北师大版数学八年级下册课件：1.1.3 等腰三角形的判定及反证法(共22张PPT)

第3课时 等腰三角形的判定及反证法 北师版八年级数学下册 新课导入 等腰三角形性质定理的内容是什么？ 等腰三角形的两个底角相等. 我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论 反过来还成立吗？ 思考 新课探究 A B C 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相 等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三 角形吗？ 已知：在△ABC 中∠B =∠C， 求证：AB = AC. A B C 证明：作 AD⊥BC 于点 D， ∴∠ADB =∠ADC = 90°， 又∵∠B =∠C，AD = AD， ∴△ADB ≌ △ADC（AAS）， ∴AB = AC. D 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形. A B C 几何语言： ∵∠B =∠C （已知） ∴ AB = AC（等角对等边） 例 2 已知：如图，AB = DC，BD = CA， BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三 角形. 证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA， ∴△ABD ≌ △DCA（SSS）. ∴∠ADB = ∠DAC， ∴AE = ED（等角对等边）. ∴△ AED 是等腰三角形. 练习 1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°， ∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？ 练习 A B C D 3个 练习 2 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的 外角， AD∥BC 且∠1 =∠2．求证：AB = AC ． A B C D E 1 2 证明：∵ AD∥BC ， ∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠C， 又∵∠1 = ∠2， ∴∠B = ∠C， ∴AB = AC. 想一想 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不 相等，那么这两个角所对的边也不相等. 你认为 这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ A B C A B C 如图，在△ABC 中，已知 ∠B ≠∠C，此时 AB 与 AC 要么 相等，要么不相等. 假设 AB = AC，那么根据“ 等边对等角”定理可得∠C =∠B ，这与已知条件∠B ≠∠C 相矛盾 ，因此 AB ≠ AC. 例 3 用反证法证明：一个三角形中不能 有两个角是直角. 已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C 中不能有两个角是 直角. 证明：假设∠A，∠B，∠C 中有两个角是 直角，不妨设∠A和∠B 是直角，即∠A = 90°， ∠B = 90°. 于是∠A +∠B +∠C = 180°+∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A 和∠B 是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角. 随堂演练 1. 下列两个图形是否是等腰三角形？ 75° 30° 40° 40° 是 是 2. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC， 交AC 于点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由. 解：△BDE 是等腰三角形. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD = ∠DBC， 又∵DE∥BC， ∴∠DBC = ∠EDB， ∴∠ABD =∠EDB， ∴△BDE 是等腰三角形. 3. 如图，上午 10 时，一条船从 A 处出发 以 20 海里每小时的速度向正北航行，中午 12 时到达 B 处，从 A、B 望灯塔 C，测∠NAC = 40°，∠NBC = 80°，求从 B 处到灯塔 C 的 距离. 80° 40° N B A C 北 80° 40° N B A C 北 解：∠C = ∠CBN – ∠A = 80°– 40°= 40°， ∴∠C = ∠A，∴AB = BC， AB = 20×（12 – 10）= 40（海里）， ∴BC = 40 海里 4. 求证：在一个三角形中，至少有一个 内角小于或等于 60°. 证明：假设结论不成立， 即：∠A___60°，∠B ___60°，∠C ___60°, 则∠A +∠B +∠C ＞180 °. 这与_____________________相矛盾. 所以______不成立，所求证的结论成立. ＞ ＞ ＞ 三角形内角和等于 180° 假设 5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明： 这五个数中至少有一个大于或等于 . 1 5 证明：假设这五个数是a1，a2，a3，a4，a5全 部小于 ，那么这五个数的和 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 就小于 1.这与已知这五个数的和等于 1 相矛盾. 因此假设不成立，原命题成立，即这五个数中至 少有一个大于或等于 . 1 5 1 5 课堂小结 今天你学到了什么? 1. 等腰三角形的判定定理：等角对等边. 2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和证明.