5-4-3.约数与倍数（三）
教学目标
1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。
2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，
例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系；
（2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ... ☆ ☆ ☆△ △ △ 的结构，
而且表达形式唯一”
知识点拨
一、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a能被整数 b整除，a叫做 b的倍数，b就叫做 a的约数；
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0被排除在约数与倍数之外
1． 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如： 231 3 7 11 ， 2 2252 2 3 7 ，所以 (231,252) 3 7 21 ；
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
218 12
3 9 6
3 2
，所以 (12,18) 2 3 6 ；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相
除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除
小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前
一个余数，直到余数是 0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原
来的两个数是互质的)．
例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2 315 ； 600 315 1 285 ； 315 285 1 30 ；
285 30 9 15 ； 30 15 2 0 ；所以 1515和 600的最大公约数是 15．
2． 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数 n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 n．
3． 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的最
大公约数 b； b
a
即为所求．
4． 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
二、倍数的概念与最小公倍数
(1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
(2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数
(3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数的方法；
例如： 231 3 7 11 ， 2 2252 2 3 7 ，所以 2 2231,252 2 3 7 11 2772 ；
②短除法求最小公倍数；
例如：
218 12
3 9 6
3 2
，所以 18,12 2 3 3 2 36 ；
③ [ , ]
( , )
a ba b
a b
．
2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．
②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．
③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．
3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 a；求出各个分数分母的最大公约数 b；b
a
即
为所求．例如：
3 5 [3,5] 15[ , ]
4 12 (4,12) 4
注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：
1,41 4, 4
2 3 2,3
4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系
（1）倍数是对一个数说的；
（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m为 A、B的最大公约数，且 A ma ，B mb ，那么 a b、 互质，所以 A、B的最小公倍数为mab，
所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
① A B ma mb m mab ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是 A、 B、 A B 、 A B 及最小公倍数的约数．
2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。
即 ( , ) [ , ]a b a b a b ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。
3． 对于任意 3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为
a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数
例如：5 6 7 210 ，210就是 567的最小公倍数
b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2倍
例如： 6 7 8 336 ，而 6,7,8的最小公倍数为336 2 168
性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几
个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
四、求约数个数与所有约数的和
1． 求任一整数约数的个数
一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为 3 22 5 7 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括 1和
1400本身)
约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过
的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌
握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有
多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。
2． 求任一整数的所有约数的和
