28.2.1解直角三角形-人教版九年级数学下册课堂训练

28.2.1 解直角三角形 自主预习 1.解直角三角形的依据(∠C=90°)： (1)三边之间的关系： (勾股定理)； (2)两锐角之间的关系： ； (3)边角之间关系：sinA= ，sinB= ；cosA= ，cosB= ； tanA= ，tanB= . 2. 如图，已知∠C＝90°，∠A＝28°，AC＝6 米，AB≈ 米.(精确到 0.1) 互动训练 知识点一： 已知两边解直角三角形 1.在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是( ) A.计算 tanA 的值求出 B.计算 sinA 的值求出 C.计算 cosA 的值求出 D.先根据 sinB 求出∠B，再利用 90°-∠B 求出 2.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=4，b=3，则 cosA 的值是( ) A. 5 3 B. 5 4 C. 3 4 D. 4 5 3.在 Rt△ABC 中，AB=4，AC=2 2 ，∠C=90°，则∠A 的度数为( ) A.30° B.40° C.45° D.60° 4.在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，∠C=90°，a=5， c=5 2 ，则∠B= ，b= . 5.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知 BC=2 6 ,AC=6 2 ，解此直角三角形. 5 题图 6.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b=4 5 ， a=4 15 ，解这个直角三角形. 知识点二：已知一边一锐角解直角三角形 7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=6，cosB= 3 2 ，则 BC 的长为( ) A. 4 B. 2 5 C. 13 1318 D. 13 1312 7 题图 8 题图 8.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则 BC 的长是( ) A. 4 3 3 B.4 C.8 3 D.4 3 9.已知三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能是( ) A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.6.5 10.如果等腰三角形的底角为 30°，腰长为 6 cm，那么这个三角形的面积为( ) A.4.5 cm2 B.9 3 cm2 C.18 3 cm2 D.36 cm2 11.在 Rt△ABC 中，CA=CB，AB=9 2 ，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若 tan∠CAD= 3 1 ， 则 BD 的长为 . 12.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边.求下列直 角三角形中的未知量. (1)∠B=60°，c=25； (2)∠A=30°，b= 3 . 13.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=8 3 ，∠A=60°，解这个直角三角形. 14.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=55°，AC=4，解此直角三角形.(结果保 留小数点后一位) 14 题图 知识点三：解直角三角形的综合应用 15.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 sinA= 1 2 ，cosB= 3 2 ，AC=40，则△ABC 的面积是( ) A.800 B.800 3 C.400 D.400 3 16.如图，已知在△ABC 中，AD 是边 BC 上的高，BC=14，AD=12，sinB= 4 5 ，则 线段 DC 的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 16 题图 17 题图 17.如图，平面直角坐标系中有正方形 ABCD，B(0， 3 )，∠BA0=60°，那么点 C 的坐标为 ____. 18.在△ABC 中，AC=6，BC=5，sinA= 2 3 ，∠A，∠B 为锐角，求 tanB 的值. 19.如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) （1）若∠A=60°，求 BC 的长； （2）若 sinA= 4 5 ，求 AD 的长. 19 题图 课时达标 1.在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知∠A，b，解此直角三角形就是要求出( ) A.c B.a，c C.∠B，a，c D.∠B，a，c，△ABC 的面积 2.在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是( ) A.sinB= 5 5 B.cosB= 5 2 C.tanB=2 D.cosB= 2 1 3.