5-7-1.位值原理
教学目标
1. 利用位值原理的定义进行拆分
2. 巧用方程解位值原理的题
知识点拨
位值原理
当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，
那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能
数二十。我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出
来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位
置的不同，表示的数值也不同。既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如，用符号 555
表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右边的五
表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，
现在就将解位值的三大法宝给同学们。希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一
个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示 2个一，写在百位上，就表
示 2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例： abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式
（2）利用十进制的展开形式，列等式解答
（3）把整个数字整体的考虑设为 x，列方程解答
例题精讲
模块一、简单的位值原理拆分
【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的 9倍，恰好等于 100。这个两位数的各位数字的和是 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第 8题，5分
【解析】这个两位数，加上它的个位数字的 9倍，恰好等于 100，也就是说，十位数字的 10倍加上个位数字
的 10倍等于 100，所以十位数字加个位数字等于 100÷10＝10。
【答案】10
【例 2】 学而思的李老师比张老师大 18岁，有意思的是，如果把李老师的年龄颠倒过来正好是张老师的年
龄，求李老师和张老师的年龄和最少是________？（注：老师年龄都在 20岁以上）
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级，第 5题
【解析】解设张老师年龄为 ab，则李老师的年龄为ba，根据题意列式子为： 18ba ab ，整理这个式子得
到： 9 18b a ，所以 2b a ，符合条件的最小的值是 1, 3a b ，但是13和 31不符合题意，所
以，答案为 2a 与 4b 符合条件的为： 24 42 66 6岁。
【答案】 66岁
【例 3】 把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如 89的逆序数为 98．如果一个两
位数等于其逆序数与 1的平均数，这个两位数是________．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，5年级，第 3题
【解析】设为 ab，即
10 110
2
b aa b
，整理得19 8 1a b ， 3, 7a b ，两位数为 37
【答案】 37
【例 4】 几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于 16，如果十
位数字加 1，则十位数字恰等于个位数字的 5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________
年。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，10题
【解析】肯定是 1×××年，16－1＝15，百位，十位与个位和是 15，十位加 1后，数字和是 15＋1＝16，此时
十位和个位和是 6的倍数，个位不是 1，只能是 2，十位原来是 9，百位是 4，所以是在 1492年。
【答案】1492
【例 5】 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年多少岁?
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第 11题
【解析】设小明出生那年是 ，则 1＋9＋a＋b＝95－10a－b
从而 11a＋2b＝85在 a≥8时，11＋2b＞85；在 a≤6时，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有 a＝7，b
＝4。小明今年是 1＋9＋7＋4＝21(岁).
【答案】 21岁
【例 6】 将一个数 A的小数点向右移动两位，得到数 B。那么 B＋A是 B－A的________倍。(结果写成分
数形式)
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 9题，5分
【解析】将 A的小数点向右移动两位则 A变成 100倍，即 B=100A，那么 B+A=101A，B-A=99A，B＋A是 B
－A的
101
99
倍。
【答案】
101
99
【例 7】 一个十位数字是 0的三位数，等于它的各位数字之和的 67倍，交换这个三位数的个位数字和百位
数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍。
【考点】简单的位值原理拆 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 4题，5分
【解析】令这个三位数为 0a b，则由题意可知，100 67( )a b a b ，可得 2a b ，而调换个位和百位之后变
为： 0 100 102b a b a b ，而 3a b b ，则得到的新三位数是它的各位数字之和的102 3 34b b 倍。
【答案】 34
【例 8】 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是 7，试求它
们的差。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 18题，10分
【解析】 abc cba 个位是 7，明显 a大于 c，所以 10+c-a=7，a-c=3，所以他们的差为 297
【答案】 297
【例 9】 三位数 abc比三位数 cba小 99，若 , ,a b c彼此不同，则 abc最大是________
