小学奥数5-8-1 进制的计算.教师版

5-8-1.进制的计算 教学目标 1. 了解进制； 2. 会将十进制数转换成多进制； 3. 会将多进制转换成十进制； 4. 会多进制的混合计算； 5. 能够判断进制. 知识点拨 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 2.二进制： 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和 1。二进制的 计数单位分别是 1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为： (100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数 n,我们有 n0=1。 3. k 进制： 一般地，对于 k 进位制，每个数是由 0，1，2， ， 1k （ ）共 k 个数码组成，且“逢 k 进一”． 1k k （ ） 进位制计数单位是 0k ， 1k ， 2k ， ．如二进位制的计数单位是 02 ， 12 ， 22 ， ，八进位制的计数单位 是 08 ， 18 ， 28 ， ． 4. k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1 1 1 0 1 1 0 n n n n k n na a a a a k a k a k a          （ ） 十进制表示形式： 1 0 1 010 10 10n n n nN a a a     ； 二进制表示形式： 1 0 1 02 2 2n n n nN a a a     ； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上 k ，表示是 k 进位制的数 如： 8352（ ）， 21010（ ）， 123145（ ） ,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5. k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 一般地，十进制整数化为 k 进制数的方法是：除以 k 取余数，一直除到被除数小于 k 为止，余数由下到上 按从左到右顺序排列即为 k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将 k 进制数按 k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示: 十进制 二进制 十六进制 八进制 例题精讲 模块一、十进制化成多进制 【例【例 11】】把 9865 转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的。 【考点】十进制化成多进制 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】一定要强调两点（1）商到 0 为止，（2）自下而上的顺序写出来 10 2(9865) (10011010001001) 10 5(9865) (303430) 10 8(9865) (23211) 【答案】 10 2(9865) (10011010001001) , 10 5(9865) (303430) , 10 8(9865) (23211) 【巩固】【巩固】 8 5 2567 ( ( (     ）    ）    ）； 【考点】十进制化成多进制 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】本题是进制的直接转化： 8 5 2567 (1067 (4232 (1000110111  ） ） ）； 【答案】 8 5 2567 (1067 (4232 (1000110111  ） ） ） 模块二、多进制转化成十进制 【例【例 22】】将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？ 【考点】多进制转化成十进制 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法， (11010.11)2 =1×24+1×23+0×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。 【答案】26.75 【例【例 33】】同学们请将 2 5 8(11010101) ,(4203) ,(7236) 化为十进制数，看谁算的又快又准。 【考点】多进制转化成十进制 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】 7 6 5 4 3 2 1 0 2(11010101) 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 2                128 64 16 4 1     213 3 2 1 0 5(4203) 4 5 2 5 0 5 3 5        500 50 3 553    3 2 1 0 8(7236) 7 8 2 8 3 8 6 8        3584 128 24 6    3742 【答案】 213,553 ,3742 模块三、多进制转化成多进制 【例【例 44】】二进制数 10101011110011010101101 转化为 8 进制数是多少？ 【考点】多进制转化成多进制 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表： 八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111 从后往前取三合一进行求解，可以得知  210101011110011010101101  825363255 【答案】  825363255 【例【例 55】】将二进制数 11101001.1011 转换为十六进制数。 【考点】多进制转化成多进制 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】在转换为高于 9 进制的数时，遇到大于 9 的数用字母代替，如：A 代表 10、B 代表 11、C 代表 12、 D 代表 13……。根据取四合一法，二进制 11101001.1011 转换为十六进制为 E9.B。 【答案】E9.B 【例【例 66】】某数在三进制中为 12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几? 【考点】多进制转化成多进制 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】由于 32=9，所以由三进制化为 9 进制需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为 12，用位值 原理将其化为 1×31+2×30=5，所以化为 9 进制数后第一位为 5. 【答案】 5 模块四、多进制混合计算 【例【例 77】】① 2 2 2(101) (1011) (11011)   ________； ② 2 2 2 2(11000111 (10101 (11 (  ） ） ）    ）； ③ 8 8 8 8 8(63121) (1247) (16034) (26531) (1744)     ________； 【考点】多进制混合计算 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】① 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： 2 2 2 10 10 10 10 10(101) (1011) (11011) (5) (11) (27) (28) (11100)       ； ② 可转化成十进制来计算： 2 2 2 10 10 10 10 2(11000111 (10101 (11 (199) (21) (3) (192) (1100 0000      ） ） ） ）； 如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对 2 2(10101 (11） ）进行除法计算，只是每次借位都是 2， 可得 2 2 2 2 2 2(11000111 (10101 (11 (11000111 (111 (11000000    ） ） ） ） ） ）； ③十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方 法叫“凑整法”，在 n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整 n ． 原式 8 8 8 8 8(63121) [(1247) (26531) ] [(16034) (1744) ]     8 8 8 8(63121) (30000) (20000) (13121)    ； 【答案】(1)、 10(11100) ，（2）、 2(11000000），（3）、 8(13121) 【巩固】【巩固】①在八进制中，1234 456 322   ________； ②在九进制中，14438 3123 7120 11770 5766     ________． 【考点】多进制混合计算 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】①原式 1234 (456 322) 1234 1000 234      ； ②原式 14438 (3123 5766) (7120 11770) 14438 10000 2000 0 4438         ． 【答案】（1）、 234 ，（2）、 4438 【例【例 88】】计算 4 7 10(3021) (605) ( )       ； 【解析】【解析】本题涉及到 3 个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜： 3 2 4 7 10 10 103021) (605) (3 4 2 4 1) (6 7 5) (500)         ( 【答案】 10(500) 模块五、多进制的判断 【例【例 99】】 若 (1030) 140n  ，则 n  ________． 【考点】多进制的判断 【难度】5 星 【题型】填空 【解析】【解析】若 (1030) 140n  ，则 3 3 140n n  ，经试验可得 5n  ． 【答案】 5 【例【例 1010】】 在几进制中有 4 13 100  ？ 【考点】多进制的判断 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】【解析】利用尾数分析来解决这个问题： 由于 10 10 10(4) (3) (12)  ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将 12 全部进到上一位． 所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2 中的一个． 但是式子中出现了 4，所以 n 要比 4 大，不可能是 4，3，2 进制． 另外，由于 10 10 10(4) (13) (52)  ，因为52 100 ，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是知 道 10n  ，那么 n 不能是 12． 所以， n 只能是 6． 【答案】 6 【例【例 1111】】 在几进制中有125 125 16324  ？ 【考点】多进制的判断 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】【解析】注意 10 10 10(125) (125) (15625)  ，因为15625 16324 ，所以一定是不到 10 就已经进位，才能得到 16324，所以 10n  ． 再注意尾数分析， 10 10 10(5) (5) (25)  ，而 16324 的末位为 4，于是 25 4 21  进到上一位． 所以说进位制 n 为 21 的约数，又小于 10，也就是可能为 7 或 3． 因为出现了 6，所以 n 只能是 7． 【答案】 7 【巩固】【巩固】算式1534 25 43214  是几进制数的乘法？ 【考点】多进制的判断 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为 4 5 20  ，但是现在为 4，说明进走 20 4 16  ，所以进位制为 16 的约数，可能为 16、8、4 或 2． 因为原式中有数字 5，所以不可能为 4、2 进位，而在十进制中有1534 25 38350 43214   ，所以在 原式中不到 10 就有进位，即进位制小于 10，于是原式为 8 进制． 【答案】 8