27.2.3相似三角形的应用举例-人教版九年级数学下册课堂训练

27.2.3 相似三角形的应用举例 自主预习 1.在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是( ) A.成反比例 B.成正比例 C.相等 D.不成比例 2.如图，DE⊥EB，AB⊥EB，∠DCE=∠ACB，DE=12 m，EC=15 m，BC=30 m， 则 AB= m. 2 题图 4 题图 3.已知 A、B 两地相距 300 km，在地图上量得两地相距 15 cm，则图上距离与实 际距离之比为___________. 4.某一时刻，测得旗杆的影长为 8 m，李明测得小芳的影长为 1 m，已知小芳的 身高为 1.5 m，则旗杆的高度是_______________m. 5.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱 AB 的高度为 1.2 米，若吊 环高度为 2 米，支点 A 为跷跷板 PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什 么? 5 题图 互动训练 知识点一：相似三角形判定及性质的实际应用 1．一斜坡长 70m，它的高为 5m，将某物从斜坡起点推到坡上 20m 处停止下， 停下地点的高度为( )B A． m7 11 B． m7 10 C． m7 9 D． m2 3 2．如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 AB 在地面上的影长 DE＝1.8m， 窗户下檐距地面的距离 BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高 AB 为( )A A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m 2 题图 3 题图 4 题图 3．如图所示，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距离墙角 1.6m，梯上点 D 距 离墙 1.4m，BD 长 0.55m，则梯子长为( )C A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m 4.图所示是用杠杆撬石头的示意图,C 是支点,当用力压杠杆的 A 端时,杠杆绕 C 点 转动,另一端 B 向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的 B 端 必须向上翘起 10 cm,已知杠杆的动力臂 AC 与阻力臂 BC 之比为 5∶1,则要使这 块石头滚动,至少要将杠杆的 A 端下压( ) A.100 cm B.60 cm C.50 cm D.10 cm 5.如图所示,要测量河两岸相对的两点 A,B 的距离,先从 B 处出发与 AB 成 90°角方 向,向前走 80 米到 C 处立一标杆,然后方向不变向前走 50 米至 D 处,在 D 处转 90°, 沿 DE 方向走 30 米,到 E 处,使 A(目标物),C(标杆)与 E 在同一条直线上,那么可测 得 A,B 间的距离是_______. 5 题图 6 题图 6．如图所示，有点光源 S 在平面镜上面，若在 P 点看到点光源的反射光线，并 测得 AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且 PC＝24cm，则点光源 S 到平面镜的距 离即 SA 的长度为______cm． 7.如图,为了测量一棵树 CD 的高度,测量者在 B 点立一高为 2 米的标杆,观测者从 E 处可以看到杆顶 A,树顶 C 在同一条直线上.若测得 BD=23.6 米,FB=3.2 米,EF=1.6 米,求树高. 7 题图 8.如图所示的一个零件，需计算出它的厚度 x 和内孔直径 d 的长(不能直接量出 x 和 d 的长），工人师傅用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等)去量，若 OA︰ OC=OB︰OD=3，且量得 CD=3cm，零件外径 a=11cm，你能帮助工人师傅计算 出内径 d 和厚度 x 吗?说明理由. 8 题图 9.如图，一圆柱形油桶,高 1.5 米,用一根长 2 米的木棒从桶盖小口 A 处斜插桶内 另一端的 B 处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为 1.2 米,求桶内油面的高度. 9 题图 知识点二：相似三角形判定及性质的综合应用 10.如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，若 AD=4， DB=2,则 DE∶BC 的值为( ) A. 3 2 B. 2 1 C. 4 3 D. 5 3 10 题图 11 题图 12 题图 13 题图 11.如图所示，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是BC 边上的一点,下列条件： (1)∠APB=∠EPC；(2)∠APE=90°；(3)P 是 BC 的中点；(4)BP∶BC=2∶3. 