一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1加至这个质因数的最
高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。
如： 3 321000 2 3 5 7 ，所以 21000所有约数的和为
2 3 2 3(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880
此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记
忆即可。
例题精讲
模块一、运用大公约和小公倍的模型解题
如果m为 A、 B的最大公约数，根据模型知道：
（1）且 A ma ， B mb
（2）那么 a b、 互质
（3）所以 A、 B的最大公约数为m，最小公倍数为mab
（4）最大公约数与最小公倍数的成绩为 A与 B的成绩
【例 1】 甲数是 36，甲、乙两数最大公约数是 4，最小公倍数是 288，那么乙数是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】法 1：根据两个自然数的积 两数的最大公约数两数的最小公倍数，有：甲数乙数 4 288 ，所
以，乙数 4 288 36 32 ；
法 2：因为甲、乙两数的最大公约数为 4，则甲数 4 9 ，设乙数 4 b ，则 ( ,9) 1b ．因为甲、乙
两数的最小公倍数是 288，则 288 4 9 b ，得 8b ．所以，乙数 4 8 32 ．
【答案】32
【巩固】已知 A、B 两数的最小公倍数是 180，最大公约数是 30，若 A=90，则 B= 。
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第 5题，5分
【解析】根据最小公倍数最大公约数 A B ，知道， 180 30 90 60B
【答案】 60
【例 2】 已知两个自然数的积为 240，最小公倍数为 60，求这两个数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】由于两个自然数的积 两数的最大公约数 两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是
240 60 4 ，设这两个数分别为 4a、4b，那么 ( , ) 1a b ，且 60 4 15a b ，所以 a和 b可以取 1
和 15 或 3和 5 ，所以这两个数是 4和 60 或 12和 20．
【答案】这两个数是 4和 60 或 12和 20
【例 3】 两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，试求这两个数的差．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设这两个自然数为：5a b、5 ，其中 a与 b互质，5 5 50a b ， 10a b ，经检验，容易得到两组符
合条件的数：9与 1 或者 7与 3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与 5，35与 15．它们的
差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是 40或者 20．
【答案】这两个数的差是 40或者 20
【巩固】两个自然数的和是 125，它们的最大公约数是 25，试求这两个数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】125 25 5 ， 5 1 4 2 3 ，两数可以为 25、100或者 50、75．
【答案】两数可以为 25、100或者 50、75
【例 4】 已知两数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126，求这两个数的和是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】假设这两个数是 21a 和 21b ，易得 21 126a b ，所以 6a b ，由 a 和 b 互质，那么就有
6 1 6 2 3 两种情况．所以甲、乙是： 21 1 21 ， 21 6 126 或 21 2 42 ， 21 3 63 两种情
况．它们的和是 147或 105．
【答案】和是 147或 105
【巩固】已知两个自然数的最大公约数为 4，最小公倍数为 120，求这两个数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120 4 30 ，
将 30分解成两个互质的数之积：1和 30，2和 15，3和 10，5和 6，所以这两个数为 4与 120，或 8
与 60，或 12与 40，或 20与 24．
【答案】两个数为 4与 120，或 8与 60，或 12与 40，或 20与 24
【例 5】 甲、乙两个自然数的最大公约数是 7，并且甲数除以乙数所得的商是
11
8
.乙数是_____.
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】2星 【题型】填空
【解析】由(甲，乙) 7 ，且甲：乙 9 :8 ，由于 8与 9互质，所以乙数 8 7 56 .
【答案】56
【例 6】 已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105倍，那么 a、b 中较大的数
是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设 a b ，有 120a b ，又设 ( )a b d, ， a pd ， b qd ， ( , ) 1p q ，且 p q ，则 [ , ]a b pqd ，
有 105pqd d ，所以 105 3 5 7pq ．因为 ( ) 120a b p q d ，所以 ( )p q 是 120的约数．
①若 105p ， 1q ，则 104p q ，不符合；
②若 35p ， 3q ，则 32p q ，不符合；
③若 21p ， 5q ，则 16p q ，不符合；
④若 15p ， 7q ，则 8p q ，符合条件．
由 ( ) 8 120p q d d ，得 15d ，从而 a、b中较大的数 15 15 225a pd ．
【答案】225
【例 7】 已知两个自然数的和为 54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为 114，求这两个自然数．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设这两个自然数分别是ma、mb，其中m为它们的最大公约数，a与 b互质(不妨设 a b )，根据题
意有：
( ) 54
( 1) 114
mb ma m a b
mab m m ab
所以可以得到 m是 54和 114的公约数，所以是 (54,114) 6 的约数． 1m ，2，3或 6．
如果 1m ，由 ( ) 54m a b ，有 54a b ；又由 ( 1) 114m ab ，有 115ab ．
115 1 115 5 23 ，但是1 115 116 54 ， 5 23 28 54 ，所以 1m .
