27.2.1相似三角形的判定（第3课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

27.2.1 相似三角形的判定（第 3 课时） 自主预习 1．在△ABC 中，BC=15cm，CA=24cm，AB=36cm，另一个与之相似的三角形最长边 为 12cm，则最短边为 . 2．在△ABC 中，AB=8，AC=6，点 D 在 AC 上，且 AD=2，若要在 AB 上找一点 E， 使△ADE 与原三角形相似，那么 AE= 。 3. 有两角分别 的两个三角形相似．如图，已知△ABC 和△DEF 中，∠A＝ ， ∠B＝ ，则△ABC∽△DEF. 3 题图 4 题图 4．已知△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC 相似的是 . 5．如图，锐角三角形 ABC 的边 AB，AC 上的高线 EC，BF 相交于点 D，请写出图中 的两对相似三角形 ．(用相似符号连接) 5 题图 6 题图 7 题图 6. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，则与△ABC 相似的三角形有： . (用相似符号连接) 7．已知如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D. 求证：△ABC∽△AED. 互动训练 知识点一：有两角对应相等的三角形相似 1．如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点，连接 AE 交 CD 于 F，则 图中共有相似三角形( ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 1 题图 2 题图 2．如图，在矩形 ABCD 中,E、F 分别是 CD、BC 上的点,若∠AEF=90°，则一定有（ ） A. △ADE∽△AEF B. △ECF∽△AEF C. △ADE∽△ECF D. △AEF∽△ABF 3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B. 那么下列判断中，错误的是( ) A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB 3 题图 4 题图 6 题图 4．如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6， 则边 AC 的长为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 5．在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′=85°，∠B=50°，∠C′=45°，则这两个三角形 (填“相似”或“不相似”)，根据是 ． 6．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽ ,对应边的比例式是 . 7．如图，点 B、D、C、F 在一条直线上，且 AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD. 7 题图 8．如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥DC，垂足为 E，连接 BE，F 为 BE 上一点，且∠AFE＝∠D. 求证：△ABF∽△BEC. 8 题图 9．如图，矩形 ABCD 中，AB＝20，BC＝10，点 P 为 AB 边上一动点，DP 交 AC 于 点 Q. (1)求证：△APQ∽△CDQ； (2)P 点从 A 点出发沿 AB 边以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点移动，移动时间为 t 秒．当 t 为何值时，DP⊥AC? 9 题图 知识点二：有斜边、直角边对应成比例的两个直角三角形相似 10．如图，M 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一定点，过 M 点作直线截△ABC， 使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 10 题图 11 题图 12 题图 11．如图，已知矩形 ABCD 的顶点 A，D 分别落在 x 轴、y 轴上，OD=2OA=6， AD︰AB=3︰1，则点 C 的坐标是（ ） A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8） 12．如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE=3ED，DF=CF，则 AG GF 的值是( ) A． 4 3 B． 5 4 C． 6 5 D． 7 6 13．在△ABC 和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当 A′B′ ＝ 时，△ABC∽△A′B′C′. 14．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为 8 cm 和 15 cm，另一个直角三 角形的一条直角边长和斜边长分别是 6 cm 和45 4 cm，这两个直角三角形 (填 “是”或“不是”)相似三角形． 15．一个直角三角形的两边长分别为 3 和 6，另一个直角三角形的两边长分别为 2 和 4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似． 16．如图所示，AD，BE 是钝角△ABC 的边 BC，AC 上的高，求证： AD AC BE BC  ． 16 题图 17．如图，在△ABC 和△ADB 中，∠ABC＝∠ADB＝90°，AC＝5，AB＝4，当 BD 的 长是多少时，图中的两个直角三角形相似？ 17 题图 18.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点 P 从点 B 向右 D 运 动，问当点 P 离点 B 多远时，△PAB 与△PCD 是相似三角形？ 18 题图 知识点三：相似三角形判定的综合应用 19．下列图形不一定相似的是（ ） A.有一个角是 120°的两个等腰三角形 B.有一个角是 60°的两个等腰三角形 C.