4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积 底 高 2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的 3 倍，底变为原来的 1
3
，则三角形面积与原来的一
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时
也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图 1 2: :S S a b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCDS S△ △ ；
反之，如果 ACD BCDS S△ △ ，则可知直线 AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形；⑵ 4 个面积相等的三角形；
⑶6 个面积相等的三角形．
【考点】三角形的等高模型 【难度】1 星 【题型】解答
【解析】⑴ 如下图，D、E 是 BC 的三等分点，F、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：
⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
【答案】⑴答案不唯一：
⑵ 答案不唯一：
⑶答案不唯一：
【例 2】 如图，BD 长 12 厘米，DC 长 4 厘米，B、C 和 D 在同一条直线上．
⑴ 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？
⑵ 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍？
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】因为三角形 ABD、三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD、BC 和 DC 为底时，它们的高都是从 A
点向 BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．
于是：三角形 ABD 的面积 12 高 2 6 高
三角形 ABC 的面积 12 4 （ ） 高 2 8 高
三角形 ADC 的面积 4 高 2 2 高
所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的 4
3
倍；
三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍．
【答案】 4
3
、3
【例 3】 如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3厘米，那么图中阴影部分的
面积是 平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即 4 3 2 6 (平方厘米)．
【答案】6
【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是 50 平方厘米，则阴影部分的面积是
平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也
等于平行四边形面积的一半，为 50 2 25 平方厘米．
【答案】25
【巩固】如下图，长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则
它内部阴影部分的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 20 12 1202
．
【答案】120
【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E 、F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为
AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接 BH 、 CH ．
∵ AE EB ，
∴ AEH BEHS S△ △ ．
同理， BFH CFHS S△ △ ，S =SCGH DGH ，
∴ 1 1 56 282 2ABCDS S 阴影 长方形 (平方厘米)．
【答案】28
【巩固】图中的 E 、 F 、 G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部
分的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的 3个边就都被分成了相等的三段．把 H 和这些分点以及正
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了 9 个形状各不相同的三角形．这 9 个三角形的底边分别是
在正方形的 3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了 3个三角形，右
边三角形的面积和第1第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第 3第 4 个三角形相等；左边三角形
的面积和第 5 个第 6 个三角形相等．
因此这 3个阴影三角形的面积分别是 ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等
于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144 ，阴影部分的面积就是 48 ．
【答案】48
【例 5】 长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】（法 1）特殊点法．由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如左上图），
那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD
面积的 1
8
和 1
4
，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 1 3
8 4 8
，为 336 13.58
．
（法 2）寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如右上图．
可得： 1
2EHB AHBS S 、 1
2FHB CHBS S 、 1
2DHG DHCS S ，而 36ABCD AHB CHB CHDS S S S ，
即 1 1( ) 36 182 2EHB BHF DHG AHB CHB CHDS S S S S S ；
而 EHB BHF DHG EBFS S S S S 阴影 ， 1 1 1 1 1( ) ( ) 36 4.52 2 2 2 8EBFS BE BF AB BC ．
所以阴影部分的面积是： 18 18 4.5 13.5EBFS S 阴影 ．
【答案】13.5
【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与 P 点连接,求阴影部分面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】（法 1）特殊点法．由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设 P 点与 A 点重合，则阴
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的 1
4
和 1
6
，所以阴影部
分的面积为 2 1 16 ( ) 154 6
平方厘米．
（法 2）连接 PA 、 PC ．
由于 PAD 与 PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
之和等于正方形 ABCD 面积的 1
4
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面
积的 1
6
，所以阴影部分的面积为 2 1 16 ( ) 154 6
平方厘米．
【答案】15
【例 6】 如右图，E 在 AD 上，AD 垂直 BC， 12AD 厘米， 3DE 厘米．求三角形 ABC 的面积是三角形
EBC 面积的几倍？
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为 AD 垂直于 BC，所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时，AD 是三角形 ABC 的高，ED
是三角形 EBC 的高，
于是：三角形 ABC 的面积 12 2 6BC BC
三角形 EBC 的面积 3 2 1.5BC BC
所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍．
【答案】4
【例 7】 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行 AC，连结 BE、AE、CF、BF 那么与△BEC 等积的三角形
一共有哪几个三角形？
F
D
E
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】△AEC、△AFC、△ABF．
【答案】△AEC、△AFC、△ABF．
【巩固】如图，在△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与△ABE 等积的三角形一
共有哪几个三角形？
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】3 个，△AEC、△BED、△DEC．
【解析】【答案】3 个，△AEC、△BED、△DEC．
【巩固】如图，在梯形 ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
O
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】△ABD 与△ACD，△ABC 与△DBC，△ABO 与△DCO．
【答案】△ABD 与△ACD，△ABC 与△DBC，△ABO 与△DCO
【例 8】 如图，三角形 ABC 的面积为 1，其中 3AE AB ， 2BD BC ，三角形 BDE 的面积是多少？
A
B
E
C
D
D
C
E
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】连接 CE ，∵ 3AE AB ，∴ 2BE AB ， 2BCE ACBS SV V
又∵ 2BD BC ，∴ 2 4 4BDE BCE ABCS S S V V V ．
【答案】4
【例 9】 如右图，AD DB ，AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， ABC 的面积是 平
方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】2008 年，四中考题
【解析】连接 CD ．根据题意可知， DEF 的面积为 DAC 面积的 1
3
， DAC 的面积为 ABC 面积的 1
2
，所
以 DEF 的面积为 ABC 面积的 1 1 1
2 3 6
．而 DEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ABC 的面积为
15 306
(平方厘米)．
【答案】30
【巩固】图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF
长的 3 倍．那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】 ABDV ， ABCV 等高，所以面积的比为底的比，有 1
2
ABD
ABC
S BD
S BC
V
V
,
所以 ABDSV = 1 1 180 902 2ABCS V (平方厘米)．同理有 1 90 303ABE ABD
AES SAD
V V (平方厘米)，
3
4AFE ABE
FES SBE
V V 30 22.5 (平方厘米)．即三角形 AEF 的面积是 22.5 平方厘米．
【答案】22.5
【巩固】如图，在长方形 ABCD 中，Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点，如果 24AB 厘米， 8BC 厘米，求
三角形 ZCY 的面积．
A
B
C
D
Z
Y
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】∵Y 是 BD 的中点， Z 是 DY 的中点，∴ 1 1
2 2ZY DB ， 1
4ZCY DCBS SV V ，
又∵ ABCD 是长方形，∴ 1 1 1 244 4 2ZCY DCB ABCDS S S V V Y (平方厘米)．
【答案】24
【巩固】如图，三角形 ABC 的面积是 24，D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点．求三角形 DEF 的面积．
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半 24 2 12 ，
三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半12 2 6 ．
三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半，所以三角形 FED 的面积 6 2 3 ．
【答案】3
【巩固】如图，在三角形 ABC 中， 8BC 厘米，高是 6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形
EBF 的面积是多少平方厘米？
F
E
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】∵ F 是 AC 的中点
∴ 2ABC ABFS S
同理 2ABF BEFS S
∴ 4 8 6 2 4 6BEF ABCS S (平方厘米)．
【答案】6
【例 10】如图所示， A 、 B 、C 都是正方形边的中点，△ COD 比△ AOB 大15 平方厘米。△ AOB 的面积为
平方厘米。
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8 题，10 分
【解析】 215COD ABO BCD ABD ABDS S S S S cm ，所以， 27.5ABOS cm 。
【答案】7.5
【例 11】如图 ABCD 是一个长方形，点 E、F 和 G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是 36 个平
方单位，求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位．
F
E
G
D
C
B
A
F
E
G
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】如右图分割后可得， 2 4 36 4 9EFG DEFC ABCDS S S 矩形 矩形 （平方单位）．
【答案】9
【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是1， M 是 AD 边的中点， N 在 AB 边上，且 2AN BN .那么，阴影部
分的面积是多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，决赛
【解析】连接 BM ，因为 M 是中点所以 ABM△ 的面积为 1
4
又因为 2AN BN ，所以 BDC△ 的面积为
1 1 1
4 3 12
，又因为 BDC△ 面积为 1
2
，所以阴影部分的面积为： 1 1 51 12 2 12
.
