青岛版八年级数学下册第6章平行四边形

教学课件 数学 八年级下册 青岛版 平行四边形的定义： 注意：表示一般按照一定的方向（顺时针或逆时针）依 次写出各顶点的字母 ∴  ∵ 活动探究 猜想： 1、平行四边形的对边有什么性质？ 2、平行四边形的对角有什么性质？ 3 、平行四边形的对角线有什么性质？ 证明： 1、平行四边形的对边相等； 2、平行四边形的对角相等； 转化思想 , . ABCD A C B D      如图，四边形 是平行四边形 (1)AB=CD,AD=BC. (2) 已知： 求证： 归纳总结 性质1：平行四边形的对边相等. 性质2：平行四边形的对角相等. 性质3：平行四边形的对角线互相平分. ∵四边形ABCD是平行四边形 性质1：平行四边形对边相等. 性质2：平行四边形对角相等. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D  课堂小结 本节课你学到了什么？有哪些收获？ (1)平行四边形的定义 (2)平行四边形的性质 (3)两条平行直线间的平行线段相等。 (4)两条平行线间的距离处处相等 转化思想 6.2 平行四边形的判定 第1课时   平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫 做平行四边形．   平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线 互相平分． ？判定性质 定义D A B C 判定性质 定义 D A B C   问题 如何寻找平行四边形的判定方法？    直角三角 形的性质   直角三角 形的判定   勾股定理   勾股定理 的逆定理    在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明．   这些经验可以给我们怎样的启示？ 1．经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体 会类比思想及探究图形判定的一般思路； 2．掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵 活选取适当的判定定理进行推理． 两组对边分别相等的 四边形是平行四边形  平行四边形的性质  猜想  对边相等  对角相等  对角线互相平分  两组对角分别相等的 四边形是平行四边形   对角线互相平分的四 边形是平行四边形   思考：这些猜想正确吗？ 探究点一 平行四边形的判定定理    证明：连接BD． ∵AB =CD，AD =BC， BD是公共边， ∴△ABD≌ △CDB． ∴∠1=∠2，∠3=∠4． ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．  判定定理1 猜想1 D A B C 1 2 3 4  证明：∵ 多边形ABCD是四边形， ∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°． 又∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠A+∠B=180°， ∠B+∠C =180°． ∴AD∥BC，AB∥DC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．  判定定理2 猜想2 D A B C 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且 OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．  判定定理3 D A B C O 猜想3 证明：∵ OA=OC，OB=OD， ∠AOD=∠COB， ∴ △AOD≌ △COB． ∴ ∠OAD=∠OCB． ∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC． ∴ 四边形ABCD是平行四边形．   现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？   定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．   判定定理： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 证明：∵AB =DC，AD =BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴AB∥DC． 又∵DG=EF，DE=GF， ∴四边形DGFE也是平行四边形． ∴DC∥EF． ∴AB∥EF． 探究点二  平行四边形判定定理的运用 例1 如图，AB =DC ，AD =BC，DE =GF． 求证：AB∥EF． A  B  C  D  E  F G   例2 如图，在 ABCD中，E，F分别是对角线AC 上的两点，并且 AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四 边形． A  B  C  D E  F O  还有其他证明方法吗？  你更喜欢哪一种证法． 启示： 条件  对角线  简便的证明方法   边，角  A  B  C  D  E  F  变式练习       O   在上题中，若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上， 如图，其他条件不变，结论还成立吗？请证明你的结论． 知识的角度： 平行四边形的判定定理： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 过程与方法的角度： 研究图形的一般思路． 解题策略的角度： 证明平行四边形有多种方法，应根据条件灵活运用．  性质 定义 判定 逆向猜想 1、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O， （1）若AD=8cm，AB=4cm，则当BC =___ cm， CD=___ cm时，四边形ABCD为平行四边形； （2）若AC=10cm，BD=8cm，则当AO =__ _cm， DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形． （1） 8 4 5 4 2、如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、 F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF. A B CD E FO 第2课时  如图，在下列各题中，再添上一个条件使结论成立： （1）∵AB∥CD，       ， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）∵AB=CD，       ， ∴四边形ABCD是平行四边形．   如果只考虑一组对边，它们满足 什么条件时，这个四边形能成为平行四边 形？ AD∥BC  AD=BC  A B C D 1．掌握平行四边形的第四个判定定理，会综合运用 平行四边形的性质和判定进行推理和计算； 2．