沪科版八年级数学下册第19章四边形

第 19 章 四边形 19.1 多边形内角和 在平面内，由 三条 不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做 三角形 . 在平面内，由 若干条 不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做 多边形 . 在平面内，由 五条 不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做 五边形 . 在平面内，由 四条 不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做 四边形 . 自主学习 顶点 内角 边 对角线 ( 连接不相邻两个顶点的线段 ) 多边形的相关元素 外角 表示：五边形 ABCDE A C B D E 图 1 是 凸多边形， 图 2 不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形 . 图 2 如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形 . 图 1 A C B D A C B D 相关概念 在多边形的顶点处 一边与另一边的延长线 所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取 这个多边形的一个外角 ，它们的和叫做这个多边形的外角和. 如何求出任意五边形的内角和？你能想出几种办法？ 合作探究 活动1：探究 多边形的内角和 多边形的边数 4 5 6 … n 分成三角形的个数 … 多边形的内角和 … 2 3 4 n -2 360° 540° 720° ( n -2)×180° 从多边形的一个顶点出发，引出所有的对角线，从而把多边形分割为多个三角形 . 定理： n 边形的内角和等于 ( n － 2)·180  （ n 为不小于 3 的整数 ） . 说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关 . 已知一个多边形，它的内角和等于 900° ,求这个多边形的边数 . 解： 设多边形的边数为 n. 因为它的内角和等于 ( n -2) •180° ， 所以 ( n -2) •180°= 900 °. 解 得 n =7. 所以 这个 多边形的边数为 7. 有一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，有几种情况？剩下的残余桌面的内角和为多少？ 思考题： 三角形的外角和是多少度？你是怎样探究出来的？ A B C D E F 1. 先把三角形的三个外角和三个内角这六个角 的和求出来，刚好是三个平角. 2. 再用这六个角的和减去三个内角的和，剩下 的就是三角形的外角和了！ 3×180°-( 3-2) × 180°=360° 活动2：探究 多边形的外角和 那么你能研究出四边形的外角和吗？ 整体思路： 1. 先求 4 个 外角 +4 个内角的和； 2. 再减去 4 个内角的 和 . 容易看出， 4 个外角 +4 个内角 =4 个 平角，而 4 个 内角的和是（ 4-2 ） × 180 ° ，那么 四边形的 外角和 就是 4× 180°- （ 4-2 ） × 180 °= 360 °. 类比推理 五边形的外角和是多少度？ 六边形的外角和是多少度？ n 边形的外角和是多少度？ … … … … … … … 5×180°-( 5-2) × 180°=360°. 6×180°-( 6-2) × 180°=360°. n ×180°-( n -2) × 180°= 360 °. n 边形的外角和等于 360° 理论证明： 所以 n 个外角与 n 个内角的和 是 n ×180° ， 所以 n 边形外角和 是 n ×180 ° -( n -2) × 180 ° =360 °. 而 n 边形的内角和 是（ n -2 ） × 180 °. 因为 n 边形的每个外角与它相邻的内角 互补， ( n ≥3 ） . 知识要点 变式：你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的内角和公式吗？ n • 180 ° - 360 ° = n • 180 ° -2×180 ° = （ n -2 ） • 180 °. 分析 ： 例 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？ 解： 设这个多边形的边数为 n ，则它的内角和等于 ( n -2)•180 ° 。 因为外角和等于 360 ° ， 所以 ( n -2)•180°= 3×360 °. n = 8 ， 所以这个 多边形的边数为 8. 三角形如果三条 边 都相等，三个 角 也都相等，那么这样的三角形就叫做 正 三角形. 如果多边形各 边 都相等，各个 角 也都相等，那么这样的多边形就叫做 正多边形 .如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 . 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 ( 或正四边形 ) 活动3：探究 正多边形 下列图形是不是正多边形？ （ 1 ）各条边都相等的多边形是正多边形； （ 2 ）各个角都相等的多边形是正多边形. 由上面的结论判定下列说法正确吗？ 强调： 2. 各个角都相等。 1. 各个边都相等； 缺一不可： 菱形 长方形 课堂小结 在平面内，由 若干条 不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做 多边形 . n 边形的内角和等于 ( n － 2)·180  （ n 为不小于 3 的整数 ） . 说明：多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状 无关 . n 边形的外角和等于 360° ( n ≥3 ） . 第 19 章 四边形 19.2 平行四边形 第 1 课时 中国航母第一舰 —— 辽宁号 情景导入 如果将一个三角形的两边分别 平移, 会得到什么图形？ 请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的 位置关系 呢？ 自主学习 1. 两组 对边 分别 平行 的四边形叫做 平行四边形 ． 2. 如图，平行四边形 ABCD ， 记作： ABCD . 读作： 平行四边形 ABCD . 几何语言： ∵ AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 如：线段 AC 就是 ABCD 的一条对角线 . 3. 平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的 对角线 . 4. 平行四边形中，相对的边称为 对边 ， 相对的角称为 对角 . 知识要点 将两个全等的三角形纸片 相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几 个 ？与同学交流你的拼法，并把它展示出来. 通过拼图你可以得到什么启示？ 例 如图，在 □ ABCD 中， EF ∥ AD ， GH ∥ DC ， EF 与 GH 相交于点 O ，则该图中平行四边形的个数共有 个 . 9 提示 根据平行四边形的定义可知，只要四边形的两组对边分别平行，就可知此四边形是平行四边形。 图中的平行四边形有： □ ABCD ， □ AEOG ，□ BHOE ， □ DGOF ， □ CFOH ， □ ABHG ，□ HCDG ，□ AEFD ， □ BCFE. 1. 复习对边 的位置关系： AB ∥ CD , AD ∥ BC . 3. 猜想对角的数量关系： ∠A=∠C , ∠B=∠D . 2. 猜想对边的数量关系： AB=CD , AD=BC . 