如果 2m ，由 ( ) 54m a b ，有 27a b ；又由 ( 1) 114m ab ，有 58ab ．
58 1 58 2 29 ，但是1 58 59 27 ， 2 29 31 27 ，所以 2m ．
如果 3m ，由 ( ) 54m a b ，有 18a b ；又由 ( 1) 114m ab ，有 39ab ．
39 1 39 3 13 ，但是1 39 40 18 ，3 13 16 18 ，所以 3m ．
如果 6m ，由 ( ) 54m a b ，有 9a b ；又由 ( 1) 114m ab ，有 20ab ．
20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：20 1 20 4 5 ，虽然1 20 21 9 ，但是有 4 5 9 ，
所以取 6m 是合适的，此时 4a ， 5b ，这两个数分别为 24和 30．
【答案】两个数分别为 24和 30
【例 8】 有两个自然数，它们的和等于 297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693，这两个自然数
的差是 ．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】填空
【解析】两个自然数的最大公约数是它们的和的约数，也是它们的最小公倍数的约数，所以是它们的最大公
约数与最小公倍数的和的约数，也就是 297和 693的公约数，也就是 297,693 99 的约数．99的约
数共有 6个，此时可以逐一分情况进行讨论，但较繁琐．
设这两个数分别为 ad和 bd，其中 , 1a b ， a b ， d是它们的最大公约数．那么
297a b d ， 1 693d abd ab d ，相比得
1 693 7
297 3
ab
a b
，所以3 3 7 7ab a b ，即 9 21 21 9 0ab a b ，可得
3 7 3 7 40a b ．
由于 3 7a 和 3 7b 都是 40的约数且除以 3余 2，只能为
3 7 2
3 7 20
a
b
或者
3 7 5
3 7 8
a
b
，可得
3
9
a
b
或
4
5
a
b
．
由于 297a b d ，所以 a b 是 297 的约数，
3
9
a
b
不符合，所以只能为
4
5
a
b
，此时
297 4 5 33d ，这两个数的差为 33bd ad b a d ．
【答案】33
【例 9】 已知自然数 A、B 满足以下 2个性质：（1）A、B 不互质；（2）A、B 的最大公约数与最小公倍数之
和为 35。那么 A+B 的最小值是多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设 ( , )A B M ，那么 ,A Ma B Mb ，其中 a,b分别表示 A,B的独有因数。那么 [ , ]A B Mab ，即有
( , ) [ , ] (1 ) 35A B A B M Mab M ab ，因为 A,B不互质，所以 1M ，而根据上面的式子 M是
35的因数，所以 M只可能为 5或 7.
1）当 M=5时，ab=6,此时有
1 2
,
6 3
a a
b b
( ) 5 1 6 35A B M a b ，或 ( ) 5 2 3 25A B M a b
2）当 M=7时，ab=4,此时有
1 2
,
4 2
a a
b b
（舍）因为 , 1a b
( ) 7 1 4 35A B M a b ，或 ( ) 7 2 2 28A B M a b （舍）
所以 A+B的最小值是 25。
【答案】25
【例 10】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，
那么 A+B 等于多少？
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】最大公约数 C，当然是 D最小公倍数的约数，因此 C是 187的约数，187=11×17，C不等于 1，只能
是 C=11或者 C=17．如果 C=11，那么 D=187-11=176．A和 B都是 176的约数，A和 B不能是 11，
只能是 22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是 11，
由此得出 C不能是 11．现在考虑 C=17，那么 D=187-17=170，A和 B是 170的约数，又要是 17 的
倍数，有 34，85，170三个数，其中只有 34和 85 的最大公约数是 17，因此，A和 B分别是 34 和
85，A+B=34+85=119．
【答案】119
【例 11】若 a , b , c 是三个互不相等的大于 0的自然数，且 a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大
值为 ，最小公倍数的最小值为 ，最小公倍数的最大值
为 ．
【考点】运用大公约和小公倍的模型解题 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第 8题，10分
【解析】由于 a + b + c = 1155，而 1155=3×5×7×11。令 a=mp，b=mq，c=ms.m为 a，b，c的最大公约数，则
p+q+s最小取 7。此时 m=165.
为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数 m尽量大，并且使 A，B，C的最小公倍数尽量
小，所以应使 m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为 165，330，660，它们的最小公倍数为
660，所以最小公倍数的最小值为 660。
为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们
的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令 1155=384+385+386，
但是在这种情况下 384和 386有公约数 2，而当 1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最
小公倍数为 383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为 57065085。
【答案】最大公约数的最大值为165，最小公倍数的最小值为 660，最小公倍数的最大值为 57065085
模块二、约数的个数与约数的和
【例 12】2008的约数有（ ）个。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 4题
【解析】因为 2008=2×2×2×251，所以约数有（3+1）×（1+1）=8（个）
【答案】 8个
【巩固】2008006共有( )个质因数。
（A）4 （B)5 (C)6 (D)7
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第 2题
【解析】因为 2008006=2006×1000+2006=2006×1001=（2×17×59）×（7×11×13），共有 6个。
【答案】 6个
【巩固】105的约数共有几个?
