5-5-4.中国剩余定理
及余数性质拓展
教学目标
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理
2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用
知识点拨
一、中国剩余定理——中国古代趣题
（1）趣题一
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，
七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列余
1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每 5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则
兵有多少？
首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最小
公倍数为这些数的积），然后再加 3，得 9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说
上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国
剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，
五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”
这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder
Theorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：
三人同行七十稀，是说除以 3 所得的余数用 70 乘．
五树梅花廿一枝，是说除以 5 所得的余数用 21 乘．
七子团圆正月半，是说除以 7 所得的余数用 15 乘．
除百零五便得知，是说把上面乘得的 3 个积加起来，减去 105 的倍数，减得差就是所求的数．
此题的中国剩余定理的解法是：用 70 乘 3 除所得的余数，21 乘 5 除所得的余数，15 乘 7 除所得的
余数，把这 3 个结果加起来，如果它大于 105，则减去 105，所得的差如果仍比 105 大，则继续减去 105，
最后所得的整数就是所求．也就是 2 70 3 21 2 15 233 ， 233 105 128 ，128 105 23
为什么 70，21，15，105 有此神奇效用？70，21，15，105 是从何而来？
先看 70，21，15，105 的性质：70 被 3 除余 1，被 5，7 整除，所以 70a 是一个被 3 除余 a 而被 5 与
7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c
是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说，70 21 15a b c 是被 3 除余
a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．
了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．
二、核心思想和方法
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》
中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以 3，5，7 后，得到三个余数分别为 2，3，2.那么我们首先构
造一个数字，使得这个数字除以 3 余 1，并且还是 5 和 7 的公倍数。
先由 5 7 35 ，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看 35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就继续看 5 和 7 的
“下一个”倍数 35 2 70 是否可以，很显然 70 除以 3 余 1
类似的，我们再构造一个除以 5 余 1，同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显然 21 可以符合要求。
最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3，5 公倍数的数字，45 符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：
2 70 3 21 2 45 [3,5,7] 233 [3,5,7]k k ，其中 k 是自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求
的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算 2 70 3 21 2 45 2 [3,5,7] 23 得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的 23 加上[3,5,7]即可，即 23+105=128。
例题精讲
模块一、余数性质综合
【例 1】 一个数除以 3 的余数是 2，除以 5 的余数是 1，则这个数除以 15 的余数是 。
【考点】余数性质综合 【难度】1 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4 年级，初赛，8 题
【解析】除以 3 余 2 的数有：2、5、8、11、14
除以 5 余 1 的数有：1、6、11、16、21 观察得到符合条件的答案是 11
【答案】11
【例 2】 有一群猴子正要分 56 个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时．又窜来 4 只猴子。只好
重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子
___个。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 19 题，6 分
【解析】56 的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,
55 的约数有：1、5、11、55，
其中只有 11=7+4，所以原来有 7 只猴，后来有 11 只猴，每只猴子分到 55÷11=5 个.
【答案】 5
【巩固】【巩固】一群猴子分桃，桃子共有 56 个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了 4
只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到
个桃子。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 7 题，4 分
【解析】56 的因数有 1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有 4 和 8 相差 4，所以最后有猴子 8 只，每只猴
子分到 56÷8＝7 个桃子。
【答案】 7
【例 3】 一个小于 200 的数，它除以 11 余 8，除以 13 余 10，这个数是几？
【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于11 8=13 10=3 ，观察发现这个数加上 3 后就能
同时被 11 和 13 整除,所以[11、13]=143，所以这个数是 143-3=140。
【答案】140
【巩固】【巩固】不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人，其他人按 8 人一组围在外圈；另一
种是中间一组 8 人，其他人按 5 人一组围在外圈。问最多有多少名同学?