合作探究 活动1：探究 平行四边形对边、对角的性质 已知 ： ABCD , AB ∥ CD ， AD ∥ BC. 求证 ： AB = CD ， BC = DA ； ∠ B =∠ D , ∠ BAD =∠ DCB . A B C D 你能用数学知识来 论证结论 吗？ 1. 有关四边形的问题常常转化为三角形 问题来解决 ； 2. 平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的 三角形。 A B C D 提示 证明：如图，连接 AC. ∵ AD ∥ BC ， AB ∥ CD. ∴∠1=∠2 ，∠ 3=∠4. 又 AC 是△ ABC 和△ CDA 的公共边， ∴ △ ABC ≌ △ CDA, ∴ AD = BC ， AB = CD ， ∠ B =∠ D. 推理证明 1 .同学们自己证明∠ BAD =∠ DCB . 又∵∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠ 4, ∴ ∠ 1+ ∠ 4= ∠ 2+ ∠ 3, 即∠ BAD = ∠ DCB . 2 .不添加辅助线，你能否直接 运用平行四边形的定义， 证明其对角相等？ A B C D 几 何 语 言 边 角 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， AB ∥ DC. ∴ AD = BC ， AB = DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A B C D 平行四边形的性质 知识要点 例 1 如图，在 □ ABCD 中 , (1)若∠ A =130°，则∠ B =______ ，∠ C =______ ， ∠ D =______. (2)若∠ A + ∠ C = 200°，则∠ A =______ ，∠ B =______. (3)若∠ A :∠ B = 5:4，则∠ C =______ ，∠ D =______. （4）若 AB =3, BC =5,则它的周长为 ______. C D A B 50° 130° 50° 100° 80° 100° 80° 1 6 （1）平行四边形的对角相等； （2）平行四边形的邻角互补； （3）平行四边形的一组 邻边 之和等于周长的一半 , 反之，周长等于 2 倍的邻边之和 . 平行四边形中知道一个内角的度数就可以求 出其他三 个内角的度数. 例 2. 有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE =60 cm ， BC =80 cm ，∠ B =60° 且 AE ∥ BC , AB ∥ CF , 你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠ D 的度数吗？ 利用平行四边形的性质 解题 . 解 ∵ AE // BC ， AB // CF ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ D =∠ B =60° ， AD = BC =80cm. ∴ ED = AD - AE =80-60=20cm. 答 DE 的长度是 20cm, ∠ D 的度数是 60° . 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度． 经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等 ( 从图中也可以看到这一点 ) ．这种现象说明了 平行线的又一个性质 ： 平行线之间的距离处处相等． 活动2：探究 平行线之间的距离 A B 两条 平行线之间 的距离与 点 和 点 之间的距离、 点到线 之间的距离有何区别与联系？ a b A B ∟ 过 直线 外的点 作直线的垂线段的 长度叫点到直线的距离，垂线段只有一条；从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线 , 垂线段的长度叫两条平行线之间的距离 , 垂线段有 无数 条 . a b A B C D 由上可知：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的 点到 另一条直线的距离都相等。即如图： AB=CD ( 简记为：两条平行线间的距离处处相等）. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这 两条平行线之间的距离. 知识要点 例 如图，直线 AE // BD ，点 C 在 BD 上，若 AE =5 ， BD =8 ，△ ABD 的面积为 16 ，则△ ACE 的面积为 . A B C D E 根据平行线之间的距离处处相等. 解 设高为 h , 则 S △ ABD = · BD · h =16, h =4, 所以 S △ ACE = ×5 ×4=10. 10 变式： (1 ) 在 □ ABCD 中，∠ A =150° ， AB =8cm, BC =10cm, 则 S □ ABCD = . 过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ， 然后利用含 30° 角的直角三角形的性质求 出 AE 的值. 40 cm 2 (2 ) 若点 P 是 □ ABCD 中 AD 上任意一点，那么△ PBC 的面积是 . 20cm 2 △ PBC 与 □ ABCD 是同底等高. 2. 平行四边形的边和角有这样的性质： . 1. 这节课我认识了一种新的四边形： . 其定义为： . 3. 我还学到了一种重要的数学思想： . 在平行四边形中常常作 将平行四边形问题转化成 问题 . 对边平行 , 对边相等，对角相等 转化思想 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 平行四边形 三角形 对角线 从三角形来，回三角形去 . 课堂小结 注意：性质与定义不要混淆哦！ 第 19 章 四边形 19.2 平行四边形 第 2 课时 1. 定义 : 有两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形. 2. 记作 : ABCD. 3. 读作：平行四边形 ABCD. A B C D 复习导入 平行四边形的性质： ①平行四边形的对边分别相等； ①平行四边形的对角相等； A B C D 1. 边： 2. 角： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴∠ A =∠ C , ∠ B =∠ D ， ∠ A +∠ B =180°. ②平行四边形的对边分别平行； ③平行四边形的邻边之和 = 周长 . ②平行四边形的邻角互补. 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起 , 在它们的中心 O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕 O 旋转 180° ，你发现了什么 ? A C D B O 合作探究 活动1：探究平行四边形对角线的性质 ● A D O C B D B O C A 再看一遍 ● A D O C B D B O C A 你有什么猜想？ 根据刚才的旋转，你知道平行四边形是什么图形？它的对角线有什么性质吗？ 猜一猜 1. □ABCD 绕它的中心 O 旋转 180° 后与自身重合，这时我们说 □ ABCD 是中心对称 图形，点 O 是它的对称中心. 2. 平行四边形的对角线互相平分. A C D B O 已知：如图， ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证： OA=OC ， OB=OD . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=BC ， AD ∥ BC . ∴ ∠ 1=∠2 ，∠ 3=∠4. ∴ △ AOD ≌△ COB （ ASA ）， ∴ OA=OC ， OB=OD . 3 2 4 1 重要结论 1. 平行四边形是 中心对称图形 ，其对称中心是对角线的 交点 O ； 2 . △ ABO ≌ △ CDO ， △ AOD ≌ △ COB ， △ ABD ≌ △ CDB ， △ ABC ≌ △ CDA ； 3. △ ABO 、 △ AOD 、 △ DOC 、 △ COB 的 面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一. A C D B O 性质定理 3 ：平行四边形的 对角线互相 平分 . 知识要点 例 1 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AB ⊥ AC ， AB =3 ， AD =5 ，求 BD 的长. 提示 先利用勾股定理求出 AC 的 长 ， 进而可知 AO 的 长 ， 再利用勾股定理求出 BO 的 长 ， 从而可知 BD 的 长 . 解： ∵四边形 ABCD 是 平行四边形 , ∴ BC = AD =5. ∵ AB ⊥ AC ， ∴ △ ABC 是 直角三角形 . , ∴ AO = AC =2. ∴ BD =2 BO = ∴ 例 2 如图，在 □ ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 O . （ 1 ）已知 BC =10 ， AC =8 ， BD =14 ，则 △ AOD 的周长是 ； △ DBC 比 △ ABC 的周长大 . 21 6 △ DBC 与 △ ABC 的周长之 差其实 为 BD 与 AC 之差. 提示 例 3 如图，在 □ ABCD 中 ， AC 、 BD 相交于点 O . （ 2 ）过点 O 作直线 EF 分别交 AD 、 BC 于点 E 、 F ，试问 OE = OF 吗？为什么？ 分析 欲证 OE = OF ，只需证△ AOE ≌ △ COF 即可. 过程由同学们自行完成！ 结论 由于平行四边形是中心对称图形，因此只要过对称中心（即对角线交点）作 直线，交对边得到 的一组线段一定相等. 1 . 通过本节课的学习，你有什么收获？ 2 .平行四边形的性质共有哪些？ 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 课堂小结 第 19 章 四边形 19.2 平行四边形 第 3 课时 有两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形 . 平行四边形的对边相等 ; 平行四边形的对角相等 . 平行四边形的对角线互相平分. 性质： 定义： 既是平行四边形的性质也是平行四边形的判定. 你能说出这三个性质的逆命题吗？ 知识链接 复习导入 两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题. 通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？ 你能根据 平行四边形的定义 证明它们吗？ 合作探究 活动：探究平行四边形的判定 A B C D 1 2 3 4 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 已知：四边形 ABCD 中， AB=DC ， AD=BC ， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明思路 作对角线构造全等三角形 两组对应角相等 两组对边分别平行 四边形 ABCD 是平行四边形 A B C D 1 2 3 4 连结 AC ， 在△ ABC 和△ CDA 中 , AB = CD ( 已知 ), BC = DA ( 已知 ), AC = CA ( 公共边 ), ∴△ ABC ≌△ CDA (SSS ). ∴ ∠ 1=∠4 , ∠ 2=∠ 3. ∴ AD ∥ BC , AB ∥ CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 证明欣赏 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 已知：四边形 ABCD 中，∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ，求证：四边 形 ABCD 是平行四边形. A B C D 证明思路 四边形内角和等于 360° ∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ∠ A +∠ B =180 ° AD // BC 同理 AB // CD 四边形 ABCD 是平行四边形 A B C D ∠ A =∠ C ，∠ B =∠ D ， ∵∠ A +∠ C +∠ B +∠ D =360 ° ， ∴ 2∠ A +2∠ B =360 ° ， 即∠ A +∠ B =180 °. ∴ AD ∥ BC ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 同理得 AB ∥ CD. 证明欣赏 已知：四边形 ABCD 中， OA = OC ， OB = OD ， 求证：四边 形 ABCD 是平行四边形 . 证明： A B C D O 对顶角相等 . 在△ AOB 和△ COD 中 , OA = OC ( 已知 ), OB = OD ( 已知 ), ∠ AOB =∠ COD ( 对顶角相等 ), ∴△ AOB ≌△ COD (SAS ), ∴ ∠ BAO =∠ OCD , ∠ ABO =∠ CDO, ∴ AB ∥ CD , AD ∥ BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定方法： 定义法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 判定定理 2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 判定定理 3 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判定定理 1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 知识要点 A B C D O AB=DC AD=BC AB ∥ DC AD ∥ BC ABCD ∠ ABC= ∠ ADC ∠ BAD= ∠ BCD OA = OC OB = OD 几何语言描述判定： ABCD ABCD ABCD 例 填空：如 图，在 四边形 ABCD 中， （ 1 ）若 AB // CD ，补充条件 ，使四边形 ABCD 为平行四边形； （ 2 ）若 AB=CD ，补充条件 ，使 四边形 ABCD 为平行四边形； （ 3 ）若 对角线 AC 、 BD 交于点 O ， OA = OC =3 ， OB =5 ， 补充条件 ，使四边形 ABCD 为平行四边形. 提示 紧扣平行四边形的判定方法补上缺失条件. AD//BC AD=BC OD =5 B O D A C （ 4 ）已知 E 、 F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点，补充条件 ，使四边形 BFDE 是平行四边形.并加以证明. O D A B C E F AE=CF 证明： ∵ 四边形 ABCD 是 平行四边形， ∴ AO=CO ， BO=DO. ∵ AE=CF, ∴ AO － AE=CO － CF. ∴ EO=FO. 又 BO=DO, ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形. 想想还有 其他证 法吗？ 