【答案】 5
12
【例 12】如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形
组合而成．求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，将大长方形的长的长度设为 1，则 12 1
12 36 4AB
， 24 1
24 48 3CD
，
所以 1 1 1
3 4 12MN ，阴影部分面积为 21 1(12 24 36 48) 5(cm )2 12
．
【答案】5
【例 13】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以 AD 为一边向外作长方形 ADEF，其面积为 6.36
平方厘米。连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。
(A)6.36 (B)3.18 (C)2.12 （D）1.59
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第 5 题
【解析】如图,连接 AE，BD。因为 AD∥BC，则： PDC PDBS S△ △ ,又 AB∥ED，则： EAD EBDS S△ △ ,所以，
1 1 6.36 3.182 2EPD PDC EPD PDB EDA ADEFS S S S S S S △ △ △ △ △ △阴影 （平方厘米）
说明：答案和直角梯形形状无关，可以让 BC 边趋近 AD 边，直到和 AD 边重合，此时，P 与 A 重合，
PE 是 ADEF 的对角线，所以，阴影部分的面积是 ADEF 面积的一半，等于 3.18 平方厘米。
【答案】 3.18
【例 14】如图， BC 是半径为 6 的圆 O 上的弦，且 BC 的长度与圆的半径相等， A 是圆外的一点， OA 的长
度为12 ，且 OA 与 BC 平行，那么图中阴影部分的面积是 。（ π 3.14 ）
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，6 年级，第 11 题
【解析】由于 OA 与 BC 平行，如果连接 OB 、 OC ， ABC 的面积是等于 OBC 的面积，于是把求阴影部分
的面积转化为扇形 BOC 的面积。如图1，连接OB 、OC 。由于OA 与 BC 平行，根据面积比例模型，
ABC 是等边三角形，那么 BOC 为 60 ，扇形 BOC 的面积为 606 18.84360
。
【答案】18.84
【巩固】在下图中，A 为半径为 3 的⊙0 外一点。弦 BC∥A0 且 BC=3。连结 AC。阴影面积等于 .( =3.14)
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 3 题，10 分
【解析】D 为 OA 与圆 0 的交点，连接 OC，OB，BD(见下图).
∵CB∥OD，CB=OD=3， ∴四边形 CBDO 是平行四边形，△COB 是等边三角形. ∴ CABS = COBS
∴阴影面积等于扇形 COB 的面积， S阴影 = COBS扇形 =r2× 60
360
=32×3.14× 1
6 =4.71.
【答案】4.71
【例 15】如图，三角形 ABC 中， 2DC BD ， 3CE AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形 ABC
的面积是多少？
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】∵ 3CE AE ，∴ 4AC AE ， 4ADC ADES S ；
又∵ 2DC BD ，∴ 1.5BC DC ， 1.5 6 120ABC ADC ADES S S (平方厘米)．
【答案】120
【例 16】如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、三角形 BCD 的面积分别是 89，28，26．那
么三角形 DBE 的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，复赛，六年级
【解析】根据题意可知， 89 28 117ADC ADE DCES S S ，
所以 : : 26:117 2:9BDC ADCBD AD S S ，
那么 : : 2:9DBE ADES S BD AD ，
故 2 2 2 789 (90 1) 20 199 9 9 9DBES ．
【答案】 719 9
【例 17】如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分．三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积
大 10 平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米，它们的差是 5 分米．求梯形 ABCD
的面积．
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】小数报
【解析】如右图，作 AB 的平行线 DE．三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等，三角形 DEC 的面积就
是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差(10 平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形 DEC 的高)是：
2 10 5 4 (分米)，梯形面积是：15 4 2 30 (平方分米)．
【答案】30
【例 18】图中 AOB 的面积为 215cm ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积．
O
C
B
D
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】在 ABD 中，因为 215cmAOBS ，且 3OB OD ，所以有 23 5cmAOD AOBS S ．
因为 ABD 和 ACD 等底等高，所以有 ABD ACDS S ．
从而 215cmOCDS ，在 BCD 中， 23 45cmBOC OCDS S ，所以梯形面积： 215 5 15 45 80 cm （ ）．
【答案】80
【例 19】如图，把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形．
D
C
B
A
A′
A
B
C
D
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可
以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A′处， A′BD 与 ABD 面
积相等，从而 A′DC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等．这样就把四边形 ABCD 等积地改成了三角
形 A′DC．问题是 A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过 A 作一条和 DB 平行的直线与 CB
的延长线交于 A′点．
具体做法：⑴ 连接 BD；
⑵ 过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A′．
⑶ 连接 A′D，则 A′CD 与四边形 ABCD 等积．
【答案】具体做法：⑴ 连接 BD；
⑵ 过 A 作 BD 的平行线，与 CB 的延长线交于 A′．
⑶ 连接 A′D，则 A′CD 与四边形 ABCD 等积．
A′
A
B
C
D
【例 20】一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15% ，黄色三角形面积是
221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？
红
绿
黄
红
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿
色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积占长方形面积的15% ，所以黄色三角形
面积占长方形面积的 50% 15% 35% ．
已知黄色三角形面积是 221cm ，所以长方形面积等于 21 35% 60 （ 2cm ）．
【答案】60
【例 21】 O 是长方形 ABCD 内一点，已知 OBC 的面积是 25cm ， OAB 的面积是 22cm ，求 OBD 的面积是
多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】由于 ABCD 是长方形，所以 1
2AOD BOC ABCDS S S ，而 1
2ABD ABCDS S ，所以 AOD BOC ABDS S S ，
则 BOC OAB OBDS S S ，所以 25 2 3cmOBD BOC OABS S S ．
【答案】3
