【课标解读】
新课标以来中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。阅读理解往往是先
给一一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。新定义运算、
新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题， “新概念”试题，其设计新颖，构
思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和
数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .
【解题策略】
对于阅读理解题来说，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，
建立数模；3.解决数模，回顾检查．具体解题策略可表示为：具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知
识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决.
【考点深剖】
★考点一：新概念问题
新概念学习型问题是指题目中先给出一个全新的概念或某个图形的性质，然后提出与之有关的需要解
决的问题.其目的是考查学生的自学能力、类比迁移能力以及对新知识的理解与运用能力，形成良好的自主
探究的习惯.解决此类问题的关键是在充分阅读题意的基础上，理解所给的概念、性质，挖掘新概念对解决
问题的作用及其应用的方法.
【典例 1】（2017 湖南岳阳）已知点 A 在函数 y1=﹣ （x＞0）的图象上，点 B 在直线 y2=kx+1+k（k 为常
数，且 k≥0）上．若 A，B 两点关于原点对称，则称点 A，B 为函数 y1，y2 图象上的一对“友好点”．请问这
两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）
A．有 1 对或 2 对 B．只有 1 对 C．只有 2 对 D．有 2 对或 3 对
【分析】根据“友好点”的定义知，函数 y1 图象上点 A（a，﹣ ）关于原点的对称点 B（a，﹣ ）一定位于
直线 y2 上，即方程 ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．
解：设 A（a，﹣ ），
由题意知，点 A 关于原点的对称点 B（（a，﹣ ），）在直线 y2=kx+1+k 上，
则 =﹣ak+1+k，
整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，
即（a﹣1）（ka﹣1）=0，
∴a﹣1=0 或 ka﹣1=0，
则 a=1 或 ka﹣1=0，
若 k=0，则 a=1，此时方程①只有 1 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有 1 对；
若 k≠0，则 a= ，此时方程①有 2 个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有 2 对，
综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为 1 对或 2 对，
故选：A．
★考点二：新运算问题
定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的
※，〇，
△
……与+、-、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义
的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。
【典例 2】（2018·湖北十堰·3 分）对于实数 a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若
（x+1）※（x﹣2）=6，则 x 的值为 ．
★考点三：知识拓展型
这种类型往往是针对我们教材中所涉及但是已经超出课本要求的内容进行考查，对于超纲的问题我们
要采用转化、类比的方法进行理解运用，利用已知的知识解决未知的内容，即通过对题目所给材料的阅读，
从中获取新的数学公式、定理、性质、运算法则或解题思路等，进而运用这些知识和已有知识解决题目提
出的问题。学科#网
【典例 3】（2018•陕西•13 分） 问题提出
(1)如图①，在
△
ABC 中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则
△
ABC 的外接圆半径 R 的值为 ．
问题探究
(2)如图②，⊙O 的半径为 13，弦 AB＝24，M 是 AB 的中点，P 是⊙O 上一动点，求 PM 的最大值．
问题解决
(3)如图③所示，AB.AC.BC 是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC 所对的
圆心角为 60°．新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P，在 AB.AC 路边分别建物资分站点 E.F．也就是，
分别在 、线段 AB 和 AC 上选取点 P、E.F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按 P→E→F→P
的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 PE.EF 和 FP．为了快捷环保和节约成本要使得线段
PE.EF、FP 之和最短，试求 PE＋EF＋FP 的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计)．
图① 图② 图③
解：（1）如图（1），设外接圆的圆心为 O，连接 OA， OB，
∵O 是等腰三角形 ABC 的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC= ∠BAC= =60°，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为：5；
（2）如图（2）所示，连接 MO 并延长交⊙O 于 N，连接 OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ ＝5，MN＝18，
∴PM 的最大值为 18；
如图（4），作出弧 BC 的圆心 O，连接 AO，与弧 BC 交于 P，P 点即为使得 PA 最短的点，∵AB＝6km，
AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴∆ABC 是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
BC 所对的圆心角为 60°，∴∆OBC 是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 ，
∴∠ABO＝90°，AO＝3 ，PA＝3 －3 ，
★考点四：解题策略型
解题策略型阅读理解题是指通过对题目所给材料的阅读，从中获取解题的思路、方法，进而进行类比
迁移，运用新的方法结合已有的知识解决所给出的问题.着重考查学生的阅读、类比迁移能力.
