27.2.2相似三角形的性质-人教版九年级数学下册课堂训练

27.2.2 相似三角形的性质 自主预习 1. 若△ABC∽△DEF，相似比为 3∶2，则对应高的比为( ) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9 2.在一张由复印机复印出来的纸上，一个多边形的一条边的长由原来的 1 cm 变 成 4 cm，那么它的周长由原来的 3 cm 变成( ) A.6 cm B.12 cm C.24 cm D.48 cm 3.如图，D、E 分别是△ABC 中 AB、AC 边上的中点，则 S△ADE∶S△ABC=__________. 3 题图 4 题图 5 题图 4.如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点，且 DE∥BC，BE 交 DC 于 F 点，EF∶FB=1∶3，则 S△ADE∶S△ABC 的值为( ) A.1∶3 B.1∶9 C.1∶ 3 D.以上答案都不对 5.如图所示，D、E、F 分别在△ABC 的边上，DE∥BC，EF∥AB，如果 AD∶DB=1∶2， 则 S△DEF∶S△ABC 等于( ) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶9 D.2∶9 互动训练 知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比 1. 已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为3 4 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( ) A.3 4 B.4 3 C. 9 16 D.16 9 2. 若两个三角形相似，相似比为 8∶9，则它们对应角平分线之比是 ， 若其中较小三角形的一条角平分线的长为 6 cm，则另一个三角形对应角平分线 长 为 cm． 3．如图，直线 l1，l2，…，l6 是一组等距离的平行线，过直线 l1 上的点 A 作两条 射线，分别与直线 l3、l6 相交于点 B、E 和 C、F.若 BC＝2，则 EF 的长是 ． 3 题图 4. 已知△ABC∽△A′B′C′，CD 是 AB 边上的中线，C′D′是 A′B′边上的中线，CD ＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE 是△ABC 的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高 线 A′E′的长． 知识点二：相似三角形的周长的比等于相似比 5．△ABC 与△DEF 的相似比为 1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶16 6.两个相似三角形的一组对应边的长分别是 15 和 23，它们周长的差是 40,则这两 个三角形的周长分别为( ) A.75，115 B.60，100 C.85，125 D.45，85 7．若两个相似三角形的周长的比为 4∶5，且周长之和为 45，则这两个三角形的 周长分别为 ． 8．已知△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的周长分别为 20 cm 和 25 cm，且 BC ＝5 cm，DF＝4 cm，求 EF 和 AC 的长． 知识点三：相似三角形的面积比等于相似比的平方 9．已知△ABC 与△DEF 的相似比为 1∶3，则△ABC 和△DEF 的面积比为( ) A．1∶ 3 B. 3∶1 C．9∶1 D．1∶9 10．如图，点 D、E 分别为△ABC 的边 AB、AC 上的中点，则△ADE 的面积与 四边形 BCED 的面积的比为( ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1 10 题图 11 题图 11．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是( ) A. BC DF ＝1 2 B. ∠A 的度数 ∠D 的度数＝1 2 C. △ABC 的面积 △DEF 的面积 ＝1 2 D. △ABC 的周长 △DEF 的周长 ＝1 2 12．如图，在△ABC 中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE 的面积为 1，则四边形 DBCE 的面积为( ) A．3 B．5 C．6 D．8 12 题图 13 题图 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE∶EC＝3∶1，连接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( ) A．3∶4 B．9∶16 C．9∶1 D．3∶1 14.将一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的 9 倍,那么周长扩 大为原来的( ) A.9 倍 B.3 倍 C.81 倍 D.18 倍 15．已知△ABC 与△DEF 相似且对应中线的比为 2∶3，则△ABC 与△DEF 的面 积比为 ． 16.两个相似多边形对应边的比为 3∶2，小多边形的面积为 32 cm2，那么大多边 形的面积为 . 17.如图，已知 D、E 分别是△ABC 的 AB、AC 边上一点，DE∥BC， 且 S△ADE∶S 四边形 DBCE=1∶3，则 AD∶AB=______________. 17 题图 18．已知△ABC∽△A′B′C′， AB A′B′ ＝1 2 ，AB 边上的中线 CD＝4 cm，△ABC 的周长 为 20 cm，△A′B′C′的面积是 64 cm2，求： (1)A′B′边上的中线 C′D′的长； (2)△A′B′C′的周长； (3)△ABC 的面积． 19.某块地的平面如图，∠A=90°，其比例尺为 1∶2 000,根据图中标注的尺寸(单 位:cm)，求这块地的实际周长和面积. 