湘教版九年级数学下册第1章二次函数

第 1 章 二次函数 1.1 二次函数 1. 一元二次方程的一般形式是什么？ 2. 一次函数、正比例函数的定义是什么？ 请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： （ 1 ）圆的面积 y( ) 与圆的半径 x(cm); （ 2 ）某商店 1 月的利润是 2 万元， 2 、 3 月利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为 x ， 3 月份的利润为 y; 合作学习 探索新知 （ 3 ）一个温室的平面图如图 , 温室外围是一个矩形，周长为 12 0 m ，室内通道的尺寸如图 , 设一条边长为 x （ m ） , 种植面积为 y （ m 2 ） . 1 1 1 3 x 1. y =πx 2 2. y = 2(1+x) 2 3. y= (60-x-4)(x-2) =2x 2 +4x+2 =-x 2 +58x-112 思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些共同的特征 ? 经化简后都具有 y=ax ² +bx+c 的形式， (a ， b ， c 是常数，且 ) . a≠0 定义：一般地，形如 y=ax ² +bx+c (a,b,c 是常数 , a ≠ 0) 的函数叫做 x 的 二次函数。 （ 1 ）等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的 整式； （ 3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项 。 注意 ： （ 2 ） a,b,c 为常数，且 （ 4 ） x 的取值范围是 。 a ≠0 ； 2 任意实数 二次函数的一般形式 : y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( 其中 a 、 b 、 c 是常数 , a ≠0) 二次函数的特殊形式： 当 b ＝ 0 时， y ＝ ax 2 ＋ c 当 c ＝ 0 时， y ＝ ax 2 ＋ bx 当 b ＝ 0 ， c ＝ 0 时， y ＝ ax 2 函数解析式 二次项系数 a 一次项系数 b 常数项 c 0 0 2 4 2 - 1 58 - 112 13 0 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： 试一试 : 二次函数 y ＝ ax 2 + bx+c 中 a ≠0, 但 b 、 c 可以为 0. 例题讲解 例 下列 函数中， 哪些是二次函数？若是 , 分别指出二次项系数 , 一次项系数 , 常数项 . (1) y=3(x-1) ² +1 (2) y=x+ ( 3) s=3-2t ² (4) y=(x+3)²-x² (5)y= - x (6) v=10 π r² 1 x __ x² 1 __ 解 : (1) y= 3( x- 1)² + 1 = 3( x 2 - 2 x+ 1) + 1 = 3 x 2 - 6 x+ 3 + 1 即 y= 3 x 2 - 6 x+ 4 是二次函数 . 二次项系数 : 一次项系数 : 常数项 : 3 -6 4 (2) y=x+ 1 x __ 不是二次函数 . (3) s= 3 - 2 t² 是二次函数 . 二次项系数 : 一次项系数 : 常数项 : -2 0 3 (4) y= ( x+ 3)² -x ² =x 2 + 6 x+ 9 -x 2 即 y= 6 x+ 9 不是 二次函数 . 二次项系数 : 一次项系数 : 常数项 : 10 π 0 0 不是二次函数 . (5) y= - x x² 1 __ (6) v= 10 π r ² 是二次函数 . x 用 20 米长的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边长为 x m, 矩形的面积为 y m 2 。求 ： ( 1) 写出 y 关于 x 的函数关系式 . (2) 当 x=3 时 , 矩形的面积为多少 ? (2) 当 x=3 时 ( 0 < x0 图 象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 x y O 向上 (0 ,0) y 轴 当 x 0) 的形状是由 a 来确定 的 , 一般说来 , a 越 大 , 开口越大 当 x >0 时 ， y 随着 x 的增大而 增大 练习 1 ：根据函数图象填空： 抛物线 y=2x 2 的开口方向是 对称轴是 ，顶点坐标是 , 在 侧， y 随着 x 的增大而增大； 在 侧， y 随着 x 的增大而减小， 当 x= 时，函数 y 的值最小，最小值是 , 抛物线 y=2x 2 在 x 轴的 方（除顶点外）。 （ 0 ， 0 ） y 轴 对称轴的右 对称轴的左 0 0 上 向上 练习 2 ：若抛物线 y=ax 2 (a ≠ 0) ， 过 点 (-1 ， 3 ) . （ 1 ）则 a 的值是 ； （ 2 ）对称轴是 ，开口 . （ 3 ）顶点坐标是 ， 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外） . 3 y 轴 向上 (0,0) 上 （ 4 ）求 出这个二次函数的最大值或最小值 . （ 5 ） 在此抛物线上有两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 且 x1>x2>0, 试比较 y1 与 y2 的大小 . 第 2 课时 复习 1 、二次函数 的 图象及性质： (1) 图象是 ； (2) 顶点为 ， 对称轴为 ； 、 (3) 当 a >0 时， 抛物线开口 向 ，顶点 是最 点 ， 在对称轴的 左侧， y 随 x 的 增大而 ， 在对称轴的 左侧， y 随 x 的 增大而 ， a 值越大 ，开口 越 ； 、 (4) 当 a 0 时，向上 平移 个 单位； (2) 当 c 0 时，开口向上； 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大； 当 x =0 时， y 取最小值为 c 。 3. 当 a 0 时，向上 平移 个 单位； (2) 当 c 0 时，开口向上； 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大； 当 x =0 时， y 取最小值为 c 。 3. 当 a 0 时，向右平移 个 单位； (2) 当 h 0 时，开口向上； 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大； 当 x = h 时， y 取最小值为 0 。 3. 当 a 0 时，向上 平移 个单位； (2) 当 c 0 时，向右平移 个 单位； (2) 当 h 0 时，开口向上； 在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增大； 当 x = h 时， y 取最小值为 k 。 二次函数 图象 及性质： 归纳 3. 当 a 0 ) y = ax 2 + bx + c ( a 0 ，抛物线 开口向上 解 : a = － 1 < 0 ，抛物线 开口向下 （ 2 ） 解 : a = － 2 < 0 抛物线开口向下 （ 3 ） 解 : a = 0.5 > 0 抛物线开口向上 （ 4 ） 2 ．已知直角三角形两条直角边的和等于 8 ，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 第 1 章 二次函数 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 (1) y= k x+ b ( k≠ 0) 系数 k 待定 找 一 个点 确定 一 个方程 解 一元一次方程 系数 k, b 待定 找 两 个点 两 个方程 解 二元一次方程组 y= k x ( k ≠0) y= ( k ≠ 0) x k 1. 什么 是待定系数法？ 怎样用待定系数法确定函数解析式？ 2、二次函数的解析式怎样？ 要确定二次函数表达式需待定的系数是哪些？ y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0) 解： 设二次函数表达式是： y = ax 2 + bx +c c=2 a + b +c=0 4 a -2 b +c=3 例1、 已知一个二次函数的图象过点 （ 0 ， 2 ）、 （ 1 ， 0 ）、（ -2 ， 3 ） 三点，求这个函数的表达式？ 把点 ( 0 ， 2 )、( 1 ， 0 )、( -2 ， 3 ) 代入表达式，得： 解之得： 2 1 a = - 2 3 b= - c=2 ∴ y = - x 2 - x +2 2 3 2 1 已知 三点 求二次函数的解析式。 1. 设 y=ax 2 +bx+c 2. 代 （三点） 3. 列 （三元一次方程组） 4. 解 5. 写 （回代，写成一般形式） （消元） 解： 设   y = a ( x ＋ 1 ) 2 - 3 例2、 已知抛物线的顶点 为 (- 1,-3 ) ， 与 x 轴交点为 ( 0,-5) ，求 抛物线的解析式？ y = - 2( x ＋ 1) 2 - 3 ，即 y = - 2 x 2 -4 x - 5 y = -2 ( x 2 + 2 x + 1 ) -3 又抛物线与 x 轴交点为（ 0 ， - 5 ） a -3 =- 5 ，得 a = -2 已知抛物线的 顶点 求表达式。 “设”时，不设一般式，而设为 “y=a(x - h) 2 +k ” 的形式（ 顶点式 ） 。 再把另一点代入，得一元一次方程。 (1 )已知 抛物线 y = x 2 +4 x +3它的开口向 ，对称轴 是 直线 ，顶点坐标为 ，图象与 x 轴的交 点为 ，与 y 轴的交点为 . 