【典例 4】（2018·辽宁大连·12 分）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图 1，△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 在 AB 上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．
小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：
方法 1：如图 2，作 AE 平分∠CAB，与 CD 相交于点 E．
方法 2：如图 3，作∠DCF=∠DCB，与 AB 相交于点 F．
（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 AC=AD．
用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：
（2）如图 4，△ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，且∠BDE=2∠ABC，点 F 在 BD 上，且∠AFE=
∠BAC，延长 DC.FE，相交于点 G，且∠DGF=∠BDE．
①在图中找出与∠DEF 相等的角，并加以证明；
②若 AB=kDF，猜想线段 DE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想．
解：（1）方法一：如图 2 中，作 AE 平分∠CAB，与 CD 相交于点 E．
∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°．
∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．
方法二：如图 3 中，作∠DCF=∠DCB，与 AB 相交于点 F．
∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF．
∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°．
∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B．
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．
（2）①如图 4 中，结论：∠DEF=∠FDG．
【讲透练活】
变式 1：（2017 湖南株洲）
如图示，若△ABC 内一点 P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点 P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点
（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于 1816 年首次发现，
但他的发现并未被当时的人们所注意，1875 年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845
﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形 DEF 中，∠EDF=90°，若点 Q 为△
DEF 的布洛卡点，DQ=1，则 EQ+FQ=（ ）【版权所有：21 教育】
A．5 B．4 C． D．
解：如图，在等腰直角三角形△DEF 中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，
变式 2：（2017 浙江湖州）对于任意实数 a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5
﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．
（1）若 3⊗x=﹣2011，求 x 的值；
（2）若 x⊗3＜5，求 x 的取值范围．
【分析】（1）根据新定义列出关于 x 的方程，解之可得；
（2）根据新定义列出关于 x 的一元一次不等式，解之可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，
解得：x=2017；
（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，
解得：x＜4．学科#网
变式 3：（1）阅读理解：如图①，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，E 是 BC 的中点，若 AE 是∠BAD 的平分
线，试判断 AB，AD，DC 之间的等量关系．21cnjy.com
解决此问题可以用如下方法：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，易证△AEB≌△FEC，得到 AB=FC，从而把
AB，AD，DC 转化在一个三角形中即可判断．21*cnjy*com
AB、AD、DC 之间的等量关系为 ；
（2）问题探究：如图②，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，
若 AE 是∠BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE 与 BC 交于点 E，BE：EC=2：3，点 D 在线段 AE 上，且∠EDF=
∠BAE，试判断 AB、DF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）如图①，延长 AE 交 DC 的延长线于点 F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵E 是 BC 的中点，
∴CE=BE，
在△AEB 和△FEC 中，
，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE 是∠BAD 的平分线，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB，
故答案为：AD=AB+DC；
∵AE 是∠BAF 的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF；
变式 4：（2018·江苏常州·10 分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，
所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知
转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解
把它转化为 x（x2+x﹣2）=0，解方程 x=0 和 x2+x﹣2=0，可得方程 x3+x2﹣2x=0 的解．
（1）问题：方程 x3+x2﹣2x=0 的解是 x1=0，x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 =x 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m，宽 AB=3m，小华把一根长为 10m 的绳子的一端固
定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD.DC 走
到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C．求 AP 的长．
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理
方程转化为整式方程，求解。学科#网
（2） =x，
方程的两边平方，得 2x+3=x2
即 x2﹣2x﹣3=0
（x﹣3）（x+1）=0
∴x﹣3=0 或 x+1=0
∴x1=3，x2=﹣1，
当 x=﹣1 时， = =1≠﹣1，
所以﹣1 不是原方程的解．
所以方程 =x 的解是 x=3；
（3）因为四边形 ABCD 是矩形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设 AP=xm，则 PD=（8﹣x）m
因为 BP+CP=10，
两边平方并整理，得 x2﹣8x+16=0
即（x﹣4）2=0
所以 x=4．
经检验，x=4 是方程的解．
答：AP 的长为 4m．
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