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 3题
【解析】105＝3×5×7，共有(1＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝8个约数，即 1，3，5，7，15，21，35，105。
【答案】 8个
【巩固】已知 300=2×2×3×5×5，则 300 一共有 个不同的约数。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，5年级，初赛，第 5题，6分
【解析】 3 2 3 18 个
【答案】18
【例 13】筐中有 60个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个数相同。问：有多少种分法？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 8题
【解析】方法一：偶数 60的约数中，偶数有 8个，即：2，4，6，10，12，20，30，60因此有 8种分法.
方法二：偶数个约数，即 60 2=30 的所有约数，30=2 3 5 ，所以共有 1 1 1 1 1 1 =8 个约数。
【答案】 8个约数
【例 14】数 360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】解答
【解析】360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5= 32 × 23 ×5；360的约数可以且只能是 2a × 3b × 5c ,(其中 a,b,c均是
整数,且 a为 0～3,6为 0～2,c为 0～1)．因为 a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,
约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数 3的约数,可以是 l,3, 23 ,它们的和为
(1+3+ 23 ),所以所有 360 约数的和为(1+3+ 23 )× 2y × 5w ；我们再来确定关于质因数 2 的约数,可以是
l,2, 22 , 32 ,它们的和为(1+2+ 22 + 32 )，所以所有 360约数的和为(1+3+ 23 )×(1+2+ 22 + 32 )×5w；最后确
定 关 于 质 因 数 5 的 约 数 , 可 以 是 1,5, 它 们 的 和 为 (1+5), 所 以 所 有 360 的 约 数 的 和 为
(1+3+ 23 )×(1+2+ 22 + 32 )×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为 1170．
【答案】约数有 24个，和为 1170
【例 15】 2008 6a b , ,a b均为自然数． a有____________种不同的取值．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3 星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 8题
【解析】由 2008 6a b 可知， ab +6=2008， ab =2002。又因为 2002=2×7×11×13，而且 a >6，所以 a的
取值有：3+ 2 3
4 4C C +1=14（种）
【答案】14
【巩固】2010除以正整数 N，余数是 15，那么 N 的所有可能值的个数是 。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试，第 5题
【解析】 2010 15 1995 ，1995 3 5 7 19 ，1995的约数有 16个，其中小于等于 15的有 5个，所以满足
条件的 N有 11个。
【答案】11
【例 16】自然数 N 有 45个正约数。N 的最小值为 。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第 5题，8分
【解析】由于 45 45 1 15 3 9 5 5 3 3 ，根据约数个数公式，自然数 N可能分解成 44a 、 14 2a b 、
8 4a b 、 4 2 2a b c 等形式，在以上各种形式下，N的最小值分别为 442 、 14 22 3 、 8 42 3 、 4 2 22 3 5 ，
比较这些数的大小，可知 44 14 2 8 4 4 2 22 2 3 2 3 2 3 5 ，所以最小值是 4 2 22 3 5 3600 ．
【答案】3600
【巩固】自然数 N有 20个正约数， N的最小值为 。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第 1题，8分
【解析】因为约数的个数是指数加 1再相乘，所以先将 20分解质因数， 20 20 1 10 2 5 4 5 2 2 ，
若想 N最小： 20 5 2 2 ，那么指数为 4、1、1，经试算，最小值为 42 3 5 240 。
【答案】 240