上 x =-2 （ -2 ， -1 ） (-3,0) ， (-1,0 ) （ 0 ， 3 ） ( 2 ) 二次函数 y =3( x +1) 2 +4的顶点坐标为 。 (-1 ， 4 ) (3 )顶点 为（ 0 ， 0 ）且过点（1， -3 ）的抛物线的解析 式 为 . y = - 3 x 2 (4 )抛物线 y =- x 2 -2 x + m ，若其顶点在 x 轴上 ，则 m = . -1 ( 5)写出 一个图象经过原点的二次函数 的表达 式 . y=x 2 y =- x 2 +3 x 1 、填空 巩固练习 4、已知抛物线与 x 轴交于点M （ - 1 , 0 ） 、 （2 , 0 ） ，且 经过点 （ 1 , 2 ） ，求抛物线解析式． 3、当自变量 x = 0 时，函数 值 y = - 2 ，当自变量 x = - 1 时，函数值 y = - 1 ，当自变量 x =1 时，函数值 y = 1, 求当自变量 x = 2 时，函数值 y 是多少 ？ y =2 x 2 + x -2 2、二次函数的图象过点 （ - 1 , 0 ）（ 2,0 ）（ - 3 , 5 ） 求这个函数的表达式？ 5、已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标为 (2 ， 1) ，且这条抛物线与 x 轴的一个交点坐标是 (3 ， 0) ，求抛物线的表达式。 设一般式 a - b + c =0 4 a +2 b + c =0 9 a -3 b + c =5 设一般式求出表达式，再求函数值。 实际就是已知三点，求函数表达式。 设顶点式，求解。 6、某抛物线是将抛物线 y=ax 2 向右平移一个单位长度 ，再 向上平移一个单位长度 得到的 ，且 抛物线过点（ 3,-3 ），求 该 抛物线的表达式 。 顶点坐标（ 1 ， 1 ）设 y = a ( x -1) 2 +1 7、已知抛物线对称轴为 x =2 ，且经过点 （ 1 ， 4 ） 和 （ 5 ， 0 ） ，求该二次函数解析式。 8、抛物线的图象经过 （ 2 ， 0 ）与（ 6 ， 0 ）两点，其顶点的纵坐标是 2 ，求它的函数关系式 提示： 由题意得 x = = 4 2 2 +6 ∴ 顶点坐标为（ 4 ， 2 ） 由顶点式可 求得 , y = - x 2 +4 x -6 2 1 设 y = ax 2 + bx + c - = 2 2 a b a+b+c= 4 25 a +5 b + c =0 设 y = a ( x -2) 2 + k a + k =4 9 a + k =0 今天我们学到了什么？ 1 、求二次函数解析式的一般方法： . 已知图象上 三点 坐标，通常选择 一般式 。 . 已知图象的 顶点 坐标（ 对称轴或最值 ）,通常选择顶点式。 y= a x 2 + b x + c （ a ≠ 0 ） 三个 系 数待定 找 三 个点 三 个方程 解 三元一次 方程组 2 、求二次函数解析式的 常用思想 ： 转化思想 无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为 一般形式 。 解方程或方程组 课堂小结 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 (2) 1 、求二次函数解析式的一般方法： . 已知图象上 三点 坐标，通常选择 一般式 。 . 已知 图象的 顶点 坐标（ 对称轴或最值 ）,通常选择顶点式。 y= a x 2 + b x + c （ a ≠ 0 ） 三个 系 数待定 找 三 个点 三 个方程 解 三元一次 方程组 2 、求二次函数解析式的 常用思想 ： 转化思想 无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为 一般形式 。 解方程或方程组 3、求二次函数解析式的 两种形式： 一般式： y=ax 2 +bx+c 顶点式： y = a ( x - h ) 2 + k 例 1、已知抛物线与 x 轴交于点 A ( - 2 , 0) , B （ 1 , 0 ）， 且 经过 点 C （ 2 , 8 ） ，求该二次函数解析式。 解： 设二次函数解析式为 y=ax 2 +bx+c ， 则 4 a -2 b + c =0 a + b + c =0 4 a +2 b + c =8 解 得 a =2 b =2 c =-4 ∴ y= 2 x 2 +2 x -4 想一想： 还有更快更好的解法吗？ 由 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点(-2,0)和 (1，0) ，设 x 1 = - 2， x 2 =1， 将 x 1 、 x 2 分别代入二次函数解析 式中 可得 y =0， x 1 、 x 2 也就是一元二次方程 ax 2 + bx + c =0的根 ，方程 可写成 a ( x - x 1 )( x - x 2 )=0 形式。 