19 题图 知识点四：相似三角形性质的综合应用 20.如图，把△ABC 沿 AB 平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半.若 AB= 2 ，则此三角形移动的距离 AA′是( ) A. 2 -1 B. 2 2 C. 1 D. 2 1 20 题图 21 题图 21.如图,在直线 m 上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知 BC= 2 1 CE，F、G 分别是 BC、CE 的中点，FM∥AC，GN∥DC. 设图中三个平 行四边形的面积依次是 S1，S2，S3,若 S1+S3=10，则 S2=_______________. 22．在平行四边形 ABCD 中，M、N 是 AD 边上的三等分点，连接 BD，MC 相交 于 O 点，则 S△MOD∶S△COB＝ ． 23．如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是 BC 边上的高，正方形 EFGH 的一边 FG 在 BC 上，顶点 E，H 分别在 AB，AC 上，已知 BC＝40 cm，AD＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC； (2)求这个正方形的边长与面积． 23 题图 课时达标 1. 如果△ABC∽△DEF，A、B 分别对应 D、E，且 AB∶DE=1∶2，那么下列等 式一定成立的是（ ） A．BC∶DE=1∶2 B．△ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2 C．∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2 D．△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2 2．两个相似三角形的最短边分别为 5 cm 和 3 cm，他们的周长之差为 12 cm，那 么大三角形的周长为( ) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE，并延长 BE 交 CD 延长线于点 F，则△EDF 与△BCF 的周长之比是( ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 3 题图 4 题图 5 题图 4．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AE，BE 交于点 G，则 S△EFG∶S△ABG＝( ) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1 5．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 DC 上的点，DE∶EC=3∶2，连接 AE 交 BD 于点 F，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ） A．2∶5 B．3∶5 C．9∶25 D．4∶25 6．如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BD AD 的值为 ( ) A．1 B． 2 2 C． 2－1 D． 2＋1 6 题图 7 题图 9 题图 7.如图所示,在正方形网格上有两个三角形:△A1B1C1 与△A2B2C2,则△A1B1C1 的 面积与△A2B2C2 的面积之比等于( ) A.4∶1 B.3∶1 C.5∶2 D.5∶3 8．若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为 25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之 比为 ． 9．如图，在△ABC 中，DE∥AC，AD:DB=2:1，F 为 AC 上任意一点，△DEF 的 面积为 4，则 S△ABC= ． 10．一副三角板叠放如图所示，则△AOB 与△DOC 的面积之比为 . 11.如图，D 是△ABC 的边 AB 上一点，∠B=∠ACD，AC=1，△ACD 与△BDC 的 面积之比为 2∶1，则 AD 的长为___________. 10 题图 11 题图 12 题图 12.如图，在△ABC 中,AD∶DB=1∶2，DE∥BC，若△ABC 的面积为 9，则四边 形 DBCE 的面积为_____________. 13.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 为 AB 上一点，Q 为 BC 上一点，且 PQ⊥AB， 若△BPQ 的面积等于四边形 APQC 面积的 4 1 ，AB=5 cm，PB=2 cm，求△ABC 的 面积. 13 题图 14.如图,在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 BE 的中点，AE 与 DF 相交于点 H，则 S△EFH 与 S△ADH 的比值是多少? 14 题图 15. 等腰△ABC 中，顶角为 A，AD⊥BC 于 D 点，AD=12 cm，BC=10 cm，等腰 △A′B′C′中，A′D′⊥B′C′于 D′点，且△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=1∶3. (1)求 A′B′的长；(2)求 A′D′的长；(3)求△A′B′C′的周长；(4)求△A′B′C′的面积. 16．如图，在△ABC 中，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC， CF，EG 分别是△ABC 与△ADE 的中线，已知 AD∶DB＝4∶3，AB＝18 cm，EG ＝4 cm，求 CF 的长． 16 题图 17．