北师大版数学八年级下册课件：1.2.1 勾股定理及其逆定理(共31张PPT)

2 直角三角形 第1课时 勾股定理及其逆定理 北师版八年级数学下册 新课导入 我们学过直角三角形的哪些性质和判定方 法？与同伴交流. A B C 想一想 新课探究 （1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？ 为什么？ （2）如果一个三角形有两个角互余，那么 这个三角形是直角三角形吗？为什么？ 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角 三角形. A B C ∵∠B = 90°， ∴∠A +∠C = 90°. 勾股定理 直角三角形两条直角边的 平方和等于斜边的平方. 教材中曾利用数方格和割补图形的方 法得到了勾股定理. b b a a S = a2 + b2 a cb ac b 小正方形的面积= （a – b）2 即 c2 = a2 + b2. = c2 – 4× ab1 2 勾股定理的证明： D E F G H I A B C ab c 如图，在△ABC 中， ∠C = 90°，BC = a， AC = b，AB = c. 分别以 Rt△ABC 的三边 为边长作正方形AHIB， ACDE，CBFG. 连接 EB， CH. E F G M NH I A B C ab c 过点 C 作 AB 的垂线，分 别交 AB 和 HI 于点 M，N. D E F G M NH I A B C ab c ∵EA = CA, ∠EAB =∠CAH， AB = AH， ∴△EAB ≌ △CAH（SAS）. D E F G M NH I A B C ab c 又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB， S长方形AHNM = 2S△CAH， ∴b2 = S长方形AHNM. 同理 a2 = S长方形MNIB. ∴ c2 = a2 + b2. D 练习 如图，图中所有的三角形 都是直角三角形，四边形都是 正方形.已知正方形 A，B，C， D 的边长分别是 12，16，9， 12，求最大正方形 E 的面积. 解：根据图形正方形 E 的边长为: 2 2 2 212 16 9 12 = 25   ， 故 E 的面积为：252 = 625. 反过来，在一个三角形中，当两边的平方和 等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出 “这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明 此结论吗？ 已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2. 求证：△ABC 是直角三角形. A B C 证明：如图作 Rt△A'B'C'， A' B' C' 使∠A' = 90°，A'B' = AB，A’C' = AC， 则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理） ∵AB2 + AC2 = BC2， ∴BC2 = B'C'2. ∴BC = B'C'. ∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. ∴∠A =∠A' = 90°. 因此，△ABC 是直角三角形. A B C 定理 如果三角形两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形是直角三角 形. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形. （1）a = 2，b = 3，c = 4. （ ） （2）a = 9，b = 7，c = 12. （ ） （3）a = 25，b = 20，c = 15. （ ） × × √ 练习 议一议 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有 怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗？ 上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾 股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个 定理的条件． 再观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎. 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 想一想 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么 它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题 吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么 这两个有理数相等. 原命题是真命题，逆命题是假命题. 随堂演练 1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°. （1）已知 c = 25，b = 15，求 a； （2）已知 a = ，∠A = 60°，求 b，c.6     2 2 2 2 2 2 2 1 25 15 20 2 60 , 90 , 2 , 2, 2 2 2. a c b A C c b a b c b c b                    ： ； ， ： 解 代入 得 2. 已知直角三角形的两边长分别为 3，2， 求另一条边长. 解：当斜边的长为 3 时，另一条 边长 2 23 2 5   ， 当两条直角边长分别为 3、2时， 斜边长 2 23 2 13.   3. 说出下列命题的逆命题，并判断每 对命题的真假: （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0. 解：（1）多边形是四边形.原命题是真， 逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行. 原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真. 4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD， E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长. 解：∵AB∥CD， ∴ ∠BAD +∠ADC = 180°， 又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°， ∴∠EAD +∠ ADE = 90°， 根据勾股定理， AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13, ∴ AD = 13. 解：由题意得：(a + b)(a – b)(a2 + b2 – c2) = 0，∴ a – b = 0 或 a2 + b2 – c2 = 0. 5. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满 足 ，试判断△ABC 的形状. 2 2 4 4 2 2a c b a b c   当 a = b 时，△ABC 为等腰三角形; 当 a ≠ b 时，△ABC 为直角三角形. 6. 一个零件的形状如图所示， 工人师傅量得这个零件各边尺寸如 下(单位：dm)：AB = 3，AD = 4， BC = 12，CD = 13.且∠DAB = 90°. 你能求出这个零件的面积吗？ 解：如图，连接 BD. 在Rt△ABD 中， 在△BCD 中， BD2 + BC2 = 52 + 122 = 132 = CD2. 2 2 2 23 4 5.BD AB AD     ∴△BCD 为直角三角形，∠DBC = 90°.   ABCD ABD BCDS S S AD AB BD BCRt Rt 2 1 1· · · ·2 2 1 14 3 5 12 36 dm .2 2             四边形 课堂小结 定理 直角三角形的两个锐角互余. 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理 直角三角形两条直角边的 平方和等于斜边的平方. 定理 如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 互逆 命题 互逆 命题