16AHF ABCS S△ △ ．
同理 3
16CFD BDH ABCS S S △ △ △ ∴ 7
16FDH ABCS S△ △
3 3: : 1: 464 16HM HF ，
∵ : 3: 4, : 3: 4AI AB AF AC ，
∴ IF BC∥ ，
又∵ : 3: 4, : 1: 2IF BC DE BC ，
∴ : 2 :3, : 2 :3DE IF DP PF ，
同理 : 2:3HN ND ，∵ : 1: 4HM HF ，∴ : 2:5HN HD ，
∴ 1 7 7
10 160 160HMN HDF ABCS S S △ △ △ ．
同理 6 个小阴影三角形的面积均为 7
160
．
阴影部分面积 7 216160 80
．
【答案】 21
80
【例 22】如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部
分面积.
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P,BI 与 CE 的交点为 Q,连接 AM、
BN、CP
⑴求 ADMIS四边形 ：在 ABC△ 中，根据燕尾定理，
: : 1: 2ABM CBMS S AI CI △ △ : : 1: 2ACM CBMS S AD BD △ △
设 1ABMS △ (份)，则 2CBMS △ (份), 1ACMS △ (份), 4ABCS △ (份),
所以 1
4ABM ACM ABCS S S △ △ △ ，所以 1 1
3 12ADM ABM ABCS S S △ △ △ , 1
12AIM ABCS S△ △ ,
所以 1 1 1( )12 12 6ABC ABCADMIS S S △ △四边形 ,
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC△ 面积的 1
6
⑵求 DNPQES五边形 ：在 ABC△ 中，根据燕尾定理
: : 1: 2ABN ACNS S BF CF △ △ : : 1: 2ACN BCNS S AD BD △ △ ,
所以 1 1 1 1
3 3 7 21ADN ABN ABC ABCS S S S △ △ △ △ ,同理 1
21BEQ ABCS S△ △
在 ABC△ 中，根据燕尾定理 : : 1: 2ABP ACPS S BF CF △ △ , : : 1: 2ABP CBPS S AI CI △ △
所以 1
5ABP ABCS S△ △
所以 1 1 1 11
5 21 21 105ABP ADN BEP ABC ABCDNPQES S S S S S △ △ △ △ △五边形
同理另外两个五边形面积是 ABC△ 面积的 11
105
所以 1 11 131 3 36 105 70S 阴影
【答案】 13
70
【例 23】如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的三等分点,求中心六
边形面积.
【考点】燕尾定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S、M、Q，连接 CR
在 ABC△ 中根据燕尾定理， : : . 2:1ABR ACRS S BG CG △ △ ,
: : 1: 2ABR CBRS S AI CI △ △
所以 2
7ABR ABCS S△ △ ,同理 2
7ACS ABCS S△ △ , 2
7CQB ABCS S△ △
所以 2 2 2 11 7 7 7 7RQSS △
同理 1
7MNPS △
根据容斥原理，和上题结果 1 1 13 1
7 7 70 10S 六边形
【答案】 1
10
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