经历平行四边形判定定理的发现与证明过程，进 一步加深对平行四边形的认识． 3．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定 理的内容； 探究点一 平行四边形的判定  猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．  这个猜想正确吗？如何证明它？ 定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．  现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？    （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． A  B  C D  E  F    在上题中，将“E，F分别是AB，CD的中点”改为 “E，F分别是AB，CD上的点，且AE=CF”，结论是否 仍然成立？请说明理由． 练 习   例1 如图，在  ABCD中，E，F分别是AB，CD的 中点．求证：四边形EBFD是平行四边形．   如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC 的中点， 连接DE. 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做 三角形的中位线． 看一看，量一量，猜一猜： DE与BC之间有什么位置关系和数量关系？ 探究点二 三角形的中位线定理   我们在研究平行四边形时，经常采用把平行四边 形转化为三角形的问题，能否用平行四边形研究三角形呢？ A  B  C  D  E  A  B  C  D  E    你能对照图形写出已知、求证吗？   怎样分析证明思路？   请分别试一试，这些方案是否都可行．如可行， 说出辅助线的画法；如不可行，请说明原因．   请用适当的方法证明猜想．   请用自己的语言说出得到的结论，并比较证明方法 的异同．   三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形 的第三边，并且等于第三边的一半．   在△ABC中， ∵ D，E分别是边AB，AC的中点， ∴ DE∥BC，且DE= BC .1 2 证明猜想  A  B  C  D  E    如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，CB=6，D， E，F分别是BC，AC，AB的中点，则四边形AEDF的周 长为________；Rt△ABC的中位线分别是___________； 斜边上的中线是_______，其长为______. 18 DE，DF CF 5 基础训练   A B C D E F 1、判断题： ⑴相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形. (  ) ⑵两组对角分别相等的四边形是平行四边形. (  ) ⑶一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边 形 .(  ) ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (  ) ⑸对角线相等的四边形是平行四边形. (  ) ⑹对角线互相平分的四边形是平行四边形 . ( ) √ √ × √ × √ 2、已知：如图，AC∥ED，点B在AC上， 且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形， 并说明理由 ． 解：图中的平行四边形有 EDBA和 EDCB.理由是: 同理可证四边形EDCB是平行四边形 ∵ AC∥ED (  ) ∴ ED ∥ ______ 又∵ED = ______ (  ) ∴四边形EDBA是平行四边形 ( ) 已知 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 AB AB 已知   3 如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形． 求证：四边形ABCD是平行四边形． A  B  C  D  E  F    4 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB 向外作等边△ACD、等边△ABE．且∠BAC=30°，EF ⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． A B C D E F   5 在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． A  B  C  D  E  F  H  G  两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 从角考虑 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 从对角线考虑 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 从边 考虑    判定一个四边形是平行四边形可从哪些角度思考？ 具体有哪些方法？ 6.3 特殊的平行四边形 第一课时 矩形 A B C D 两组对边分 别平行的四 边形叫做平 行四边形 . O 如图，□ABCD是一个活动框架，改变这个平行四边形 的形状，你会发现什么? 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形的定义： 矩形是特殊的平行四边形 具备平行四边形所有的性质 A B C D O 角 边 对角线 对边平行且相等 对角相等 ,邻角互补 对角线互相平分 矩形的一般性质： 猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等． B A D C 自主探索 对称性:矩形是轴对称图形,也是中心对称形． A B C D 探索矩形的对称性: 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四 边形的所有性质外，还有具有哪些特殊的性质呢？ 矩形是轴对称图形 平行四边形是 轴对称图形吗? 已知：如图，四边形ABCD是矩形 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B C D 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A=90°. ∵矩形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC， ∠A=∠C，∠B=∠D. ∵ ∠A +∠B =180°, ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 说明：矩形的四个角都是直角 已知：如图,四边形ABCD是矩形， 求证：AC = BD. A B C D证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC = ∠DCB = 90°， AB = DC . 