【巩固】恰有 20 个因数的最小自然数是（ ）。
（A）120 （B）240 （C）360 （D）432
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛，第 5题
【解析】B，20=20=2×10=4×5=2×2×5，四种情况下的最小自然数分别为： 192 、 92 3 、 4 32 3 、 42 3 5 ，
其中最小的是最后一个，为 240。
【答案】 B
【例 17】设 A 共有 9 个不同的约数，B 共有 6个不同的约数，C 共有 8个不同的约数，这三个数中的任何两
个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】本题考查对约数个数计算公式的灵活应用
由公式的结果倒推，A有 9个约数，那么符合公式的要求有，9 (2 1)(2 1) ，或者9 (0 1)(8 1) ，
若要求 A的值尽可能小，则 A不可能为某个质数的 8次方的形式，那么说明 A的形式为 2 2A a b 的
形式，为最终满足三个数的乘积最小的要求，那么 A最小为 2 22 3A ，类似的可以知道 2B a b ,
同时为满足最小要求 25 2B 。
C为 8 个约数情况可能有两种， 3,C m n p C m n ，其中当 33 2C 时数字最小，同时三个
数任意 2个都不整除，所以此时三个数的乘积为 20 24 36 17280
【答案】17280
【例 18】在 1到 100中，恰好有 6个约数的数有多少个？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 6 1 6 2 3 ，故 6只能表示为 5 1 或 1 1 2 1 ，所以恰好有 6个约数的数要么能表示成某
个质数的 5 次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有 32，符
合后者的数枚举如下：
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 3 2 5 2 7 2 11 2 13 2 17 2 19 2 23 8
3 2 3 5 3 7 3 11 4
5 2 5 3 2
7 2 1
个
个
个
个
所以符合条件的自然数一共有1 8 4 2 1 16 个．
【答案】16个
【巩固】恰有 8个约数的两位数有________个．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】填空
【解析】根据约数个数公式，先将 8进行分解：8 1 8 2 4 2 2 2 ，所以恰有 8个约数的数至多有 3个
不同的质因数，分解质因数后的形式可能为 7A ， 1 3A B ， 1 1 1A B C ．其中由于 72 128 100 ，所以 7A
形式的没有符合条件的两位数； 1 3A B 形式中，B不能超过 3，即可能为 2或 3，有 32 3 、 33 2 、 35 2 、
37 2 、 311 2 ，共 5个； 1 1 1A B C 形式的有 2 3 5 、2 3 7 、2 3 11 、2 3 13 、2 5 7 ，共 5
个．所以共有 5 5 10 个符合条件的数．
【答案】10个
【巩固】在三位数中，恰好有 9个约数的数有多少个？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】解答
【解析】由于9 1 9 3 3 ，根据约数个数公式，可知 9个约数的数可以表示为一个质数的 8次方，或者两
个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有 82 256 符合条件，后者中符合条件有 2 22 5 100 、
2 22 7 196 、 2 22 11 484 、 2 22 13 676 、 2 23 5 225 、 2 23 7 441 ，所以符合条件的有 7个．
【答案】7个
【例 19】能被 2145整除且恰有 2145个约数的数有 个．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第 6题
【解析】先将 2145 分解质因数： 2145 3 5 11 13 ，所以能被 2145 整除的数必定含有 3，5，11，13 这 4
个质因数；由于这样的数恰有 2145个约数，所以它至多只有 4个质因数，否则至少有 5个质因数，
根据约数个数的计算公式，则有 5个大于 1的整数的乘积等于 2145，而 2145只能分解成 3，5，11，
13的乘积，矛盾．所以所求的数恰好只有 3，5，11，13这 4个质因数．
对于这样的每一个数，分解质因数后 3，5，11，13这 4个因子的幂次都恰好是 2 3 1 ， 4 5 1 ，
10 11 1 ， 12 13 1 的一个排列，所以共有 4! 24 种
【答案】24个
【巩固】能被 210整除且恰有 210个约数的数有 个．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 210 2 3 5 7 ，所以原数肯定含有 2，3，5，7这四个质因子，而且幂次一定按照某种顺序是 1，
