小学奥数5-4-2 约数与倍数（二）.教师版

5-4-2.约数与倍数（二） 教学目标 1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...  ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构， 而且表达形式唯一” 知识点拨 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以 (231,252) 3 7 21   ； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 (12,18) 2 3 6   ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2 315   ； 600 315 1 285   ； 315 285 1 30   ； 285 30 9 15   ； 30 15 2 0   ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最 大公约数 b； b a 即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系 （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： 231 3 7 11   ， 2 2252 2 3 7   ，所以  2 2231,252 2 3 7 11 2772     ； ②短除法求最小公倍数； 例如： 218 12 3 9 6 3 2 ，所以 18,12 2 3 3 2 36     ； ③[ , ] ( , ) a ba b a b  ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a ；求出各个分数分母的最大公约数 b ；b a 即 为所求．例如： 3 5 [3,5] 15[ , ]4 12 (4,12) 4   注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：     1,41 4, 42 3 2,3       4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 m 为 A 、B 的最大公约数，且 A ma ，B mb ，那么 a b、 互质，所以 A 、B 的最小公倍数为 mab ， 所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① A B ma mb m mab     ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 A 、 B 、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ( , ) [ , ]a b a b a b   ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如：5 6 7 210   ，210 就是 567 的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如： 6 7 8 336   ，而 6,7,8 的最小公倍数为336 2 168  性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 3 22 5 7  ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： 3 321000 2 3 5 7    ，所以 21000 所有约数的和为 2 3 2 3(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880         此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。 例题精讲 模块一、倍数 【例 1】 N 为自然数，且 1N  ， 2N  、……、 9N  与 690 都有大于 l 的公约数． N 的最小值为多少？ 【考点】倍数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，六年级，初赛，第 8 题 【解析】【解析】 690 2 3 5 23    ，连续 9 个数中，最多有 5 个是 2 的倍数，也有可能有 4 个是 2 的倍数． 如果有 5 个连续奇数，这 5 个连续奇数中最多有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，所 以必然有一个数不是 2、3、5、23 的倍数，即与 690 没有大于 l 的公约数． 所以 9 个数中有 5 个偶数，则 1N  、 3N  、 5N  、 7N  、 9N  是偶数，剩下的 4 个奇数中， 有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数．可知 4 个奇数中 2N  、 8N  是 3 的倍数，还有 4N  、 6N  一个是 5 的倍数，一个是 23 的倍数，那么这两个数最小只能为 23 和 25，故 4 23N   ，得 19N  ．故 N 的最小值为 19． 【答案】19 模块二、公倍数与最小公倍数综合 【例 2】 有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃．中午 12 点整，电子钟响铃又亮灯．问： 下一次既响铃又亮灯是几点钟？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，试题，第 10 题 【解析】因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了．从中午 12 点起，每 9 分钟亮一 次灯，要过多少个 9 分钟才到整点呢？由于 1 小时＝60 分钟，这个问题换句话说就是：9 分钟的多 少倍是 60 分钟的整数倍呢？即求 9 分和 60 最小公倍数．9 和 60 的最小公倍数是 180．这就是说， 从正午起过 180 分钟，也就是 3 小时，电子钟会再次既响铃又亮灯． 答：下一次既响铃又亮灯时是下午 3 点钟． 【答案】 3点钟 【例 3】 甲、乙两人同时从 A 点背向出发，沿 400 米的环形跑道行走，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 50 米，两人至少经过多长时间才能在 A 点相遇？