【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 10 题
【解析】此题实际是一个不足 100 的整数，减去 5 能被 8 整除，即除以 8 余 5，减去 8 能被 5 整除，即除以 5
余 3，求其最大值。13 除以 8 余 5，除以 5 余 3，8 和 5 的最小公倍数为 40，13＋2×40＝93，为满
足条件的整数，即最多有 93 名同学。
【答案】 93
【例 4】 5 年级 3 班同学上体育课，排成 3 行少 1 人，排成 4 行多 3 人，排成 5 行少 1 人，排成 6 排多 5 人，
问上体育课的同学最少____人。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】小数报，初赛
【解析】题意相当于：除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，这样我们根据总结知道都只能“凑
缺”，所以都缺 1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59 人。
【答案】 59
【巩固】【巩固】有一个自然数，除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，则这个数最小
是 。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 7 题，10 分
【解析】这个数加 1 能同时被 2，3，4，5，6 整除，而 [2，3，4，5，6]=60
所以这个数最小是 60－1=59。
【答案】 59
【巩固】【巩固】 n 除以 2 余1，除以 3余 2 ，除以 4 余 3，除以5 余 4 ， ，除以16 余15 。 n 最小为 。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 1 题，8 分
【解析】 n 加上1后变成1 16 的公倍数，所以 1n 最小为16 9 5 7 11 13 720720 ， n 最小为 720719 。
【答案】 720719
【巩固】【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若 1 人拿 3 个动物小玩具，则最后余下 2 个动物小玩具；
若 1 人拿 4 个动物小玩具，则最后余下 3 个动物小玩具；若 1 人拿 5 个动物小玩具，则最后余下 4
动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，3 年级，第 9 题
【解析】那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被 3,4,5 整除，能同时被 3,4,5 整除最小整数位 60 。所以这次
活动小朋友至少拿了 59 个玩具。
【答案】 59
【巩固】【巩固】小朋友们做游戏，若 3 人分成一组，则最后余下 2 人；若 4 人分成一组，则最后余下 3 人；若 5 人
分成一组，则最后余下 4 人。那么一起做游戏的小朋友至少有 人。
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 15 题，6 分
【解析】这个数除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除 3、4、5，
3×4×5=60，那么小朋友至少 59 人
【答案】 59
【例 5】 一个自然数被 7，8，9 除的余数分别是 1，2，3，并且三个商数的和是 570，求这个自然数．
【考点】余数性质综合 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】这个数被 7，8，9 除的余数分别是 1，2，3，所以这个数加上 6 后能被 7，8，9 整除，而 7,8,9 504 ，
所以这个数加上 6 后是 504 的倍数．由于这个数被 7，8，9 除的三个商数的和是 570，那么这个数
加上 6 后被被 7，8，9 除的三个商数的和是 570 1 1 1 573 ，而
504 9 504 8 504 7 7 8 7 9 8 9 191 ， 573 191 3 ，
所以这个数加上 6 等于 504 的 3 倍，这个数是 504 3 6 1506 ．
【答案】1506
【例 6】 数 119 很奇特：当被 2 除时，余数为 1；当被 3 除时，余数为 2；当被 4 除时，余数为 3；当被 5
除时，余数为 4；当被 6 除时，余数为 5．问：具有这种性质的三位数还有几个？
【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】[1，2，3，4，5，6] 60 ．三位数中 60 的倍数 15 个．所以，除了 119 外，还有15 1 14 （个）．
【答案】14
【巩固】【巩固】有一批图书总数在 1000 本以内，若按 24 本书包成一捆，则最后一捆差 2 本；若按 28 本书包成一捆，
最后一捆还是差 2 本书；若按 32 本包一捆，则最后一捆是 30 本．那么这批图书共有 本．
【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3 题
【解析】【解析】由题意可知，这批书如果再多 2 本，那么按 24 本， 28 本，32 本一捆全书时，都将恰好分成整数本.
所以这批书的本数加上 2 之后是 24 ， 28 ， 32 的公倍数，而[24,28,32] 672 ，所以这批书的本数是
672 2k ( k 是整数).由于这批书少于1000 本，所以 k 只能为1，这批书有 670 本.
【答案】 670 本
【例 7】 某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是 。
【考点】余数性质综合 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 5 题，6 分
【解析】除以 2 余 1，除以 4 余 1，除以 5 余 1 的最小的数减去 1 能被 2、4、5 整除，所以，所以这个数可以
表示为 20n+1,n 是自然数，所以 20n+1 中除以 3 余 2 的最小数是 41.