【例 22】如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、GH ，若 PBD 的面积为 8 平方分米，
求平行四边形 PHCF 的面积比平行四边形 PGAE 的面积大多少平方分米？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据差不变原理，要求平行四边形 PHCF 的面积与平行四边形 PGAE 的面积差，相当于求平行四边
形 BCFE 的面积与平行四边形 ABHG 的面积差．
如右上图，连接 CP 、 AP ．
由于 1
2BCP ADP ABP BDP ADP ABCDS S S S S S ，所以 BCP ABP BDPS S S ．
而 1
2BCP BCFES S ， 1
2ABP ABHGS S ，所以 2 2 16BCFE ABHG BCP ABP BDPS S S S S (平方分米)．
【答案】16
【例 23】如右图，正方形 ABCD 的面积是 20 ，正三角形 BPC 的面积是15 ，求阴影 BPD 的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】连接 AC 交 BD 于O 点，并连接 PO ．如下图所示，
可得 / /PO DC ，所以 DPO 与 CPO 面积相等(同底等高)，所以有：
BPO CPO BPO PDO BPDS S S S S ，
因为 1 1 20 54 4BOC ABCDS S ，所以 15 5 10BPDS ．
【答案】10
【巩固】如右图，正方形 ABCD 的面积是12 ，正三角形 BPC 的面积是5 ，求阴影 BPD 的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】连接 AC 交 BD 于O 点，并连接 PO ．如右上图所示，
可得 / /PO DC ，所以 DPO 与 CPO 面积相等(同底等高)，所以有:
BPO CPO BPO PDO BPDS S S S S ，
因为 1 34BOC ABCDS S ，所以 5 3 2BPDS ．
【答案】2
【例 24】在长方形 ABCD 内部有一点 O ，形成等腰 AOB 的面积为 16，等腰 DOC 的面积占长方形面积的
18% ，那么阴影 AOC 的面积是多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去 DOC 的面积(长方形面积的18% )，再减去 AOD 的面积，即
可求出 AOC 的面积．
根据模型可知 1
2COD AOB ABCDS S S ，所以 116 18% 502ABCDS （ ） ，
又 AOD 与 BOC 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以 AOD 的面积等于长方
形面积的 1
4
，
所以 1 25% 18%2AOC ACD AOD COD ABCD ABCD ABCDS S S S S S S 25 12.5 9 3.5 ．
【答案】3.5
【例 25】如右图所示，在梯形 ABCD 中， E 、 F 分别是其两腰 AB 、 CD 的中点，G 是 EF 上的任意一点，
已知 ADG 的面积为 215cm ，而 BCG 的面积恰好是梯形 ABCD 面积的 7
20
，则梯形 ABCD 的面积
是 2cm ．
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】陈省身杯，六年级
【解析】如果可以求出 ABG 与 CDG 的面积之和与梯形 ABCD 面积的比，那么就可以知道 ADG 的面积占
梯形 ABCD 面积的多少，从而可以求出梯形 ABCD 的面积．
如图，连接 CE 、 DE ．则 AEG DEGS S ， BEG CEGS S ，于是 ABG CDG CDES S S ．
要求 CDE 与梯形 ABCD 的面积之比，可以把梯形 ABCD 绕 F 点旋转180 ，变成一个平行四边形．如
下图所示：
从 中 容 易 看 出 CDE 的 面 积 为 梯 形 ABCD 的 面 积 的 一 半 ． ( 也 可 以 根 据 1
2BEC ABCS S ，
1
2AED AFD ADCS S S ， 1 1 1
2 2 2BEC AED ABC ADC ABCDS S S S S 得来)
那么，根据题意可知 ADG 的面积占梯形 ABCD 面积的 1 7 31 2 20 20
，所以梯形 ABCD 的面积是
2315 100cm20
．
小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，
这是一个很有用的结论．本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G 与 E 重合，则 CDE
的面积占梯形面积的一半，那么 ADG 与 BCG 合起来占一半．
【答案】100
【例 26】如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
G
F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等
高的平行四边形面积的一半．
证明：连接 BE ．(我们通过 ABE△ 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．)
∵在平行四边形 ABCD 中， 1
2ABES AB AB △ 边上的高，
∴ 1
2ABE ABCDS S △ ．
同理， 1
2ABE AEGFS S △ ，∴平行四边形 ABCD 与 AEGF 面积相等．
【答案】证明：连接 BE ．(我们通过 ABE△ 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．)
∵在平行四边形 ABCD 中， 1
2ABES AB AB △ 边上的高，
∴ 1
2ABE ABCDS S △ ．
同理， 1
2ABE AEGFS S △ ，∴平行四边形 ABCD 与 AEGF 面积相等．
【巩固】如图所示，正方形 ABCD 的边长为8厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？
A
B
G
C
E
F
D
A
B
G
C
E
F
D
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平
行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接 AG ．(我们通过 ABG△ 把这两个长方形和正方形联系在一起)．
∵在正方形 ABCD 中， G
1
2ABS AB AB △ 边上的高，
∴ 1
2ABG ABCDS S △ (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)
同理， 1
2ABG EFGBS S△ ．
∴正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面积相等． 长方形的宽 8 8 10 6.4 (厘米)．
【答案】6.4
【例 27】如图，正方形 ABCD 的边长为 6，AE＝1.5，CF＝2．长方形 EFGH 的面积为 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 8 题，10 分，6 年级，决赛，第 9 题，10 分
【解析】连接 DE，DF，则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍。三角形 DEF 的面积等于正方形
的面积减去三个三角形的面积：6×6-(6×1.5+4.5×4+2×6)÷2=16.5，所以长方形的面积为 33。
【答案】33
【例 28】如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米．求三角形 CDF 的面
积．
A
E
B
F
C
D
D
C
F
B
E
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】连结 AF、CE．
∴ ADE ACES S ； CDF ACFS S ；
又∵AC 与 EF 平行，∴ ACE ACFS S ．
∴ 4ADE CDFS S (平方厘米)．
【答案】4
【巩固】如右图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E ，交 DA 延长线于 F ，若 1ADES △ ，求 BEF△
的面积．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等(或夹在一组平行线之间的三角形面积
相等)和等量代换的思想．连接 AC ．
∵ AB ∥ CD ，∴ ADE ACES S△ △
同理 AD ∥ BC ，∴ ACF ABFS S△ △
又 ACF ACE AEFS S S △ △ △ ， ABF BEF AEFS S S △ △ △ ，∴ ACE BEFS S△ △ ，即 1BEF ADES S △ △ ．
【答案】1
【例 29】梯形 ABCD 中，AE 与 DC 平行， 15ABES , BCFS .