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE∶EB＝2∶3，DE 交 AC 于点 F. (1)求证：△AEF∽△CDF ； (2)求△AEF 与△CDF 的周长之比； (3)如果△CDF 的面积为 20 cm2，求△AEF 的面积． 17 题图 18．如图，在△ABC 中，BC>AC，点 D 在 BC 上，且 DC＝AC，∠ACB 的平分 线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连接 EF. (1)求证：EF∥BC； (2)若四边形 BDFE 的面积为 6，求△ABD 的面积． 18 题图 拓展探究 1．阅读下面的短文，并解释下列问题： 我们把相似形的概念推广到空间，如果两个几何体大小不一定相等，但形状 完全相同，就把它们叫做相似体．例如：甲、乙是边长分别为 a，b 的不同的正 方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a:b)，设 S 甲， S 乙分别表示这两个正方体的表面积，则： 2 2 2 )( 6 6 b a b a S S  乙 甲 ； V 甲，V 乙分别表示这两个正方体的体积，则： 3 3 3 )(b a b a V V  乙 甲 ． (1)下列几何体中，一定属于相似体的是( ) A. 两个球体 B. 两个圆锥体 C. 两个圆柱体 D. 两个长方体 (2)请归纳出相似体的三条主要性质： ①相似体的一切对应线段(或弧)长的比都等于 ； ②相似体的表面积之比等于 ； ③相似体的体积之比等于 ． (3)假定在完全正常发育的情况下，不同时期的同一人的人体是相似的，一 个小朋友上幼儿园时身高为 1.1 米，体重为 18 千克，到了八年级时，身高为 1.65 米，问他的体重为多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)? 2. 如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=2，BC=3，点 P 是 AD 边上的一动点（P 异于 A、D），Q 是 BC 边上的任意一点. 连 AQ、DQ，过 P 作 PE∥DQ 交 AQ 于 E，作 PF∥AQ 交 DQ 于 F. （1）求证：△APE∽△ADQ； （2）设 AP 的长为 x，试求△PEF 的面积 S△PEF 关于 x 的函数关系式，并求 当 P 在何处时，S△PEF 取得最大值？最大值为多少？ （3）当 Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定 Q 在何处的过程 或方法，不必给出证明） 2 题图 27.2.2 相似三角形的性质答案 自主预习 1. A. 解析：由相似三角形对应线段的比等于相似比可得. 2. B. 解析：由相似三角形的周长比等于相似比可得. 3. 1∶4. 解析：两三角形的相似比为 2 1 ,故面积比为 4 1 . 4. B. 解析：由△DEF∽△CBF 求得 DE 与 BC 的比,再由△ADE∽△ABC 求得 面积的比. 5. D. 解析：由△ADE∽△ABC，得 3 1 DBAD AD AB AD BC DE .DE 到 BC 的距离 与△ABC 的高的比等于 2∶3，所以 9 2 3 1 3 2    ABC DEF S S . 答案：D 互动训练 1. A. 2. 8∶9； 27 4 . 3. 5. 4. 解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD 是 AB 边上的中线， C′D′是 A′B′边上的中线，且 AE，A′E′是对应的高， ∴ AE A′E′ ＝ CD C′D′. ∴ 4.8 A′E′ ＝ 4 10. ∴A′E′＝12 cm. 5. C. 6. A. 解析：设较小的周长为 x,则较大的为(x+40),由题意,得 23 15 40 x x ,解之,得 x=75. 答案：A 7. 20，25. 8. 解：∵相似三角形周长的比等于相似比， ∴EF BC ＝25 20. ∴EF＝5 4BC＝5 4×5＝25 4 (cm)． 同理AC DF ＝20 25 ， ∴AC＝4 5DF＝4 5×4＝16 5 (cm)． ∴EF 的长是25 4 cm，AC 的长是16 5 cm. 9. D. 10. B. 11. B. 12. D. 13. B. 14. B. 15. 4∶9. 16. 72 cm2. 解析：两个相似三角形面积的比等于相似比的平方.答案：72 cm2 17. 1∶2. 解析：两三角形的面积比为 4 1 ,故两三角形的相似比为 2 1 .答案：1∶2 18．(1)8 cm (2)40 cm (3)16 cm2 19. 解：根据平面图所示各线段的长度,算出四边形的周长为 32 cm，根据比例尺 转化为 640 m，图上四边形的面积可分为△ABD 和△BCD 的面积的和，因为 △ABD 为直角三角形，所以 BD=5.又 CD=12，BC=13，所以△BCD 为直角三角 形，四边形的面积为 2 1 ×3×4+ 2 1 ×12×5=36. 利用比例尺折合为 14 400 m2. 20. A. 解析: ∵A′C′∥AC, ∴△A′DB∽△ACB. ∴ 2)( AB BA S S ACB DBA    . ∵AB= 2 ,S△A′DB= 2 1 S△ACB, ∴ 2 1) 2 ( 2 BA ∴A′B=1.∴AA′=AB-A′B= 2 -1. 答案：A 21. 4.解析：∵△ABC∽△HFG∽△DCE，∴S△ABC∶S△DCE=1∶4. ∴S1∶S3=1∶4. ∴S1=2. ∴S2=2S1=4. 答案：4 22. 1 9 或4 9 ． 23. 解：(1)证明：∵四边形 EFGH 是正方形， ∴EH∥BC. ∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C. ∴△AEH∽△ABC. (2)设 AD 与 EH 相交于点 M. ∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形 EFDM 是矩形．