如图所示，菱形 ABCD 的周长为 20 cm，DE⊥AB，垂足为 E， 3sin 5A  ，则下 列结论正确的个数是（ ） ①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为 15 cm2；④BD＝ 2 10 cm． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3 题图 4 题图 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则 AC= . (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 5.根据下列条件解 Rt△ABC(∠C=90°). (1)∠A=30°，b= 3 ； (2)c=4，b=2 2 . 6.如图，△ABC 中，∠C=90°，点 D 在 AC 上，已知∠BDC=45°，BD=10 2 ，AB=20. 求∠A 的度数. 6 题图 7.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3 ，求 AB 的长. 7 题图 8.如图，C、D 是半圆 O 上两点， 5 11 CD AB  ，求 cos∠CEB 和 tan∠CEB． 8 题图 9.如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的⊙O 经过点 D，E 是 ⊙O 上一点，且∠AED＝45° ． (1)试判断 CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为 3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE 的正弦值． 9 题图 拓展探究 1.探究：已知如图 1，在△ABC 中，∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c，AC=b,试用含 b， c，α的式子表示△ABC 的面积； 应用：如图 2，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为α，若 AC=a，BD=b，试用含 b，c，α的式子表示平行四边形 ABCD 的面积. 28.2.1 解直角三角形答案 自主预习 1. (1) a2+b2=c2 (2) ∠A+∠B=90° (3) a c b c b c a c a b b a 2. 6.8 互动训练 1. C. 2. A. 3.C.解析：在 Rt△ABC 中，∵AB=4，AC=2 2 ，∠C=90°， ∴cosA= AC AB = 2 2 4 = 2 2 ，∴∠A=45°.故选 C. 4.45°，5. 解析：∵sinA= a c = 5 2 2 = 2 2 ，∴∠A=45°，∴∠B=90°－∠A=45°， ∴∠B=∠A，∴b=a=5. 5.解：∵tanA= BC AC = 2 6 6 2 = 3 3 ， ∴∠A=30°. ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=4 6 . 6.解：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，b=4 5 ，a=4 15，∴tanA= a b = 4 15 4 5 = 3 ， ∴∠A=60°，∴∠B=90°－∠A=30°，∴c=2b=8 5 . 故 c=8 5 ，∠A=60°，∠B=30°. 7. A. 8. D. 解析：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∠B=30°，AB=8， ∴BC=ABcosB=8× 3 2 =4 3 .故选 D. 9.D. 解析：根据垂线段最短，可知 AP 的长不可能小于 3.在△ABC 中，∠C=90°， AC=3，∠B=30°，∴AB=6，∴AP 的长不可能大于 6.故选 D. 10. B. 11. 6. 12.解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=30°，∴sinA= a c = 1 2 ， ∵c=25，∴a= 25 2 . ∵cosA= b c = 3 2 ，c=25，∴b= 25 3 2 . 综上 a= 25 2 ， b= 25 3 2 ，∠A=30°. (2) ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°. 在 Rt△ABC 中，cosA= b c = 3 2 ，∵b= 3 ，∴c=2，∴a= 1 2 c=1. 综上，a=l，c=2，∠B=60°. 13.解：∵∠A=60°， ∴∠B=90°-∠A=30°. ∵sinA= a c , ∴a=c·sinA=8 3 ×sin60°=8 3 × 3 2 =12， ∴b= 2 2c a =  2 28 3 12 =4 3 . 14.解：∠A=90°-∠B=90°-55°=35°. ∵tanB= AC BC ，∴BC= AC tanB = 4 55tan  ≈2.8. ∵sinB= AC AB ，∴AB= AC sinB = 4 55sin  ≈4.9. 15. D. 解析：∴sinA= 1 2 ，cosB= 3 2 ，∴∠A=∠B=30°，∴BC=AC. 