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 4 题
【解析】连结 DE，因为 AE 与 DC 平行，根据蝴蝶定理易知 DEF CEFS S ，同样可知 ABF DEFS S ，所以
ABF CEFS S ，那么 15ABE BCFS S 。
【答案】15
【例 30】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】 4 4 2 8 ．
【答案】8
【例 31】如图，有三个正方形的顶点 D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为 10 厘米，
求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角
线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．
如右图所示，连接 FK 、 GE 、 BD ，则 / / / /BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可
得 DGE BGES S ， KGE FGES S ，所以阴影部分的面积就等于正方形 GFEB 的面积，即为 210 100 平
方厘米．
【答案】100
【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米，求三角形 ABC 的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接 AD (见
右上图)，可以看出，三角形 ABD 与三角形 ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的
边长，所以面积相等．因为三角形 AGD 是三角形 ABD 与三角形 ACD 的公共部分，所以去掉这个公
共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形 ABG 与三角形 GCD 面积仍然相等．根据等
量代换，求三角形 ABC 的面积等于求三角形 BCD 的面积，等于 4 4 2 8 ．
【答案】8
【巩固】如图， ABCD 与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘米，图中阴影部分的面积
为 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】西城实验
【解析】如图，连接 AF ，比较 ABF 与 ADF ，由于 AB AD ， FG FE ，即 ABF 与 ADF 的底与高分
别相等，所以 ABF 与 ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与 ABH 的面积相等，为 6 平方厘米．
【答案】6
【巩固】正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法一：三角形 BEF 的面积 2BE EF ，
梯形 EFDC 的面积 2 2EF CD CE BE EF （ ） 三角形 BEF 的面积，
而四边形 CEFH 是它们的公共部分，所以，三角形 DHF 的面积 三角形 BCH 的面积，
进而可得，阴影面积 三角形BDF 的面积 三角形BCD 的面积 10 10 2 50 (平方厘米)．
方法二：连接 CF，那么 CF 平行 BD ，
所以，阴影面积 三角形 BDF 的面积 三角形 BCD 的面积 50 (平方厘米)．
【答案】50
【巩固】已知正方形 ABCD 边长为10，正方形 BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】人大附中考题
【解析】如果注意到 DF 为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到 DF 与
CI 是平行的．所以可以连接 CI 、CF ，如上图．
由于 DF 与 CI 平行，所以 DFI 的面积与 DFC 的面积相等．而 DFC 的面积为 110 4 202
，所
以 DFI 的面积也为 20．
【答案】20
【例 32】于 CF 的三分之一，三角形 CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形 ABGEF 的面积．
H
G
F
E
D
C
B
A
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】连接 AC 、 GF ，由于 AC 与 GF 平行，可知四边形 ACGF 构成一个梯形．
由于 HCG 面积为 6 平方厘米，且 CH 等于CF 的三分之一，所以 CH 等于 FH 的 1
2
，根据梯形蝴蝶
定理或相似三角形性质，可知 FHG 的面积为 12 平方厘米， AHF 的面积为 6 平方厘米， AHC 的
面积为 3 平方厘米．
那么正方形 CGEF 的面积为 6 12 2 36 平方厘米，所以其边长为 6 厘米．
又 AFC 的面积为 6 3 9 平方厘米，所以 9 2 6 3AD (厘米)，即正方形 ABCD 的边长为 3 厘
米．那么，五边形 ABGEF 的面积为： 2 136 9 3 49.52
(平方厘米)．
【答案】49.5
【例 33】如下图， E 、 F 分别是梯形 ABCD 的下底 BC 和腰 CD 上的点， DF FC ，并且甲、乙、丙 3个三
角形面积相等．已知梯形 ABCD 的面积是32 平方厘米．求图中阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】小数报，决赛
【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底 DF FC ．所以 A 到 CD 的距离与 E 到 CD 的距离相等，即 AE
与 CD 平行，四边形 ADCE 是平行四边形，阴影部分的面积 平行四边形 ADCE 的面积的 1
2
，所以
阴影部分的面积 乙的面积 2 ．设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为 2 份，梯形的面积
为 5 份，从而阴影部分的面积 32 5 2 12.8 (平方厘米)．
【答案】12.8
【例 34】如图，已知长方形 ADEF 的面积16 ，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面积是 4 ，那么三角
形 ABC 的面积是多少？
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】方法一：连接对角线 AE ．
∵ ADEF 是长方形
∴ 1
2ADE AEF ADEFS S S
∴ 3
8
ADB
ADE
SDB
DE S
， 1
2
ACF
AEF
SFC
EF S
∴ 5
8
BE DE DB
DE DE
， 1
2
CE FE CF
EF EF
∴ 1 5 1 5162 8 2 2BECS
∴ 13
2ABC ADEF ADB ACF CBES S S S S ．
方法二：连接 BF ，由图知 16 2 8ABFS △ ，所以 16 8 3 5BEFS △ ，又由 4ACFS △ ，恰好是
AEF△ 面 积 的 一 半 ， 所 以 C 是 EF 的 中 点 ， 因 此 5 2 2.5BCE BCFS S △ △ ， 所 以
16 3 4 2.5 6.5ABCS △
【答案】6.5
【例 35】如图，在平行四边形 ABCD 中， BE EC ， 2CF FD ．求阴影面积与空白面积的比．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】方法一：因为 BE EC ， 2CF FD ，所以 1
4ABE ABCDS S△ 四边形 ， 1
6ADF ABCDS S△ 四边形 ．
因为 2AD BE ，所以 2AG GE ，
所以 1 1
3 12BGE ABE ABCDS S S △ △ 四边形 ， 2 1
3 6ABG ABE ABCDS S S △ △ 四边形 ．
同理可得， 1
8ADH ABCDS S△ 四边形 ， 1
24DHF ABCDS S△ 四边形 ．
因为 1
2BCD ABCDS S△ 四边形 ，所以空白部分的面积 1 1 1 1 1 2( )2 12 24 6 8 3ABCD ABCDS S 四边形 四边形 ，
所以阴影部分的面积是 1
3 ABCDS四边形 ．
1 2: 1: 23 3
，所以阴影面积与空白面积的比是1: 2 ．
【答案】1: 2
【例 36】如图所示，三角形 ABC 中，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上的一点，且 3AE EC ，O 为 DC 与 BE
的交点．若 CEO 的面积为 a 平方厘米， BDO 的面积为 b 平方厘米．且 b a 是 2.5 平方厘米，那
么三角形 ABC 的面积是 平方厘米．
E
b
a
O
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】小机灵杯，五年级，复赛
【解析】 1
2 ABC BCD BCOS S b S ， 1
4 ABC BCE BCOS S a S ，所以 1 1 2.52 4ABC ABCS S b a (平方厘
米)．所以 2.5 4 10ABCS (平方厘米)．
【答案】10
【例 37】如图，在梯形 ABCD 中， : 4:3AD BE ， : 2:3BE EC ，且 BOE 的面积比 AOD 的面积小 10 平
方厘米．梯形 ABCD 的面积是 平方厘米．
O
A
B
C
D
E
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据题意可知 : : 8:6:9AD BE EC ，则 8
6
ABD
ABE
S
S
， 3
4ABE ABDS S ，
而 10ABD ABE AOD BOES S S S 平方厘米，所以 1 104 ABDS ，则 40ABDS 平方厘米．
又 9 6 15
8 8
BCD
ABD
S
S
，所以 15 40 758BCDS 平方厘米．
所以 40 75 115ABD BCDABCDS S S 梯形 (平方厘米)．
【答案】115
【巩固】如图， BD 是梯形 ABCD 的一条对角线，线段 AE 与 DC 平行， AE 与 BD 相交于 O 点．已知三角形
BOE 的面积比三角形 AOD 的面积大 4 平方米，并且 2
5EC BC ．求梯形 ABCD 的面积．
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】小数报，初赛