【答案】 41
【例 8】 一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？
【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是 5 3 7 1 8 ，这样我们可以把余数
都处理成 8，即一个数除以 5 余 3 相当于除以 5 余 8，除以 7 余 1 相当于除以 7 余 8，所以可以看成
这个数除以 5、7、9 的余数都是 8，那么它减去 8 之后是 5、7、9 的公倍数．而 5,7,9 315 ，所以
这个数最小为 315 8 323 ．
【答案】 323
【巩固】【巩固】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？
【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】法一：仔细分析可以发现 3 2 1 5 2 7 ，所以这个数可以看成被 3、5、11 除余 7，由于
3,5,11 165 ，所以这个数最小是165 7 172 ．
法二：事实上，如果没有“大于 10”这个条件，7 即可符合条件，所以只需要在 7 的基础上加上 3、5、
11 的最小公倍数，得到 172 即为所求的数．
【答案】172
【例 9】 a 是一个三位数.它的百位数字是 4， 9a 能被 7 整除， 7a 能被 9 整除，问 a 是多少？
【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】【解析】 9a 能被 7 整除，说明 9 7 2a a 能被 7 整除； 7a 能被 9 整除，说明 7 9 2a a 能被 9
整除； 7 9 63 ，则 63 2 61 符合上述两个条件.(因 63 2 61 ，则 a 可以写成这样的形式：
63 ? 61a ).又 a 是一个百位数字是 4 的三位数，估算知， 63 6 61 439a .
【答案】 439
【例 10】一个八位数，它被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 11 恰好整除，已知这个八位数的前 6 位是 257633，
那么它的后两位数字是__________。
【考点】余数性质综合 【难度】4 星 【题型】填空
【关键词】101 中学，入学测试
【解析】设后面这个两位数为 ab，前面数字和为 26 除以 3 余 2，所以补上的两位数数字和要除以 3 余 2。同
理要满足除以 4 余 2；八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求
a=b+2，所以满足条件的只有 86。
【答案】86
模块二、中国剩余定理
【例 11】“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将 1500 名将士与楚王大
将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军
骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵 3 人一排，结果多出 2 名；接着命令士兵 5 人一排，
结果多出 3 名；他又命令士兵 7 人一排，结果又多出 2 名．韩信马上向将士们宣布：我军有 1073
名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能
算出韩信有多少将士么？
【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【分析】也就是说：一个自然数在 1000 和 1100 之间，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求符合条件的
数．
方法一：先列出除以 3 余 2 的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26， ；
再列出除以 5 余 3 的数：3，8，13，18，23，28， ．
这两列数中，首先出现的公共数是 8． 3 与 5 的最小公倍数是 15．两个条件合并成一个就
是8 15 整数，列出这一串数是 8，23，38， ，再列出除以 7 余 2 的数 2，9，16，23，
30， ，就得出符合题目条件的最小数是 23．而[3，5，7] 105 ，我们就把题目转化为：
求1000 ~1100 之间被 105 除余 23 的数．韩信有105 10 23 1073 （个）将士．
方法二：我们先找出被 3 除余 2 的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，
44 ；
被 5 除余 3 的数：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，53，58 ；
被 7 除余 2 的数：2，9，16，23，32，37，44，51 ．
三个条件都符合的最小的数是 23，以后的是一次加上 3，5，7 的公倍数，直到加到 1000
和 1100 之间．结果是 23 105 10 1073 ．具体到实际的做题过程中时，从较大的除数开始
做会方便一些．
方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求 233 加上 105 的倍数在1000 ~1100 之间的数．通过
尝试可以求出这个数是 233 105 8 1073 ．
【答案】1073
【例 12】一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，问满足条件的最小自然数____.
【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空
【解析】方法一、根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：
3、5 的公倍数 3、7 的公倍数 5、7 的公倍数
15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
… … …
找出除以 7 余 4 的 除以 5 余 3 除以 3 余 2
可以找出分别是：60 63 35
可见 60+63+35=158 满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，
使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。
方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，
首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用 7 的倍数加 4，当 4 被加上两个 7 时得到 18，恰好
除以 5 余 3，此时符合后两个条件；
再依次用 7 和 5 的最小公倍数的倍数加 18，当 18 被加上 1 个 35 个，得到 53，检验符合三个条件．所
以所求的最小自然数就是 53.