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 7题，6分
【解析】由题意， 99abc cba ，有 9a c ，要 abc最大，如果 9a ，那么 0c ，与 cba为三位数矛盾；
如果 8a ，那么 9c ，剩下 b最大取 7，所以 abc最大是 879。
【答案】879
【例 10】一个三位数 abc 与它的反序数 cba的和等于 888，这样的三位数有_________个。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第 4题，5分
【解析】显然 a c 、 b b 都没有发生进位，所以 8a c 、 8b b ，则 4b ， a、 c的情况有 1+7、2+6、
3+5、4+4、5+3、6+2、7+1这 7种。所以这样的三位数有 7种。
【答案】 7个
【例 11】将 2，3，4，5，6，7，8，9这八个数分别填入下面的八个方格内（不能重复），可以组成许多不同
的减法算式，要使计算结果最小，并且是自然数，则这个计算结果是__________。
□□□□ □□□□
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 5题，6分
【解析】设原式 1000( ) 100( ) 10( ) ( )abcd efgh a e b f c g d h ,其中 a，b， c， d， e， f ， g，
h从 2 ~ 9中选择。显然， 7 a e ，b f ，c g ， 7d h ，要让这个差最小，则应使 1a e ，
7b f ， 5c g ， 3d h ，即 6a ， 5e ， 2b ， 9f ， 3c ， 8g ， 4d ， 7h ，
∴这个计算结果是1000 700 50 3 247
【答案】 247
【巩固】用 1，2，3，4，5，7，8，9组成两个四位数，这两个四位数的差最小是___________。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 5题，5分
【解析】千位数差 1，后三位，大数的尽量取小，小者尽量取大，最大的可以取 987，小的可以取 123，所以
这两个四位数应该是 4987和 5123，差为 136.
【答案】136
【例 12】在下面的等式中，相同的字母表示同一数字， 若 abcd dcba □997 ，那么 □ 中应
填 。
【考点】填横式数字谜之复杂的横式数字谜 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第 3题，10分
【解析】由题意知，a≥d,由差的个位为 7可知，被减数个位上的 d要向十位上的 c借一位，则 10+d－a=7,即 a
－d=3.又因为差的十位及百位均为 9，由分析可知 b=c，故被减数的十位要向百位借一位，百位要向
千位借一位，即 1 2a d ,因此□内应填入 2。
【答案】 2
【例 13】某三位数 abc和它的反序数 cba的差被 99除，商等于______与______的差；
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 6题，4分
【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设 a＞b＞c。
( abc - cba）÷99＝[(100a+10b+c)-(100c+10b+a)]÷99＝(99a-99c)÷99＝a-c；
【答案】 a与 c的差
【巩固】 ab与 ba的差被 9除，商等于______与______的差；
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【解析】( ab -ba）÷9＝[(10a+b)-(10b+a)]÷9＝(9a-9b)÷9＝a-b；
【答案】 a与 b的差
【巩固】 ab与 ba的和被 11除，商等于______与______的和。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【解析】( ab+ ba）÷11＝[(10a+b)+(10b+a)]÷11＝(11a+11b)÷11＝a+b。
【答案】 a与 b的和
【例 14】 xy， zw各表示一个两位数，若 xy + zw=139，则 x+y+z+w= 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 5题，4分
【解析】和的个位为 9，不会发生进位，y+w=9，十位明显进位 x+z=13，所以 x+y+z+w=22
【答案】 22
【例 15】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换
后的新的两位数的差是 45，试求这样的两位数中最大的是多少？
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】美国，小学数学奥林匹克
【解析】设原来的两位数为 ab，交换后的新的两位数为 ba，根据题意，
(10 ) (10 ) 9( ) 45ab ba a b b a a b ， 5a b ，原两位数最大时，十位数字至多为 9，即 9a ，
4b ，原来的两位数中最大的是 94．
【答案】 94
【例 16】一个两位数的中间加上一个 0，得到的三位数比原来两位数的 8倍小 1，原来的两位数是______。
【考点】简单的位值原理拆分【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第 13题，6分
【解析】设这个两位数是 ab，则 100a+b=8(10a+b)-1，化为 20a+1=7b，方程的数字解只有 a=1，b=3，原来的
两位数是 13。
【答案】13
【例 17】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于 2008，则所有这样的四位数之和为多少．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】
【解析】设这样的四位数为 abcd，则 2008abcd a b c d ，即1001 101 11 2 2008a b c d ，
则 1a 或 2．
⑴若 2a ，则101 11 2 6b c d ，得 0b c ， 3d ， 2003abcd ；
⑵若 1a ，则101 11 2 1007b c d ，由于11 2 11 9 2 9 117c d ，所以101 1007 117 890b ，
所以 8b ，故 b为 9，11 2 1007 909 98c d ，则 c为偶数，且11 98 2 9 80c ，故 7c ，由
c为偶数知 8c ， 5d ， 1985abcd ；
所以，这样的四位数有 2003和 1985两个，其和为： 2003 1985 3988 ．
【答案】 3988
【巩固】已知 1370,abcd abc ab a abcd 求 .