【解析】连接 AC ．根据差不变原理可知三角形 ABE 的面积比三角形 ABD 大 4 平方米，而三角形 ABD 与三
角形 ACD 面积相等，因此也与三角形 ACE 面积相等，从而三角形 ABE 的面积比三角形 ACE 的大 4
平方米．
但 2
5EC BC ，所以三角形 ACE 的面积是三角形 ABE 的 2 2
5 2 3
，从而三角形 ABE 的面积是
24 1 123
(平方米)，梯形 ABCD 的面积为： 212 1 2 283
(平方米)．
【答案】28
【例 38】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ，35 ，49 ．那么图中阴影
部分的面积是多少？
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】三角形 ABC 的面积 三角形 CDE 的面积 (13 35 49) 长方形面积 阴影部分面积；又因为三角
形 ABC 的面积 三角形 CDE 的面积 1
2
长方形面积，所以可得：
阴影部分面积 13 35 49 97 ．
【答案】97
【例 39】图中是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上
去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．
8
5
5
A
E
D
C
B
有 ABC 为直角，而 CED ABC ，所以 CED 也为直角.而 5CE CB . ADE 与 CED 同高，
所以面积比为底的比，及 ADE
CED
S
S
= AE
EC = 13-5
5 = 8
5
，设 ADE 的面积为“8”，则 CED 的面积为“5”． CED
是由 CDB 折叠而成，所以有 CED 、 CDB 面积相等， ABC 是由 ADE 、 CED 、 CDB 组成，
所以 ABCS =“8”+“5”+“5”=“18”对应为 1 5 12 302
，所以“1”份对应为 5
3
，那么△ADE 的面积为
58 3
= 1133
平方厘米．即阴影部分的面积为 1133
平方厘米．
【答案】 113 3
【例 40】如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方厘米， 2EC DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米？
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如下图，连接 FC ， DBF 、 BFG 的面积相等，设为 x 平方厘米; FGC 、 DFC 的面积相等，设为
y 平方厘米，那么 DEF 的面积为 1
3 y 平方厘米．
x
y
y
x
G
F
E
D
C
B
A
2 2 1BCDS x y ， BDE
1 1 1S =x+ y=l3 3 3
．所以有 0.5
3 1
x y
x y
①
②
．比较②、①式，②式左边比①
式左边多 2x ，②式右边比①式右边大 0.5，有 2 0.5x ，即 0.25x , 0.25y ．而阴影部分面积为
2 5 50.253 3 12y y 平方厘米．
【答案】 5
12
【例 41】如图，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF ，交叉处为 D ，张大伯常走这两条小路，他知道 DF DC ,
且 2AD DE ．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是_________．
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】六年级，希望杯，复赛，试题
【解析】方法一：连接 BD ．
设 CED△ 的面积为 1， BED△ 的面积 x ，则根据题上说给出的条件，由 DF DC 得 BDC BDFS S△ △ ，
即 BDF△ 的面积为 1x 、 ADC ADFS S△ △ ;
又有 2AD DE ， 2 2ADC ADF CDES S S △ △ △ 、 2 2ABD BDES S x △ △ ，而 1 2 2ABDS x x △ ；
得 3x ，所以 : (2 2):(1 3 4) 1:2ACF CFBS S △ △ ．
方法二：连接 BD ，设 1CEDS △ (份)，则 2ACD ADFS S △ △ ,设 BEDS x△ BFDS y△ 则有 1
2 2
x y
x y
，
解得 3
4
x
y
，所以 : (2 2) :(4 3 1) 1: 2ACF CFBS S △ △
方法三：过 F 点作 FG ∥ BC 交 AE 于 G 点，由相似得 : : 1:1CD DF ED DG ,又因为 2AD DE ，
所以 : : 1: 2AG GE AF FB ，所以两块田地 ACF 和 CFB 的面积比 : 1: 2AF FB
【答案】1: 2
【例 42】如图， 45BC ， 21AC ， ABC 被分成9 个面积相等的小三角形，那么 DI FK ．
K
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，六年级，第 7 题
【解析】由 题 意 可 知 ， : : 2:9BAD ABCBD BC S S ， 所 以 2 109BD BC ， 35CD BC BD ； 又
: : 2:5DIF DFCDI DC S S ， 所 以 2 145DI DC ， 同 样 分 析 可 得 10FK ， 所 以
14 10 24DI FK ．
【答案】24
【巩固】如图，在角 MON 的两边上分别有 A 、C 、 E 及 B 、 D 、 F 六个点，并且 OAB 、 ABC 、 BCD 、
CDE 、 DEF 的面积都等于 1，则 DCF 的面积等于 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】入学测试题
【解析】根据题意可知， : : 4:1OED DEFOD DF S S ，所以 1
4DF OD ， 1 1 334 4 4DCF OCDS S ．
【答案】 3
4
【例 43】 E 、M 分别为直角梯形 ABCD 两边上的点，且 DQ 、CP 、ME 彼此平行，若 5AD ， 7BC ， 5AE ，
3EB ．求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】连接 CE 、 DE ．
由于 DQ 、CP 、 ME 彼此平行，所以四边形 CDQP 是梯形，且 ME 与该梯形的两个底平行，那么三
角形 QME 与 DEM 、三角形 PME 与 CEM 的面积分别相等，所以三角形 PQM 的面积与三角形 CDE
的面积相等．而三角形 CDE 的面积根据已知条件很容易求出来．
由于 ABCD 为直角梯形，且 5AD ， 7BC ， 5AE ， 3EB ，所以三角形 CDE 的面积的面积为：
1 1 15 7 5 3 5 5 3 7 252 2 2
．所以三角形 PQM 的面积为 25．
【答案】25
【例 44】已知 ABC 为等边三角形，面积为 400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为
143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形 HBC )
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】人大附中分班考试题
【解析】因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以 DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线，也就与对应的
边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200．
根据图形的容斥关系，有 ABC ABN AMC AMHNS S S S S 丙 ，即 400 200 200 AMHNS S 丙 ，所以
AMHNS S丙 ．
又 ADF AMHNS S S S S 乙甲阴影 ，所以 1143 400 434ADFS S S S S 乙甲 丙阴影 ．
【答案】43
【例 45】如图，已知 5CD ， 7DE ， 15EF ， 6FG ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是
38，右边部分面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是 ．
G
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
G
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】四中入学测试题
【解析】连接 AF ， BD ．
根据题意可知， 5 7 15 27CF ； 7 15 6 28DG ；
所以， 15
27BE CBFF SS ， 12
27BE CBFC SS ， 21
28AEG ADGS S ， 7
28AED ADGS S ，
于是： 21 15 6528 27ADG CBFS S ； 7 12 3828 27ADG CBFS S ；
可得 40ADGS ．故三角形 ADG 的面积是 40．
【答案】40
【巩固】如图，点 D 、 E 、 F 在线段 CG 上，已知 2CD 厘米， 8DE 厘米， 20EF 厘米， 4FG 厘米，
AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是 67 平方厘米，上边部分面积是166 平方厘米，则
三角形 ADG 的面积是多少平方厘米？
A
B
C
D
E
F
G
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】希望杯
【解析】连接 AF 设 AFG△ 的面积是 x ,由于 20 4 8 5 1 2FE FG ED ∶ ∶ ∶ ∶ ∶∶ 所以 AFE△ 的面积是 5x 、
AED△ 的 面 积 是 2x 由 于 上 半 部 分 的 面 积 是 166 平 方 厘 米 所 以 FEB△ 的 面 积 是
(166 5 166 6x x x )平方厘米，因为下半部分的面积是 67 平方厘米所以 EBC△ 的面积是( 67 2x )
平方厘米，因为 FE 是 EC 的 2 倍所以可以列方程为：166 6 2x ( 67 2x )解得 16x ， ADG△ 的
面积为 5 2 8 8 16 128x x x x 平方厘米.
