27.2.1相似三角形的判定（第1课时）-人教版九年级数学下册课堂训练

27.2.1 相似三角形的判定（第 1 课时） 自主预习 1. 在△ABC 和△A′B′C′中，若∠A=∠A′,∠B=∠B′, ∠C=∠C′, AB BC AC A B B C A C        ， 则△ABC∽△A′B′C′，若 AC=3 A′C′, 则△ABC 与△A′B′C′的相似比 是 ， △A′B′C′与△ABC 的相似比是 ， 2．如图，直线 l1∥l2∥l3.直线 AC 交 l1，l2，l3 于点 A，B，C，直线 DF 交 l1，l2， l3 于点 D，E，F，已知AB AC ＝1 3 ，则 AB BC = , DE EF = , EF DE ＝ . 2 题图 3 题图 4 题图 3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，若 BD＝2AD， 则( ) A . AD AB ＝1 2 B．AE EC ＝1 2 C. AD EC ＝1 2 D．DE BC ＝1 2 4．如图，若△ADE∽△ACB，且AD AC ＝2 3 ，DE＝10，则 CB＝ . 5．如图，已知直线 l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求 DE 和 EF 的长． 5 题图 互动训练 知识点一：平行线分线段成比例 1．如图，AD∥BE∥CF，直线 a，b 与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、 E、F，若 AB=2，AC=6，DE=1.5，则 DF 的长为（ ） A．7.5 B．6 C．4.5 D．3 1 题图 2 题图 3 题图 2．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且 CD BD ＝ 3 2 ，则 CE CA 的值为（ ） A． 3 5 B． 2 3 C． 4 5 D． 3 2 3．如图，在△ABC 中，DE∥BC，下列各式不正确的是（ ） A． AD AE AB AC  B． AD AE BD CE  C． AD AE AC AB  D． AD AB AE AC  4．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确 的是（ ） A． AD AE BD AC  B． DE AE BF AC  C． AD AE AB AC  D． AD DF BD AC  4 题图 5 题图 5．如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ） A． AE CF AB CD  B． AE DF EB FC  C． EG FG BD AC D． AE AD AG AB 6．如图，在 6×6 的菱形网格中，连结两网格线上的点 A，B，线段 AB 与网格线 的交点为 M，N，则 AM︰MN︰NB 为（ ） A．3︰5︰4 B．1︰3︰2 C．1︰4︰2 D．3︰6︰5 6 题图 7 题图 7. 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 上一点，且 AE︰ED=1︰2，BE 的延长 线交 AC 于 F，则 AF︰FC=（ ） A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5 8．如图，已知 AB∥MN，BC∥NG，求证：OA OM ＝OC OG. 8 题图 9．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE 并延长交 DC 的延长线于点 M，交 BD 于点 G，过点 G 作 GF∥BC 交 DC 于点 F， 3 2 DF FC  ． （1）若 BD=20，求 BG 的长； （2）求 CM CD 的值． 9 题图 10．已知：平行四边形 ABCD，E 是 BA 延长线上一点，CE 与 AD、BD 交于 G、 F． 求证：CF2=GF·EF． 10 题图 知识点二：平行于三角形一边的直线所截三角形与原三角形相似 11．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 11 题图 12 题图 13 题图 12.如图,过梯形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 作 EF∥AD, 分别交两腰 AB、 DC 于 E、F 两点，则图中的相似三角形共有( ) A.7 对 B.6 对 C.5 对 D.4 对 13. 如图, 正方形 ABCD 内接于等腰三角形 PQR，则 PA∶PQ 等于( ) A.1∶ 2 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3 14．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于 点 F，则 EF∶FC 等于( D) A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2 14 题图 15 题图 16 题图 15．如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 AD＝2，DB＝3，则DE BC ＝ ． 16. 如图，AB、CD 相交于点 O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD. EF 是△ODB 的中 位线，且 EF＝2，则 AC 的长为 ． 