其中能推出△ABP ∽△ECP 的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 12.如图，在△ABC 中，DE∥BC，△ABC 的高 H＝8，DE 与 BC 间的距离为 h， BC＝4，若△ADE 与梯形 DECB 的面积相等，则 h＝（ ） A．4 B． 或 C． D． 13.如图，在△ABC 中，AB＝AC＝8，BC＝6，点 P 从点 B 出发以 1 个单位/s 的 速度向点 A 运动，同时点 Q 从点 C 出发以 2 个单位/s 的速度向点 B 运动．当以 B，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为（ ） A． s B． s C． s 或 s D．以上均不对 14.如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 0，AC 平分∠BCD，且 ＝ ． （1）求证：AB＝0B； （2）若 BC＝3，DC＝2，且 AD︰AB＝ ︰3，求证： ＝ ． 14 题图 15．如图，以△ABC 的边 AC 为直径的⊙O 交 AB 边于点 M，交 BC 边于点 N， 连接 AN，过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P，∠BCP＝∠BAN. 求证： (1)△ABC 为等腰三角形； (2)AM·CP＝AN·CB. 15 题图 课时达标 1.如图，小明在打乒乓球时，为使球恰好能过网（设网高 AB＝15cm），且落在对 方区域桌子底线 C 处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他击球点距离桌 面的高度 DE 为（ ） A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm 1 题图 2 题图 3 题图 2.如图,电灯 P 在横杆 AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为 CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点 P 到 CD 的距离是 3 m,则 P 到 AB 的距离是( ) A. 6 5 m B. 7 6 m C. 5 6 m D. 3 10 m 3.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S， 使点 P，Q，S 在一条直线上，且直线 PS 与河垂直，在过点 S 且与 PS 垂直的直 线 a 上选择适当的点 T，PT 与过点 Q 且与 PS 垂直的直线 b 的交点为 R．如果 QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度 PQ 为（ ） A．40m B．60m C．120m D．180m 4．如图，路灯 OP 距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距离灯的底部（点 O）20 米的点 A 处，沿 OA 所在的直线行走 14 米到点 B 处时，人影的长度（ ） A．变长了 1.5 米 B．变短了 2.5 米 C．变长了 3.5 米 D．变短了 3.5 米 4 题图 5 题图 6 题图 5．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口 B 处立一根 垂直于井口的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直 径 AB 交于点 E，如果测得 AB＝1.6 米，BD＝1 米，BE＝0.2 米，那么 AC 为 米． 6．如图，已知小华、小强的身高分别为 1.8m，1.5m，路灯的高度为 3.6m．小华、 小强在同一盏路灯下的影长分别为 2.3m，2m、则小华、小强之间的水平距离 为 ． 7.如图，BE⊥AC 于 B，CD⊥AC 于 C，AE∥BD，若 BE=1.7 米，AB=3 米，BC=12 米，求 CD 的长. 7 题图 8.如图，射击瞄准时，要求枪的标尺缺口上沿中央 A，准星尖 B 和瞄准点 C 在一 条直线上，这样才能命中目标. 已知某种冲锋枪基线 AB 长 38.5 cm，如果射击距 离 AC= 100 m，当准星尖在缺口内偏差 BB′为 1 mm 时，弹着偏差 CC′是多少?(BB′∥CC′) 8 题图 9.如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80 cm，梯上点 D 距墙 70 cm,BD 长 55 cm,求梯子的长. 9 题图 10.一条河的两岸有一段是平行的,在河的这岸每隔 5 米有一棵树,在河的对岸每隔 50 米有一根电线杆,在这一岸离开岸边 25 米处看到对岸相邻的两根电线杆恰好 被这岸的两棵树遮住,并且在这两棵树之间还有三棵树, 求河宽. 10 题图 11.一位同学想利用树影测量树高 AB，他在某一时刻测得小树高为 1 米，树影长 0.9 米，但当他马上测量树影时，因树靠近建筑物，影子不全落在地上，有一部 分落在墙上，如图，他先测得地面部分的影子长 2.7 米，又测得墙上的影高 CD 为 1.2 米，试问树有多高? 