【答案】128
【例 46】如图，正方形的边长为 10，四边形 EFGH 的面积为 5，那么阴影部分的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】仁华考题
【解析】如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M 、 N ．连接 CN ．
根据面积比例模型， CMF 与 CNF 的面积是相等的，那么 CMF 与 BNF 的面积之和，等于 CNF
与 BNF 的面积之和，即等于 BCN 的面积．而 BCN 的面积为正方形 ABCD 面积的一半，为
2 110 502
．
又 CMF 与 BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形 EFGH 的面积，所以阴影
部分的面积为： 50 5 2 40 ．
【答案】40
【巩固】如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M 、 N ．连接 CN ．
根据面积比例模型， CMF 与 CNF 的面积是相等的，那么 CMF 与 BNF 的面积之和，等于 CNF
与 BNF 的面积之和，即等于 BCN 的面积．而 BCN 的面积为正方形 ABCD 面积的一半，为
2 112 722
．
又 CMF 与 BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形 EFGH 的面积，所以四边
形 EFGH 的面积为： 72 60 2 6 ．
【答案】6
【例 47】如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， 8AB ， 15AD ，四边形 EFGO 的面
积为 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】走美杯，六年级，初赛
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和，以及三角形
AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积．
由于长方形 ABCD 的面积为15 8 120 ，所以三角形 BOC 的面积为 1120 304
，所以三角形 AOE 和
DOG 的面积之和为 3120 70 204
；
又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为 1 1120 302 4
，所以四边形 EFGO 的面积
为 30 20 10 ．
另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积 白色部分的面积，
而三角形 AFC 面积 三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面
积减去阴影部分的面积，即120 70 50 ，所以四边形的面积为 60 50 10 ．
【答案】10
【巩固】如图所示，矩形 ABCD 的面积为 24 平方厘米．三角形 ADM 与三角形 BCN 的面积之和为 7.8 平方
厘米，则四边形 PMON 的面积是 平方厘米．
N
O
M
P
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】因为三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是矩形 ABCD 的面积的一半，即 12 平方厘米，又三角形
ADM 与三角形 BCN 的面积之和为 7.8 平方厘米，则三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和是 4.2 平
方厘米，则四边形 PMON 的面积 三角形 ABP 面积 三角形 AMO 与三角形 BNO 的面积之和 三角
形 ABO 面积 12 4.2 6 1.8 (平方厘米)．
【答案】1.8
【巩固】如图所示，矩形 ABCD 的面积为 36 平方厘米，四边形 PMON 的面积是 3 平方厘米，则阴影部分的
面积是 平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】因为三角形 ABP 面积为矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，三角形 ABO 面积为矩形 ABCD
的面积的 1
4
，即 9 平方厘米，又四边形 PMON 的面积为 3 平方厘米，所以三角形 AMO 与三角形 BNO
的面积之和是18 9 3 6 平方厘米．
又三角形 ADO 与三角形 BCO 的面积之和是矩形 ABCD 的面积的一半，即 18 平方厘米，所以阴影部
分面积为18 6 12 (平方厘米)．
【答案】12
【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点， 2AE ED ，则阴影部分的面积为 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】
【解析】如图，连接 OE ．
根据蝴蝶定理， 1: : : 1:12COE CDE CAE CDEON ND S S S S ，所以 1
2OEN OEDS S ；
1: : : 1: 42BOE BAE BDE BAEOM MA S S S S ，所以 1
5OEM OEAS S ．
又 1 1 33 4OED ABCDS S 矩形 ， 2 6OEA OEDS S ，所以阴影部分面积为： 1 13 6 2.72 5
．
【答案】2.7
【例 48】如图，如果长方形 ABCD 的面积是56 平方厘米，那么四边形 MNPQ 的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】，分班考试
【解析】如图，过 M 、N 、P 、Q 分别作长方形 ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长
为 3厘米，面积等于9 平方厘米．设 MQD 、 NAM 、 PBN 、 QCP 的面积之和为 S ，四边形 MNPQ
的面积等于 x ，则 56
9
x S
x S
，解得 32.5x (平方厘米)．
【答案】32.5
【例 49】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为 10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是
2cm ．
Q
P
N
M
H
G
F
E
A
B
C
D
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】日本，小学算术奥林匹克大赛，初赛
【解析】如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ ，易
知长方形 MNPQ 的面积为 4 1 4 平方厘米．
从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH 、BFME 、CGQF 、DHPG
四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形 MNPQ 的面积，为10 10 4 104 平
方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为104 2 52 平方厘米，那么阴影四边形 EFGH 的面积为
100 52 48 平方厘米．
【答案】48
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
厘米？
Q
P
N
M
H
G
F
E
A
B
C
D
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图所示，分别过阴影四边形 EFGH 的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形 MNPQ ，易
知长方形 MNPQ 的面积为 4 2 8 平方厘米．
从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的 2 倍，等于 AENH 、BFME 、CGQF 、DHPG
四个长方形的面积之和，等于正方形 ABCD 的面积加上长方形 MNPQ 的面积，为12 12 8 152 平
方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152 2 76 平方厘米，那么阴影四边形 EFGH 的面积为
144 76 68 平方厘米．
【答案】68
【巩固】已知正方形的边长为 10， 3EC ， 2BF ，则 ABCDS 四边形 ．
F
E
D
C
B
A
N
M
A
B
C
D
E
F
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，作 BM AE 于 M ， CN BM 于 N ．
则四边形 ABCD 分为 4 个直角三角形和中间的一个长方形，其中的 4 个直角三角形分别与四边形
ABCD 周围的 4 个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为3 2 6 ，所以
10 10 3 2 3 2 532ABCDS 四边形 ．
【答案】53
【例 50】如图，三角形 AEF 的面积是17 ， DE 、 BF 的长度分别为11、3．求长方形 ABCD 的面积．