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】甲、乙走一圈分别需要 5 分钟和 8 分钟，因此他们要是在 A 点再次相遇，两人都要走整圈数，所以 所需的时间应是 5 和 8 的最小公倍数 40 分钟． 【答案】40 分钟 【例 4】 动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得 12 粒；如只分给第二群， 则每只猴子可得 15 粒；如只分给第三群，则每只猴子可得 20 粒．那么平均给三群猴子，每只可得 多少粒？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】依题意得: 花生总粒数 12  第一群猴子只数 15  第二群猴子只数 20  第三群猴子只数,由此可 知，花生总粒数是 12，15，20 的公倍数，其最小公倍数是 60．花生总粒数是 60，120，180，…,那 么：第一群猴子只数是 5，10，15，… ；第二群猴子只数是 4，8，12，… ；第三群猴子只数是 3， 6，9，… ；所以，三群猴子的总只数是 12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得 花生粒数总是 5 粒． 【答案】5 粒 【巩固】【巩固】加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件,第二道工序每名工 人每小时可完成 10 个零件,第三道工序每名工人每小时可完成 15 个零件.要使加工生产均衡,三道工 序最少共需要多少名工人?（假设这三道工序可以同时进行） 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】为了使生产均衡,则三道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有 a 、 b 、 c 个工人,有 6 10 15a b c k   ,那么 k 的最小值为 6,10,15 的最小公倍数,即 6,10,15 30 ．所以 5a  , 3b  , 2c  ,则三道工序最少共需要 5 3 2 10   名工人． 【答案】10 名工人 【例 5】 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成 10 等份，第二种刻度线把木棍分成 12 等份，第三种刻度线把木棍分成 15 等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】从题目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大 1；而锯的次数并不一定是三种刻度线的总和， 因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次．所以本题的关键在于计算出有多少两种刻度 线或者三种刻度线重叠在一起的位置．把木棍看成是 10、12、15 的最小公倍数个单位，那么每个等 分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用求公倍数的个 数的方法计算出重合的刻度线的条数．  10,12,15 60 ，先把木棍 60 等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占 6 个 单位，第二种占 5 个单位，第三种占 4 个单位，分点共有 9 11 14 34   (个)．  5,6 30 ，故在 30 单位处二种刻度重合 1 次； 4,5 20 ，故在 20、40 单位处二种刻度重合 2 次；  4,6 12 ，故在 12、24、36、48 单位处二种刻度重合 4 次； 4,5,6 60 ，所以没有三种刻度线重 叠在一起的位置．所以共有不重合刻度 34 1 2 4 27    个．从而分成 28 段． 【答案】28 段 【例 6】 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小 明每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下 60 个脚印．求圆形花圃的周长． 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次脚 印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为 54,72 216 厘米．在 216 厘米里，两 人留下的脚印数分别是： 216 54 4  (个)， 216 72 3  (个),由于两人有 1 个脚印重合，所以实际 上只有 4 3 1 6   (个)脚印．60 6 10  ，即走完全程共重合 10 次，因此，花圃周长为：216 10 2160  (厘米). 【答案】2160 【例 7】 一些士兵排成一列横队，第一次从左到右 1 至 4 报数，第二次从右到左 1 至 6 报数。两次都报 3 的恰有 5 名，这列士兵最多有 名。 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 7 题，10 分 【解析】 [4，6]=12，所以每 12 名报名情况重复一次.12 为一个周期，我们先来看看 12 名士兵报数的情况： 1、2、3、4、1、2、3、4、1、2、3、4 6、5、4、3、2、1、6、5、4、3、2、1 如果不经过移动，那么两组数就不会出现在同一个位置同时出现 3 的情况！ 要使同一个位置同时出现 3，那么我们可以移动第二行全部的数，移动的情况有： 第二行的数全部往后移动 3 个单位或者 7 个单位；第二行的数全部往前移动一个单位、3 个单位或者 6 个单位而无论何种移动，每一个周期内同时出现 3 的情况只有 1 种，即每相邻的 12 人中只会有一 个人同时报 3 那么要使人数最多，就需移动的单位尽可能的多因此我们选移动 7 个单位的一种情况， 那么士兵就最多可以有 12 5+7=67 人 【答案】 67 人 【例 8】 有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 120 米，丙每分钟走 70 米．已知操场跑道周长为 400 米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以 首次相聚？