北师大版数学八年级下册第一章 三角形的证明 复习课件(共22张PPT)

第一章 三角形的证明 北师版八年级数学下册 回顾与思考 1. 说说作为证明基础的几条基本事实. 公理：同位角相等，两直线平行； 公理：两直线平行，同位角相等； 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； 公理：三边对应相等的两个三角形全等； 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； 公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2. 等腰三角形有哪些性质？等边三角形呢？ 定理 等腰三角形的两底角相等. 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线及底边上的高线互相重合. 定理 等边三角形的三个内角都相等，并 且每个角都等于60°. 3. 等腰三角形和等边三角形分别有哪些判定条件？ 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 定理 有一个角等于60°的等腰三角形是 等边三角形. 4. 直角三角形有什么性质？它有什么判定条件？ 定理 直角三角形的两个锐角互余. 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 定理 有两个角互余的三角形是直角 三角形. 定理 如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角 形. 定理 斜边和一条直角边分别相等的 两个直角三角形全等. 5. 说说两个直角三角形全等的判定条件. 6. 说说线段垂直平分线的性质及其逆定理. 定理 线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等. 定理 到一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上. 三角形三边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等. 7. 说说线段角平分线的性质及其逆定理. 定理 角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等. 定理 在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上.   三角形的三个内角的角平分线交于一点. 这一点到三角形三边的距离相等. 8. 什么是反证法？ 9. 什么是互逆命题？ 随堂演练 1. 已知：如图，D 是△ABC 的 BC 边上的 中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E、F， 且 DE = DF. 求证：△ABC 是等腰三角形. A B CD EF A B CD EF 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是 E、F， 且 DE = DF， 又∵ D 是△ABC 的 BC 边上的中点， ∴BD = CD， ∴Rt△BDF ≌ Rt△CDE（HL） ∴∠B = ∠C， ∴△ABC 是等腰三角形. 2 . 如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂 直平分线交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8， AC－BC = 2. 求 AB 与 BC 的长. A B C D E A B C D E 证明： ∵AB 的垂直平分线交 AC 于点 E， ∴ AE = BE， ∵△BCE 的周长为 8， ∴ BC + CE + BE = 8， ∴ BC + CE + AE = 8 ，即 AC + BC = 8， 又∵ AC – BC = 2， ∴ AC = 5，BC = 3， ∴ AB = AC =5. 3. 在△ABC 中，AB = 2AC，∠1 =∠2， DA = DB. 求证：DC⊥AC. 1 A C F D B 2 证明：取 AB 的中点 E，连结 DE. ∵DA = DB，AE = BE ∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一）. ∵AB = 2AC，E 为 AB 的中点， ∴AE = AC. 在 △AED 和 △ACD 中， AE = AC，∠1 =∠2，AD = AD， ∴△AED ≌ △ACD（SAS）. ∴∠AED =∠ACD = 90°即 AC⊥DC. 1 A C E F D B 2 4. 如图，△ABC，△CDE 是等边三角形 （1）求证：AE = BD； （2）若 BD 和 AC 交于点 M，AE 和 CD 交于点 N，求证：CM = CN. A B C D E M N 证明：（1）∵△ABC 是等边三角形 ， ∴∠ACB = 60°. △CDE 是等边三形 ， ∴∠DCE = 60°， ∴∠BCD =∠ACE. 又CE = CD，CB = CA， ∴△CBD ≌ △CAE ∴AE = BD. A B C D E M N （2）∵△BCD ≌ △ACE， ∴∠CAE =∠CBD. 又 AB = AC， ∠MCB =∠NCA = 60°， ∴△MCB ≌ △NCA， ∴CM = CN. A B C D E M N 5. 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA， 垂足分别为 N，M，且 OM = ON. 求证：PM = PN. A B O P M N 证明：连接OP，因为AN⊥OB，BM⊥OA， 所以∠OMP =∠ONP. 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中， OM = ON，OP = OP， 所以 Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）， 所以 PM = PN. A B O P M N