27.2.1相似三角形的判定（第2课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

27.2.1 相似三角形的判定（第 2课时） 自主预习 1.全等三角形的判定方法有哪些？ 2. 如图所示，在△ABC中，DE∥FG∥BC，图中共有相似三角形（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2题图 3题图 3. 如图，已知△ABC和△DEF中， （1）当 AB DE ＝ ＝ 时，△ABC∽△DEF. （2）当∠A＝ 且 AB DE ＝ 时，△ABC∽△DEF. 4．一个三角形三边的长分别为 6 cm，9 cm，7．5 cm，另一个三角形三边长分 别为 8 cm，12 cm，10 cm，这两个三角形相似吗?为什么? 5．一个直角三角形两条直角边的长分别为 6 cm，4 cm，另一个直角三角形两条 直角边的长分别为 9 cm，6 cm，这两个直角三角形是否相似?为什么? 互动训练 知识点一：三边对应成比例的两个三角形相似 1．将一个三角形的各边长都缩小 1 2 后，得到的三角形与原三角形( ) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法确定 2．如图，△ABC与△DEF相似，且 AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则 DE的长 度为（ ） A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2 2题图 3．如图，在大小为 4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①和② B.②和③ C. ①和③ D.②和④ 4．若△ABC各边分别为 AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，△DEF的两边为 DE＝5 cm，EF＝4 cm，则当 DF＝ cm时，△ABC∽△DEF. 5．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 5题图 6．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC. 6题图 7．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三 角形.如图，请你在 4×4的方格纸中，画一个格点三角形 A1B1C1，使△A1B1C1与 格点三角形 ABC相似(相似比不为 1). 7题图 知识点二：两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似 8．在△ABC和△A′B′C′中，下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( ) A. AB A′B′ ＝ AC A′C′ B. AB AC ＝ A′B′ A′C′ 且∠A＝∠A′ C. AB BC ＝ A′B′ A′C′ 且∠B＝∠C′ D. AB A′B′ ＝ AC A′C′ 且∠B＝∠B′ 9．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还 需满足下列条件中的( ) A. AC AD ＝ AB AE B．AC AD ＝ BC DE C.AC AD ＝ AB DE D．AC AD ＝ BC AE 9题图 10题图 11题图 10．如图，在△ABC中，点 P在 AB上，下列三个条件： ①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB. 其中能满足△APC和△ACB相似的条件有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 11．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD， 则点 P所在的格点为( ) A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 12．如图，AB与 CD相交于点 O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当 OC＝ 时， △AOC∽△BOD. 12题图 13题图 13．如图，点 C、D在线段 AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝ 4.5，DE＝5，求 CF的长． 14．如图，正方形 ABCD中，P是 BC上的点，且 BP＝3PC，Q是 CD的中点， 求证：△ADQ∽△QCP. 14题图 15. 如图，在矩形 ABCD中，AB∶BC=1∶2，点 E在 AD上，且 ED=3AE．判断 △ABC与△EAB是否相似，并说明理由． 15题图 课时达标 1. 下列判断中正确的是( ) A. 全等三角形不一定是相似三角形 B. 不全等的三角形一定不是相似三角 形 C. 不相似的三角形一定不全等 D. 相似三角形一定不是全等三角形 2．已知△ABC的三边长分别为 2、 6 、 2,△A′B′C′的两边长分别是 1和 3 , 如果△ABC与△A′B′C′ 相似, 那么△A′B′C′ 的第三边长应该是 ( ) A. 2 B. C. D. 3．如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） A． B． C． D． 4. 如图，点 F在平行四边形 ABCD的边 AB上，射线 CF交 DA的延长线于点 E， 在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4题图 5题图 5. 