二次函数的解析式： y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( a ≠0) ， 我们把这种解析式称为 “交点式” 。 于是，二次函数的解析式也可得到以下这种形式： 小结：二次函数的表达式有几种形式？ 已知抛物线与 x 轴交于点 A ( - 2，0)， B （ 1 ， 0 ）， 且 经过 点 C （ 2 ， 8 ） ，求该二次函数解析式。 解法二： 设函数解析式为 y = a ( x +2)( x -1) ， 又抛物线经过 点 C(2,8) ，则 把点 C(2,8) 代入 可得 ， 8= a (2+2)(2-1 ) ， 解得 a =2 故解析式为 y =2( x +2)( x -1 ) ， 即 y =2 x 2 +2 x -4 例2．已知二次函数图象经过点 (1，4)、(-1，0)和(3，0) 三点， 求 二次函数的表达式。 （交点式） ∵二次函数图象经过点 (3，0)、(-1，0) ∴设二次函数表达式为 ： y = a ( x -3)( x +1) ∵ 函数图象过点(1，4) ∴ 4 = a (1-3)(1+1) 得 a = -1 ∴ 函数的表达式为： y = -( x +1)( x -3) = - x 2 +2 x +3 知道抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，用交点式比较简便。 （一般式） 设二次函数解析式为 y = ax 2 + bx +c ∵ 二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)，则得： a+b+c= 4 a-b+c= 0 9 a +3 b +c=0 解得 a = -1 b =2 c =3 ∴ 函数的解析式 为 y = - x 2 +2 x +3 ∵  抛物线与 x 轴相交两点 (-1,0) 和 (3,0) ， ∴  点(1，4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式 为 y = a ( x - 1) 2 +4  （顶点 式） ∵ 抛物线过点(-1， 0) ∴ 0= a (-1-1) 2 +4 得， a = -1 ∴ 函数的解析式 为 y = -( x -1) 2 +4=- x 2 +2 x +3 4、已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0， - 3）， 求 出 对应的二次函数解析式。 y=-x 2 +4x-3 5、已知二次函数y＝ax 2 ＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点 ， 它 的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式？ y=x 2 -4x-5 1 、求 经过三 点 A （ -2 ， - 3 ）， B （ 1 ， 0 ）， C （ 2 ， 5 ） 的二次函数 的 解析 式 . 2 、已知抛物线的顶点为 D(-1 ， -4) ，又经过点 C(2 ， 5) ，求其解析式。 3 、已知抛物线与 x 轴的两个交点为 A( - 3 ， 0) 、 B(1 ， 0) ， 又经过 点 C(2 ， 5) ，求其解析式。 6 、抛物线与 x 轴的一个交点坐标是(-1，0) ，且 当 x = 1 时 ， 函数 有最大值为 4 ，求此函数解析式。 课堂练习 7、已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当 x =3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。 8、已知 二次函数的对称轴是直线 x =1 ，图像上最低点 P 的纵坐标为 -8 ，图像还过点 (-2 ， 10) ，求此函数的表达式。 顶点坐标（ 1 ， - 8 ）设 y = a ( x -1) 2 -8 9 、 已知 二次函数的图象与 x 轴两交点间的距离为 4 ， 且当 x =1 时，函数有最小值 -4 ，求此表达式。 顶点坐标（ 1 ， -4 ）设 y = a ( x -1) 2 -4 10、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为 16 m ，跨度为 40 m ．现把它的图形放在坐标系里 ( 如图所示 ) ，求抛物线的解析式． y = - x 2 + x 25 1 5 8 求二次函数解析式的一般方法：  已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式 y=ax 2 + bx+c   已知图象的顶点坐标、对称轴和最值 通常选择顶点式 y = a ( x - h ) 2 + k  已知图象与 x 轴的两个交点的横 x 1 、 x 2 ， 通常选择交点式（两根式） y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) 。 