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】原式：1111a＋111b＋11c＋d＝1370，
所以 a＝1， 则 111b＋11c＋d＝1370－1111＝259，111b＋11c＋d＝259
推知 b＝2；则 222＋11c＋d＝259，11c＋d＝37
进而推知 c＝3，d＝4所以 abcd＝1234。
【答案】1234
【例 18】 abcd，abc，ab，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足 abcd— abc— ab— a = 1787，
则这四位数 abcd = 或 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，16题
【解析】原式可表示成：889 89 9 1787a b c d ，则知 a只能取：1或 2，当 1a 时，b无法取，故此值舍
去。当 2a 时， 0b ， 0c 或 1， d相应的取 9或 0.所以这个四位数是：2009或 2010。
【答案】 2009或 2010
【例 19】将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数
大 8802．求原来的四位数．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设原数为 abcd，则新数为 dcba，
(1000 100 10 ) (1000 100 10 ) 999( ) 90( )dcba abcd d c b a a b c d d a c b ．
根据题意，有 999( ) 90( ) 8802d a c b ，111 ( ) 10 ( ) 978 888 90d a c b ．
推知 8d a ， 9c b ，得到 9d ， 1a ， 9c ， 0b ，原数为 1099．
【答案】1099
【巩固】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有
0的四位数M ，它比新数中最大的小 3834，比新数中最小的大 4338．求这个四位数．
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设组成这个四位数的四个数码为 a， b， c， d (9 1a b c d )，
则有 3834 4338 8172abcd dcba ，
可得 999( ) 90 ( ) 8172 7992 180a d b c ，
则 8a d ， 2b c ， 9a ， 1d ， 1 9 4338M cb ，且 M的四位数字分别为 1、c、b、9，由
于8 9 17 的个位数字为 7，所以b，c中有一个为 7，但 2b c ，所以 c不能为 7，故 7b ， 5c ，
1579 4338 5917M ．
【答案】 5917
【例 20】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数
为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为 9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。
请你写出所有的巧数。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设这个巧数为 ab，则有 ab+a+b＝10a+b，a(b+1)＝10a，所以 b+1＝10，b＝9。
满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
【答案】巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。
【例 21】聪聪和明明做猜数游戏，聪聪让明明任意写出一个四位数，明明就写了明年的年号 2008，聪聪让
明明用这个四位数减去它各个数位上的数的和，明明得到 2008 (2 0 0 8) 1998 ，聪聪又让明
明将所得的数随便圈掉一个数，将剩下的数说出来，明明圈掉了 8，告诉聪聪剩下的三个数是 1，
9，9。聪聪一下就猜出圈掉的是 8，明明感到莫名其妙，于是又做了一遍这个游戏，最后剩下的三
个数是 6，3，7，这次明明圈掉的数是多少，聪明你猜出来了么？
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设任意一个四位数为 abcd依题意中的计算方法可得
( ) 999 99 9 9(111 11 )abcd a b c d a b c a b c 即任意一个四位数减去其各个数位数字之和
后的结果是 9 的倍数，根据被 9 整除的数字特点：各位数字之和应是 9 的倍数，而 6＋3＋7＝16，
16不是 9的倍数，所以圈掉的数字是 2。
【答案】 2
【例 22】设八位数 0 1 7A a a a 具有如下性质： 0a 是 A中数码 0的个数， 1a 是 A中数码1的个数，……， 7a
是 A中数码 7 的个数，则 0 1 2 7a a a a 。 5 6 7a a a ，该八位数
A 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】 (1)由于 0a 是 A中数码 0的个数， 1a 是 A中数码1的个数， ， 7a 是 A中数码 7的个数，那么
0 1 2 7a a a a 表 示 A 中 所 有 数 码 的 个 数 ； 而 实 际 上 A 中 共 有 8 个 数 码 ， 所 以
0 1 2 7 8a a a a 。
(2)略
(3) 5 6 7 0a a a ，说明 5a 、 6a 、 7a 都是 0，这就表明 A的末三位都是 0，另外还表明 A的各位
