北师大版数学八年级下册课件：1.4.2 三角形三个内角的平分线(共18张PPT)

第2课时 三角形三个内角的平分线 北师版八年级数学下册 新课导入 作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？   发现：三角形的三个内角 的角平分线交于一点．这一点 到三角形三边的距离相等． 新课探究 例 2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并 且这一点到三条边的距离相等. 已知：如图，在△ABC 中，角平 分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P， 过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线， 垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线 上. A B C P E F M DN 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， 且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等）. 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个 角的内部，到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P. A B C P E F M DN 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三 角 形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内 一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点 的距离相等 到三角形三边 的距离相等 练习 如图：直线 l1、l2、l3 表示三条相互交 叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到 三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ P P1 l3 l2 l1C B A 满足条件共4个 例 3 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB， 垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C = 90°， DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等） ∵AC = BC ∴∠B = ∠BAC（等边对等角） ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 45° ∴BE = DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形 BDE 中 cm（勾股定理)， ∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm. 1 2 22 4 2BD DE  4 2 A C B E D （2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL） ∴AC = AE（全等三角形的 对应边相等）. ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD. A C B E D 随堂演练 1. 已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点， PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离 为_____.5 AO E B P C 2. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________.25° A C BD E 3. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的 一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、 D. 求证：（1）OC = OD； （2）OP 是 CD 的垂直平分线. O C D B PE A 证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的 一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC = PD（角平分线上的点到角两边 的距离相等）. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， OP = OP，PC = PD， ∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）. ∴OC = OD（全等三角形对应边相等）. O C D B PE A （2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线， ∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰 三角形“三线合一”定理）. O C D B PE A 4. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平 分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180° ，求证：AE = AD + BE. A C B E D A C B E D F 证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质）， ∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°. ∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°， ∴∠B ＝ ∠CDF， ∴△CBE ≌ △CDF （AAS）， ∴DF ＝ BE. ∵AF ＝ AD + DF， ∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE . 课堂小结   三角形的三个内角的角 平分线交于一点．这一点到 三角形三边的距离相等． 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.