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是 400 米的倍数，甲和乙每分钟差 120 80 40  (米)，则需要 400 40 10  分钟乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走 120 70 50  (米)，则需要 400 50 8  分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走 80 70 10  (米)，则需要 400 10 40  分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间则为 10，8，40 的公倍数．因为 10,8,40 40 ，所以三人相聚需要过 40 分钟，即 40 分钟后，三个 人可 以首次相聚． 【答案】40 分钟 【例 9】 如图，A、B、C 是三个顺次咬和的齿轮，当 A 转 4 圈时，B 恰好转 3 圈：当 B 转 4 圈时，C 恰好 转 5 圈，则 A、B、C 的齿数的最小数分别是多少？ C B A 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】第四届，IMC，六年级，复赛 【解析】【解析】当 A 转 4 圈时，B 恰好转 3 圈，则 A、B 齿数的比值为 3: 4 ，同理，B、C 的齿数比值为5: 4 。所以 A、B、C 齿数比值为 3 5: 4 5: 4 4 15: 20:16    ，所以此时 A 齿数至少为 15，B 的齿数至少是 20， C 齿数至少是 16。 【答案】A 齿数至少为 15，B 的齿数至少是 20，C 齿数至少是 16。 【例 10】有一对紧贴的传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线（如下图）．主动轮的半径是 105 厘米，从动轮的半径是 90 厘米．开始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上．问：主动轮至 少转了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第 8 题 【解析】105 与 90 的最小公倍数是 630．630÷105＝6，所以主动轮转了 6 个半圈，即转了 3 转，两轮的标志 线又在一条直线上 【答案】 3转 【例 11】一次考试，参加的学生中有 1 7 得优， 1 3 得良， 1 2 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满 50 人，那么得差的学生有多少人？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】13 中，入学试题 【解析】【解析】由题意“参加的学生中有 1 7 得优， 1 3 得良， 1 2 得中”，可知参加考试的学生人数是 7，3，2 的倍数， 因为 7，2，3 的最小公倍数为 42，42 2 84 50   ，所以参加的学生总数为 42 人．那么得差的学生 有： 1 1 142 (1 ) 17 3 2      人． 【答案】1 【巩固】【巩固】一次考试，参加的学生中有 1 7 得优， 1 4 得良， 1 3 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满 100 人，那么得差的学生有多少人？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】由题意“参加的学生中有 1 7 得优， 1 4 得良， 1 3 得中”，可知参加考试的学生人数是 7，4，3 的倍数， 因为 74，3 的最小公倍数为 84(小于 100 人)，所以参加的学生总数为 84 人．那么得差的学生有： 84 12 21 28 23    人． 【答案】23 【例 12】3 条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向 跑步.开始时，3 人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长 1 5 千米，中圈跑道长 1 4 千米，外圈跑道长 3 8 千 米.甲每小时跑 13 2 千米，乙每小时跑 4 千米，丙每小时跑 5 千米.问他们同时出发，几小时后，3 人 第一次同时回到出发点? 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】甲跑完一圈需 1 1 235 2 35   小时，乙跑一圈需 1 144 16   小时，丙跑一圈需 3 358 40   小时，他们同时 回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为 2 35 ， 1 16 ， 3 40 的倍数，即为它们的公倍数．而     2,1,32 1 3 6, , 635 16 40 35,16,40 1        .所以，6 小时后，3 人第一次同时回到出发点. 【答案】6 小时 【例 13】两个自然数 a，b 的最小公倍数等于 50，问 a＋b 有多少种可能的数值? 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，团体决赛，口试题，第 4 题， 10 分 【解析】因为：50=2×5 ，a，b 是 50 的约数，它们只能取 1，2，5，10，25，50。不妨设 a≥b，当取 a＝50 时，b＝1，2，5，10，25，50；当取 a＝25 时，b＝2，10 所以，a＋b 共有 8 种可能的不同数值。 两个自然数 a，b 的最小公倍数等于 50，当 a≥b 时，a＋b 取不同数值可列表如下： 共有 8种值 【答案】 8 【例 14】已知 a,b,c 是三个自然数，且 a 与 b 的最小公倍数是 60，a 与 c 的最小公倍数是 270。求 b 与 c 的 最小公倍数。 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，10 分，第二大题，第 3 题 【解析】 如果 b 不是 22 的倍数，因为  2a,b 2 3 5   ，则 a 一定是 22 的倍数。由此可知 a,c 一定是 22 的倍 数，但是  a,c 22 3 5   不是 22 的倍数。所以 b 是 22 的倍数。