数码中都没有出现 5、6、7，所以 A的数码中最大的最多为 4，所以 03 4a 。如果 0 3a ，也就
是 A的首位为3，末位都为 0，中间的四位中还有一位为 0，另外的三个数之和为 4，只能是 2个1和
1个 2。由于1出现了两次，所以 1 1a ，由于 2和 4各出现了1次，所以 2a 和 4a 都是1，这样可得 A为
42101000。
【答案】 0 1 2 7 8a a a a ， 5 6 7 0a a a ， 42101000
模块二、复杂的位值原理拆分
【例 23】 有 3个不同的数字，用它们组成 6个不同的三位数，如果这 6个三位数的和是 1554，那么这 3个
数字分别是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】希望杯，培训试题
【解析】设这六个不同的三位数为 , , , , ,abc acb bac bca cab cba，
因为 100 10abc a b c ， 100 10acb a c b ，……，它们的和是： 222 ( ) 1554a b c ，所以
1554 222 7a b c ，由于这三个数字互不相同且均不为 0，所以这三个数中较小的两个数至少
为 1，2，而 7 (1 2) 4 ，所以最大的数最大为 4；又1 2 3 6 7 ，所以最大的数大于 3，所以
最大的数为 4，其他两数分别是 1，2．
【答案】1， 2， 4
【巩固】有三个数字能组成 6个不同的三位数，这 6个三位数的和是 2886，求所有这样的 6个三位数中最小
的三位数的最小值．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】迎春杯，决赛
【解析】设三个数字分别为 a、b、c，那么 6个不同的三位数的和为：
2( ) 100 2( ) 10 2( ) 222 ( )abc acb bac bca cab cba a b c a b c a b c a b c
所以 2886 222 13a b c ，最小的三位数的百位数应为 1，十位数应尽可能地小，由于十位
数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为 9，此时十位数为13 1 9 3 ，所以所
有这样的 6个三位数中最小的三位数为139．
【答案】139
【例 24】从 1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是 3330，
则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设这三个数字分别为 a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三
位数之和为 222×（a＋b＋c）＝3330，推知 a＋b＋c＝15。所以，当 a、b、c取 1、5、9时，它们组
成的三位数最小为 159，最大为 951。
【答案】最小为 159，最大为 951
【例 25】用 1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第 3题的结果可知，1，9，7可组成的六个不同的三位数
之和是（1＋9＋7）×222；同理，作为卡片“6”，1，6，7可组成的六个数之和是（1＋6＋7）×222。
这 12个数的平均值是：［（1＋9＋7）＋（1＋6＋7）］×222÷12＝573.5。
【答案】 573.5
【例 26】a，b，c 分别是 0 9 中不同的数码，用 a，b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是
2234，那么另一个三位数是几？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】由 a，b， c组成的六个数的和是 222 ( )a b c ．因为 2234 222 10 ，所以 10a b c ．
若 11a b c ，则所求数为 222 11 2234 208 ，但 2 0 8 10 11 ，不合题意．
若 12a b c ，则所求数为 222 12 2234 430 ，但 4 3 0 7 12 ，不合题意．
若 13a b c ，则所求数为 222 13 2234 652 ， 6 5 2 13 ，符合题意．
若 14a b c ，则所求数为 222 14 2234 874 ，但8 7 4 19 14 ，不合题意．
若 15a b c ，则所求数 222 15 2234 1096 ，但所求数为三位数，不合题意．
所以，只有 13a b c 时符合题意，所求的三位数为 652．
【答案】 652
【例 27】在两位自然数的十位与个位中间插入 0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位
数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的 9倍。求出所有这样的三位数。
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的 10倍，所以原两位数的个位数只能是 0或 5。如果
个位数是 0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的 10倍，所以个位数是 5。设原
两位数是 ab，则 b=5，变成的三位数为 5ab ，由题意有 100a＋10b＋5＝（10a＋5）×9，化简得 a＋b
＝4。变成的三位数只能是 405，315，225，135。
【答案】三位数只能是 405，315，225，135
【例 28】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑
上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一
个 0 的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换
所得的三位数。
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设第一个 2位数为 10a+b；第二个为 10b+a ；第三个为 100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-
（10a+b) ；化简可以推得 b=6a，0≤a,b≤9，得 a=1，b=6；即每小时走 61-16=45 ；（601-106)÷45=11；
再行 11小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【答案】11小时
【例 29】有一个两位数，如果把数码 3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码 3 加写在它的后
面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码 3，则可得到一个四位数．将这两个三位
数和一个四位数相加等于 3600．求原来的两位数．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设原来的两位数是 ab ，则得到的两个三位数分别为 3ab 和 3ab ，四位数为 3 3ab ，由题知
3 3 3 3 3600ab ab ab ，即10 3 300 3003 10 3600ab ab ab ， 21 294ab ，故 14ab ．
【答案】14
【例 30】将 4个不同的数字排在一起，可以组成 24 个不同的四位数( 4 3 2 1 24 )．将这 24个四位数按
从小到大的顺序排列的话，第二个是 5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被 4整除的偶
数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000～4000之间．求这 24个四位数中最大的那个．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】从题中可以看出，这 4个数都不为 0．设这 4个不同的数从小到大依次为 a,b,c,d，它们组成的 24个
四位数中，第二小的是 abdc，是 5的倍数，又 c不为 0，所以 5c ．
它们组成的 24个四位数中，第二大的是 dcab，是 2的倍数但不是 4的倍数，所以 b是偶数，而 ab不
是 4的倍数．由 b是偶数且 5b c 知 b为 4或 2．若为 2，那么 1a ，但此时 12ab 是 4的倍数，
矛盾，所以，又 ab不是 4的倍数，所以 a为 1或 3．
它们组成的 24个四位数中，第五小的为 adbc (最小的 5个依次为 abcd，abdc，acbd，acdb，adbc )，
第五大(第二十小)的为 dacb (最大的 5个依次为 dcba，dcab，dbca，dbac，dacb )，所以 dacb adbc
得到的四位数的千位为 3．由于 a d ，所以 acb dbc ，那么减法算式中百位要向千位借位，所以
1 3d a ，故 4d a ．又 5d c ，所以 1a ，那么 3a ， 7d ，
它们组成的 24个四位数中最大的为 dcba，即 7543．
【答案】 7543
【例 31】记四位数 abcd 为 X ，由它的四个数字 a,b,c,d 组成的最小的四位数记为 X，如果 * 999X X ，
那么这样的四位数 X 共有_______个．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复赛，8题
【解析】 * 999X X 得到 999 1000 1X X X ，所以如果 a、b、 c、 d组成的四位数 X 末位数字
不是 0，那么 X 等于将 X 的千位数字加 1，个位数字减 1，反过来 X 等于 X 的千位数字减 1，个位
数字加 1，所以 X 为 1 1a bc d ，与 X 比较，b和 c位置没有换，交换的是 a和 d， X 表示为
dbca，可以得到等式 1a d ，即 1a d ．所以 a和 d的取值组合，只有 2和 1，3和 2，……，9
和 8，共 8种情况．
对于其中任意一种组合，由于 dbca是由四个数字 a b c d、 、 、 组成的最小的四位数，分别考虑b、c中
有 0的情况(可能两个都为 0；若只有一个 0，则 0b ，d c a )；以及b、c都不为 0的情况(此时
d b c a )，可知两种情况下各有 3种可能，共 6种可能： 00d a， 0d da， 0d aa，ddda，ddaa ，
daaa．比如以 4a ， 3d 为例， dbca可能的取值有 3004，3034，3044，3334，3344，34444这 6
个数．根据乘法原理，满足条件的四位数一共有8 6 48 种．
如果 a、b、c、d组成的最小的四位数 X 末位数字是 0，显然 X 的百位、十位都是 0，此时 a、b、
c、 d无法组成其它的四位数，不合题意．
由于每一个 X对应一个 X ，所以满足条件的四位数 X 共有 48个．
【答案】 48
【例 32】9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是 1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是
8210，而他的朋友小强的考号是 2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为 2010