【答案】 53
【例 13】一个自然数在 1000 和 1200 之间，且被 3 除余 1，被 5 除余 2，被 7 除余 3，求符合条件的数．
【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】方法 1：中国剩余定理
3、5 的公倍数 3、7 的公倍数 5、7 的公倍数
15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
… … …
找出除以 7 余 3 的 除以 5 余 2 除以 3 余 1
可以找出分别是：45 42 70
可见 45+42+70=157 满足我们的条件，但不是 1000 到 1200 之间的数，处理方法就是加上最小公倍数
的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：105 10 52 1102 。
方法 2：我们先找出被 3 除余 1 的数：
1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；
被 5 除余 2 的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；
被 7 除余 3 的数：3，10，17，24，31，38，45，52，…；
三个条件都符合的最小的数是 52，其后的是一次加上 3、5、7 的最小公倍数，直到加到 1000 和
1200 之间．结果是105 10 52 1102 ．
方法 3：先列出除以 3 余 1 的数：1，4，7，10，13，16，…；
再列出除以 5 余 2 的数：2，7，12，17，22，27，…；
这两列数中，首先出现的公共数是 7．3 与 5 的最小公倍数是 15．两个条件合并成一个就是
7 15 整数，列出这一串数是 7，22，37，52，…；再列出除以 7 余 3 的数：
3，10，17，24，31，38，45，52，…；就得出符合题目条件的最小数是 52．事实上，我
们已把题目中三个条件合并成一个：被 105 除余 52．那么这个数在 1000 和 1200 之间，应该是
105 10 52 1102 ．
方法 4：设这个自然数为 a ，被 3 除余 1，被 5 除余 2，可以理解为被 3 除余 3 2 1 ，被 5 除与5 2 ，
所以满足前面两个条件的 15 7a m ( m 为自然数)，只需15 7m 除以 7 余 3，即15m 除以 7 余 3，
而15 7 2 1 ，只需 m 除以 7 余 3，m 最小为 3，所以满足三个条件的最小自然数为3 15 7 52 ，
其后的是一次加上 3、5、7 的最小公倍数，直到加到 1000 和 1200 之间．结果是105 10 52 1102 ．
【答案】1102
【例 14】一个数除以 3、5、7、11 的余数分别是 2、3、4、5，求符合条件的最小的数．
【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】法一：将 3、5、7、11 这 4 个数 3 个 3 个一起分别计算公倍数，如表：
3、5、7 的公倍数中被 11 除余 5 的数不太好找，但注意到 210 除以 11 余 1，所以 210 5 1050
被 11 除余 5，由此可知 770 693 165 1050 2678 是符合条件的一个值，但不是最小值，还
需要减去 3、5、7、11 的公倍数使得它小于它们的最小公倍数．由于 3、5、7、11 的最小公
倍数是 1155，所以 2678 1155 2 368 是符合条件的最小值．
法二：对于这种题目，也可以先求满足其中 3 个余数条件的，比如先求满足除以 3、5、7 的余数分
别是 2、3、4 的，既可采用中国剩余定理，得到 70 2 21 3 15 4 263 是满足前 3 个余数
条件的，从而其中最小的是 263 105 2 53 ；由于 53 除以 11 的余数为 9，105 除以 11 的余
数为 6，可知9 6 3 27 除以 11 的余数为 5，所以53 105 3 368 是满足条件的最小数．也
可以直接观察发现这个数乘以 2 之后除以 3、5、7 的余数分别是 4、6、8，也就是除以 3、5、
7 的余数都是 1，所以满足前三个条件的数最小为 (3 5 7 1) 2 53 ，后面的步骤与上面的
解法相同．
【答案】 53
【例 15】有连续的三个自然数 a 、 1a 、 2a ，它们恰好分别是 9、8、7 的倍数，求这三个自然数中最小
的数至少是多少？
【考点】中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】法一：
由 1a 是 8 的倍数，得到 a 被 8 除余 7，由 2a 是 7 的倍数，得到 a 被 7 除余 5，现在相当于一个
数 a 除以 9 余 0，除以 8 余 7，除以 7 余 5.运用中国剩余定理求 a (用逐步满足的方法也可以)
7 和 8 的公倍数中除以 9 余 1 的最小为 280；7 和 9 的公倍数中除以 8 余 1 的最小是 441；8 和 9 的
公倍数中除以 7 余 1 的最小是 288，根据中国剩余定理，
280 0 441 7 288 5 4527 符合各个余数条件，但 4527 不是最小的，还需要减去 7、8、9 的公
倍数，可知 4527 7 8 9 8 495 是满足各个余数条件的最小值，所以 a 至少是 495．
法二：
仔细观察，可知由于 a 、 1a 、 2a 恰好分别是 9、8、7 的倍数，那么 9a 、 1 8a 、 2 7a 也
分别是 9、8、7 的倍数，即 9a 是 9、8、7 的公倍数，那么 9a 的最小值是 9 8 7 504 ，即 a 至
少是 504 9 495 ．
【答案】 495
模块三、余数性质的拓展应用——新中国剩余定理
【例 16】有一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，问这个数除以 12 余几？
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】，分班考试
【解析】方法一：除以 3 余 2 的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，…；
它们除以 12 的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，…；
除以 4 余 1 的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，…；
它们除以 12 的余数是：1，5，9，1，5，9，…；
一个数除以 12 的余数是唯一的．上面两行余数中，只有 5 是共同的，因此这个数除以 12 的余数是
5．
方法二：一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，可以理解为除以 3 余 3 2 ，除以 4 余 4 1 ，所以这个
数减去 5 后，既能被 3 整除，又能被 4 整除，设这个数为 a ，则 12 5a m ，(m 为自然数)所以这个
数除以 12 余 5
【答案】 5
【例 17】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向，
每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔．他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔．他
又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔．最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这
个圆圈上共有多少个孔吗?