同理可得 c 是 33 的倍数，所以   2 3b,c 2 3  整除。 因为 a,b 60 ， a,c 270 ，所以 60 是 b 的倍数，270 是 c 的倍数，所以 b，c 的最小公倍数 b,c 是  60,270 的约数。因为 60,270 22 3 5   ，所以 b,c 22 3 5   ＝540，或 b,c 22 3  ＝108. 当 a＝1，b＝60，c＝270 时， a,c 60 ， a,c 270 ， b,c 540 ； 当 a＝5，b＝12，c＝54 时， a,c 60 ， a,c 270 ， b,c 108 ； 【答案】 540 或108 【例 15】甲、乙两数的最小公倍数是 90，乙、丙两数的最小公倍数是 105，甲、丙两数的最小公倍数是 126， 那么甲数是多少? 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】对 90 分解质因数: 290 2 3 5   . 因为 126 是甲的倍数，又 126 不是 5 的倍数，所以甲中不含因数 5． 如果乙也不含因数 5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数 5，但 90 是 5 的倍数，所以乙含有因数 5． 因为 105 不是 2 的倍数，所以乙也不是 2 的倍数，即乙中不含因数 2，于是甲必含有因数 2． 因为 105 不是 9 的倍数，所以乙也不是 9 的倍数，即乙最多含有 1 个因数 3．由于甲、乙两数的最小 公倍数是 90，90 中含有 2 个因数 3，所以甲必含有 2 个因数 3，那么甲 22 3 18   ． 总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个 数的最大值．如 3 22 3 5 7a     ， 3 22 3 5 7 11b      ，则 A 、 B 的最小公倍数含有质因子 2，3， 5，7，11，并且它们的个数为 a 、 b 中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有 3 个，3 个，2 个，1 个，1 个，故 3 3 2[ , ] 2 3 5 7 11a b      ． 【答案】18 【例 16】a>b>c 是 3 个整数.a,b,c 的最大公约数是 15；a,b 的最大公约数是 75；a,b 的最小公倍数是 450；b,c 的最小公倍数是 1050.那么 c 是多少? 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】由 (a,b)=75=3× 25 ,[a,b]=450= 23 ×2× 25 =75×3×2, 又 a ﹥ b 所 以 450 75 a b    或 225 150 a b    [b,c]=1050=2×3× 25 ×7.当 450 75 a b    时有         450,75, 75, 15 , 75, 1050 c c b c c      ，因为两个数的最大公约数与 最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得 c=210,但是 c>b,不满足； 当 225 150 a b    时，有         225150, 75, 15 , 150, 1050 c c b c c      ， ,则 c=105,c﹤b,满足,即 225 150 105 a b c      为满足条件的唯一解．那 么 c 是 105. 【答案】105 【例 17】如图，鼹鼠和老鼠分别从长 157 米的小路两端 A、B 开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完 后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖 多少个洞？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 16 题，6 分 【解析】【解析】因为 157 除以 5 的余数是 2，可得下图 B A 单位：米 老鼠 鼹鼠 157 12 9 7 6 3 2 0 由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离 A 点 12 米处．因为[3，5] 15 ， 157 12 15 145 15 9 10     （ ） ，所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有 9 1 10  (个)． 【答案】10 个 【例 18】如图，在长 500 米、宽 300 米的长方形广场的外围，每隔 2.5 米摆放一盆花，现要改为每隔 2 米摆 放一盆花，并且广场的 4 个顶点处的花盆不动，则需增加___盆花；在重新摆放花盆时，共有___ 盆花不用挪动。 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，5 年级，2 试，第 3 题 【解析】封闭图形上的植树问题，棵树与间隔数相等。由于周长为 (500 300) 2 1600   米，从而原先的摆了 1600 2.5 640  盆，后来摆了1600 2 800  盆，需要增加800 640 160  盆。2 与 2.5 的最小公倍 数为 10，因此不需要移动的有1600 10 160  盆。 【答案】160 盆 【例 19】有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔 2 人发一个苹果；从右面第一人开始每隔 4 人发一 个桔子，结果有 10 个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？ 【考点】公倍数与最小公倍数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】苹果每 3 人发 1 个，桔子每 5 人发 1 个.因为 3,5 15 ，所以苹果和桔子都拿到的 10 个小朋友之间 包括这 10 个小朋友，共有15 (10 1) 1 136    (人).在他们的左边最多有 4 个小朋友拿到苹果，所以 左边最多还有 3 4 12  (人)；右边最多有 2 个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有 5 2 10  (人). 所以最多有：136 12 10 158   (人). 【答案】158 人