2，4，6，可以任意排列，所以有 4! 24 个．
【答案】24个
【巩固】1001的倍数中，共有 个数恰有 1001个约数．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】仁华学校
【解析】1001的倍数可以表示为1001k ，由于1001 7 11 13 ，如果 k有不同于 7，11，13的质因数，那么1001k
至少有 4 个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为
1 2 3 41 1 1 1 1na a a a a ， 其 中 4n ． 如 果 这 个 数 恰 有 1001 个 约 数 ， 则
1 2 3 41 1 1 1 1 1001 7 11 13na a a a a ，但是 1001不能分解成 4个大于 1的数的乘
积，所以 4n 时不合题意，即 k不能有不同于 7，11，13的质因数．那么1001k 只有 7，11，13这
3个质因数．设1001 7 11 13a b ck ，则 1 1 1 1001a b c ， 1a 、 1b 、 1c 分别为 7，11，
13，共有 3! 6 种选择，每种选择对应一个1001k ，所以 1001的倍数中共有 6个数恰有 1001个约数．
【答案】6个
【巩固】如果一个自然数的 2004倍恰有 2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】解答
【解析】设这个自然数是 a， 22004 2 3 167 ，将 a分解质因数，设 1 2
1 22 3 167 nbb bx y z
na a a a ，其中
x，y，z可以是 0或正整数，其余的系数都是正整数，则这个数的约数的个数
1 2( 1)( 1)( 1)( 1)( 1) ( 1)nA x y z b b b ．
因为这个自然数的 2004倍恰有 2004个约数，所以
2
1 2( 3)( 2)( 2)( 1)( 1) ( 1) 2004 2 3 167nx y z b b b ．
可得
2004 ( 3)( 2)( 2) 3 2 2
( 1)( 1)( 1) 1 1 1
x y z x y z
A x y z x y z
，
要想使 A最小，需要使
3 2 2
1 1 1
x y z
x y z
最大，
而
3 23 3
1 1
x x
x x
，
2 2 2
1 1
y y
y y
，
2 2 2
1 1
z z
z z
，
所以
2004 3 2 2 12
A
，得到 167A ．
要想使等号成立，必须 0x y z ， 1n ， 1 166b ，即此数为一个不是 2，3，167的质数的 166
次方，此时这个数的约数有 167个．故这个自然数最少有 167个约数．
【答案】167个
【例 20】已知偶数 A 不是 4的整数倍，它的约数的个数为 12，求 4A 的约数的个数.
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】由于 A是偶数但不是 4的倍数，所以 A只含有 1个因子 2，可将 A分解成 12A B ，其中 B是奇数，
根据约数个数公式，它的约数的个数为 1 1 12N (其中 N为 B的约数个数)，则 34 8 2A B B ，
它的约数个数为 1 3 24N 个．
【答案】24个
【例 21】已知m n、 两个数都是只含质因数 3和 5，它们的最大公约数是 75，已知m有 12个约数， n有 10
个约数，求m与 n的和．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】解答
【解析】因为 275 3 5 ，如果设 3 5p qm ， 3 5x yn ，那么 p x、 中较小的数是 1，q y、 中较小的数是 2．由
于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加 1的乘积．所以 ( 1) ( 1) 12p q ，
( 1) ( 1) 10x y ．又12 2 6 3 4 ，10 2 5 ，由于 2y ，所以 1 3y ，那么 1 5y ， 1 2x ，
得到 1x ， 4y ．那么 2q ，得到 3p ，所以 3 23 5 675m ， 43 5 1875n ， =2550m n ．
【答案】2550
【例 22】已知 A 数有 7个约数，B 数有 12个约数，且 A、B 的最小公倍数 , 1728A B ，则 B ．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】101中学
【解析】
6 31728 2 3 ，由于 A数有 7个约数，而 7为质数，所以 A为某个质数的 6次方，由于 1728只有 2
和 3 这两个质因数，如果 A为 63 ，那么 1728不是 A的倍数，不符题意，所以 62A ，那么 33 为 B
的约数，设 32 3kB ，则 1 3 1 12k ，得 2k ，所以 2 32 3 108B ．
【答案】108
【例 23】一个自然数恰好有 18个约数，那么它最多有 个约数的个位是 3.