如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的 条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母） 6.如图所示，在直角坐标系中有两点 A(4，0)，B(0，2)，如果点 C在 x轴上(C 与 A不重合)，当点 C的坐标为________或________时，使得由点 B、O、C组 成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标). 6题图 7题图 7.如图，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段 BD的中点，且 AC⊥CE，ED=1， BD=4，那么 AB=__________. 8．网格图中每个方格都是边长为 1的正方形．若 A、B、C、D、E、F都是格点， 证明△ABC∽△DEF. 8题图 9. 如图，点 B、C分别在△ADE的边 AD、AE上，且 AC=3，AB=2.5，EC=2， DB=3.5． 求证：△ABC∽△AED. 9题图 10．如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格 点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交 AB于点 F. 求证：(1)△ACB∽△DCE； (2) EF⊥AB. 10题图 11．如图，D，E分别是△ABC的边 AC，AB上的点，AD·AC＝AE·AB. 求证：△AED∽△ACB. 11题图 12．如图，四边形 ABCD、CDEF、EFGH都是正方形． (1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由. (2)求∠1+∠2的度数. 12题图 13. 如图在梯形 ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且 ，求证：BD⊥CD． 13题图 拓展探究 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点 P从点 B出发以 1个单位/s的速 度向点 A运动，同时点 Q从点 C出发以 2个单位/s的速度向点 B运动．当以 B， P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ） A． s B． s C． s或 s D．以上均不对 1题图 2题图 2.在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的位置如图所示，点 A的坐标为（1，0）， 点 D的坐标为（0，3）．延长 CB交 x轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第 2021个正 方形的面积为（ ） A．10× 20204 3 （ ） B．10× 202016 9 （ ） C．10× 202116 9 （ ） D．10× 404016 9 （ ） 27.2.1 相似三角形的判定（第 2课时）答案 自主预习 1.有以下 4种：SSS, SAS,ASA,AAS，两个直角三角形可以用 HL. 2. C. 解析：∵△ADE∽△AFG，△ADE∽△ABC，△AFG∽△ABC，应选 C. 3. （1） AC DF = BC EF ，（2）∠D, AC DF . 4. 解：这两个三角形相似，∵ 6 7.5 9 3 8 10 12 4    . 根据三角形相似的判定方法知它们是相似的。 5. 解：这两个直角三角形是相似的． （1）∵ 6 4 2 9 6 3   ，而两直角是相等的． ∴这两个直角三角形相似． （2）∵这两个直角三角的两条直角边分别为 6 cm，4 cm和 9cm，6cm， ∴它们的斜边分别为 2 13 cm，3 13 cm 而 4 6 2 13 2 6 9 33 13    ， ∴这两个直角三角形相似 互动训练 1. A. 解析：因为将一个三角形的各边长都缩小 1 2 后，得到的三角形与原三角形的 各边成比例，所以两个三角形一定相似，答案为：A. 2．A. 解析：∵△ABC∽△DEF，∴ AB DE = BC EF ，即 3.6 DE = 6 2 ， ∴DE=1.2， 故选 A. 3. C. 解析：设每个正方形网格的边长为 1，三角形各边的值分别为： 在图①中， 2，2， 10； 在图②中， 2， 5，3； 在图③中，2，2 2，2 5；在图④中，3， 17 ，4 2 ； 只有①和③的三边对应成比例，两个三角形相似，所以答案：C. 4. 3. 5. 解：相似．理由如下： 在 Rt△ABC中，BC＝ AB2－AC2＝ 32－2.42＝1.8， 在 Rt△DEF中，DF＝ DE2－EF2＝ 62－3.62＝4.8， ∴ AB DE ＝ BC EF ＝ AC DF ＝ 1 2 . ∴△ABC∽△DEF. 6. 证明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB.∴DE AB ＝ OE OB . ∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC.∴EF BC ＝ OE OB ＝ OF OC . ∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC.∴DF AC ＝ OF OC . ∴ DE AB ＝ EF BC ＝ DF AC . ∴△DEF∽△ABC . 7. 解：如下图， 7题图 8. B. 9. C. 解析：注意∠BAC＝∠D，这两个角的夹边成比例，答案为：C. 10. B. 解析：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；符合条件，答案为：B. 11. C. 解析：因△ABC的两条直角边之比为 2︰3，所以△EPD的两条直角边之 比也是 2︰3，而 DE=4, 所以 EP=6, 所以选 P3点，故答案为：C. 12. 