又∵BC = CB， ∴△ABC≌ △DCB， ∴AC = BD. 说明：矩形的对角线相等 四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩 形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样 的队形对每个人公平吗?为什么？ O A B C D 公平,因为OA=OC=OB=OD 例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形的对角线的长？ D CB A o 60 ° 方法小结: 如果矩形的两条对角 线的夹角是60°或120°, 那么其中必有等边三角形. D CB A o 60° × √ × √ √   练习1 现在你能帮小明解决问题了吗？小明判定 相框为矩形的下列方法，哪些正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （3）对角线相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （5）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩 形．（ ） 练习2 在“？”号处填上恰当的条件： 四边形 平行四边形 矩形 ？ ？ ？ 练习3.已知:四边形ABCD是矩形 (1).若AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝_______ ㎝ ， OB=_______ ㎝. (2).若 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= _____cm， AB= _____cm. O D C BA 5 10 4 4 3 4 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两 条对称轴． 矩形  矩形的对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分． 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 第二课时 n 学习目标：  1．理解菱形的概念，会用菱形的性质解决简单的问题；  2．经历类比矩形探究菱形性质的过程，通过观察、类比、 猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和 方法． n 学习重点：   菱形性质的探索、证明和运用． 2000多年前…… 一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒 气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力， 便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑 色菱形暗纹——越王勾践剑 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理 吗？从这个图形中你有什么发现？ 如何利用折纸、剪切的方法，能够既快 又准确地剪出一个菱形的纸片？ 1、菱形是___ _的平行四边形，它具有 的所有性质. 2、菱形的特殊性质. （1）边：菱形的四条边都 ； （2）对角线：菱形的两条对角线 ， 并且每一条对角线 _______ ； （3）对称性：菱形是 对称图形， 它的对称轴 就是对角线所在的直线. 特殊 平行四边形 相等 互相垂直平分 平分一组对角 轴 3、如下图，根据菱形的性质，在菱形ABCD中， (1)AB= = = ； (2)AC⊥ ,且AO= ,BO= ； ∠ABO= ，∠BCO= ， ∠CDO= ，∠DAO= . O思考 ： 如何证明菱形的性质？说一说 你的证明思路. BC CD DA BD CO DO ∠CBO ∠DCO ∠ADO ∠BAO 已知:如图，四边形ABCD是菱形. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴DA=AB(菱形的定义)， OD=OB （平行四边形的 对角线互相平分）， ∴ AC ⊥ DB ， AC平分∠DAB（三线合一）. 同理： AC平分∠DCB ； DB平分∠ADC和∠ABC. AC⊥BD, AC平分∠DAB和∠DCB, BD平分∠ADC和∠ABC. 求证: 例：四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于 点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长. O 解:∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC，OB=OD, AC⊥BD. ∵在Rt△AOB中,OB2+OA2=AB2, AB=5cm，AO=4cm, ∴OB=3cm. ∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm. 1、菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ） (A)对角线互相平分 (B)对角线相等 (C)对角线互相垂直且相等 (D)对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角 2、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是________. D 3cm 3 、如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路 的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留 小数点后一位）． A B C D O 第三课时 矩形 菱形 性 质 1.四个角都________ 1.四条边都_______ 2.对角线__________ 2.对角线互相_________ 且平分每组________ 判 定 1.有一个角是______的 ___________ 1.有一组邻边______的 __________ 2.有三个角是_____的 _________ 2.对角线互相______的 ________ 3.对角线________的 __________ 3.四条边_______的 ________ 相等 直角 相等 相等 平行四边形 直角 对角 互相平分 相等 垂直 平行四边形 相等 平行四边形 垂直 四边形 平行四边形 四边形 有一个角为直角 有一组邻边相等 有一组邻边 相等 有一个角是 直角 问题提出 1.有一组邻边相等的矩形是一个什么样的图形？ 2.有一个角是直角的菱形是一个什么样的图形？ 1、四条边_______，四个角都是_______的四边 形叫做正方形. 2、正方形既是_____形，又是_____形.即 （1）有一组________相等的矩形是正方形. （2）有一个角是________的菱形是正方形. 相等 直角 矩菱 直角 邻边 归纳： 1.