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。 课堂小结 第 1 章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 已知函数值 y = 0 ， 求对应自变量 x . 请问 这位同学的跳远成绩是多少？ 高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间具有的关系 : 高度 h(m) 与时间 t(s) 之间具有的关系 : h=20t-5 t 2 球从飞出到落地需要多少时间？ 已知函数值 h = 0 ， 求对应自变量 t. 已知 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 的函数值 为 0 ， 求 自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0). 探究新知 (1) 球的飞行高度能否达到 15m? 若能 , 需要多少飞行时间 ? 已知函数值 h=15 ，求对应自变量 t. ( 2) 球的飞行高度能否达到 20m? 若能 , 需要多少飞行时间 ? ( 3) 球的飞行高度能否达到 20.5m? 若能 , 需要多少飞行时间 ? 已知 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 的函数值为 m ，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 + bx + c = m ( 或 ax 2 + bx + c - m =0) ( a ≠0). 探究新知 h=20t-5 t 2 归纳总结 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 的函数值 为 0 ，求 自变量 x 的值，可以看作解 一元二次方程 ax 2 + bx +c= 0( a ≠0 ). 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 的 函数值为 m ，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 + bx +c = m ( 或 ax 2 + bx +c - m =0) ( a ≠0). 以上关系反之也成立 . 根据图象你能得出相应方程的解吗 ? 思考 0 x y 1 y = x 2 + x -2 y = x 2 - 6 x +9 y = x 2 - x +1 . . (1) 方程 x 2 + x -2=0 的根是 ______________; (2) 方程 x 2 -6 x +9=0 的根是 ______________; (3) 方程 x 2 - x +1=0 的根是 ______________. 如果抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 与 x 轴有公共点 ( x 0 , 0 ) , 那么 x = x 0 就是方程 ax 2 + bx + c =0 的一个根 . x 1 =-2, x 2 =1 x 1 = x 2 =3 无实数根 归纳总结 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象和 x 轴交点 一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 的根 有两个交点 有两个相异的实数根 有一个交点 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 根的判别式 Δ =b 2 -4ac b 2 -4ac > 0 b 2 -4ac = 0 b 2 -4ac < 0 说明： a≠0 练一练 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？有几个交点？ (5) y=2 x 2 - (4k+1)x+2 k 2 -1; (1) y=2 x 2 +x-3; (2) y=-4 x 2 -4x-1; (3) y=3 x 2 -2x+3; (4) y= x 2 +(2k+1)x- k 2 + k; 若此抛物线 与 x 轴有两个交点 , 求 k 的取值范围 . 基础练习 : 1. 不与 x 轴相交的抛物线是 ( ) A y = 2 x 2 – 3 B y= - 2x 2 + 3 C y= - x 2 –3 x D y = - 2 (x+1) 2 - 3 2. 若抛物线 y=ax 2 +bx+c, 当 a>0,c