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 14 题
【解析】
218 2 3 ，根据求一个数约数个数公式知，不同的质因数可能有一至三个。但是如果个位是 3 的约
数尽可能多，可以构造出：
1 8
3 1N a b ，即一个质因数的个位是 3，这个质因数只有 1次方，另一
个质因数的个位是 1，这个质因数有 8 次方。这样得到的不同的个位是 3 的约数有
1 0 1 1 1 2 1 3 1 8
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1a b a b a b a b a b、 、 、 、 共有 9个。
【答案】 9
【例 24】一个分子是 1 的分数，化成小数后是一个混循环小数，且循环节为两位，不循环也有两位，那么
这种分数共有多少个？
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】解答
【解析】假设该混循环小数是
990.
9900 9900
abcd ab ab cdabcd
，那么其中 cd 0，11，22，33，44，55，66，
77， 88， 99， 且 b ≠ d ， 所 以 99ab cd 不 是 11 和 10 的 倍 数 ． 令 ab x ， cd y ， 则
1 990.
9900 9900
abcd ab x yabcd
n
，那么 99 9900x y n （ ） ，而所以 99x y 是 9900的约数，且不
是11和10的倍数． 9900 的约数中11的倍数有 2 2 29900 2 3 5 11 ， 9900 的约数中11的倍数有
3 3 3 27 （个），10的倍数有 2 3 2 2 24 （个），即是11也是10的倍数有12个，显然对任意
值， x和 y都有 99以内的符合条件自然数解，所以符合条件的解有 3 3 3 2 27 24 12 15 （ ）
（个），对应的 n也有15个，即这样的分数有15个．
【答案】15个
【例 25】
1 2 3 2002, , , ,
8 9 10 2009
中，共有_ __个最简分数。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，第 5题
【解析】由于分子和分母相差 7，所以当分子是 7的倍数时，该分数就不是最简分数，1 到 2002中 7的倍数
的数共有 286个，故最简分数有 2002-286=1716个。
【答案】1716个
【例 26】设 a，b，c是 0 ~ 9的数字（允许相同），将循环小数 0.abc 化成最简分数后，分子有 种
不同情况．
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空
【解析】 0.
999
abcabc ,显然只要 abc与 999互质，就构成了最简分数，所以最简分数的分子可以是所有小于 999
且与 999互质的数，这样的数一共有
999 999 999999 648
3 37 3 37
（个）．如果 abc与 999不互质，
那么 abc的质因数当中，如果质因数 3不多于 3个，质因数 37不多于 1个，那么
999
abc
约分后是分子
还是与 999 互质的数（已被统计过）；如果 abc的质因数当中，如果质因数 3 多于 3 个，质因数 37
多于 1个（这种情况肯定没有因为 37的平方大于 999）, 质因数 3多于 3个，那么约分过程当中，
分子分母至少约掉 27，所剩下的分子不会大于
999 37
27
，所以凡是不大于 37的分子都可能有它的
27倍约分而来，其中的 3、6、9、、36这 12个数都是可能的分子．所以一共有 648 12 660 （个）．
【答案】660
【例 27】在循环小数中类似于
1 0.142857
7
，
1 0.076923
13
等，循环节是从小数点右边的第一位（即十分
位）就开始的小数，叫做纯循环小数，包括 7和13在内，共有 个正整数，其倒数是循环
节恰好为六位的纯循环小数。
【考点】约数的个数与约数的和 【难度】6星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】根据容斥原理，因为六位纯循环小数表示成分数为
abcdef
999999
，题目需要的正整数是能够约分后分子是
1 的分数的分母，所以分子是 999999 的约数的数都有可能是答案， 3999999 3 7 11 13 37 有
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 64 ，所求的 n的个数为 64 (8 6 3) 53 （个）。
【考点】计数问题、数论、循环小数化分数等知识点的综合
【答案】53个
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