的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为 2010的倍数）共有 对．
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，复试，14题
【解析】设 abcd 与 efgh由相同的数字组成（顺序不一样），并且 2010 abcd efgh ．由于 abcd与 efgh的数字
和 相 同 ， 它 们 除 以 9 的 余 数 相 同 ， 即 9 abcd efgh ， 从 而 6030 abcd efgh ． 考 虑 到
0 9000abcd efgh ，于是 6030abcd efgh ， 6030abcd efgh ．从末位数字可知 d h ，
603abc efg ．若 3c ， 603 ( 6) ( 3)abc a b c ，但 ( 6) ( 3) 9a b c a b c a b c ，
( 6) ( 3)a b c efg ， 603 ( 6) ( 3)abc a b c 不 成 立 ． 若 2c ， 0b ，
603 0 603 ( 7)9( 7)abc a c a c ，同上知这种情况也不成立．因此， 2c ， 1b ．
603 ( 6)( 1)( 7)abc a b c ． 7c 在这里可能等于 a或者 b．如果 7a c ，则 1b c ，此时
( , , )a b c 可以等于 (7,1,0)、 (8,2,1) 以及 (9,3,2)；如果 7b c ，则 6a c ，此时 ( , , )a b c 可以等于
(7,8,1)和 (8,9,2)．( , , )a b c 确定之后，再考虑 d，d可以等于 0,1,2,…9中的任何一个数字．这样，可
以得到 50个不同的 abcd，继而可得到相应的 efgh．于是，一共有 50对这样的考号，由相同的数字
组成，并且差为 2010的倍数．
【答案】 50
【例 33】有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是 12，各个数位上的数字之积是 30，所有这样的三位
数的和是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设这个三位数是 abc，则根据题意可得：
12
30
a b c
a b c
，由 30a b c 找突破口，将 30分解成 3
个因数相乘，符合 12a b c 的即为所求，组成三位数的三个数码只有 1，5，6符合要求，即三位
数有：156，165，516，561，615，651。其和为：156 165 516 561 615 651 222 (1 5 6) 2664
【答案】 2664
【例 34】一个三位数除以 11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数是多少？
【考点】复杂的位值原理拆分 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设这个三位数是 abc，则根据题意有：100 10 ( ) 11a b c a b c ，化简得
10
89
b ca
因为 a，b，
c都是位值，即为一位数，所以 1, 9, 8a b c 。
【答案】198
模块三、巧用方程解位值原理
【例 35】有一个两位数，如果把数码 1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把 1写在它的后面，
那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差 414，求原来的两位数。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】本题可以有三种分析方法：
方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：
分析竖式知 1减 b不够减，肯定要向前借 1位，即：10 1 4b ，整理得：b＝7，b借 1给个位十
位，此时 6－a＝1，整理得：a＝5，经百位计算验证，结果正确。
方法二：设原两位数为 ab，则数码 1加写在它的前面为1ab，数码 1
写在它的后面为 1ab ，分析比较知道 1ab ＞1ab，
所以可以得到： 1 1 414ab ab ， (100 10 1) (100 10 ) 414a b a b ， 90 9 99 414a b ，
90 9 513a b ，10 57a b ，即： 57ab
方法三：设两位数为 x，则有（10x＋1）－（100＋x）＝414，解得：x＝57。
【答案】 57
【巩固】有一个三位数，如果把数码 6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把 6加写在它的后面，
则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是 9999，求原来的三位数。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】本题可以有两种分析方法：
方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：
分析可得 c＝3，b＝6 ，a＝3 。
方法二：设三位数为 x，则有（6000＋x）＋（10x＋6）＝9999，解得：x＝363.
【答案】 363
【例 36】如果 7 0ab a b ，那么 ab等于几？
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】本题可以有两种分析方法：
方法一：可以用大家喜欢的数字谜的方法来解。列竖式如下：
通过分析 7b b 知道 5b ，同时向前进 3，同时 7 3 0a a ，知道 1a ，所以 ab＝15.
