人教版数学七年级下学期期末总复习 第5章 《相交线与平行线》单元测试3

第 5 章 《相交线与平行线》单元测试 3 一．选择题（共 10 小题） 1．用三个不等式 a＞b，ab＞0， ＜ 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为 结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更 好地观赏风光．如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中 蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 3．如图，AB∥CD，EF 与 AB，CD 分别交于点 G，H，∠CHG 的平分线 HM 交 AB 于点 M， 若∠EGB＝50°，则∠GMH 的度数为（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 4．如图，将△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是 16cm，那么四边形 ABFD 的周长是（ ） A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm 5．一副直角三角尺如图摆放，点 D 在 BC 的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠ A＝30°，∠F＝45°，则∠CED 的度数是（ ） A．15° B．25° C．45° D．60° 6．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到 C 的方向平 移到△DEF 的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为 6，则阴影部分面积为（ ） A．48 B．96 C．84 D．42 7．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130 °，则∠BFG 的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100° 8．如图，直线 a∥b，将一块含 30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其 中 A 和 C 两点分别落在直线 a 和 b 上．若∠1＝20°，则∠2 的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 9．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（ ） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 10．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2 的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 二．填空题（共 4 小题） 11．如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点 P 到直 线 l 的距离是 cm． 12．已知直线 a∥b，将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按如图所示方式放置（∠BAC＝30 °），并且顶点 A，C 分别落在直线 a，b 上，若∠1＝18°，则∠2 的度数是 ． 13．珠江流域某江段江水流向经过 B、C、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°， ∠BCD＝80°，则∠CDE＝ 度． 14．如图，△ABC 中，AB＝AC，BC＝12cm，点 D 在 AC 上，DC＝4cm．将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则△EBF 的周长为 cm． 三．解答题（共 2 小题） 15．如图，直线 EF∥GH，点 A 在 EF 上，AC 交 GH 于点 B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°， 点 D 在 GH 上，求∠BDC 的度数． 16．如图，直线 EF 将矩形纸片 ABCD 分成面积相等的两部分，E、F 分别与 BC 交于点 E， 与 AD 交于点 F（E，F 不与顶点重合），设 AB＝a，AD＝b，BE＝x． （Ⅰ）求证：AF＝EC； （Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线 EF 剪开后，再将纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折，然后平移拼接 在梯形 ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边 DC 的延长线上，拼接后，下方的梯 形记作 EE′B′C． （1）求出直线 EE′分别经过原矩形的顶点 A 和顶点 D 时，所对应的 x：b 的值； （2）在直线 EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接 BE′，直线 BE′与 EF 是否平 行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当 a 与 b 满足什么关系时， 它们垂直？ 试题解析 1．用三个不等式 a＞b，ab＞0， ＜ 中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为 结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解： ① 若 a＞b，ab＞0，则 ＜ ；真命题： 理由：∵a＞b，ab＞0， ∴a＞b＞0，或 b＜a＜0， ∴ ＜ ； ② 若 ab＞0， ＜ ，则 a＞b，真命题； 理由：∵ab＞0， ∴a、b 同号， ∵ ＜ ， ∴a＞b； ③ 若 a＞b， ＜ ，则 ab＞0，真命题； 理由：∵a＞b， ＜ ， ∴a、b 同号， ∴ab＞0 ∴组成真命题的个数为 3 个； 故选：D． 2．曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更 好地观赏风光．如图，A、B 两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中 蕴含的数学道理是（ ） A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 解：这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段 最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程． 故选：A． 3．如图，AB∥CD，EF 与 AB，CD 分别交于点 G，H，∠CHG 的平分线 HM 交 AB 于点 M， 若∠EGB＝50°，则∠GMH 的度数为（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 解：∵AB∥CD， ∴∠EHD＝∠EGB＝50°， ∴∠CHG＝180°﹣∠EHD＝180°﹣50°＝130°． ∵HM 平分∠CHG， ∴∠CHM＝∠GHM＝ ∠CHG＝65°． ∵AB∥CD， ∴∠GMH＝∠CHM＝65°． 故选：D． 4．如图，将△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是 16cm，那么四边形 ABFD 的周长是（ ） A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm 解：∵△ABE 向右平移 2cm 得到△DCF， ∴EF＝AD＝2cm，AE＝DF， ∵△ABE 的周长为 16cm， ∴AB+BE+AE＝16cm， ∴四边形 ABFD 的周长＝AB+BE+EF+DF+AD ＝AB+BE+AE+EF+AD ＝16cm+2cm+2cm ＝20cm． 故选：C． 5．一副直角三角尺如图摆放，点 D 在 BC 的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠ A＝30°，∠F＝45°，则∠CED 的度数是（ ） A．