17．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 延长线上一点，AB＝3BE，DE 与 BC 相交于点 F，请找出图中各对相似三角形及其相似比． 17 题图 18．已知△OAC∽△OBD，且 OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求： (1)△OAC 与△OBD 的相似比； (2)BD 的长． 18 题图 19．如图，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交 DE 的延长线于点 F. 若 AD＝1，BD＝2，BC＝4，求 EF. 19 题图 20．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和 BC 是两根互相平行的固定架， DE＝10 m，BC＝18 m，小明从底部固定点 B 开始攀登，攀行 8 米，遇上第二个 固定点 D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部 A? 20 题图 课时达标 1．如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 边上，DE∥BC，EF∥AB， 则下列比例式中错误的是（ ） A． CE EA CF BF  B． AE BF EC FC  C． AD AB BF BC  D． EF DE AB BC  1 题图 2 题图 3 题图 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，连结 CE 并延长交 BA 的延 长线于点 F，则下列结论中错误的是 ( ) A．∠AEF=∠DEC B．AB=DC C．FA︰AB=FE︰EC D．FA︰CD=AE︰BC 3．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则 AC 的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=12，AD=8，∠ABC 的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CG⊥BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG 的长为 （ ） A．15 2 B． 4 3 C． 2 15 D． 55 4 题图 5 题图 6 题图 5．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，BC= 6 2 ，点 D 是 CB 延长线上一 点，过 AB 的中点 E 作 CD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 F， 则 DF 的长为( ) A． 2 2 B．4 C．3 D．3 2 6．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是( ) A . AD AC ＝AE AB ＝DE BC B . AD AB ＝AE AC C. AD AE ＝AC AB ＝DE BC D . AE EC ＝DE BC 7．如图，AB∥CD∥EF．若 AD︰AF=3︰5，BC=6，则 CE 的长为_________． 7 题图 8 题图 8．如图，l1//l2//l3，直线 a、b 与 l1、l2、l3 分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F， 若 BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则 BE 的长为_____． 9. 如图,在△ABC 中, DE∥BC，DE 分别与 AB、AC 相交于 D、E,若 AD=4, DB=2， 求 DE︰BC 的值. 9 题图 10. 如图，小明从路灯下向前走了 5 米，发现自己在地面上的影子长 DE 是 2 米， 如果小明的身高为 1.6 米，那么路灯离地面的高度 AB 为多少米？ 10 题图 11．如右图，△ABC 中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2 =AB·AD 11 题图 12．如图，延长正方形 ABCD 的一边 CB 至点 E，ED 与 AB 相交于点 F，过点 F 作 FG∥BE 交 AE 于点 G，求证：GF＝FB. 12 题图 13．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交 AB，DB，AC 于点 E，F，G，已知 AD＝ 6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求 EG，FG 的长． 13 题图 拓展探究 1．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别为 AB、AC 的中点，连接 DE，线段 BE、 CD 相交于点 O， （1）求 OD OC 和 OE OB 的值？ （2）若连结 AO 并延长交 BC 于 F 点，那么 OF OA 的值是多少？ 1 题图 2．如图，在△ABC 中，DE 分别是 BC、AC 边上的两点，AD、BE 相交于点 G， 已知 AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求 AE∶EC 的值？ 