A
B
C
D
E
F
M
H
G
A
B
C
D
E
F
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】如图，过 F 作 FH ∥ AB ，过 E 作 EG ∥ AD ， FH 、 EG 交于 M ，连接 AM ．
则 ABCD AGMH GBFM MFCE HMEDS S S S S 矩形 矩形 矩形 矩形 矩形
2 2 2AMF EMF AMEAG AH S S S
2 AEFDE BF S
11 3 2 17 67
另解：设三角形 ADE 、CEF 、 ABF 的面积之和为 s ，则正方形 ABCD 的面积为 17s ．
从图中可以看出，三角形 ADE 、CEF 、 ABF 的面积之和的 2 倍，等于正方形 ABCD 的面积与长方
形 AGMH 的面积之和，即 2 17 11 3s s ，得 50s ，所以正方形 ABCD 的面积为 50 17 67 ．
【答案】67
【例 51】如图，长方形 ABCD 中， 67AB ， 30BC ．E 、F 分别是 AB BC、 边上的两点， 49BE BF ．那
么，三角形 DEF 面积的最小值是 ．
A
B
C
D
E
F
M
N
O
A
B
C
D
E
F
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛
【解析】由于长方形 ABCD 的面积是一定的，要使三角形 DEF 面积最小，就必须使 ADE 、 BEF 、 CDF
的面积之和最大．
由于 ADE 、 BEF 、 CDF 都是直角三角形，可以分别过 E 、 F 作 AD 、CD 的平行线，可构成三
个矩形 ADME 、 CDNF 和 BEOF ，如图所示．
容易知道这三个矩形的面积之和等于 ADE 、 BEF 、 CDF 的面积之和的2倍，而这三个矩形的面
积之和又等于长方形 ABCD 的面积加上长方形 MDNO 的面积．所以为使 ADE 、 BEF 、 CDF 的
面积之和最大，只需使长方形 MDNO 的面积最大．
长方形 MDNO 的面积等于其长与宽的积，而其长 DM AE ，宽 DN CF ，由题知
67 30 49 48AE CF AB BC BE BF ，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所
以当 AE 与 CF 的差为0，即 AE 与 CF 相等时它们的积最大，此时长方形 MDNO 的面积也最大，所以
此时三角形 DEF 面积最小．
当 AE 与 CF 相等时， 48 2 24AE CF ，此时三角形 DEF 的面积为：
67 30 67 30 24 24 2 717 ．(也可根据 167 30 67 24 30 24 43 6 7172
得到三角
形 DEF 的面积)
【答案】717
【例 52】 ABCD 是边长为 12 的正方形，如图所示， P 是内部任意一点， 4BL DM 、 5BK DN ，那
么阴影部分的面积是 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】资优杯
【解析】（法 1）特殊点法．由于 P 是内部任意一点，不妨设 P 点与 A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是
AMN 和 ALK ．而 AMN 的面积为 (12 5) 4 2 14 ， ALK 的面积为 (12 4) 5 2 20 ，所以
阴影部分的面积为14 20 34 ．
（法 2）寻找可以利用的条件，连接 AP 、 BP 、CP 、 DP 可得右上图所示：
则有: 21 1 12 722 2PDC PAB ABCDS S S
同理可得： 72PAD PBCS S ;
而 : : 4:12 1:3PDM PDCS S DM DC ,即 1
3PDM PDCS S ；
同理： 1
3PBL PABS S , 5
12PND PDAS S , 5
12PBK PBCS S ;
所以： 1 5( ) ( ) ( ) ( )3 12PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBCS S S S S S S S
而 ( ) ( ) ( ) ( )PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLKS S S S S S S S
阴影面积
；
1 4 5 102DNM BLKS S ；
所以阴影部分的面积是：
1 5( ) ( ) ( )3 12PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLKS S S S S S S S
即为： 1 572 72 10 2 24 30 20 343 12
．
【答案】34
【例 53】如图所示，在四边形 ABCD 中， E ， F ，G ， H 分别是 ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形
PQRS 的面积之比．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】 (法 1)设 1AEDS S ， 2BGCS S ， 3ABFS S ， 4DHCS S ．
连接 BD 知 1
1
2 ABDS S ， 1
1
2 ABDS S ， 1
1
2 ABDS S ， 2
1
2 BCDS S ；
所以 1 2
1 1
2 2ABD BCD ABCDS S S S S ；
同理 3 4
1
2 ABCDS S S ．于是 1 2 3 4 ABCDS S S S S ；
注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形 PQRS ；因此四块阴影
的面积和就等于四边形 PQRS 的面积．
(法 2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．
【答案】1:1
【巩固】如图， E 、 F 、G 、 H 分别是四边形 ABCD 各边的中点， FG 与 FH 交于点 O ， 1S 、 2S 、 3S 及 4S
分别表示四个小四边形的面积．试比较 1 3S S 与 2 4S S 的大小．
O
S
4
S
3
S
2
S
1
H
G
F
E
D
C
B
A
O
S
4
S
3
S
2
S
1
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】希望杯，二试，六年级
【解析】如右图，连接 AO 、 BO 、CO 、 DO ，则可判断出，每条边与O 点所构成的三角形都被分为面积相
等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于 1 3S S 、 2 4S S 这两个不同的组合，所以可知
1 3 2 4S S S S ．
【答案】相等
【例 54】如图，四边形 ABCD 中， : : 3: 2:1DE EF FC ， : : 3: 2:1BG GH AH ， : 1: 2AD BC ，已知四边
形 ABCD 的面积等于 4，则四边形 EFHG 的面积 ．
H
G
F
E
D
C
B
A
H
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】运用三角形面积与底和高的关系解题．
连接 AC 、 AE 、 GC 、 GE ，因为 : : 3: 2:1DE EF FC ， : : 3: 2:1BG GH AH ，所以，
在 ABC 中， 1
2BCG ABCS S ，
在 ACD 中， 1
2AED ACDS S ，
在 AEG 中， 1
2AEH HEGS S ，
在 CEG 中， 1
2CFG EFGS S ．
因为 1 1 1 1 22 2 2 2BCG AED ABC ACD ABC ACD ABCD BCGS S S S S S S S ，
所以 4 2 2AGCE ABCD BCG AEDS S S S ．
又因为 1 1
2 2AGCE AEH HEG CFG EFG HEG HEG EFG EFGS S S S S S S S S
3 3
2 2HEG EFG EFGHS S S ，
所以 3 42 2 3EFGHS ．
【答案】 4
3
【拓展】如图，对于任意四边形 ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形 EFGH ，求四边形
EFGH 的面积是四边形 ABCD 的几分之几？
K
J
P
O
N
M
H
G
A
B
C
D
E
F
【考点】三角形的等高模型 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】分层次来考虑：
⑴如下左图， 2
3BMD ABDS S ， 2
3BPD CBDS S ，
所以 2 2( ) 3 3MBPD ABD CBD ABCDS S S S ．
又因为 DOM POMS S ， MNP BNPS S ，
所以 1
2MNPO MBPDS S ；
1 2 1
2 3 3MNPO ABCD ABCDS S S ．
⑵如右上图，已知 1
3MJ BD ， 2
3OK BD ；所以 : 1: 2MJ BD ；
所以 : 1: 2ME EO ，即 E 是三等分点；
同理，可知 F 、 G 、 H 都是三等分点；
所以再次应用⑴的结论，可知， 1 1 1 1
3 3 3 9EFGH MNPO ABCD ABCDS S S S ．
【答案】 1
9