11 题图 12.如图所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为 m 千米及 n 千米,设两条小路相距 l 千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到 甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里? 12 题图 13.如图，一人拿着一个刻有厘米分度的小尺，站在距离电线杆约 30 米的地方， 把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上的 12 个分度恰好遮住电线杆，已知手臂 长约 60 厘米，求电线杆的高. 13 题图 14.某同学想用镜子测量一棵古松树的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子 与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图，第一次他把镜子放在 C 点，人 在 F 点正好看到树尖 A；第二次他把镜子放在 C′处，人在 F′处正好看到树尖 A， 已知某同学的眼睛距地面 1.70 m，量得 CC′为 12 m，CF 长 1.8 m，C′F′为 3.84 m， 求这棵古松树的高. 14 题图 15．小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD 和 EF 是两 等高的路灯，相距 27m，身高 1.5m 的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F 共 线），被两路灯同时照射留在地面的影长 BQ＝4m，BP＝5m． （1）小明距离路灯多远？ （2）求路灯高度． 15 题图 16.如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在 E 点位 置，AE＝35cm，如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚 好弹到 D 点位置． （1）求证：△BEF∽△CDF； （2）求 CF 的长． 16 题图 拓展探究 1.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点 P 从点 B 向右 D 运动，问当点 P 离点 B 多远时，△PAB 与△PCD 是相似三角形？ 1 题图 2．已知：如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请 问：在 BC 上若存在点 P，使得△ABP 与△PCD 相似，求 BP 的长及它们的面积 比． 2 题图 3．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二 步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步， 股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？” 27.2.3 相似三角形的应用举例答案 自主预习 1. B. 解析：因太阳光线是平行的，所以同时同地光线，物高，影长组成的三角 形都相似. 答案：B. 2. 24. 解析：∵△ABC∽△DEC，∴AB=24. 答案：24. 3. 1∶2 000 000. 解析：AB=300 km=30 000 000 cm, 所以图上距离∶实际距离=1∶2 000 000. 答案：1∶2 000 000. 4. 解：如图所示，∵△ABC∽△DEF, ∴ EF BC DF AC  . ∴DF=12 m. 答案：12. 5.解:狮子能将公鸡送到吊环上. 理由：过点 Q 作 QH⊥PC 于点 H，即狮子将跷跷板 P 端按到底时可得到 Rt△PHQ， ∵AB∥QH，∴△PAB∽△PQH，∴ AB PA QH PQ . ∵A 为 PQ 的中点， ∴PQ=2PA, ∴QH=2AB=2.4＞ 2. ∴狮子能将公鸡送到吊环上 互动训练 1．B． 2．A． 3．C． 4. C. 解析：杠杆运动过程中构成的三角形相似.答案：C 5. 48 米. 解析：因为△ABC∽△EDC,所以 DC BC DE AB  .答案：48 米 6. 12. 7. 解：由题意得△AEM∽△CEN, ∴ EM EN AM CN  .而 AM=0.4，EM=3.2，EN=26.8， ∴CN=3.35. ∴CD=4.95(米). 答:树高 4.95 米. 7 题图 9 题图 8. 解：∵OA︰OC=OB︰OD=3 , ∠AOB=∠COD. ∴△AOB∽△COD. ∴ 3OAAB CD OC  即 33 d  ，∴d=9. ∴ 11 9 12 2 a dx     ∴d=9cm, x=1cm. 9. 解：根据题意建立数学模型,如图, AD=1.2 米,AB=2 米,AC=1.5 米, DE∥BC. ∵DE∥BC, ∴∠ADE= ∠B，∠AED=∠C. ∴△ADE∽△ABC. ∴ AC AE AB AD  .