如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 CD= 1 2 AC=20，AD=20 3 ， ∴AB=2AD=40 3 ，∴S△ABC= 1 2 AB·CD=400 3 . 故选 D. 15 题图 16. C. 解析：∵AD 是边 BC 上的高，∴AD⊥BC. 在 Rt△BDA 中，∠BDA=90°，AD=12，sinB= AD AB = 4 5 ， ∴AB=15，∴BD= 2 2AB －AD = 2 215 －12 =9， DC=BC－BD=14－9=5. 故选 C. 17. (－ 3 ， 3 ＋1). 解析：过点 C 作 CE⊥y 轴于点 E， 则 Rt△CEB≌Rt△BOA，∴CE=BO= 3 ，BE=AO= BO tan ∠BAO =l， ∴OE=OB＋BE= 3 ＋1，∴点 C 的坐标为(－ 3 ， 3 ＋1) . 18.解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 sinA= CD AC = 2 3 ，∴CD= 2 3 AC=4. 在 Rt△BCD，BC=5，CD=4，∴BD=3，∴tanB= CD BD = 4 3 . 19.解：(1)∵∠A=60O，∠ABE=90°，∴∠E=30°. 在 Rt△ABE 中，∵AB=6，tanA= BE AB ，∴BE=AB·tanA=6×tan60°=6 3 . ∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= CD CE ， ∴CE= CD sin E = 4 1 2 =8，BC=BE－CE=6 3 －8. (2)∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= BE AE = 4 5 ，∴设 BE=4x，AE=5x，则 AB=3x，∴3x=6， 得 x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE= AB BE = 6 8 = CD DE = 4 DE ，解得 DE=16 3 ， ∴AD=AE－DE=10－16 3 =14 3 . 19 题图 课时达标 1. C. 2. A. 3. C. 解析：由菱形的周长为 20 cm 知菱形边长是 5 cm． 在 Rt△ADE 中，∵ AD＝5 cm，sin A＝ 3 5 ，∴ DE＝AD·sinA＝ 35 35   (cm)． ∴ 2 2 4AE AD DE   (cm)．∴ BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)． 菱形的面积为 AB·DE＝5×3＝15(cm2)． 在 Rt△DEB 中， 2 2 2 23 1 10BD DE BE     (cm)． 综上所述①②③正确．故选 C． 4. 24. 5.(1)∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. ∵tanA= a b ，∴a=b·tanA= 3 × 3 3 =1. ∴c=2a=2. (2)由勾股定理得：a= 2 2c b =  224 2 2 =2 2 . ∵b=2 2 ，a=2 2 ，∠C=90°， ∴∠A=∠B=45°. 6.在 Rt△BDC 中，∵sin∠BDC= BC BD ， ∴BC=BD×sin∠BDC=10 2 ×sin45°=10. 在 Rt△ABC 中，∵sin∠A= BC AB = 10 20 = 1 2 ，∴∠A=30°. 7.过 C 作 CD⊥AB 于 D，则∠ADC=∠BDC=90°. ∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD. ∵∠A=30°，AC=2 3 ，∴CD= 3 ，∴BD=CD= 3 . 由勾股定理得：AD= 2 2AC CD =3. ∴AB=AD+BD=3+ 3 . 8. 解：如图，连结 BC，则∠ACB=90°，△ECD∽△EBA， ∴ CE CD 5= =EB AB 11 ，cos∠CEB= 5 .11 CE =EB tan∠CEB= 4 6 .5 BC =CE 8 题图 9. 解： (1)CD 与⊙O 相切． 理由：如图所示，连接 OD，则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥DC， ∴ ∠CDO＝∠AOD＝90°，∴ OD⊥CD，∴CD 与⊙O 相切． (2)如图所示，连接 BE，则∠ADE＝∠ABE． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)． 在 Rt△ABE 中， 5sin 6 AEABE AB    ． ∴sin∠ADE＝sin∠ABE 5 6 AE AB   ． 9 题图 拓展探究 1.探究：过点 B 作 BD⊥AC,垂足为 D. ∵AB=c，∠A=α，∴BD=c·sinα. ∴S△ABC= 1 2 AC·BD= 1 2 bcsinα. 应用：过点 C 作 CE⊥DO 于点 E. ∴sinα= EC CO . ∵在□ABCD 中，AC=a，BD=b，∴CO= 1 2 a，DO= 1 2 b. ∴S△COD= 1 2 CO·DO·sinα=18absinα. ∴S△BCD= 1 2 CE×BD= 1 2 × 1 2 asinα×b= 1 4 absinα， ∴S□ABCD=2S△BCD= 1 2 absinα.