【例 55】有正三角形 ABC ，在边 AB 、 BC 、 CA 的正中间分别取点 L 、 M 、 N ，在边 AL 、 BM 、 CN 上
分别取点 P 、 Q 、 R ，使 LP MQ NR ，当 PM 和 RL 、 PM 和 QN 、 QN 和 RL 的相交点分别是
X 、Y 、Z 时，使 XY XL ．这时，三角形 XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几？请写出
思考过程．
A
B
C
N
M
Q
R
P
L
X
Y
Z
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】日本小学算数奥林匹克，决赛
【解析】连接 LN 、 NM 、 ML ，显然， LMN△ 是正三角形将 LMN△ 放大至如图⑵．
Z
Y
X
L
P
R
Q
M
N
C
B
A
L
M
N
R
X
Y
Z
图⑴ 图⑵
连 MZ ，由对称性知，YM YZ YX ZN ．因此， XYZ MYZ MNZS S S △ △ △ ．
同理， 2MNY LMX NLZ XYZS S S S △ △ △ △ ．
所以， 1 1 1 1
6 1 7 4 28XYZ MNL ABC ABCS S S S △ △ △ △ ．
【答案】 1
28
【例 56】如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的 2
3
，其中 F 是 BC 边上任意一点，三角形 AME 、三角
形 BMF 、三角形 NFC 的面积分别为14 、 20 、12 ．求三角形 NDE 的面积．
C
D
N
F
E
M
B
A
h
C
D
N
F
E
M
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】如图，设上底为 2a ，下底为 3a ，三角形 ABE 与三角形 ABF 的高相差为 h ．
由于 20 14 6ABF ABE BMF AMES S S S ，所以 1 2 62 ah ．即 6ah ．
又 1 13 3 6 92 2CDE CDF DEN CFNS S S S ah ，所以 12 9 21DENS ．
【答案】21
【例 57】如图，已知 ABCD 是梯形，AD ∥ BC ， : 1: 2AD BC ， : 1:3AOF DOES S ， 224cmBEFS ，求 AOF
的面积．
O
F
D
E
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】5 星 【题型】解答
【解析】本题是 09 年 EMC 六年级试题，初看之下， ABCD 是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四
边形 ADEF 内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为
E 、 F 这两个点的位置不明确．再看题目中的条件， : 1:3AOF DOES S ， 224cmBEFS ，这两个条
件中的前一个可以根据差不变原理转化成 ADE 与 ADF 的面积差， BEF 则是 BCF 与 BCE 的
面积差，两者都涉及到 E 、 F 以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过 E 、 F 分别作梯形底边
的平行线．
如右图，分别过 E 、 F 作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为 h ．再过 B 作 AD 的垂
线．
由于 : 1:3AOF DOES S ，所以 3DOE AOFS S ，故 2DOE AOF AOFS S S ．根据差不变原理，这个差等
于 ADE 与 ADF 的面积之差．而 ADE 与 ADF 有一条公共的底边 AD ，两个三角形 AD 边上的高
相差为 h ，所以它们的面积差为 1
2 AD h ，故 12 2AOFS AD h ．
再看 BEF ，它的面积等于是 BCF 与 BCE 的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边 BC ，
BC 边上的高也相差 h ，所以这两个三角形的面积之差为 1
2 BC h ，故 1
2BEFS BC h ．
由于 : 1: 2AD BC ，所以 2BC AD ，则 1 1 2 42 2BEF AOFS BC h AD h S ，
所以 24 6cmAOF BEFS S ．
【答案】6
【例 58】如图， ABCD 是一个四边形，M 、 N 分别是 AB 、CD 的中点．如果 ASM 、 MTB 与 DSN 的面
积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为 ．
M
N
T
S
D
C
B
A
M
N
T
S
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，决赛，高年级组
【解析】连接 MN 、 AC 、 BD ．
由于 M 是 AB 的中点，所以 AMN 与 BMN 的面积相等，而 MTB 比 ASM 的面积大 1，所以 MSN
比 MTN 的面积大 1；又由于 N 是CD 的中点，所以 DMN 的面积与 CMN 的面积相等，那么 CTN
的面积比 DSN 的面积大 1，所以 CTN 的面积为 9．
假设 MTN 的面积为 a ，则 MSN 的面积为 1a ．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知 ASD 的
面积为 48
1a
， BTC 的面积为 63
a
．
要使这两个三角形的面积为整数， a 可以为 1，3 或 7．
由于 ADM 的面积为 ABD 面积的一半， BCN 的面积为 BCD 面积的一半，所以 ADM 与 BCN
的面积之和为四边形 ABCD 面积的一半，所以 ADM 与 BCN 的面积之和等于四边形 BMDN 的面
积，即：
48 636 9 7 1 81 a aa a
，得 48 63 2 11 aa a
．
将 1a 、3、7 分别代入检验，只有 7a 时等式成立，所以 MTN 的面积为 7， MSN 、 ASD 、 BTC
的面积分别为 8、6、9．
四边形 ABCD 的面积为 6 7 8 9 2 60 ．
小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．
【答案】60
【例 59】直角边长分别为 18 厘米,10 厘米的直角△ABC 和直角边长分别为 14 厘米,4 厘米的直角△ADE 如
图摆放．M 为 AE 的中点，则△ACM 的面积为 平方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，高年级，复试，6 题
【解析】S△ACE＝S△ABC＋S△ABE－S△CBE＝18×10÷2＋18×4÷2－10×4÷2＝106(平方厘米),所以，S△ACM＝S△ACE÷2＝
106÷2＝53(平方厘米)
【答案】53
【例 60】如右图，过平行四边形 ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若 PAC 的面积为 6，求平行
四边形 PGDF 的面积比平行四边形 PEBH 的面积大 ．
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，5 年级，第 12 题
【解析】三角形 APG 的面积与三角形 AEP 的面积相等
三角形 PCF 的面积与三角形 PHC 的面积相等
求四边形 DGPF 的面积与 PEBH 的面积的差
根据差不变，将三角形分别补给两个四边形
即求凸四边形 APCD 与凹四边形 APCB 的面积差
差为阴影部分的两倍，也就是 12.
【答案】12
【例 61】如图，平行四边形 ABCD 与平行四边形 EFCG 是两个形状一模一样的平行四边形，点 G、D、都在
线段 AE 上，三角形 BEF 的面积是 2，那么三角形 ABD 的面积是____.
G
F
E
D
C
B
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，5 年级，第 2 题
【解析】三角形 BCD 的面积等于三角形 ABD 的面积，因为平行四边形 ABCD 与平行四边形 EFCG 是两个形
状一模一样的平行四边形，所以 BC=CF 那么三角形 BCD 的面积等于三角形 BEF 的一半，所以三
角形 BCD 的面积等于 1。
【答案】1
【例 62】如图长方形 ABCD，AB = 24，BC = 18，把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 边也对折到
AC 上与 AC 重合，请问得到的新图形的面积是多少？
H
G
F
B
D
C
A
E
B
C
D
A
【考点】三角形的等高模型 【难度】4 星 【题型】解答
【关键词】学而思杯，5 年级，第 14 题
【解析】如图，把 AB 对折到 AC 上与 AC 重合，把 AD 对折到 AC 上与 AC 重合，得到四边形 AECF，由勾
股定理， AC=30 ，设 BE EG x ，
ABC BAE AECS S S ，所以 24 18 2 24 2 30 2x x ，那么 8x ，
设 FH DF y ， ADC ADF AFCS S S ，所以 24 18 2 18 2 30 2y y ，
那么 9y ， 30 (8 9) 2 255AECF AEC AFCS S S
【答案】255
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