∴ 5.12 2.1 AE ∴AE=0.9(米). ∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6(米). 10. A. 解析：因△ADE∽△ABC,故 BDAD AD BC DE  .答案：A 11. C. 解析：(1)中因为∠B=∠C，∠APB=∠EPC，所以△ABP∽△ECP； (4)中因为 BP∶BC=2∶3, 所以 BP= 3 2 BC,PC= 3 1 BC.所以 PC BP EC AB  =2, 且∠B=∠C=90°. 所以△ABP∽△ECP.故选 C. 答案：C. 12. D. 解析：∵△ADE 与梯形 DECB 的面积相等，∴ ， ∵△ABC 中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ ． 如图，过点 A 作 AN⊥BC 交 DE 于点 M， ∵AN＝8，∴AM＝8﹣h，∴ ，∴h＝8﹣4 ．故选：D． 12 题图 14 题图 13. C. 解析：设运动时间为 t 秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t， 当△BAC∽△BPQ， ＝ ，即 ＝ ，解得 t＝ ； 当△BCA∽△BPQ， ＝ ，即 ＝ ，解得 t＝ ， 综上所述，当以 B，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为 s 或 s， 故选：C． 14.证明：（1）∵AC 平分∠BCD，∴∠BCA＝∠DCA， ∵ ＝ ，∴△ABC∽△ODC，∴∠DOC＝∠BAC， ∵∠AOB＝∠DOC，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝OB； （2）∵△ABC∽△ODC， ∴ ， ∴AB＝ OD，AC＝ OC，∴AO＝ OC， 设 AD＝ x，则 AB＝OB＝3x，OD＝2x， 过 A 作 AH⊥BD，设 OH＝a， 由勾股定理得 AB2﹣BH2＝AD2﹣DH2， 即（3x）2﹣（3x﹣a）2＝（ x）2﹣（2x+a）2， 解得：a＝ x，∴BH＝ x， ∴AH＝ ，∴AO＝ ＝ x， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ． 15. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC＝90°. ∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BCP＝∠CAN. ∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN. 又∵AN⊥BC，∴AB＝AC.∴△ABC 为等腰三角形． (2)连接 MN∵△ABC 为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°， ∴∠PBC＝∠AMN. 由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA. ∴CB AM ＝CP AN ，即 AM·CP＝AN·CB. 15 题图 课时达标 1. D. 解析：∵AB∥DE，∴△CAB∽△CDE，∴ ＝ ，而 BC＝BE， ∴DE＝2AB＝2×15＝30（cm）．故选：D． 2. C. 解析：设 P 到 AB 的距离为 x 米,则有 CD ABx  3 .x=1.2(m). 故选：C. 3. C. 解析：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴PQ＝120（m）．故选：C． 4. D. 解析：设小明在 A 处时影长为 x，B 处时影长为 y． ∵AD∥OP，BC∥OP， ∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN， ∴ ′ ， ，则 晦䁗 䁥 ，∴x＝5； 晦䁗 − 䁥 ，∴y＝1.5，∴x﹣y＝3.5， 故变短了 3.5 米．故选：D． 4 题图 6 题图 5. 7.解析：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC， ∴△ACE∽△BDE， ∴ ′ ，∴  䁗晦 ，∴AC＝7（米），故答案为：7． 6. 5.1m. 解析：如图，∵CD∥AB∥MN， ∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF， ∴ ′ ′ ， ， 由题意得：DE＝2.3，CD＝1.8，FN＝2，MN＝1.5，AB＝3.6， 即  䁥 晦 ， 晦 䁥 䁥 ， 解得：BE＝4.6m，BF 晦 䁥 ， ∴BD＝BE﹣DE＝2.3，BN＝BF﹣FN 䁥 2.8， ∴DN＝5.1（m）， 答：小华、小强之间的水平距离为 5.1m，故答案为：5.1m． 7. 解：∵BE⊥AC 于 B,CD⊥AC 于 C, ∴∠ABE =∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD. ∴△ABE∽△BCD.∴ CD BE BC AB  , 即 CD 7.1 12 3  .∴CD=6.8(米). ∴CD 的长为 6.8 米. 8. 