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个 四边 形能成为 平行四边形呢？ 我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 连接 AC . ∵ AB // CD , ∴∠1=∠2. 又 AB=CD ， AC=CA ， ∴△ ABC ≌ △ CDA . ∴ BC=DA . ∴四边形 ABCD 的两组对边分别相等，它是平行四边形 . D A B C 如图，在四边形 ABCD 中， AB//CD ， AB=CD . 求证：四边形 ABCD 是平行四边形 . 证明： 1 2 ( ) 判定定理 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. A B C D ABCD “ ”读作“平行且相等” . AD BC 知识要点 平行四边形 AEFD 和平行四边形 EBCF 有一条公共边 EF ，我们称它们是共边的两个 平行四边形 . 根据 平行四边形的性质非常容易得到 AD BC . // = 例 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. A B C D E F 你会证了吗？试试吧！ 提示 A B C D E F 证明：∵ 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形， ∴ AD EF ， EF BC . ∴ AD BC. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 . // = // = // = 从边来判定 1 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ( 定义 ) 2 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形 从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 （一）平行四边形的判定方法(1) 课堂小结 3 .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2） 已知有一条对角线被平分，再证另一条对角线被平分，构成判定定理 3 . 1）已知一组对角相等，再证另一组对角相等，构成判定定理 2 . （二）证一个四边形是平行四边形的思路： 先找现有条件 再证缺失条件 构成判定方法 （三）平行四边形判定方法的选择方法 3） 已知一组对边平行，可以证另一组对边平行，即定义法；也可证这组对边相等，构成判定定理 4 . 4） 已知一组对边相等，可以证另一组对边相等，构成判定定理 1 ；也可证这组对边平行，构成判定定理 4 . 第 19 章 四边形 19.2 平行四边形 第 4 课时 如图， A 、 B 两点被池塘隔开，现在要测量出 A 、 B 两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在 A 、 B 外选一点 C ，连接 AC 和 BC ，并分别找出 AC 和 BC 的中点 D 、 E ，如果能测量出 DE 的长度，也就知道 A 、 B 的距离 了 . 这 是什么道理呢？ 情景引入 想一想，什么是三角形的中线呢？ A B C D E 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，连接 DE .则线段 DE 就称为△ ABC 的 中位线. 活动：探究三角形的中位线的定理及应用 合作探究 F 三角形的中位线和三角形的中线一样吗？ 中位线 A B C D E 中线 连接一 顶点 和它的 对边中点 的线段. 三角形的中位线 三角形的 中位线 是连接三角形 两边中点 的线段． 三角形的中线 (1) 一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？ A B C D E F 答：有三条，见图中中位线 DE 、 DF 、 EF . (2) 请你猜想：三角形的中位线 DE 与 BC 有什么样的位置关系和数量关系呢？ 猜想 思考 已知：如图， D 、 E 分别是△ ABC 的边 AB 、 AC 的中点，求证： . 分析： 要证明线段的倍分关系，可将 DE 加倍后证明与 BC 相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系， 于是可作辅助线，利用全等三角形来证明相应的边相等 . D E B C A 证明：延长 DE 至 F ，使 EF=DE ，连接 FC 、 DC 、 AF . ∵ AE=CE ， D E B C A F ∴四边形 DBCF 是平行四边形 . ∴ DE∥BC , ∴四边形 ADCF 是平行四边形， 有什么发现呢？ 在△ ABC 中， AD=BD ， AE=CE. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的 中位线. 三角形中位线定理： 三角形的中位线 平行 于三角形的第三边，且等于 第三边的一半 . A B C D E 几何格式： DE∥ BC, 原来如此 能测量出 DE 的长度，也就知道 A 、 B 的距离了.这是什么道理呢？ 答：这是根据三角形中位线的性质定理. 例1 如图，在△ ABC 中， DE 是中位线. （ 1 ）若∠ ADE =60° ，则 ∠ B = . （ 2 ）若 BC =8 cm ，则 DE = cm. A B C D E （ 3 ）已知三角形三边长分别为 4 、 6 、 8 ，则连接该三角形各边中点所得的三角形的周长是 . 6 0° 4 9 A B C D E F 重要发现： ①中位线 DE 、 EF 、 DF 把△ ABC 分成四个全等的三角形；有三 组共边的平行四边形，它们是 四边形 ADFE 和 BDEF ，四边形 BFED 和 CFDE ，四边形 ADFE 和 DFCE . ②顶点 是三边形三边中点 的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半. 例2 （ 1 ）如图，在 △ ABC 中， BD 、 CE 分别是边 AC ， AB 上的中线， BD 、 CE 相交于点 O ，点 M 、 N 分别是 OB 、 OC 的中点，试猜想四边形 DEMN 是什么四边形？请加以证明. 解：四边形 DEMN 是平行四边形. 理由如下： ∵ DE 是△ ABC 的 中位线 , ∴ DE//BC ， DE = BC . ∵ MN 是△ OBC 的 中位线 , ∴ MN // BC ， MN = BC . ∴四边形 DEMN 是平行四边形. ∴ DE// MN ， DE = MN . 例2 （ 2 ）上述条件不变，若 AO =4 ， BC =8 ，则四边形 DEMN 的周长是 . 提示 利用三角形的中位线的性质定理可知 EM =2 ， MN =4. 12 三角形中位线是三角形中重要线段，它与三角形中线不同 . 三角形中位线具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或两个关系.熟悉三角形中位线基本图形，有时需要适当构造三角形中位线的 条件. 三角形中位线定理： 三角形的中位线 平行 于三角形的第三边，且等于 第三边的一半 . 课堂小结 第 19 章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.1 矩形（第 1 课时） 基础自主学习 ► 学习目标 1 能 根据矩形的定义判定四边形是矩形 1 ．下列说法正确的是 ( ) A ．矩形是平行四边形 B ．平行四边形是矩形 C ．有一个角是直角的四边形是矩形 D ．有两个角是直角的四边形是矩形 A [ 归纳 ] 矩形的定义： ______________________ 的平行四边形叫做矩形． 