正方形的定义：四个角都是直角，且四条边都相等的 四边形是正方形. 3.正方形既是矩形，也是菱形，同时也是特殊的平行四 边形. 思考 正方形有什么样的性质，以及如何去判定 一个正方形呢？ 2.有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形. 例1 （1）把一张长方形纸片按如图的方式折一下，就 可以裁出正方形纸片.为什么？ （2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形 木板呢？ 解：由已知，对折后，所得的四边形有三个 直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方 形纸片. 解：在长方形最长的两边，截取长度等于“长方形的短 边的长度”，这样就可以截出面积最大的正方形. 例2、 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√” 平行四边 形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相平分 √ 对角线互相垂直 对角线相等 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 作比较 请比较一般四边形，平行四边形，矩形，菱形，正方 形的对角线的性质. 对边平行 且相等 四边形 平行四边形 矩 形 菱 形 对角线平分且相等 对角线平分且 垂直 正方形 对角线互 相平分 对角线相等对 角 线 互 相 垂 直 对角线相等且 垂直平分 对角线平分，相等且垂直（对角线法） 1、如图，ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上 取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.则这块场地的 面积和对角线分别是多少？ 解：根据勾股定理，得 BC2=EC2-EB2 =302-102 =800. ∴BC= . ∴这块场地的面积为 =800 （ ）. ∴ 对角线 为40m. 800 20 2 800 800 2m 2、满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形； （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等的菱形； （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形. 解：(1)根据正方形的性质可知，该平行四边形是正方形. (2)根据正方形的性质可知，该矩形是正方形. (3)根据正方形的性质可知，该菱形是正方形. (4)根据正方形的性质可知，该四边形是正方形. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边 形CFDE是正方形． 解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC于点E， DF⊥AC于点F. ∴四边形CEDF有三个直角，它是矩形. 又∵CD平分∠ACB，根据角平分线上的点到两边的 距离都相等可知，DE=DF， ∴矩形CEDF有一组邻边相等. 根据正方形的判定方法知，四边形CEDF是正方形. 现在，你对正方形有哪些新的认识？      正方形既是矩形又是菱形．  一个角是直角  一组邻边相等   平行四边 形   矩形   菱形   一 组 邻 边 相 等     一个角是直角  正方形  6.4 三角形的中位线定理 三角形的中位线和三角形的中线不同CB A F ED 定义：连接三角形两 边中点的线段 叫做三角形的中位线. 注意 AF是△ABC的中线 我们把DE叫△ ABC 的中位线 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段 区分三角形的中位线和中线： 理解三角形的中位线定义的两层含义: ② ∵ DE为△ABC的中位线 ① ∵D、E分别为AB、AC的中点 ∴DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点 一个三角形共有三条中位线。 A B C D。 。E 。 F 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半 B A C D E 已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC 。 E ADE ° CEF D E F DE=EF ADE CFE. ADE F A CF AB//CF. BCFD DF//BC DE=BC DE/ /BC DE 1/ 2BC. D              证明：以点 为旋转中心，把 绕点E,按顺 时针方向旋转180 ，得 ，则 ， ， 在同 一直线上， ，且 ， ， 又 四边形 是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ， ， ， E 其他证法：如图，过E作AB的平行线交BC于F自A作BC 的平行线交FE于点G A B C ED F G ∵AG∥BC， AB∥GF ∴四边形ABFG是平行四边形 ∴BF=AG，AB=GF 又∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF，∠G=∠EFC 又∵AE=CE，∴△AEG≌ △CEF ∴AG=FC=BF，GE=EF=1/2FG ∵D为AB中点，∴DB=AD=1/2AB ∴BD=EF且BD∥EF ∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，即DE=1/2BC 三角形的中位线平行且等于第三边的一半. 几何语言： ∵DE是△ABC的中位线（或 AD=BD,AE=CE) C ED B A BC2 1//DE 用 途 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2 学以致用 已知：如图 ，在ΔABC中，D、E、F分别是 AB、AC、 BC的中点 . （1）指出图中有几个平行四边形？ （2）图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个？ （3）若ΔABC的周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周 长是 _____cm,面积是_____cm2 ； 你还能得到什么 结论吗？ 试一试你们的眼力，比一比你们的猜想，看下面一段文 字： （1）请每一个同学任意画一个四边形 ABCD，取各边中点E，F， G，H， 再连接EF，FG，GH，HE，试判断四 边形的形状。 （2）同组伙伴的猜想与你的一致吗？ C B A D H G F E 例 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H 分别 是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. A B C D E F G H 本题的证明和推出的结 论你有何感想？ 本节课你学到什么？