18 5 . 解析：∵AB与 CD相交于点 O,∴∠AOC=∠BOD， 当 OA OC OB OD  时，△AOC∽△BOD. 即 3 = 5 6 OC ， ∴OC=18 5 13. 解：∵ AE BF ＝ 3 4.5 ＝ 2 3 ， AD BC ＝ 2 3 ，∴ AE BF ＝ AD BC . 又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC. ∴ AD BC ＝ DE CF . ∴ 2 3 ＝ 5 CF . ∴ CF＝15 2 . 14. 证明：设正方形的边长为 4a，则 AD＝CD＝BC＝4a. ∵Q是 CD的中点，BP＝3PC， ∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴DQ PC ＝ AD CQ ＝ 2 1 . 又∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ADQ∽△QCP. 15.解：△ABC∽△EAB. 理由如下. ∵AB∶BC=1∶2， ∴可设 AB=k，BC=2k. ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AB=CD=k，BC=AD=2k，∠ABC=∠BAD=90°. ∵ED=3AE，∴AE= 1 2 AD= 1 2 k. ∴ AB AE =2, BC AB =2,∴ AB AE = BC AB , 又∵∠ABC=∠EAB=90°， ∴△ABC∽△EAB . 课时达标 1. C. 2. A. 解析：根据三边对应成比例，可以确定 1 3= = 22 6 第三边 ，所以第三边是 2 . 3. B. 解析：已知给出的三角形的各边 AB、CB、AC分别为 2、2、 10，只有 选项 B的各边为 1、 2、 5与它的各边对应成比例．故选 B． 4. C．解析：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有 2个． 5. AB∥DE（或 AC∥DF或 AB AC DE DF  ）. 解析：当 AB∥DE或 AC∥DF时，根据平行于三角形一边的直线，截得的三角 形与原三角形相似，可知△ABC∽△DEF， ∵∠A=∠D，当 AB AC DE DF  时，△ABC∽△DEF. 6．（-1,0）；（1,0）. 7. 4. 解析：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE， ∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE. ∵C是线段 BD的中点，ED=1，BD=4,∴BC=CD=2 ∴ AB CD CD DE  , 即 AB=4. 8. 证明：∵AC＝ 2，BC＝ 12＋32＝ 10，AB＝4， DF＝ 22＋22＝2 2，EF＝ 22＋62＝2 10，ED＝8， ∴ AC DF ＝ BC EF ＝ AB DE ＝ 1 2 . ∴△ABC∽△DEF . 9. 证明：∵AC=3，AB=2.5，EC=2，DB=3.5． ∴AE=5，AD=6. ∴ 3 1 6 2 AC AD   , 2.5 1 5 2 AB AE   ,∴ AC AB AD AE  又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AED. 10. 证明：（1）由图可知，AC=3, BC=6, DC=2, CE=4, ∴AC︰DC=BC︰CE=3︰2, 又∵∠ACB=∠DCE, ∴△ACB∽△DCE； （2）∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E， 又∠BDF=∠EDC，∴∠BFD=∠ECD=90°, ∴ EF⊥AB. 11. 证明：由 AD·AC＝AE·AB得， AD AE AB AC  , 又∠DAE=∠BAC，∴△AED∽△ACB. 12. 解：（1）△ACF与△ACG相似. ∵CF︰AC=1︰ 2 , AC︰CG=1︰ 2 ,∴CF︰AC= AC︰CG, 又∠ACF=∠GCA，∴△ACF∽△ACG. （2）∵△ACF∽△ACG，∴∠CAF=∠1，∴∠1+∠2=∠ACB=45°. 13.证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， 又∵ ，∴△ABD∽△DCB， ∴∠A＝∠BDC， ∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD． 拓展探究 1. C. 解：设运动时间为 t秒．BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t， 当△BAC∽△BPQ， ＝ ，即 ＝ ，解得 t＝ ； 当△BCA∽△BPQ， ＝ ，即 ＝ ，解得 t＝ ， 综上所述，当以 B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时， 运动时间为 s或 s，故选：C． 2. B. 解析：∵点 A的坐标为（1，0），点 D的坐标为（0，3），∴OA＝1，OD ＝3， ∵∠AOD＝90°，∴AB＝AD＝ ＝ ，∠ODA+∠OAD＝90°， ∵四边形 ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，S 正方形 ABCD＝（ ）2＝10， ∴∠ABA1＝90°，∠OAD+∠BAA1＝90°， ∴∠ODA＝∠BAA1，∴△ABA1∽△DOA， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴BA1＝ ， ∴CA1＝ + ＝ ， ∴正方形 A1B1C1C的面积＝（ ）2＝10×（ ）2，…， 第 n个正方形的面积为 10×（ ）2(n-1) ∴第 2021个正方形的面积为 10×（ ）2020； 故选：B．