有一个角是直角 ► 学习目标 2 知道 矩形的角和对角线的性质，能根据矩形的性质进行简单的应用 2 ．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．对边相等 C ．对角线互相平分 D ．对角线相等 D [ 归纳 ] 矩形的性质：①矩形的四个角都是 ________ ；②矩形的对角线 ________ ． 直角 相等 ► 学习目标 3 能 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行简单的计算 3 ．直角三角形的两条直角边的长分别为 5 cm 和 12 cm ，则斜边上的中线长为 ____ cm. 4 ．如图 19 － 3 － 1 ，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，若 CD ＝ 5 cm ，则 EF ＝ ____ cm. 6.5 5 第 1 课时 矩形的性质 [ 归纳 ] 推论：直角三角形斜边上的中线 等于 __________ ． 斜边 的一半 重难互动探究 第 1 课时 矩形的性质 探究问题一 利用矩形的性质进行计算或证明 第 1 课时 矩形的性质 [ 解析 ] (1) 根据矩形的对边平行可得 AB ∥ CD ，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ BAC ＝∠ FCO ，然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ COF 全等，再根据全等三角形的性质即可得证； (2) 连接 OB ，根据等腰三角形三线合一的性质可得 BO ⊥ EF ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OA ＝ OB ，可得∠ BAC ＝∠ ABO ，从而求 出 ∠ BAC ＝ 30° ，根据 直角三角形中 30 ° 角所对的直角边等于斜边的一半求出 AC ，再利用勾股定理列式计算即可求出 AB . 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 [ 归纳总结 ] 1. 矩形是特殊的平行四边形，它不仅具有平行四边形的所有性质，还具有各角都是直角、对角线相等的性质，在利用矩形条件解题时，别忘了矩形的特有性质或所具有的一般平行四边形的性质． 2 ．矩形的两条对角线被其交点分成的四条线段相等，同时矩形也被分成四个等腰三角形，相对的两个三角形全等，并且每个等腰三角形的面积都等于矩形面积的四分之一． 3 ．矩形的性质可用来证明线段或角相等、两直线平行或垂直，还可以用来计算角的度数． 探究问题二 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段的大小关系 第 1 课时 矩形的性质 例 2 如图 19 － 3 － 3 所示，在△ ABC 中， BE ， CF 分别是 AC ， AB 边上的高， M ， N 分别是 BC ， EF 的中点．求证： MN ⊥ EF . 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 [ 归纳总结 ] 1. 直角三角形斜边上中线的性质是矩形性质的推论，它只适用于直角三角形，对一般的三角形不适用，同时注意直角边上的中线不具有这个性质． 2 ．直角三角形斜边上的中线的性质说明了斜边上的中线与斜边的数量关系，又得到了两个等腰三角形，所以该性质可用来证明线段的倍分关系，也是证明等腰三角形的基础． 课 堂 小 结 第 1 课时 矩形的性质 第 1 课时 矩形的性质 [ 反思 ] 四个顶点能转动的平行四边形，在转动的过程中，转到什么位置时其面积最大？请说明理由． [ 答案 ] 转到相邻的边相互垂直时，此时四边形是矩形，它的面积最大． 理由：如 图， 平行四边形的 面积等于底边长乘以高，而在转动平行 四边形的过程中，底边始终保持不变， 只是高在不断地变化，在整个变化过程 中，转到矩形时，高最大，故此时 面积 最大 ． 第 19 章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.1 矩形（第 2 课时） 基础自主学习 ► 学习目标 1 会 利用矩形的定义判定四边形是不是矩形 第 2 课时 矩形的判定 1 ．如图 19 － 3 － 4 ，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ D ＝ 90° ，若再添加一个条件，就能推出四边形 ABCD 是矩形，你所添加 的条件是 _______________________________ ( 写出一种情况即可 ) ． ∠ A ＝ 90° 或 AD ＝ BC 或 AB ∥ CD 第 2 课时 矩形的判定 [ 归纳 ] 矩形的判定方法（定义）：有一个角是直角的 _____________ 是矩形 . 平行四边形 ► 学习目标 2 利用 矩形的判定定理 1 判定四边形是不是矩形 2 ．如图 19 － 3 － 5 ，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是 (   ) A ． AB ＝ CD B ． AD ＝ BC C ． AB ＝ BC D ． AC ＝ BD D 第 2 课时 矩形的判定 [ 归纳 ] 判定定理 1 ：对角线 ________ 的平行四边形是矩形 . 相等 ► 学习目标 3 会 利用矩形的判定定理 2 判定四边形是不是矩形 3 ．下列说法中正确的是 (    ) A ．有 — 个角是直角的四边形是矩形 B ．两条对角线相等的四边形是矩形 C ．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D ．三个角都是直角的四边形是矩形 D [ 归纳 ] 判定 定理 2 ： 三个角是 ________ 的四边形是矩形． 直角 重难互动探究 探究问题一 会用矩形的定义和判定定理证明 例 1 如图 19 － 3 － 6 ， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， DE ＝ BC ，且∠ BAD ＝∠ CAE . 求证：四边形 BCDE 是矩形． 第 2 课时 矩形的判定 [ 解析 ] 根据 矩形的判定定理 ( 对角线相等的平行四边形是矩形 ) ，连接 EC ， BD ，先证四边形 BCDE 是平行四边形 ( 利用全等得到两组对边分别相等 ) ，再利用 三角形全等证出这两条对角线相等 ． 第 2 课时 矩形的判定 证明 ：∵∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴∠ BAD －∠ CAB ＝∠ CAE －∠ CAB ， 即∠ CAD ＝∠ BAE . 又∵ AC ＝ AB ， AD ＝ AE ， ∴△ ADC ≌△ AEB ，∴ DC ＝ BE . 又∵ DE ＝ BC ，∴四边形 BCDE 是平行四边形． 连接 BD ， CE . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠ BAD ＝∠ CAE ， ∴△ ABD ≌△ ACE ，∴ BD ＝ CE . ∴ 四边形 BCDE 是矩形． 第 2 课时 矩形的判定 [ 归纳总结 ] 1. 利用定义和对角线相等判定矩形，必须先判定四边形是平行四边形，然后再判定它为矩形． 2 ．可通过适当增加条件，把判定中的前提“平行四边形”改为“四边形”进行判定． 3 ．在证明四边形的边或角相等时，应注意利用等腰三角形、全等三角形等知识来证明． 探究问题二 综合运用矩形的性质和判定进行说理 例 2 已知 M 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点， P 为 BC 上一点， PE ⊥ MC ， PF ⊥ MB . 