2 题图 27.2.1 相似三角形的判定（第 1 课时）答案 自主预习 1. 3, 1 3 2. 1 2 , 1 2 , 2. 3. B. 4. 15. 解析：∵△ADE∽△ACB，AD AC ＝2 3 ，∴ AD DE AC BC  ,即 10 2 3BC  , BC=15. 5. 解：∵直线 l1∥l2∥l3，∴ AB DE AC DF  ,即 3 =3 5 16 DE  , ∴DE=6, EF=DF-DE=16-6=10. ∴DE=6, EF=10. 互动训练 1. C. 解析：∵AD∥BE∥CF，∴ AB DE AC DF  . 又∵AB=2，AC=6，DE=1.5，∴DF= 6 1.5 4.52   . 故选 C. 2. A. 解析：∵DE//AB，∴ 3 2 CE CD AE BD   ∴ CE CA 的值为 3 5 ．故答案为 A． 3. C. 解析：∵ //DE BC ,∴ AD AE BD CE  ， AD AE AB AC  ，即 AD AB AE AC  ，， ∴选项 A、B、D 均正确，故选：C． 4. C. 解析：A.由已知有 AD AE BD EC  ，所以错误；B.由已知有 DE AE BF DF  ，所以错 误； C.由已知有 AD AE AB AC  ，所以正确；D.由已知有 BD DF BA AC  ，所以错误．故选 C． 5. A. 解析：∵GE∥BD，∴ AE AG AB AD  ∵GF∥AC，∴ CF AG CD AD  ∴ AE CF AB CD  ， ∴A 选项正确； ∵GE∥BD，∴ AE AG EB GD  ∵GF∥AC，∴ AG CF GD FD  ∴ AE CF EB FD  ，B 选项错误； ∵GE∥BD，∴ EG AG BD AD  ∵GF∥AC，∴ GF DG AC AD  ∴ EG GF BD AC  ，C 选项错误； ∵GE∥BD，∴ AE AB AG AD  ，D 选项错误故选：A 6. B. 解析：如图，∵AE∥MF∥NG∥BH， ∴AM︰MN︰BN=EF︰FG︰GH=1︰3︰2,故选：B． 6 题图 7 题图 7. C. 解析：作 DH∥BF 交 AC 于 H，∵AD 是△ABC 的中线， ∴FH=HC，∵DH∥BF，∴ 1 2 AF AE FH ED   ，∴AF︰FC=1︰4，故选：C． 8．证明：∵AB∥MN，∴OA OM ＝OB ON. 又∵BC∥NG，∴OB ON ＝OC OG ，∴OA OM ＝OC OG. 9. 解：（1）∵GF∥BC，∴ DF DG FC BG  ，∵BD=20， 3 2 DF FC  ，∴BG=8； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD， ∴ DM DG AB BG  ，∴ 3 2 DM AB  ，∴ 3 2 DM CD  ，∴ 1 2 CM CD  . 10. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD． ∴ GF DF CF BF  ， CF DF EF BF  ∴ GF CF CF EF  ，即 CF2=GF·EF． 11. C. 解析：△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，△ADE∽△EFC. 共有 3 对， 故选 C. 12. C. 解析：△ADB∽△EOB, △ABC∽△AEO, △ADC∽△OFC, △DBC∽△DOF, △AOD∽△CDB. 共有 5 对，故选 C. 13. C. 解析：∵ △PAD∽△PQR， ∴ QR AD PQ PA  . 又∵QR=QB+BC+CR=3AD, ∴C 正确. 答案：C 14. D. 解析：在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，∴AD=2DE, 又 AD=BC, ∴BC=2DE, 又∵AD∥BC, ∴△DEF∽△BCF,∴ EF∶FC=DE∶BC=1︰2. 故 选 D. 15. 2 5 . 解析：在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，∴AD︰AB=2︰5, 又∵△ADE∽△ABC, ∴DE︰BC=AD︰AB=2︰5. 16. 8 3 . 解析：∵EF 是△ODB 的中位线，EF＝2，∴BD=2EF=4, ∵AC∥BD, ∴△AOC∽△BOD, ∴AC ︰ BD=OC ︰ OD, 即 AC ︰ 4=2 ︰ 3, ∴AC= 8 3 . 17. 解：根据平行四边形性质得出 DC∥AB，AD∥BC， 由 DC∥AB，得△DFC∽△EFB. 由 AB＝3BE，AB＝CD，得BE CD ＝1 3. 由 AD∥BC，得△BFE∽△ADE，△DFC∽△EDA. 由 AB＝3BE，得CD AE ＝3 4. 18. 解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D， ∴线段 OA 与线段 OB 是对应边． ∴△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝4 2 ＝2 1. (2)∵△OAC∽△OBD，∴AC BD ＝OA OB. ∴BD＝OB·AC OA ＝2×2 4 ＝1. 19. 解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC， ∵BF 平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC， ∴∠DFB=∠DBF，∴DF=DB=2， ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC, ∴DE︰BC=AD︰AB, ∴DE︰4=1︰3, ∴DE= 4 3 , ∴EF=DF-DE=2- 4 3 = 2 3 . 