人教版八年级下册数学教案：17.2勾股定理的逆定理（一）

17、2 勾股定理的逆定理（一） 学习目标 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。学习难点：勾股定理的逆定理的证明。 导学过程 一、完成学习目标 1、 启发自学，学生思考。 ⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角 形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。 例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设 和结论，并注意语言的运用。⑵理顺他们之间的 关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可 能都真，也可能一真一假，还可能都假。 2、试练讨论 1、判断题。⑴在一个三角形中，如果一边上 的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是 30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命 题是真命题。 ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角 三角形。 ⑷△ABC 的三边之比是 1：1： 2 ，则△ABC 是直角三角形。 a bc a b B C A A1 C1B1 2、△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是（ ） A、如果∠C－∠B=∠A，则△ABC 是直角三角形。 B、如果 c2= b2—a2，则△ABC 是直角三角形，且∠C=90°。 C、如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC 是直角三角形。 D、如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC 是直角三角形。 3、下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A、a=8，b=15，c=17 B、a=9，b=12， c=15C、a= 5 ，b= 3 ，c= 2 D、a：b：c=2：3：4 4、已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，分别为下列长度，判断 该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a= 3 ，b= 22 ，c= 5 ；⑵a=5， b=7，c=9；⑶a=2，b= 3 ，c= 7 ；⑷a=5，b= 62 ，c=1。 1、 穿插讲解 例 2（探究）证明：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三 角形。 例 3（补充）已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，a=n2－1， b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。 分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判 断那条边最大。②分别用代数方法计算出 a2+b2 和 c2 的值。③判断 a2+b2 和 c2 是否相等，若 相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 ⑵要证∠C=90°，只要证△ABC 是直角三角形，并且 c 边最大。根据勾股定理的逆定 理只要证明 a2+b2=c2 即可。 ⑶由于 a2+b2=（n2－1）2＋（2n）2=n4＋2n2＋1，c2=（n2＋1）2= n4＋2n2＋1，从而 a2+b2=c2， 故命题获证。 例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。 例 2（探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生 的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论， 提高学生的理性思维。 例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一 般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出 a2+b2 和 c2 的值。③判断 a2+b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 二、小结点评 先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知 欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论 学生更容易接受。 三、达标测试 1、叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。 ⑴如果 a3＞0，那么 a2＞0；⑵如果三角形有一个角小于 90°，那么这个三角形是锐角 三角形；⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。 2、填空题。 ⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。 ⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 。 ⑶在△ABC 中，若 a2=b2－c2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若 a2＜b2－c2，则∠B 是 。 ⑷若在△ABC 中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，则△ABC 是 三角形。 3、若三角形的三边是 ⑴1、 3 、2； ⑵ 5 1,4 1,3 1 ； ⑶32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A、2 个 B、３个 Ｃ、４个 Ｄ、５个 4（选做题）、已知：在△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，分别为下 列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b= 32 ，c=4； ⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。 课后反思：