当 AB ， BC 满足怎样的条件时，四边形 PEMF 为矩形？请说明理由． 第 2 课时 矩形的判定 [ 归纳总结 ] 1. 矩形的判定定理和性质定理互为逆定理，不要混淆判定和性质． 2 ．矩形的判定定理 1 的前提是平行四边形，而矩形的判定定理 2 的前提是四边形，应注意加以区分． 3 ．矩形的判定可从对角线和角两个方面来说明：判定定理 1 是从对角线方面说明的，判定定理 2 是从 角的方面 说明的．无论是哪种判定方法，都应符合矩形定义的要求． 课 堂 小 结 第 2 课时 矩形的判定 [ 反思 ] 矩形还可以用以下方法判定： (1) 四个角都相等的四边形是矩形； (2) 邻角相等的平行四边形是矩形； (3) 对角相等且互补的四边形是矩形； (4) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； (5) 对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形． 第 19 章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.2 菱形（第 1 课时） 基础自主学习 ► 学习目标 1 能 根据菱形的定义识别菱形 1 ．在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ， AD ＝ BC . 当 AB ＝ ___________ 时，四边形 ABCD 是菱形． AD 或 BC [ 归纳 ] (1) 定义： ___________________ 的平行四边形叫做菱形． (2) 菱形是平行四边形，反过来，平行四边形 _________ 是菱形． 有一组邻边相等 不一定 ► 学习目标 2 能 利用菱形的性质 1 进行简单的计算 2 ． 若一个菱形的一条边长为 4 cm ，则这个菱形的周长 为 ( ) A ． 20 cm B ． 18 cm C ． 16 cm D ． 12 cm C [ 归纳 ] 菱形的性质 1 ：菱形的四条边 __________ ． 都相等 ► 学习目标 3 能 利用菱形的性质 2 进行简单的计算 3 ．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 (   ) A ．对角线互相垂直 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．对角互补 4 ．菱形的两条对角线长分别为 6 和 8 ，则这个菱形的周长为 ________ ． A [ 归纳 ] 菱形的性质 2 ：菱形的对角线 ____________ ． 互相垂直 20 重难互动探究 探究问题一 利用菱形的性质进行计算 例 1 如图 19 － 3 － 7 所示，菱形 ABCD 的周长为 20 cm ，∠ DAB ∶∠ ABC ＝ 1∶2 ，求对角线 AC ， BD 的长． 第 1 课时 菱形的性质 [ 归纳总结 ] 1. 菱形具有三个方面的性质： (1) 边：四条边都相等，对边平行且相等； (2) 对角线：对角线互相垂直且平分； (3) 对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴． 2 ．菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． 3 ．菱形的面积既可用平行四边形的面积公式来求，也可以用两条对角线乘积的一半来计算． 探究问题二 利用菱形的性质进行证明 例 2 如图 19 － 3 － 8 ，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， DH ⊥ AB 于点 H ，连接 OH ，求证：∠ DHO ＝∠ DCO . 第 1 课时 菱形的性质 [ 解析 ] 根据菱形的对角线互相平分可得 OD ＝ OB ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OH ＝ OB ，然后根据等边对等角得∠ OHB ＝∠ OBH . 根据两直线平行，内错角相等得∠ OBH ＝∠ ODC ，然后根据等角的余角相等证明即可． 第 1 课时 菱形的性质 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OD ＝ OB ，∠ COD ＝ 90°. ∵ DH ⊥ AB ，∴ OH ＝ OB ， ∴∠ OHB ＝∠ OBH . 又∵ AB ∥ CD ，∴∠ OBH ＝∠ ODC . ∴∠ OHB ＝∠ ODC . 在 Rt△ COD 中，∠ ODC ＋∠ DCO ＝ 90° ， 在 Rt△ DHB 中，∠ DHO ＋∠ OHB ＝ 90° ， ∴∠ DHO ＝∠ DCO . 第 1 课时 菱形的性质 [ 归纳总结 ] 1. 由于菱形的性质较多，在利用菱形的性质进行计算或证明时，应全面把握和充分利用边相等和对角线垂直的性质，同时还应注意，菱形具有平行四边形的所有性质． 2 ．菱形问题通常通过对角线转化为三角形问题来解决，菱形的性质为利用等腰三角形和直角三角形的性质解题创造了条件． 课 堂 小 结 第 1 课时 菱形的性质 [ 反思 ] 如图 19 － 3 － 9 ，四边形 ABCD 是菱形， E 为边 AB 上一个定点， F 是 AC 上一个动点，求证： EF ＋ BF 的最小值等于 DE 的长． [ 解析 ] 要证明 EF ＋ BF 的最小值是 DE 的长，可以通过连接菱形的对角线 BD ，借助菱形的对角线互相垂直平分得到 DF ＝ BF ，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题． 第 1 课时 菱形的性质 证明：连接 BD ， DF . ∵ AC ， BD 是菱形的对角线， ∴ AC 垂直且平分 BD ， ∴ BF ＝ DF ，∴ EF ＋ BF ＝ EF ＋ DF ≥ DE . 当且仅当 F 运动到 DE 与 AC 的交点 G 处时，上式等号成立． ∴ EF ＋ BF 的最小值恰好等于 DE 的长． 第 19 章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.2 菱形（第 2 课时） 基础自主学习 ► 学习目标 1 会 利用菱形的定义进行判定四边形是不是菱形 1 ． 如图 19 － 3 － 67 ，若要使▱ ABCD 成为菱形，则需要添加的条件是 ( ) A ． AB ＝ CD B ． AD ＝ BC C ． AB ＝ BC D ． AC ＝ BD [ 归纳 ] 定义：有一组邻边相等的 ____________ 形是菱形． 平行四边 C ► 学习目标 2 会利用菱形的判定定理 1 判定四边形是不是菱形 2 ．用直尺和圆规作一个以线段 AB 为边的菱形，作图痕迹如图 19 － 3 － 11 所示，能得到四边形 ABCD 是菱形的依据是 (   ) A ．一组邻边相等的四边形是菱形 B ．四边都相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D ．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 [ 归纳 ] 判定定理 1 ：四边都 ________ 的四边形是菱形； 相等 B ► 学习目标 3 利用 菱形的判定定理 2 判定四边形是不是菱形 判定定理 2 ：对角线 ____________ 的平行四边形是菱形． 互相垂直 探究问题 利用判定定理证明四边形是菱形 例 2 如 图 19 － 3 － 12 所示，已知▱ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与 AD ， BC ， AC 分别交于点 E ， F ， O . 求证：四边形 AFCE 为菱形． [ 解析 ] 本例可利用定理 1 或定理 2 证明． 