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为 1，然后沿逆时针方向顺次编号
为 2，3，4，…，B 孔的编号就是圆圈上的孔数．
我们先看每隔 2 孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在 1，4，7，10，…上，也就是说，
小明跳到的孔上的编号是 3 的倍数加 1．按题意，小明最后跳到 B 孔，因此总孔数是 3 的倍数加 1．
同样道理，每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味着总孔数是 5 的倍数加 1；而每隔 6 孔跳一步最
后跳回到 A 孔，就意味着总孔数是 7 的倍数．
如果将孔数减 1，那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数，因而是 15 的倍数．这个 15 的倍数加上 1 就
等于孔数，设孔数为 a ，则 15 1a m （ m 为非零自然数）而且 a 能被 7 整除．注意 15 被 7 除余 1，
所以15 6 被 7 除余 6，15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除．我们还可以看出，15 的其他(小于的 7)倍数加
1 都不能被 7 整除，而15 7 105 已经大于 100．7 以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是
15 6 1 91 ．
【答案】 91
【例 18】三个连续三位数的和能够被 13 整除，且这三个数中最大的数被 9 除余 4，那么符合条件的三位数
中最小的数最大是 。
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级
【解析】设中间数是 a ，三个连续自然数的和是中间数的 3 倍即 3a ，由 13|3a 得 13|3a ，所以中间数能被 13 整除，
而其中最大的数被 9 除余 4，说明中间数被 9 除余 3，从 1000 往下试能被 13 整除的数为 988，975，…，
975 符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是 975-1=974.
【答案】 974
【例 19】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出
二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是 ．
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第 6 题，5 分
【解析】符合第一、第三条条件的最少人数为 3×7+1=22 人，经检验，22 也符合第二个条件，所以 22 也是符
合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为 22+3×5×7=127。
【答案】127
【例 20】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，
结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知
道你们年级原人数应该是（ ）人。
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】华杯赛决赛第 6 题，10 分
【解析】根据条件，该数除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 1，逐级满足法，令该数为 a，
则 a÷3….1 ①
a÷5….2 ②
a÷7….1 ③
符合条件①的有 1，4，7，10，13，16….
符合条件②的有 2，7，12….