15° B．25° C．45° D．60° 解：∵∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠ACB＝60°． ∵∠EDF＝90°，∠F＝45°， ∴∠DEF＝45°． ∵EF∥BC， ∴∠CEF＝∠ACB＝60°， ∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°． 故选：A． 6．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点 B 到 C 的方向平 移到△DEF 的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为 6，则阴影部分面积为（ ） A．48 B．96 C．84 D．42 解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF， ∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6， ∴S 四边形 ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S 梯形 ABEO＝ （AB+OE）•BE＝ （10+6） ×6＝48． 故选：A． 7．将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝130 °，则∠BFG 的度数为（ ） A．130° B．120° C．110° D．100° 解：∵AD∥BC，∠1＝130°， ∴∠BFE＝180°﹣∠1＝50°， 又∵∠EGF＝90°，∠FEG＝30°， ∴∠EFG＝60°， ∴∠BFG＝50°+60°＝110°， 故选：C． 8．如图，直线 a∥b，将一块含 30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按图中方式放置，其 中 A 和 C 两点分别落在直线 a 和 b 上．若∠1＝20°，则∠2 的度数为（ ） A．20° B．30° C．40° D．50° 解：∵直线 a∥b， ∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°， ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°， ∴∠2＝40°． 故选：C． 9．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 则回答正确的是（ ） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 证明：延长 BE 交 CD 于点 F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故选：C． 10．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2 的度数是（ ） A．40° B．50° C．60° D．70° 解：由题意可得：∠1＝∠3＝∠4＝40°， 则∠2＝∠5＝ ＝70°． 故选：D． 11．如图，点 A，B，C 在直线 l 上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点 P 到直 线 l 的距离是 5 cm． 解：∵PB⊥l，PB＝5cm， ∴P 到 l 的距离是垂线段 PB 的长度 5cm， 故答案为：5． 12．已知直线 a∥b，将一块含 30°角的直角三角板 ABC 按如图所示方式放置（∠BAC＝30 °），并且顶点 A，C 分别落在直线 a，b 上，若∠1＝18°，则∠2 的度数是 48° ． 解：∵a∥b， ∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°， 故答案为：48° 13．珠江流域某江段江水流向经过 B、C、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°， ∠BCD＝80°，则∠CDE＝ 20 度． 解：过点 C 作 CF∥AB， 已知珠江流域某江段江水流向经过 B、C、D 三点拐弯后与原来相同， ∴AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠BCF+∠ABC＝180°， ∴∠BCF＝60°， ∴∠DCF＝20°， ∴∠CDE＝∠DCF＝20°． 故答案为：20． 14．如图，△ABC 中，AB＝AC，BC＝12cm，点 D 在 AC 上，DC＝4cm．将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E，F 分别落在边 AB，BC 上，则△EBF 的周长为 13 cm． 解：∵将线段 DC 沿着 CB 的方向平移 7cm 得到线段 EF， ∴EF＝DC＝4cm，FC＝7cm，∠C＝∠BFE， ∵AB＝AC，BC＝12cm， ∴∠B＝∠C，BF＝5cm， ∴∠B＝∠BFE， ∴BE＝EF＝4cm， ∴△EBF 的周长为：4+4+5＝13（cm）． 故答案为：13． 15．如图，直线 EF∥GH，点 A 在 EF 上，AC 交 GH 于点 B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°， 点 D 在 GH 上，求∠BDC 的度数． 解：∵EF∥GH， ∴∠ABD+∠FAC＝180°， ∴∠ABD＝180°﹣72°＝108°， ∵∠ABD＝∠ACD+∠BDC， ∴∠BDC＝∠ABD﹣∠ACD＝108°﹣58°＝50°． 16．如图，直线 EF 将矩形纸片 ABCD 分成面积相等的两部分，E、F 分别与 BC 交于点 E， 与 AD 交于点 F（E，F 不与顶点重合），设 AB＝a，AD＝b，BE＝x． （Ⅰ）求证：AF＝EC； （Ⅱ）用剪刀将纸片沿直线 EF 剪开后，再将纸片 ABEF 沿 AB 对称翻折，然后平移拼接 在梯形 ECDF 的下方，使一底边重合，直腰落在边 DC 的延长线上，拼接后，下方的梯 形记作 EE′B′C． （1）求出直线 EE′分别经过原矩形的顶点 A 和顶点 D 时，所对应的 x：b 的值； （2）在直线 EE′经过原矩形的一个顶点的情形下，连接 BE′，直线 BE′与 EF 是否平 行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，请你说明当 a 与 b 满足什么关系时， 它们垂直？ （Ⅰ）证明：∵AB＝a，AD＝b，BE＝x，S 梯形 ABEF＝S 梯形 CDFE， ∴ a（x+AF）＝ a（EC+b﹣AF）， ∴2AF＝EC+（b﹣x）． 又∵EC＝b﹣x， ∴2AF＝2EC． ∴AF＝EC． （Ⅱ）解：（1）当直线 EE′经过原矩形的顶点 D 时，如图（一） ∵EC∥E′B′， ∴ ＝ ， 由 EC＝b﹣x，E′B′＝EB＝x，DB′＝DC+CB′＝2a， 得 ， ∴x：b＝ ． 当直线 E′E 经过原矩形的顶点 A 时，如图（二） 在梯形 AE′B′D 中， ∵EC∥E′B′，点 C 是 DB′的中点， ∴CE＝ （AD+E′B′）， 即 b﹣x＝ （b+x）， ∴x：b＝ ． （2）如图（一），当直线 EE′经过原矩形的顶点 D 时，BE′∥EF， 证明：连接 BF， ∵FD∥BE，FD＝BE， ∴四边形 FBED 是平行四边形， ∴FB∥DE，FB＝DE， 又∵EC∥E′B′，点 C 是 DB′的中点， ∴DE＝EE′， ∴FB∥EE′，FB＝EE′， ∴四边形 BE′EF 是平行四边形， ∴BE′∥EF． 如图（二），当直线 EE′经过原矩形的顶点 A 时，显然 BE′与 EF 不平行， 设直线 EF 与 BE′交于点 G，过点 E′作 E′M⊥BC 于 M，则 E′M＝a， ∵x：b＝ ， ∴EM＝ BC＝ b， 若 BE′与 EF 垂直，则有∠GBE+∠BEG＝90°， 又∵∠BEG＝∠FEC＝∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E＝90°， ∴∠GBE＝∠ME′E， 在 Rt△BME′中，tan∠E′BM＝tan∠GBE＝ ＝ ， 在 Rt△EME′中，tan∠ME′E＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 又∵a＞0，b＞0， ＝ ， ∴当 ＝ 时，BE′与 EF 垂直．