两个等腰直角三角形 D.有一个角是 45°的两个等腰三角形 20. 下列条件不能判定△ADB∽△ABC 的是（ ） A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D． AD DB AC BC  20 题图 21 题图 22 题图 21. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE∥BC，且∠DCE=∠B．那 么下列各判断中，错误的是（ ） A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB 22．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(-3,-2)，B(0,-2)，C(-3,0)，M 是线段 AB 上的 一个动点，连接 CM，过点 M 作 MN⊥MC 交 y 轴于点 N，若点 M、N 在直线 y=kx+b 上，则 b 的最大值是（ ） A． 7 8  B． 3 4  C．-1 D．0 23．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点 P 处放一水平 的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得 AB＝2 米，BP＝3 米，PD＝12 米，求该古城墙的高度 CD． 23 题图 24．如图，在△ABC 中，AD、BF 分别是 BC、AC 边上的高，过点 D 作 AB 的垂线交 AB 于点 E，交 BF 于点 G，交 AC 的延长线于点 H，求证：DE2＝EG·EH. 24 题图 课时达标 1.如果点 D、E，F 分别在△ABC 的边 AB、BC，AC 上，连结 DE、EF，且 DE∥AC， 那么下列说法错误的是（ ） A．如果 EF∥AB，那么 AF︰AC＝BD︰AB B．如果 AD︰AB＝CF︰AC，那么 EF∥AB C．如果△EFC∽△ABC，那么 EF∥AB D．如果 EF∥AB，那么△EFC∽△BDE 1 题图 2 题图 3 题图 2．如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、AB 上的点，下列条件中，不能使△ADE 与△ABC 相似的是（ ） A． AD DE AC BC  B． AD AE DC EB  C． AD AE AB AC  D． ADE B   3．在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且 AE=2ED，EC 交对角线 BD 于 点 F，则 EF FC 等于（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 2 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上， 并且 OA=5，OC=3．若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC 边 上的 A1 处，则点 C 的对应点 C1 的坐标为（ ） A．（﹣ 9 12 5 5 ， ） B．（﹣12 9 5 5 ， ） C．（﹣16 12 5 5 ， ） D．（﹣12 16 5 5 ， ） 4 题图 5 题图 5．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB 的角平分线分别交 AB，BD 于 M，N 两点．若 AM＝2，则线段 ON 的长为( ) A． 2 2 B． 3 2 C．1 D． 6 2 6.如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F，求证： = ． 6 题图 7.如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为 AB 上一点，CE⊥CD，且 ＝ ， ＝ ． 求证：△ACD∽△ECF． 7 题图 8.如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在 E 点位置，AE ＝35cm，如果小丁瞄准 BC 边上的点 F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 D 点 位置． （1）求证：△BEF∽△CDF； （2）求 CF 的长． 8 题图 9.如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝m（m＞0）．P 为边 BC 上一动点（不与 B，C 重合）过 P 点作 PE⊥AP 交直线 CD 于 E． （1）求证：△ABP∽△PCE； （2）当 P 为 BC 中点时，E 恰好为 CD 的中点，求 m 的值． 9 题图 10．如图．在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DF=BE．EF 与 CD 交于点 G． （1）求证：BD∥EF ． （2）若 2 3 DG GC  ，BE=4，求 EC 的长． 10 题图 11．（2020·四川凉山）如图，△ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分 别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少 mm． 11 题图 拓展探究 1．如图①，在钝角△ABC 中，∠ABC=30°，AC=4，点 D 为边 AB 中点，点 E 为边 BC 中点，将△BDE 绕点 B 逆时针方向旋转 度（0 180  ）． （1）如图②，当0 180  时，连接 AD、CE．求证：△BDA ∽△BEC； （2）如图③，直线 CE、AD 交于点 G．在旋转过程中，∠AGC 的大小是否发生变化？ 如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数； 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，O 在 AB 上，以 O 为圆心，以 OA 长为半径的圆 分别与 AC，AB 交于点 D，E，直线 BD 与⊙O 相切于点 D． （1）求证：∠CBD＝∠A； （2）若 AC＝6，AD：BC＝1： ． ①求线段 BD 的长； ②求⊙O 的面积． 