解：∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′. ∴ AC AB CC BB   .∴CC′= 77 20 (m). 即弹着偏差 77 20 m. 9. 解：设梯子长为 x cm, ∵△ADE∽△ABF, ∴ BF DE AB AD  . 则有 80 7055  x x , 解得 x=440. 经检验 x=440 为所列方程的根,所以梯长为 440 cm. 10. 解：根据题意，画出图形如图，其中 AB=50 米,CD=5×4=20 米,GE⊥CD,GF⊥AB,点 G、E、F 共线，GE=25 米. ∵AB∥CD, ∴∠DCG=∠BAG，∠CDG=∠ABG. ∴△GCD∽△GAB. 又∵GE⊥CD，GF⊥AB, ∴ GF GE AB CD  (相似三角形对应高的比等于相似比). ∴GF= 20 2550 =62.5(米). ∴河宽 EF=GF-GE=62.5-25=37.5(米). 10 题图 11 题图 11. 解法一：如图,延长 AD，BE 相交于点 C,则 CE 就是树影长的一部分, 9.0 1 EC DE ,即 9.0 12.1  CE .∴CE=1.08 (m). ∴BC=BE+EC=2.7+1.08=3.78 (m). ∴ 9.0 1 BC AB ,即 9.0 1 78.3 AB . ∴AB=4.2 (m). 解法二：过 E 作 EF∥AD 交 AB 于 F. 9.0 1 BE BF ,即 9.0 1 7.2 BF . ∴BF=3 m. AB=AF+BF=3+1.2=4.2 (m) 12. 解：如图所示，AD 垂直于江边于 D，BE 垂直于江边于 E， 则 AD=m 千米，BE=n 千米，DE=l 千米. 延长 BE 至 F，使 EF=BE. 连结 AF 交 DE 于 C，则在 C 点建抽水站，到甲、乙两厂的供水管路 AC+CB 为 最短. 设 CD=x 千米，因为 Rt△ADC∽Rt△FEC, 所以 EF AD CE CD  , 即 n m xl x  , 解得 x= nm ml  (米). 12 题图 13. 解：设电线杆高 x m,因为两三角形相似, 则有 30 6.012.0  x , 解得 x=6,经检验 x=6 为原分式方程的根, 所以电线杆高 6 m. 14. 解：设 BC=y m,AB=x m,作 CM⊥BF,C′M′⊥BF′. 由物理学中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′, 所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′. 因为 ∠ABC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°, 所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以 CF CB FE AB FC BC EF AB   , . 所以 8.170.1 yx  ,① 84.3 12 70.1  yx .② 解①②组成的方程组,得      59.10 ,10 y x 所以这棵古松树的高为 10 米. 15.解：（1）设 DB＝xm， ∵AB∥CD，∴∠QBA＝∠QDC，∠QAB＝∠QCD， ∴△QAB∽△QCD， ′ ′ ， 同理可得： ， ∵CD＝EF，∴ ′ ， ∴ 䁥 䁥晦ㄍ − ， ∴x＝12， 即小明距离路灯 12m． （2）由 ′ ′ 得 䁥 ′ 晦 ，∴CD＝6 即路灯高 6m． 16. （1）证明：∵∠EFG＝∠DFG， ∴∠EFB＝∠DFC，又∵∠B＝∠C， ∴△BEF∽△CDF； （2）解：∵△BEF∽△CDF，∴ ＝ ， 设 FC＝xcm，则 ＝ ，解得：x＝160， 答：CF 的长为 160cm． 拓展探究 1.解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°， ∴当 或 ＝ 时，△PAB 与△PCD 是相似三角形， ∵AB＝3，CD＝8，BD＝10， ∴ ＝ 或 ＝ ，∴BP＝6 或 4 或 ， 即 PB＝6 或 4 或 ，时，△PAB 与△PCD 是相似三角形． 2．答案：当 BP＝2 时，S△ABP∶S△PCD＝1∶9； 当 3 11BP 时，S△ABP∶S△DCP＝1∶4； 当 BP＝9 时，S△ABP：S△PCD＝9∶4． 3. 解：如图 1，∵四边形 CDEF 是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF， 设 ED＝x，则 CD＝x，AD＝12﹣x， ∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ′ ′ ，∴ 䁥 晦 − 晦 ，x 䁥䁗 ㄍ ， 如图 2，四边形 DGFE 是正方形， 过 C 作 CP⊥AB 于 P，交 DG 于 Q， 设 ED＝x，S△ABC 晦 AC•BC 晦 AB•CP， 12×5＝13CP，CP 䁥䁗 ， 同理得：△CDG∽△CAB， ∴ ′ ，∴ 䁥䁗 − 䁥䁗 ，x ㄍ䁗 晦晦䁥 ＜ 䁥䁗 ㄍ ， ∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 䁥䁗 ㄍ （步）．