同时满足①、②的最小值为 7，以后 a=7+15m 均满足①、②；
现在来看（7+15m）÷7….1，则 15m÷7…..1，则 m 最小取 1，符合，最小的符合的数为 a=22。
以后每隔 3,5,7 105 即符合。该年级有 100 多名学生，为 22+1-5=127。
【答案】127
【例 21】三个连续的自然数，从小到大依次是 4、7、9 的倍数，这三个自然数的和最小是 ．
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 3 题
【解析】本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被 4、7、9 整除的数的特征或
者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数
为基础，那么另外的两个数分别为这个数减 1 和这个数加 1，那么题目变为：一个数除以 4 余 1，除
以 9 余 8，且能被 7 整除，且这个数的最小可能值．这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，
也可以采用中国剩余定理来解．
方法一：逐步满足法．
除以 4 余 1 的数有：1，5，9，13，17，21， ；
除以 9 余 8 的数有：8，17，26， ．
可见同时满足这两条的数最小为 17，由于 4,9 36 ，
那么满足除以 4 余 1 且除以 9 余 8 的数有：17，53，89，125，161，197……
其中能被 7 整除的数最小为 161，所以所求的 3 个连续自然数的中间的那个数最小为 161，
那么它们的和最小为161 3 483 ．
方法二：代数表示法．
根据题意，设这三个数分别为 7 1k 、7k 、7 1k （ k 是整数），那么 7 1k 是 4 的倍数，7 1k
是 9 的倍数，由于 7 1 8 1k k k ， 7 1 9 2 1k k k ，所以 1k 是 4 的倍数，2 1k
是 9 的 倍 数 ， 由 1k 是 4 的 倍 数 知 2 2k 是 8 的 倍 数 ， 设 2 1 9k n ， 那 么
2 2 9 3 8 3k n n n ，所以 3n 是 8 的倍数， n 最小为 5，相应地 k 最小为 23，那么
这三个自然数的和最小为 7 23 3 483 ．
小结：本题并不难，以上四种解法中法 1、法 2 是同余问题的解法，尤其是法 2，是对中国
剩余定理的典型应用，需要学生掌握．而法 3、法 4 则是采用代数方法来解，法 3 的关键在
于列出方程后要将三个未知数中的两个都用另一个未知数来表示，再对这一个未知数进行
确定，法 4 则是采用代数变形和同余定理来逐步缩小可能的范围．可以看出，法 3 和法 4
中都有逐步满足的思想．
方法三：用不定方程来解．
设这三个数分别为 4a ， 7b ， 9c ，那么 7 4 1
9 7 1
b a
c b
⑴
⑵ ．
由⑴得 7 1 3 1
4 4
b ba b ，所以 3 1
4
b 是整数， b 为 3，7，11，15，19，23， ；
由⑵得 7 1 2 1
9 9
b bc b ，所以 2 1
9
b 是整数， b 为 5，14，23，32， ．
可见 b 最小为 23，那么所求的三个自然数的和最小为 7 23 3 483 ．
方法四：中国剩余定理．
一个数除以 4 余 1，除以 9 余 8，除以 7 余 0，由于能被 4、9 整除且除以 7 余 1 的数最小为
36，能被 4、7 整除且除以 9 余 1 的数最小为 28，能被 7、9 整除且除以 4 余 1 的数最小为
[7,9] 3 189 ，根据中国剩余定理，36 0 28 8 189 1 413 满足除以 4 余 1，除以 9 余
8，除以 7 余 0，而[4,7,9] 252 ，所以 413 252 161 是满足条件的最小数，那么所求的三
个自然数的和最小为161 3 483 ．
以上是采用余数问题的方法来解，本题也可以采用不定方程和数的代数表示法来解．
【答案】 483
【例 22】在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被 7 整除，最大的
能被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】先找出两个连续自然数，第一个被 3 整除，第二个被 7 整除．例如，找出 6 和 7，下一个连续自然
数是 8．3 和 7 的最小公倍数是 21，考虑 8 加上 21 的整数倍，使加得的数能被 13 整除．8 21 12 260 ，
能被 13 整除，那么 258，259，260 这三个连续自然数，依次分别能被 3，7，13 整除，又恰好在 200
至 300 之间．由于 3，7，13 的最小公倍数为 273，所以在 200 至 300 之间只有 258，259，260 这三
个数满足条件．
【答案】258，259，260
【例 23】有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的能被 19 整除，请写出
一组这样的三个连续自然数．
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】4 星 【题型】解答
【解析】设三个连续自然数中最小的一个为 n，则其余两个自然数分别为 1n ， 2n ．依题意可知：15| n ，
17 | 1n ， 19 | 2n ，根据整除的性质对这三个算式进行变换：
15| 15| 2 15| 2 15
17 | 1 17 | 2 2 17 | 2 15 [15,17,19]| 2 15
19 | 2 19 | 2 4 19 | 2 15
n n n
n n n n
n n n
从上面可以发现 2 15n 应为 15、17、
19 的公倍数．由于[15,17,19] 4845 ，所以 2 15 4845 2 1n k (因为 2 15n 是奇数)，
可得 4845 2415n k ．当 1k 时 2430n ， 1 2431n ， 2 2432n ，所以其中的一组自然数为
2430、2431、2432．
【答案】2430、2431、2432
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