2 题图 27.2.1 相似三角形的判定（第 3 课时） 自主预习 1. 5cm. 2. AE= 2 3 3 8 或 3. ∠D, ∠E. 4. △BHK. 5. 答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE 等 6. △ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC. 7. 证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD. 又∵∠C＝∠D，∴△ABC∽△AED. 互动训练 1. C. 2. C. 3. D. 4. B. 5．相似；如果两个角对应相等，那么这两个三角形相似 6. △DAC, CD AC AC BC DA AB  7. 证明：∵AB∥EF，AC∥DE， ∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF. ∴△ABC∽△EFD. 8.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC. ∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC. 又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D， ∴∠C＝∠AFB. 又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC. 9. 解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥CD. ∴ △APQ∽△CDQ. (2)当 DP⊥AC 时，∠QCD＋∠QDC＝90°. ∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP. 又∵∠ADC＝∠DAP＝90°， ∴ △ADC∽△PAD. ∴AD PA ＝DC AD.∴10 PA ＝20 10 ，解得 PA＝5. ∴t＝5. 10．C. 解析：过点 D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共 角，只要再作一个直角就可以．∵截得的三角形与△ABC 相似， ∴过点 M 作 AB 的垂线，或作 AC 的垂线，或作 BC 的垂线，所得三角形满足题意 ∴过点 M 作直线 l 共有三条． 故选 C． 10 题图 11 题图 12 题图 11．A. 解析：过 C 作 CE⊥y 轴于 E，∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD=AB，∠ADC=90°， ∴∠ADO+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°， ∴∠DCE=∠ADO，∴△CDE∽△ADO， ∴ CE DE CD OD OA AD   ， ∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1， ∴OA=3，CD：AD= 1 3 ，∴CE= 1 3 OD=2，DE= 1 3 OA=1， ∴OE=7，∴C（2，7），故选 A． 12．C. 解析：如图作，FN∥AD，交 AB 于 N，交 BE 于 M． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥CD， ∵FN∥AD，∴四边形 ANFD 是平行四边形， ∵∠D=90°，∴四边形 ANFD 是矩形， ∵AE=3DE，设 DE=a，则 AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME， ∴MN= 3 2 a，∴FM= 5 2 a， ∵AE∥FM，∴ 3 6 5 5 2 AG AE a GF FM a    ，故选 C． 13. 10. 14. 是. 15. 不一定. 16．证明：∵AD、BE 分别是 BC、AC 上的高，∴∠D=∠E=90° 又∵∠ACD=∠BCE（对顶角相等） ， ∴△ADC∽△BEC ，∴ AD AC BE BC  ． 17．解：在 Rt△ABC 中，BC 2 2 2 25 4AC BC    3． ∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴分两种情况讨论： ①当 BD AB BC AC  时，Rt△DBA∽Rt△BCA，即 4 3 5 BD  ，解得：BD 12 5  ； ②当 BD AB BA AC  时，Rt△DBA∽Rt△BAC，即 4 4 5 BD  ，解得：BD 16 5  ． 综上所述：当 BD 的长是12 5 或16 5 时，图中的两个直角三角形相似． 18. 解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°， ∴当 或 ＝ 时，△PAB 与△PCD 是相似三角形， ∵AB＝3，CD＝8，BD＝10， ∴ ＝ 或 ＝ ， ∴BP＝6 或 4 或 ， 即 PB＝6 或 4 或 ，时，△PAB 与△PCD 是相似三角形． 19. D. 20. D. 解析：A.∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B.∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C.∵AB2=AD•AC，∴ C DAB A AB A  ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D. AD DB AC BC  不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选 D． 21. D. 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB， ∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE， 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD； ∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB； ∵∠B=∠ADE，但是∠BCD