小学奥数5-3-5 分解质因数（二）.教师版

5-3-4.分解质因数 教学目标 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...  ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构，而且 表达形式唯一” 知识点拨 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30 2 3 5   .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 212 2 2 3 2 3     ，2、3 都叫做 12 的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分 解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如： 212 2 6 3 ，（┖是短除法的符号） 所以12 2 2 3   ； 二、唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： 31 2 1 2 3 ka aa a kn p p p p     其中为质数， 1 2 ka a a   为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是 5、6 和 7. 三、部分特殊数的分解 111 3 37  ；1001 7 11 13   ；11111 41 271  ；10001 73 137  ；1995 3 5 7 19    ；1998 2 3 3 3 37     ； 2007 3 3 223   ； 2008 2 2 2 251    ；10101 3 7 13 37    . 例题精讲 模块一、分数的拆分 【例 1】 算式“ 1 希 ＋ 1 望 ＋ 1 杯 ＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 【考点】分数的拆分 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 19 题，6 分 【解析】三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即 是三分之一，那么剩下的只能是六分之一.希+望+杯=2+3+6=11 【答案】11 【例 2】 3个质数的倒数之和是 1661 1986 ，则这3个质数之和为多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】设这3个质数从小到大为 a 、b 、c ，它们的倒数分别为 1 a 、 1 b 、 1 c ，计算它们的和时需通分，且通 分后的分母为 a b c  ，求和得到的分数为 F abc ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a 、 b 、 c 或它们之间的积.现在和为 1661 1986 ，分母1986 2 3 331   ，所以一定是 2a  ， 3b  ， 331c  ， 检验满足.所以这3个质数的和为 2 3 331 336   ． 【答案】 2 3 331 336   【例 3】 一个分数，分母是 901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴ 分子和分母各加一个相同的 一位数；⑵ 分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后 是 7 13 ．那么原来分数的分子是多少． 【考点】分数的拆分 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】因为新分数约分后分母是13 ，而原分母为 901，由于 901 13 69 4   ，所以分母是加上 9 或者减 去 4 ．若是前者则原来分数分子为 7 70 9 481   ，但 481 13 37  ，不是质数；若是后者则原来分 数分子是 69 7 4 487   ，而 487 是质数．所以原来分数分子为 487 ． 【答案】 487 【例 4】 将 1 到 9 这 9 个数字在算式            1  的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并 且要求所填每一个括号内数字均为质数? 【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】填空 【解析】【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是 2，3，5，7.将原始代入字母分析有 1b d cb ad a c a c a c     ，即有 1cb ad  ，那么很容易发现只有 3×5-2×7=1。符合原式的填法为 3 2 1 7 5 35   。 【答案】 3 2 1 7 5 35   【例 5】 求满足条件 1 1 1 1001a b   的 a、b 的值(a、b 都是四位数)． 【考点】分数的拆分 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】取 1001 的两个不同约数 x、 ( )y x y ，得到： 1 1 1 1001 10011001 1001( ) 1001( ) 1001( ) ( ) ( ) x y x y x y x y x y x y x yx y          ，因为 x、y 都是 1001 的约 数，所以 1001 x 、 1001 y 都是整数．所以只需令 1001 x ya x  （ + ）， 1001 x yb y  （ + ）就可以了．而 a、b 都要大于 1001，要保证 a、b 都是四位数，所以 a、b 的比值都要小于 10，即 x、y 的比值小于 10．而 1001 的两个互质且比值小于 10 的约数有以下几组： 1,7（ ）、 7,11（ ）、 7,13（ ）、 11,13（ ）、 11,91（ ）、 13,77（ ）．所以我们依次取 x、y 为上面所列的数对中的数，代入 a、b 的表达式，得到本题的答案： 8008,2574,2860,2184,9282,6930 1144,1638,1540,1848,1122,1170 a b    【答案】 8008,2574,2860,2184,9282,6930 1144,1638,1540,1848,1122,1170 a b    【巩固】【巩固】若 1 1 1 2004 a b   ，其中 a、b 都是四位数，且 a