方法二：将 7 0ab a b ，展开整理得： ( 10 ) 7 100 0a b a b
70 7 100a b a b
30 6a b
5a b
由于位值的性质，每个数位上的数值在 0 ～9之间，得出 1a ， 5b 。
【答案】15
【例 37】已知1 2 3 n （n>2）的和的个位数为 3，十位数为 0，则 n 的最小值是
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第 8题，10分
【解析】根据题意，前 n项和等于（1+n）×n÷2，而现在的个位为 3，十位上是 0，则（n+1）×n的末两位是
06，易知末位是 6的连续的两个自然数的成积的末位只能为 2×3或者 7 8，经试验，最小的 n取 37
时，37×38=1406符合条件，所以 n的最小值为 37。
【答案】 37
【例 38】把 7位数 2ABCDEF 变成 7位数 2ABCDEF ，已知新 7位数比原 7位数大 3591333，聪明的宝贝来
求求：（1）原 7位数是几，（2）如果把汉语拼音字母顺序编为 1～26号，且以所求得原 7位数的前
四个数字组成的两个两位数 2A和 BC所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字 D，E，F
分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2005年，祖冲之杯
【解析】（1）设 ABCDEF x ，根据题意得， (10 2) (2000000 ) 3591333x x ，解得，x＝621259， 原
7位数是 2621259。
（2）按顺序写出 26个字母，从左到右给每个字母从 1～26编号，结合 2A＝26， BC＝21，D＝2，
E＝5，F＝9，按对应关系有：26对应 Z，21对应 U，2 对应 B，5对应 E,9对应 I，ZU拼成“祖”，
BEI拼成“杯”
【答案】（1）2621259，（2）祖杯
【巩固】把 5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把 5写在这个四位数的右端也得到一个五位数，已知
这两个五位数的差是 22122，求这个四位数。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设这个四位数为 x，则有：（50000＋x）－（10x＋5）＝22122或（10x＋5）－（50000＋x）＝22122，
得，x＝3097或 x＝8013.
【答案】x＝3097或 x＝8013
【例 39】如果把数码 5 加写在某自然数的右端，则该数增加 1111A ，这里 A 表示一个看不清的数码，求这
个数和 A。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设这个数为 x，则 10x+5-x＝ 1111A ，化简得 9x＝ 1106A ，等号右边是 9的倍数，试验可得 A＝1，x
＝1234。
【答案】A＝1，x＝1234
【巩固】如果把数码 3 加写在某自然数的右端，则该数增加了12345A，这里 A 表示一个看不清的数码，求
这个数和 A。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】设这个数码为 x，则有：（10x＋3）－x＝123450＋A,解得，9x＝123447＋A，右边是 9的倍数，根据
被 9整除的数字的特点知道，A＝6，故：x＝13717。
【答案】 6
【例 40】等式： 54ab ＝39×1 6c 恰好出现 1、2、3、4、…、9九个数字， abc代表的三位数是（ ）。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛，决赛，第 3题，10 分
【解析】根据题意，a、b只能从 2，7，8里选，而 39能被 3整除，则 a+b+5+4 也要能被 3整除，则 a、b从
2，7 里选，a+b=9 或者 a、b从 7或 8 里选 a+b等于 15；或者 a、b从 2或 8 里选 a+b等于 10，若
a+b=9，则左边是 9的倍数，而等式 39是 3的倍数，1+8+6也是，符合，则 186×39=7254，即 abc =728。
若 a+b等于 15，即 c=2,39×126=4914。不符；此题也可以用 126，176，186试算。
【答案】 728
【例 41】某八位数形如 2abcdefg，它与 3的乘积形如 4abcdefg ，则七位数 abcdefg 应是多少？
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】4星 【题型】解答
【解析】设 abcdefg x ，则 72 2 10abcdefg x ， 4 10 4abcdefg x ，根据题意，有 72 10 3 10 4x x ，
得 77 6 10 4 59999996x ，所以 8571428x ．
【答案】 8571428
【例 42】一 个 六 位 数 abcdef ， 如 果 满 足 4 abcdef fabcde ， 则 称 abcdef 为 “ 迎 春 数 ”( 例 如
4 102564 410256，则 102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】解答