∴EF＝DM. 设正方形 EFGH 的边长为 x. ∵△AEH∽△ABC，∴EH BC ＝AM AD. ∴ x 40 ＝30－x 30 .∴x＝120 7 . ∴正方形 EFGH 的边长为120 7 cm，面积为14 400 49 cm2. 课时达标 1. D. 解析：A. BC 与 EF 是对应边，则 BC∶DE=1∶2 不一定成立，故本项错误； B. △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶4，故本选项错误； C. ∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶1，故本选项错误； D. △ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2 正确，故本选项正确．故选 D． 2. D. 3. A. 4. C. 5. C. 解析：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF． ∵DE∶EC=3∶2，∴ 3 3 3 2 5 DE BA   ，∴ 2 9( ) 25 DEF BAF S DE S BA    ．故选：C． 6. C. 7. C. 解析：设正方形网格上的每个小正方形的边长为 a, 则 111 CBAS = 2 5 2 2 11 aaCB  , 222 CBAS = 2 2 2 2 22 aaCA  , 故 111 CBAS ∶ 222 CBAS = 2 2:2 5 22 aa =5∶2. 答案：C 8. 5∶4. 9. 36. 10. 1∶3 11. 3 6 解析：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC, ∵ △ACD 与△BDC 的面积之比为 2∶1，∴△ACD 与△ABC 的面积之比为 2∶3， 即 2( )AD AC = 2 3 , AC=1，∴AD= 3 6 . 答案： 3 6 12. 8. 解析：∵S△ADE∶S△ABC=1∶9,∴S△ADE=1.∴四边形的面积为 8. 答案：8 13. 解：∵∠C=∠QPB，∠B=∠B, ∴△BPQ∽△BCA. 又∵S△BPQ∶S△BCA=1∶5, ∴ 5 1 AB QB . ∴QB= 5 . ∴QP=1. ∴S△BPQ=1. ∴S△BCA=5. 14. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC. ∵E 是 BC 的中点,∴BE= 2 1 BC= 2 1 AD. ∵F 是 BE 的中点,∴EF= 2 1 BE= 4 1 AD. 又∵平行四边形 ABCD 中，AD∥BC,即 AD∥FE, ∴ △EFH∽△ADH. ∴S△EFH∶S△ADH=EF2∶AD2=1∶16. 15. 解：(1)因为 BD=CD(等腰三角形三线合一)，所以 BD=5 cm. 所以 AB=13 cm，AD=12 cm，BC=10 cm. 所以△ABC 周长为 36 cm,面积为 60 cm. 因为△ABC∽△A′B′C′,相似比为 1∶3, 所以周长比为 1∶3,面积比为 1∶9,所以 A′B′=39 cm. (2)A′D′=36 cm. (3)△A′B′C′周长为 108 cm. (4)S△A′B′C′=540 cm2. 16. 解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7. ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∵CF，EG 分别是△ABC 与△ADE 的中线， ∴AD AB ＝EG CF.∴4 7 ＝ 4 CF. ∴CF＝7 cm. 17. 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC∥AB. ∴ △AEF∽△CDF. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC＝AB. ∵AE∶EB＝2∶3，设 AE＝2k，则 BE＝3k，DC＝5k. 又∵△AEF∽△CDF，∴C△AEF C△CDF ＝AE DC ＝2 5. ∴△AEF 与△CDF 的周长之比为 2∶5. (3)∵△AEF∽△CDF， ∴S△AEF S△CDF ＝(AE DC)2. ∵AE DC ＝2 5 ，△CDF 的面积为 20 cm2， ∴△AEF 的面积为16 5 cm2. 18. 解：(1)证明：∵DC＝AC，CF 平分∠ACB，∴AF＝DF. 又∵点 E 是 AB 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线． ∴EF∥BD，即 EF∥BC. (2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD. ∴S△AEF S△ABD ＝(AE AB)2. 又∵点 E 是 AB 的中点，∴AE AB ＝1 2. ∴S△AEF S△ABD ＝1 4.∴S△AEF＝1 4S△ABD. ∴S△ABD－6＝1 4S△ABD.∴S△ABD＝8. 拓展探究 1．（１）Ａ （２）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方； （３）60.75 千克. 2. 解：（1）∵PE∥DQ，∴∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD. ∴ △APE∽△ADQ. （2）∵△APE∽△ADQ，△PDE∽△ADQ，及 S△PEF= PEQFS平行四边形2 1 ， 得 S△PEF= xx  2 3 1 = 4 3 2 3 3 1 2       x . ∴当 2 3x ，即 P 是 AD 的中点时，S△PEF 取得最大值 4 3 . （3）作 A 关于直线 BC 的对称点 A′，连 DA′交 BC 于 Q，则这个点 Q 就是使 △ADQ 周长最小的点，此时 Q 是 BC 的中点.