20. 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE. ∴AD AB ＝DE BC ，即 AD AD＋8 ＝10 18. ∴AD＝10. 答：小明再攀行 10 米可到达这个攀登架的顶部 A. 课时达标 1. D. 解析：A．∵EF//AB，∴ CE CF EA BF  ，∴ CE EA CF BF  ，故本选项正确； B．∵EF//AB，∴ AE BF EC FC  ，故本选项正确； C．∵DE//BC，∴ AD DE AB BC  ，∵EF//AB，∴DE=BF，∴ AD BF AB BC  ，∴ AD AB BF BC  ， 故本选项正确； D．∵EF//AB，∴ EF CF AB BC  ，∵CF≠DE，∴ EF DE AB BC  ，故本选项错误；故选： D． 2. D. 解析：∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE．∴ FA AE CD DE  ，故结论 D 错误． ∵AE∥BC，∴ AB EC FA FE  ，即 FA︰AB=FE︰EC，故结论 C 正确， 而 A、B 正确，∴应选 D． 3. C. 解析：∵DE∥BC，∴ AD AE DB EC  ，即 9 3 2 AE ，∴AE=6， ∴AC=AE+EC=6+2=8．故选 C． 4. C. 解析：∵∠ABC 的平分线交 CD 于点 F，∴∠ABE=∠CBE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB， ∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12， ∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴ DE EF AE EB  ，∴ 4 2 12 EB  ，∴EB=6， ∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG= 1 2 BF=2，在 Rt△BCG 中，BC=8，BG=2， 根据勾股定理得，CG= 2 2BC BG = 2 28 2 =2 15 ，故选 C． 5. C. 解析：如图 延长 FE 与 AC 交于点 M， 5 题图 ∵FE∥BC，∴EM∥BC，又∵E 点为 AB 的中点，∴ 1 2 BE MC AB AC   ∵∠A=90°，AB=AC，BC= 6 2 ∴ 2 2 2 22 72AB AC AB BC    ∴AB=AC=6，∴ 1 32MC AC  ， ∵DF∥AC，FM∥CD，∴四边形 FDCM 为平行四边形， ∴FD=MC=3，故答案为 C. 6. A. 解析：相似三角形的对应边成比例，注意这里的“对应”，只有 A 正确. 7. 4. 解析：如图，连接 AE 交中间的直线于点 G， 根据平行线分线段成比例的定理，有 AD AG BC AF AE BE   ，则 3 6 5 BE  ，解得 BE=10， ∴ 10 6 4CE BE BC     ．故答案是：4． 7 题图 8 题图 8. 10 3 ．解析：如图所示，过 A 作 DF 的平行线，交 BE 于 G，交 CF 于 H， 则 AD＝GE＝HF＝2，CH＝6﹣2＝4， ∵BG//CH，∴ AB AC ＝ BG CH ，即 1 3 ＝ 4 BG ，∴BG＝ 4 3 ， ∴BE＝BG+GE＝ 4 3 +2＝10 3 ，故答案为：10 3 ． 9. 解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ AD DE AB BC ，∴ 4 2 6 3 DE BC   10. 解:∵DC∥AB， ∴△DCE∽△ABE， ∴ DC DE AB AE ， ∴ 1.6 2 2 5AB   ， ∴AB=5.6， 答:路灯离地面的高度为 5.6 米. 11. 证明：∵DG∥EC，∴ AD AG AE AC ∵EG∥BC，∴ AG AE AC AB ，∴ AD AE AE AB ， ∴AE2 =AB·AD 12. 证明：∵GF∥AD，∴GF AD ＝EF ED. 又 FB∥DC，∴FB DC ＝EF ED. 又 AD＝DC，∴GF AD ＝FB AD. ∴GF＝FB. 13. 解：∵在△ABC 中，EG∥BC， ∴ △AEG∽△ABC. ∴EG BC ＝AE AB. ∴EG 10 ＝3 5.∴EG＝6. ∵在△BAD 中，EF∥AD， ∴ △BEF∽△BAD. ∴EF AD ＝BE AB. ∴EF 6 ＝5－3 5 . ∴EF＝12 5 . ∴FG＝EG－EF＝18 5 . 拓展探究 1. 解：（1）∵D、E 分别为 AB、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE∥BC, DE= 1 2 BC. ∴△DOE∽△BOC, ∴ OD OC = OE OB = DE BC = 1 2 （2）根据（1）中的证明可知， OF OA = 1 2 2. 解：过点 D 作 DF∥BE 交 AC 于点 F. ∵AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3， ∴AG∶GD = AE∶EF=4∶1， BD∶DC＝EF∶FC＝2∶3， ∴AE∶EF=4∶1，EF∶FC＝2∶3， ∴AE∶EF∶FC＝8∶2∶3， ∴AE∶EC＝8∶5. 2 题图