【解析】由于是把六位数 abcdef 的末位 f 调到首位构成了新六位数 fabcde，所以不妨把 abcde看成一个整
体 ， 设 abcde A ， 则 根 据 位 值 原 理 可 知 “ 迎 春 数 ” 是 10A f ， 并 满 足 关 系 式 ：
4 10 100000A f f A ．对等式化简得： 39 99996A f ．
所以： 2564A f ．
因为 A是五位数， f 是一位数，所以 f 可以为 4，5，6，7，8，9．
而“迎春数” 10 10 2564 25641abcdef A f f f f ，
那么，所有“迎春数”的总和是： 25641 4 5 6 7 8 9 25641 39 999999 ．
【答案】 999999
【例 43】设六位数 abcdef 满足 fabcde f abcdef ，请写出这样的六位数．
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛，第 12 题，10 分
【解析】令 abcde x ，则： 510fabcde f x ， 10abcdef x f ，所以 510 10f x f x f ，可得
510
10 1
f f
x
f
．此时可将 1f ，2，3，4，5，6，7，8，9一一代入进行检验，可得当 1f 时， 111111x ；
当 4f 时， 102564x ．只有这两个数满足条件．
由于将 f 可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后再进行：
5 5 2 5 4 4 2 4 2
4
10 10 10 10 10 1010
10 1 10 1 10 1 10 1
f f f f f f fx
f f f f
，所以
4 2
4 1010
10 1
fx
f
，则
5 2 5 2 2 5
4 10 10 10 10 10 1010 10
10 1 10 1 10 1
f f f f fx f f
f f f
是整数．
设其为 a，则
6 6 610 10 10 10 10 1 10 1 99999910 1 1
10 1 10 1 10 1 10 1
f f fa
f f f f
是整数，所以10 1f 是
999999的约数．
当 1f ，2，3，4，5，6，7，8，9时，10 1f 分别为 9，19，29，39，49，59，69，79，89，由
3999999 3 7 11 13 37 容易知道其中只有 9和 39是 999999的约数，此时 f 分别为 1和 4．这样
的六位数有 111111和 102564．
【答案】六位数有 111111和 102564
【例 44】如果一个五位数，它的各位数字乘积恰好是它的各位数字和的 25倍．那么，这个五位数的前两位
的最大值是 。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】六年级，初赛，第 9题
【解析】假设组成这个五位数的 5个数字分别为 a、 b、 c、 d、 e，可知其中不能有 0.
由题知 25abcde ( a b c d e )，由于 25 | abcde可知 a、b、c、d、e中有两个 5，不妨设 5d e ，
则 10abc a b c
要求这个五位数的最大值，必须使其中最大的数尽可能大.不妨设 a是其中最大的数.
如果 9a ，则 9 19bc b c ，即81 9 9 171bc b c ，故( 9 1b )( 9 1c ) 172 4 43 ，此时没有满
足条件的整数 b， c；
如果 8a ，则8 18bc b c ，即 64 8 8 144bc b c ，故(8 1b )(8 1c ) 145 5 29 ，此时没有满
足条件的整数 b， c；
如果 7a ，则 7 17bc b c ，即 49 7 7 119bc b c ，故( 7 1b )( 7 1c ) 120 ，由于 7 1b 与 7 1c
除以 7都余 6，可知分别为 6和 20，则b、c分别为1和3 .故此时编成五位数的 5个数字分别为 7，5，
5， 3，1，所以所求最大的五位数为 75531 .
【答案】 75531
【例 45】在横线上写出所有满足下面条件的六位数的个数：这个六位数的个位是 6，如果将这个六位数增加
6，它的数字和就减少到原来的
1
6
。则满足该条件的六位数有___个。
【考点】巧用方程解位值原理 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】走美杯，6年级，决赛，第 9题，10分
【解析】首先，了解一个结论。两个数相比，如果发生 n次进位，和的各位数字之和就等于两个加数的各位
数字之和减 9n。例如，2705+7328=10033，个、百、千位各发生 1 次进位，两个加数的各位数字之
和是 34，和的各位数字之和是 7，满足 34—9×3=7。
设原来的六位数的各位数字之和是 x，加 6 后发生 n 次进位，则相加后的和的各位数字之和是
x 6 9n 由题意得到： 6 6 9x x n ，整理后得到： 5 18 3 2x n ，因为 5与 18互质，所以
5能整除(3n-2)，推知 n=4，从而 x=36。因为 n=4，所以原来的六位数形如 9996，前两位的数字
之和为 36 (9+9+9+6) 3。满足题意的六位数有 309996，219996，129996共 3个。
【答案】 3个
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