重难互动探究 第 2 课时 菱形的判定 证明： 证法一：∵ EF 垂直平分 AC ， ∴ AO ＝ CO ，∠ AOE ＝∠ COF ＝ 90°. 又∵ AE ∥ CF ，∴∠ EAO ＝∠ FCO ， ∴△ AOE ≌△ COF ，∴ AE ＝ CF ， ∴四边形 AECF 为平行四边形． 又∵ AC ⊥ EF ，∴▱ AFCE 为菱形． 证法二：∵ EF 垂直平分 AC ，∴ AE ＝ CE ， AF ＝ CF ， AO ＝ CO ，∠ AOE ＝∠ COF . 又∵ AD ∥ BC ，∴∠ EAO ＝∠ FCO ， ∴△ AOE ≌△ COF ，∴ AE ＝ CF ， ∴ AE ＝ CE ＝ AF ＝ CF ，∴四边形 AFCE 为菱形． [ 归纳总结 ] 1. 菱形的判定定理和性质互为逆定理，不要混淆判定和性质． 2 ．菱形的判定定理 1 的前提是四边形，而菱形的判定定理 2 的前提是平行四边形，应注意加以区分． 3 ．菱形的判定可从边和对角线两个方面来说明：判定定理 1 是从边方面说明的，判定定理 2 是从对角线方面说明的，无论是哪种判定方法，都应符合菱形定义的要求． 第 2 课时 菱形的判定 4 ．菱形还可以用以下方法判定： (1) 两组对角分别相等，且邻边相等的四边形是菱形； (2) 两组对边分别相等，且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； (4) 对角线互相垂直，且一组对边平行且相等的四边形是菱形． 课 堂 小 结 第 2 课时 菱形的判定 [ 反思 ] 怎样证明一个四边形是菱形呢？ [ 答案 ] (1) 若已知四边形为平行四边形，只需再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直． (2) 若四边形为一般四边形，可先证它是平行四边形，再证它是菱形；或者直接证四边都相等． 第 19 章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.3 正方形 第 1 课时 基础自主学习 ► 学习目标 1 能 根据正方形的定义或性质进行简单的计算 1 ．矩形、菱形、正方形都具有的性质是 ( ) A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线平分一组对角 D ．对角线互相 垂直 B 3. 正方形 2 ．如图 19 － 3 － 13 ，正方形 ABC D 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，则图中的等腰三角形有 ( ) A ． 4 个 B ． 6 个 C ． 8 个 D ． 10 个 C 3. 正方形 3 ．已知正方形 ABCD 的对角线 AC ＝ 2 ，则正方形 ABCD 的周长为 ________ ． 4 3. 正方形 [ 归纳 ] (1) 定义：有一个角是 _________ ，且有一组邻边 _________ 的平行四边形叫做正方形． (2) 性质：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形，因此正方形具有矩形、菱形、平行四边形的所有性质． 性质 1 ：正方形的四条边都 _________ ，四个角都是 ________ ； 性质 2 ：正方形的对角线 ________________________ ． 直角 相等 相等 直角 相等且互相垂直平分 3. 正方形 ► 学习目标 2 能根据正方形的定义或判定方法来判定四边形是不是正方形 4 ．下列命题，正确的是 (    ) A ．四条边都相等的四边形是正方形 B ．四个角都相等的四边形是正方形 C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D ．对角线相等的菱形是正方形 D 3. 正方形 5 ．如 图 19 － 3 － 14 ，在 Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， AE 是△ ABC 的外角平分线， CE ⊥ AE 于点 E ，试判断四边形 ADCE 是什么特殊四边形，并证明你的结论． 3. 正方形 3. 正方形 [ 归纳 ] 证明一个四边形是正方形，主要是根据定义．也可以先证明四边形是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其基本思路：四边形→平行四边形→矩形 ( 菱形 )→ 菱形 ( 矩形 ) ． 重难互动探究 3. 正方形 探究问题一 利用正方形的性质进行计算 ①②④ 3. 正方形 3. 正方形 3. 正方形 [ 归纳总结 ] 1. 正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 2 ．正方形的周长等于边长的 4 倍，面积等于边长的平方或对角线平方的一半． 3 ．在解答有关正方形的问题时，应充分利用正方形的边长相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等的性质，还应记住：正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决有关正方形问题的三把钥匙． 探究问题二 利用正方形的性质进行证明 3. 正方形 例 2 如图 19 － 3 － 16 所示，以锐角三角形 ABC 的边 AB ， AC 为边向外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，连接 EC ， BG . 求证： (1) BG ＝ CE ； (2) BG ⊥ CE . 3. 正方形 [ 解析 ] 设 CE 交 AB 于 P ，交 BG 于 Q . 欲证 BG ＝ CE ，可证△ AEC ≌△ ABG ( SAS ) ，则∠ AEC ＝∠ ABG . 而∠ AEC ＋∠ APE ＝ 90° ，可得∠ ABG ＋∠ BPQ ＝ 90° ，故∠ BQP ＝ 90° ，即 BG ⊥ CE . 3. 正方形 证明： 设 CE 交 AB 于 P ，交 BG 于 Q . (1)∵ 四边形 ABDE 和四边形 ACFG 为正方形， ∴ AE ＝ AB ， AC ＝ AG ，∠ EAB ＝∠ GAC ＝ 90° ， ∴∠ EAB ＋∠ BAC ＝∠ GAC ＋∠ BAC ， 即∠ EAC ＝∠ BAG . ∴△ EAC ≌△ BAG ( SAS ) ，∴ BG ＝ CE . (2) 由 (1) 可知△ EAC ≌△ BAG ，则∠ AEC ＝∠ ABG . 又∵∠ AEC ＋∠ APE ＝ 90° ， ∴∠ ABG ＋∠ BPQ ＝ 90° ， ∴∠ BQP ＝ 90° ，即 BG ⊥ CE . 3. 正方形 [ 归纳总结 ] 通过证明三角形全等得到边和角相等，是有关四边形中证明边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明全等三角形提供了条件． 探究问题三 灵活证明四边形是不是正方形 3. 正方形 例 3 如图 19 － 3 － 17 所示，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AD 是∠ BAC 的平分线， AD 的垂直平分线 EF 分别交 AB ， AD ， AC 于点 E ， O ， F . 求证：四边形 AEDF 是正方形． [ 解析 ] 本例可先证四边形 AEDF 为矩形，再证它是菱形，或先证它是菱形，再证它是矩形． 3. 正方形 证明： 证法一：∵ EF 垂直平分 AD ， ∴ AE ＝ ED ， AF ＝ DF ， ∴∠ EAD ＝∠ ADE ，∠ FAD ＝∠ ADF . 又∵∠ BAC ＝ 90° ， AD 平分∠ BAC ， ∴∠ ADE ＝∠ EAD ＝∠ FAD ＝∠ ADF ＝ 45° ， ∴∠ EDF ＝ 90° ，∠ AED ＝∠ AFD ＝ 90° ， ∴四边形 AEDF 为矩形． 又∵ AE ＝ ED ， ∴矩形 AEDF 为正方形． 3. 正方形 证法二：∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ EAD ＝∠ FAD . 又∵ EF ⊥ AD ，∴∠ AOE ＝∠ AOF . 又∵ AO ＝ AO ，∴△ AOE ≌△ AOF ( ASA ) ， ∴ AE ＝ AF . ∵ EF 垂直平分 AD ， ∴ AE ＝ ED ， AF ＝ DF ， ∴ AE ＝ ED ＝ DF ＝ AF ， ∴四边形 AEDF 为菱形． 又∵∠ BAC ＝ 90° ， ∴菱形 AEDF 为正方形． 3. 正方形 [ 归纳总结 ] 1. 正方形的判定方法有： (1) 有一个角是直角的菱形是正方形； (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形； (3) 对角线相等的菱形是正方形； (4) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (5) 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (6) 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 2 ．应用正方形的判定方法判定正方形时，一定要先分清是在什么图形的基础上来判定的，即已知图形是四边形、平行四边形、矩形、菱形中的哪一种，再选择相应的方法判定． 课 堂 小 结 3. 正方形 第 19 章 四边形 19.3 矩形、菱形、正方形 19.3.3 正方形 第 2 课时 操 作 ⒈ 怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？ ⒉ 怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？ 矩形 菱形 正方形 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 讨 论 ㈠ 正方形的边、角、对角线各具有什么性质？ 边：对边平行，四条边都相等． 角：四个角都相等，都等于 90° ． 对角线：相等、垂直且互相平分． 讨 论 ㈡ 具备什么条件的平行四边形是正方形？ ⒈ 先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等． ⒉ 先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角． 例题赏析 ⒉ 在正方形 ABCD 中 , AC 是对角线 , AE 平分∠ BAC , 试猜想 AB 、 AC 、 BE 之间的关系，并证明你的猜想． G F E D A B C 一展身手 1. 在四边形 ABCD 中， O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A ． AC=BD ， AB∥CD ， AB=CD B ． AD∥BC ，∠ A=∠C C ． AO=BO=CO=DO ， AC⊥BD D ． AO=CO ， BO=DO ， AB=BC 2. 在正方形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，点 Q 是 CD 上任意一点， DP ⊥ AQ 交 BC 于点 P ． ⑴ 求证： DQ=CP ； ⑵ OP 与 OQ 有何关系？试证明你的结论． 3. 如图 , 以△ ABC 的边 AB 、 AC 向形外作正方形 ABDE 和 ACFG ， M 是 BC 的中点． 求证： ⑴ CE=BG ； ⑵ EG =2 AM ． H M E D F G B C A 4. 求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形． 教学反思 ▲ 正方形有哪些性质？如何判别一个平行四边形是正方形？ ★ 从角上来谈； ● 从边上来谈； ▲ 从对角线上来 谈 . 第 19 章 四边形 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 好漂亮的地板 ! 这是怎么铺设的 ? 一点空隙也没有 . 情景导入 请你欣赏 自主学习 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做 平面镶嵌 ，镶嵌也叫 密铺 . 注意： 各种图形拼接后要既 无缝隙 ，又 不重叠. 定义： 合作探究 活动1：探究用相同的正多边形铺设地面 正三角形的平面镶嵌 60° 60° 60° 60° 60° 60° 6 个正三角形可以镶嵌 正方形的平面镶嵌 90° 4 个正方形可以镶嵌 正六边形的平面镶嵌 120 ° 120 ° 120 ° 3 个正六边形 可以镶嵌 1 2 3 ∠ 1+∠2+∠3=? 用边长相同的 正五边形 能否镶嵌？ 为什么边长相等的 正五边形 不能镶嵌，而边长相等的 正六边形 能镶嵌？ 结论 要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得 拼接点 处 的所有内角之和等于 360° ． 思考 还有 其他 正多边形 能镶嵌吗？ 图形 一个顶点周围正多边形的个数 能 能 能 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 6 4 3 不能 能否平 面镶嵌 90° 一个内 角度数 108° 60° 120° 结论： 形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌 成 平面图形 . 结论： 形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形. 要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否可以为 360° ，在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60° ，正四边形的每个内角都是 90° ，正六边形的每个内角都是 120° ，这三种多边形的一个内角的倍数都可以为 360° ，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是 360° ，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌 ． 还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？ 正多边形可以镶嵌的条件： 每个内角的度数都能被 360 整除. 2 个 正三角形 +2 个 正六边形 活动2：探究用两种正多边形铺设地面 3 个 正三角形 + 2 个 正方形 收获 当拼接点处的 所有角之和 是 360º 时，就能拼成一个平面图形. 用正三角形和正六边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，正三角形与正六边形各需要多少个？ 分析：作平面镶嵌则需满足在一个顶点处各内角和等于 360° . 解：设在一个顶点处有 m 个正三角形的角， 有 n 个正六边形的角，则 : 60 m +120 n =360. 即 m +2 n =6. 所以当 m =2 时， n =2 ；当 m =4 时， n =1 . 答：需正三角形 2 个，正六边形 2 个或正三角形 4 个，正六边形 1 个. 要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得 拼接点 处 的所有角之和等于 360° . 可以用同一种正多边形镶嵌的图形只有： 正三角形、正四边形、正 六边形 . 用一种 形状、大小完全相同的三角形、四边形 也能进行平面镶嵌. 课堂小结